积分不等式的证明方法

积分不等式的证明 摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单

调性来证积分不等式,利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。 关键词：积分不等式 单调性 拉格朗日中值定理 taylor 公式

二重积分 凹凸性 柯西不等式 英文题目: to study integral inequality proof: using the

monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integral inequality. Key word: Integral inequality， monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality 1引言： 数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。 2 研究问题及结果

1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用 例1若)()(xgxf、在[,]ab上可积，则bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(

22

2

证：将b改写为x，并设dttgdttfdttgtfxFxaxaxa222)()()(，

dttfxgdttgxfxgxfdttgtfxFxaxaxa2222'2

= dttfxgtgxfxgxftgtfxa2222 =dttgxfxgtfxa2)( 0 从而知)(xF为减函数，于是有)()(aFbF，又)(aF=0，所以

0)(bF因此有

bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(222 注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(xF，再验证)(xF的单调增减性。

2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式 ［1］定理4: 设函数()fx满足如下条件： （1）()fx在闭区间,ab上连续；

（2）()fx在开区间(,)ab内可导， 则在(,)ab内至少存在一点，使得()()()fbfafba。 注：称()()()fbfafba为拉格朗日公式 例1．设)(xf在],[ba上有一阶连续导数，且0)(af，证明：

（１）|)(|max2)(|)(|],[2xfabdxxfbaxba 证明：（１）令|)(|max],[xfMbax，由拉氏中值定理知 ))(()()()(axfafxfxf 从而 ],[),(|))((||)(|baxaxMaxfxf

所以 MabdxaxMdxxfdxxfbababa2)()(|)(||)(|2

（２）dxxfabdxxfbaba222])([2)()( 证明：２）xaxadttfafdttfxf)()()()(，则 

baxaxaxadttfaxdttfdtdttfxf2222)]([)()]([1])([)(

故dxxfabdxaxdttfdxxfbabababa2222])([2)()()]([)( 注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.

3）. 利用积分中值定理来证积分不等式 ［6］定理设()fx在,ab上连续，()gx在,ab上可积且不变号，则存在,ab，使得()()()()bbaafxgxdxfgxdx 特别地，当()1gx时，存在,ab，使得()()()bafxdxfba 例(1)设()fx在0,1上可导，证明对于0,1x，有1

'

0()()()fxftftdt

证：由积分中值定理，知10()()ftdtf，其中0,1， 又对任意的0,1x，有'()()()xfxfftdt， 即'()()()xfxfftdt，当x时， 11'''0()()()()()()()xtfxfftdtfftdtftftdt 当x时，'''()()()()()()()xxxfxfftdtfftdtfftdt ()f+1'0()ftdt1'0()()ftftdt 从而当0,1x时，1'0()()()fxftftdt

4）利用Taylor公式来证积分不等式 例1：设,•xab，0,''0fxfx 求证badxxfabxf2 证明：将xf在x处展开成一阶泰勒公式 21'''2fxftftxtfxt之间与位于tx,

由于"0fx 'fxftftxt

将上式两边在,ab上对t积分得， 'bbaabafftdtftxtdt

即/bbbaaabafftdtxtftftdt =afaxbfbxdttfba2 2baftdtbafbxfbxafa

0,0,0xbaxxf

baxfabdxxf2

即badxxfabxf2。 5）利用函数的凹凸性来证积分不等式 例1.设)(xf是],[ba的连续函数，而且是非负和下凸的，0)0(f

求证：10210)(41)(dxxfdxxf。

证明：令200)()(41)(xxdttfdttfx，则 0)0(，)0()2(21)(41)2(21)(41)(fxfxfxfxfx 由于)(xf下凸的，故)]0()([21)2(fxfxf。 所以0)(x，)(x在]1,0[上单调增加，从而0)0()(x即

0)()(41200xxdttfdttf，其中，]1,0[x

特 别，当1x时，10210)(41)(dttfdttf。 6）利用二重积分来证积分不等式 例1设函数fx为0,1上的单调减少且大于0的连续函数， 求证：1122001100xfxdxfxdxxfxdxfxdx 证明：令dxxfdxxxfdxxfdxxxfI1010210210 =1111220000xfxdxfydyxfxdxfydy =1100xfyfxfyfxdxdy 同理I=1100yfxfyfxfydxdy两边相加整理得 2I=dxdyxfyfyxxfyf1010， 00,1fx且在上单调减少，

0xfyfyx

0I命题得证。

7）柯西不等式中证明积分不等是式 例1．柯西不等式的证明。 证明:柯西不等式为bababadxxgdxxfdxxgxf)()(])()([222。 设bababadxxgdxxfdxxgxfu)()(])()([)(222 显然)(u在],[ba上连续，在),(ba内可导，且 uauauadxxfugdxxgufdxxgxfuguf)()()()()()()()(2)u2222（

uauauadxugxfdxugufdxxgxfuguf)()()()()()()()(22222 uadxugxfxgxfugufxguf)]()()()()()(2)()([2222 uadxugxfxguf0)]()()()([2 所以)(u在],[ba上单调减少，则0)()(ab，即 0)()(])()([)(222bababadxxgdxxfdxxgxfb