数据结构算法时间复杂度的计算

时间复杂度的定义

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O 是数量级的符号)，简称时间复杂度。

根据定义，可以归纳出基本的计算步骤

1. 计算出基本操作的执行次数T(n)

基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级

求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度

当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

一个示例：

(1) int num1, num2;

(2) for(int i=0; i

(3) num1 += 1;

(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){

(5) num2 += num1;

(6) }

(7) }

分析：

1.

语句int num1, num2;的频度为1；

语句i=0;的频度为1；

语句i

语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；

T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

2.

忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数

f(n) = n*log2n

3.

lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)

= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0

所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？

于是，以上步骤可以简化为：

1. 找到执行次数最多的语句

2. 计算语句执行次数的数量级

3. 用大O来表示结果

继续以上述算法为例，进行分析：

1.

执行次数最多的语句为num2 += num1

2.

T(n) = n*log2n

f(n) = n*log2n

3.

// lim(T(n)/f(n)) = 1

T(n) = O(n*log2n)

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一些补充说明

最坏时间复杂度

算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级

即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

求极限的技巧

要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0

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一些规则(引自：时间复杂度计算) 1) 加法规则

T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2) 乘法规则

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）

在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝O(c)，c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有

T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )

也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。4) 一个经验规则

复杂度与时间效率的关系：

c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）

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较好一般较差

其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、log2n 、n 、n*log2n,那么这个算法时间效率比较高，如果是2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

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复杂情况的分析

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析

将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如：

for (i=1; i<=n; i++)

x++;

for (i=1; i<=n; i++)

for (j=1; j<=n; j++)

x++;

解：

第一个for循环

T(n) = n

f(n) = n

时间复杂度为Ο(n)