动量及动量守恒定律习题课

动量定理及动量守恒定律习题课

动理定理的内容、表达式：Ft =mv ′-mv 各物理量的含义

说明：矢量性、因果性（合外力的冲量是动量变化的原因）、广泛性（变力和恒力匀适用）。 遇到涉及力、时间和速度变化的问题时.运用动量定理解答往往比运用牛顿运动定律及运动学规律求解简便。应用动量定理解题的思路和一般步骤为： (l)明确研究对象和物理过程; (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况;

(3)选取正方向,确定物体在运动过程中始末两状态的动量; (4)依据动量定理列方程、求解。

1、简解多过程问题。

例1、一个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t 1=5s,然后推力减小为F 2=5N,方向不变,物体又运动了t 2=4s 后撤去外力,物体再经 过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。

分析与解：规定推力的方向为正方向,在物体运动的整个过程中,物体的初动量P 1=0, 末动量P 2=O 。据动量定理有： 0)((3212211=++-+t t t f t F t F 即：0)645(4558=++-?+?f ，解得 N f 4= 说明：由例可知,合理选取研究过程，能简化解题步骤,提高解题速度。本题也可以用牛顿运动定律求解做比较。

跟随检测1：质量为m 的物体放在水平面上，在水平外力F 的作用下由静止开始运动，经时间t 撤去该力，若物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则物体在水平面上一共运动的时间为_______________。.

2、求解平均力问题或变力冲量问题

例2 、如图所示，轻弹簧下悬重物2m 。2m 与1m 之间用轻绳连接。剪断1m 、2m 间的轻绳，经较短时间1m 有速度u ，2m 有速度大小为v ，求这段时间内弹力的冲量及弹力的平均值。

解析：1m 、2m 静止时，弹力大小等于g m m )(21+，剪断轻绳，1m 自由下落，2m 向上加速运动，1m 达到速度u 的时间为g

u t =? 对2m ：mv t g m t F =?-?2 t g m v m t F ?+=?21u m v m 21+=弹力平均值u

g u m v m g

u u m v m t t F F )(2121+=+=??=g m u v m )(21+= 跟踪检测2：质量是60kg 的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已知弹性安全带缓冲时间为1.2s ，安全带自由伸直后长5m ，求安全带对人的平均弹

力．（ g= 10m ／s 2）

3、对系统应用动量定理。

系统的动量定理就是系统所受合外力的冲量等于系统总动量的变化。若将系统受到的每一个外力、系统内每一个物体的速度均沿正交坐标系x 轴和y 轴分解，则系统的动量定理的数学表达式如下： +?+?=++x x x x V m V m I I 221121， +?+?=++y y y y V m V m I I 221121

对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题，采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。

例3、如图所示， 质量为M 的汽车带着质量为m /

的拖车在平直公路上以加速度a 匀加速前进，当速度为V 0时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

分析与解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为()a m M +，该过程经历时间为V 0/μg ，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

()()()()0/0/0,V Mg

g a m M V V m M MV g V a m M μμμ++=∴+-=?+ 说明：这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是()a m M +。

跟踪检测3、如图所示，矩形盒B 的质量为M ，放在水平面上，盒内有一质量为m 的物体A ，A 与B 、B 与地面间的动摩擦因数分别μ1、μ2，开始时二者均静止。现瞬间使物体A 获取一向右且与矩形盒B 左、右侧壁垂直的水平速度V 0，以后物体A 在盒B 的左右壁碰撞时，B 始终向右运动。当A 与B 最后一次碰撞后，B 停止运动，A 则继续向右滑行距离S 后也

停止运动，求盒B 运动的时间t 。

4、应用动量定理解释实际问题。

例4、跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是因为（ ）

A 、人跳在沙坑里的动量比跳在水泥地上小

B 、人跳在沙坑里的动量变化比跳在水泥地上小

C 、人跳在沙坑里受到的冲量比跳在水泥地上小 C 、人跳在沙坑里受到的冲力比跳在水泥地上小 分析与解：人跳远从一定高度落下，落地签的速度一定，则初动量相同，落地后静止，末动量一定，则下落过程的动量变化量相同，但跳在沙坑里比跳在水泥地上作用时间长，根据动能定理F △t=△p 可知，△p 一定时，△t 越长，则F 越小，故正确答案为

D 。

跟踪检测4、在撑杆跳比赛中，横杆的下方要放上很厚的海绵垫子，设一位撑杆跳运动员的质量为70kg ，越过横杆后从h=5.6高处 落下，落在海绵垫上和落在普通沙坑里分别经过△t 1=1s ，△t 2=0.1s 停止，试比较两种情况下海绵垫子和沙坑对运动员的作用力。（g=10m/s 2）

趣味思考：搬运易碎物品时应该怎么办？

1、动量定律成立的条件

⑴系统不受外力或者所受外力之和为零； ⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计； ⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

⑷全过程的某一阶段系统受的合外力为零，则该阶段系统动量守恒。

2．动量守恒定律的表达形式

（1）

，即p 1 +p 2=p 1′+ p 2′，2）Δp 1 +Δp 2=0，Δp 1= -Δp 2 和

3．应用动量守恒定律解决问题的基本思路和一般方法

（1）分析题意，明确研究对象。（2）对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，判定能否应用动量守恒。

（3

）确定过程的始、末状态，写出初动量和末动量表达式。注意：在研究地面上物体间相互作用

的过程时，各物体运动的速度均应取地球为参考系。（4）建立动量守恒方程求解。

4．注意动量守恒定律的“五性”：①条件性；②整体性；③矢量性；④相对性；⑤同时性．一、物块与平板间的相对滑动

【例1】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：A、B最后的速度大小和方向；

解析：（1）由A、B系统动量守恒定律得：

Mv0-mv0=（M m）v 所以v= v0方向向右

跟踪检测1：两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为

，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块

C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为3.0m/s，求：

（1）木块A的最终速度；（2）滑块C离开A时的速度。

二、某一方向上的动量守恒

【例2】如图所示，AB为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M的小圆环，环上系一长为L质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球，现将绳拉直，且与AB平行，由静止释放小球，则当线绳与A B成θ角时，圆环移动的距离是多少？

解析：虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两

圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受

外力，因而水平动量守恒。设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v，圆环

的水平速度为V，则由水平动量守恒有：MV=mv

且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V和v可分别用其水平位移替代，则上式可写为：Md=m［（L-L cosθ）-d］解得圆环移动的距离：d=mL（1-cosθ）/（M m）

点评：以动量守恒定律等知识为依托，考查动量守恒条件的理解与灵活运用能力

易出现的错误：（1）对动量守恒条件理解不深刻，对系统水平方向动量守恒感到怀疑，无法列出守恒方程.

（2）找不出圆环与小球位移之和（L-L cosθ）。

跟踪检测2：如图所示，木块A静置于光滑的水平面上，其曲面部分MN

光滑、水平部分NP粗糙，现有一物体B自M点由静止下滑，设NP足够长，

则以下叙述正确的是（）

A．A、B最终以同一不为零的速度运动 B．A、B最终速度均为零

C．A物体先做加速运动，后做减速运动 D．A物体先做加速运动，后做匀速运动

三、抛物体问题

例题3.如图所示，人与冰车质量为M，球质量为m，开始均静止于光滑冰面上，现人将球以对地速度V水平向右推出，球与挡板P碰撞后等速率弹回，人接住球后又将球以同样的速度V向右推出……如此反复，已知M = 16 m，试问人推球几次后将接不到球?

分析：（该题是多过程动量守恒问题，可以采用数学归纳的方法研究；当然也可整个过程采用动量定理研究）

解析：取水平向左为正方向，冰车、人、球为系统．由动量守恒定律，对第一次推球过

程有： 110,mv Mv mv v M

-== 对第二次整个接、推球过程有： 1223,mv Mv mv Mv mv v M

+=-=

对第三次整个接、推球过程有：2335,mv Mv mv Mv mv v M

+=-= 对第n 次整个接、推球过程同理分析得：(21)n n mv v M

-= 设推球n 次后恰接不到球，则n v v =，故有(21)n mv v M -= 代人已知条件 解得：n = 8.5， 即人推球9次后将接不到球．

跟踪检测3:甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M =30 kg ，乙和他的冰车总质量也是30 kg ，游戏时，甲推着一个质量m =15 kg 的箱子，和他一起以大小为V 0=2m ／s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，如图，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住，若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度(相对地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞．（注意两人避免相撞的条件）

四、人船模型

人船模型问题是一种很常见的题形，在研究过程当中，如果能恰当地应用动量守恒定律进行解题，会给我们带来意想不到的效果。

[例4] 如图1所示，静水面上停有一小船，船长L = 3米，质量M = 120千克，一人从船头走到船尾，人的质量m = 60千克。那么，船移动的距离为多少？（水的阻力可以忽略不计）

过程分析: 当人从船头走到船尾，通过脚与船发生了作用（也可以认为走动过程就是人与船发生间歇性碰撞的过程）。选取人和船为研究对象，由于不计水的阻力，所以系统

在水平方向上动量守恒。

解：设人从船头走到船尾，船对地的就离为S ，则人对地移动了L - S ，

根据动量守恒定律可得： M S/t - m (L - S)/t = 0

解得 S = ML/(M + m) = 60*3/(120 + 60) = 1米

此题虽然很简单，但所展示的物理模型很重要，如果真正掌握了此题的

解法，那么，下面这道题完全可以做到同法炮制，快速求解。

跟踪检测4：一质量为M 的船，静止于湖水中，船身长L ，船的两端点有质量分别为m 1和m 2的人，且m 1>m 2,当两人交换位置后，船身位移的大小是多少？（不计水的阻力）

5、质量为m 的人站在质量为M ，长为L 的静止小船的右端，小船的左端靠在岸

边。当他向左匀速走到船的左端时，船左端离岸多远？