用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换

用狄拉克符号阐述表象理论及表象变换

引言

我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。

量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由狄拉克首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为狄拉克符号。狄拉克符号能够简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。本文用狄拉克符号全面阐述量子力学的表象理论，以及量子态、内积、算符、薛定谔方程等的变换，使读者对表象理论及表象变换有一个全面的认识。

一、Dirac 符号

量子力学的理论描述常采用Dirac 符号。它具有两个优点，即不依赖于具体表象和运算简捷。

由量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert 空间。在这个空间中，态用右矢>|表示，一般写为>ψ|，定义在复数域上。也可以在右矢内填上相应的量子

数或本征值来表示相应的态，如>>>n E p x |'|'|、、

分别表示坐标、动量和动能算符的本征态，而>lm |则表示角动量算符

)?,?(2z L L 的共同本征态。 左矢< |表示共轭空间中与| >相应的一个抽象态矢。如|'|x <<、

ψ等则是上述右矢的共轭态矢。

二、内积

定义两个态矢ψ和?标积的形式为><ψ?|，又称内积。且满足下列关系

>=<>

若满足0|>=<ψ?，则称>ψ|与>?|正交；若满足1|>=<ψψ，则称>ψ|与>?|是归一的。若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则其正交归一性可写为

kj

j k δ>=<|

对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'x x x x ->=<δ；而动量算符的本征态的正交归一性可写为)'''(''|'p p p p ->=<δ。

三、态矢的表示

下面从狄拉克符号出发来讨论一下状态和力学量的表象问题。现在看来所谓表象的问题实际上就是选择基矢量的问题，因为任何一个力学量的本征矢都可以作为基矢量，选择不同的基矢量，状态和力学量就有各种各样的表象。

（1）分立谱的情况

若力学量完全集F 的本征态记为>k |，则在F 表象中，任意态矢量〉ψ|可以写为

∑>

>=k

k k a ||ψ

用|j <同上式两边作内积，有

j

k

jk k k

k a a k j a j ==><>=<∑∑δψ||

所以有

>=<ψ|k a k

它是>ψ|在>k |上的投影。用列矢表示为

??

???

??><><=????? ??>= ψψψ|2|1|21a a

所以

∑∑>

><=>><>=k

k

k k k k ψψψ|||||

||k k ><可以看作一个算符，因为它作用在态矢量>ψ|上后求和，得出的是

态矢量>ψ|。我们称这个算符为投影算符，用k P 表示，即

||k k P k ><=

而>>=><>=k a k k P k k ||||ψψ，显然，

∑=>

I

k k ||

我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现。 （2）连续谱的情况

在这种情况下，上述的求和要用积分代替。比如：

?=>

在F 表象中，两个态矢>ψ|和>?|之间的内积可按如下方法计算：

∑∑>

>=<>>=k

k k

k a k k ||||ψψ ∑∑>

>=<>>=k

k k

k b k k ||||??

其中>=<>=

?

?

??

? ??=>=<><>=<∑∑ 21*

2*1*),,(|||a a b b a b k k k k k k ψ?ψ?

四、算符的表示

设算符的作用用Dirac 符号表示为

>>=ψ?|?|L

在F 表象中，L

?的矩阵元是 >=

k L kj |?|

用|k <与上面的作用方程作内积，有

>><<>>=<<∑ψψ?||?||?||j j L k L

k k j

利用前面所得关系

>=<>=

由

>><<>=<∑ψ?||?||j j L

k k j

，则有

∑=j

j

kj k a L b 。

上式写成矩阵的形式，有

??

?

?

? ??????? ??=????? ?? 21222112

1121a a L L L L b b

其中）（kj L 就是算符L

?在F 表象中的矩阵表示。 L ?的本征方程为>>=ψψ|'|?L L ，在F 表象中左端可以表成

j

j

kj j

a L j j L k L k ∑∑>=><<>=<ψψ||?||?|

可以写成

∑∑=>><<>=<>=

j

kj j

a L j j k L k L L k δψψψ'||'|'|'|

从而有

∑∑=j

j

kj j

j

kj a L a

L δ'（即

)'(=-∑j kj j

kj

a L L

δ）

此方程组有非零解的必要条件为

|'|det =-kj kj L L δ

五、薛定谔方程

用Dirac 符号，薛定谔方程可写为

>>=??ψψ|?|H

t i

在F 表象下可表示为

∑>><<>=>=<

j j H k H

k k t i ψψψ||?||?||

即

∑=j

j kj k a H a

i

在〉ψ|态下L

?的平均值用Dirac 符号表示为 ∑∑=>><><<>==

j

kj k kj

a L a j j L k k L L *||?|||?|ψψψψ

六、表象变换

量子力学中表象的选取决定于所讨论的问题，表象选取得适当可以使问题的处理大为简化，因此在讨论问题时常常需要从一种表象变换到另一种表象。这个问题现在看来就是一个基矢量变换的问题。

(1)态的表象变换

态>ψ|在F 表象中用k a k >=<ψ|表示，在'F 表象中用'|αψαa >=<表示，则

∑∑=>><<>=

k

k k

a S k k αψαψα|||

即

∑=k

k

k a S a αα'

其中>=

????

? ??????? ?

?=????? ??

212221121121''a a S S S S a a

上式可以简写成

Sa a ='

其中S 为么正矩阵，即满足

I SS S S ==++

在F 表象中

kj

j

k j k kj j k j k j k S S S S S S δααααα

α

α

ααααα>==<>

><<=>

<><===∑∑∑∑++|||||)(**

所以I S S =+，同理可证I SS =+

。

(2)算符的表象变换

算符L ?在F 表象中的矩阵元为>==<βααβ|?|'L

L ，而

)

()|(||?|||?|'1

-+-+==>=<=>><><<>==<∑∑∑S S S L S S k S L S k k L j j L

L kj

k

jk j k kj

k jk j kj

βαββ

ααβββαβα

写成矩阵的形式是

1'-+==SLS SLS L

'L 、L 分别为L

?在'F 表象和F 表象中的矩阵。

10110110 李明亮