第十一章 组合变形时的强度计算
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
组合变形时的强度计算
§84弯曲与扭转组合变形
一、单向弯曲与扭转组合变形
1.引例：以钢制摇臂轴为例。
①外力向形心简化(建立计算模型)：
②作弯矩、扭矩图(找危险截面)：
由弯矩图知：A截面|M|→max；全梁Mn处处相同，
∴A截面为危险截面：
|TMn AP|aPL
③危险截面的危险点：A截面K1、K2点，t、s数值均为最大，
⑤用强度准则进行强度计算
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面
∴K1、K2点均为危险点：
K1点：
sstmax|M W A z|
tMn W n
K2点：sscmax|M W A z|
tMn W n
y
A d
z
L
Tn
_
PL
M
_
P C
B a x
P Pa
K1
st Pa
K1 A
t s
s K2 t
K2
ss t
s
Байду номын сангаас
④对危险点进行应力分析：(从K1、K2点取单元体，因它们的 s、t数值分别相同，危险程度也相同，不妨取K1点研究)：
一、单向弯曲与扭转组合变形
④对危险点进行应力分析(s1≥s2≥s3)
在梁的任意横截面m—m上，由P1和P2引起的弯矩值依次为：
在梁的任意横截面m—m上，由P 和P 引起的弯矩值依次为： 试校核此夹具竖杆的强度。
第十一章动荷载优秀课件
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
Q
h Fd
d
Q st
Q(hd)12Fdd
Q Fd
st d
Fd
Q
st
d
得Q(hd)12Q stdd
整理 d 2 得 2std ： 2 hst0 d可解
dst s2t2hst (实际 d st, “”不取
一、冲击问题的假定
1.不计冲击物的变形(刚体）； 2.冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，
二者合为一个运动系统； 3.被冲击物的质量（惯性）与冲击物相比很小，
可略去不计，冲击应力瞬时传遍整个被冲击物； 4.整个冲击过程中，构件在线弹性范围内； 5.冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去
不计。（能量守恒）
q d (5)求动应力
d
FNd 2A
A
FNd
d
R2 2
g
qd
2R
qd
A
qd
A R2
g
FNdqd2R2AgR22
FNd (5)求动应力
d
R2 2
g
vR圆环轴线上的点的 度线速
d
v2 g
说明：圆环内的动应力只与γ和v有关，而与横截面面积无关， 要保证旋转圆环的强度，只能限制圆环的转速，增加面积是不起 作用的。
二、自由落体冲击
Q
h
Fd
d
Q
冲击物Q由高h的地方自由落下 h 被冲击物在线弹性范围
d
Fd 冲 击 荷 载
d 动变形
冲击前
重物Q 被冲击杆
动能
工程力学组合受力与变形时的强度计算
FN A
M W
3103
d 2
8 103
d 3
81.1
MPa
81.9
4
32
位置？
例题：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应 力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面 的最大正应力为多少?(不考虑应力集中) 10
P
360
求： 1．链环直段部分横截面上 的最大拉应力和最大压应力； 2. 中性轴与截面形心之间 的距离。
解：根据平衡，截面上将
作用有内力分量FNx 和Mz
Fx 0 M C 0
得到 FNx＝800 N
Mz＝ 12 N·m
x FNx
FNx A
4FNx πd 2
π
4 800 122 106
简支梁在中点受力的情
形下，最大弯矩
Mmax=FPl / 4。得到两个 平面弯曲情形下的最大
d
弯矩：
c
M max
FPz
FPx l FPsin l
4
4
M max
(FPy )
FPy l 4
FP
cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点 a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最 大拉应力。
Pz P cos
以y为中性轴弯曲 M y Pz (l x)
P cos(l x) M cos
M z Py (l x)
P sin(l x) M sin
M z y M y sin M y z M z cos
梁的组合变形
第十一章 组合变形11.1 组合变形的概念11.1.1 组合变形图11-1在以前各章节中分别讨论了杆件拉伸〔压缩〕、剪切、扭转和弯曲等根本变形。
但工程实际中构造的某些构件往往同时承受几种根本变形。
例如，图11-1)(a 表示小型压力机的框架。
为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化，如图11-1)(b ，可见立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M e 引起的弯曲。
这类由两种或两种以上根本变形组合的情况，称为组合变形。
11.1.2 叠加原理在组合变形中的应用图11-2在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，杆件上虽然同时存在着几种根本变形，但每一种根本变形都是各自独立、互不影响的。
即任一根本变形都不会改变另一种变形所引起的应力和变形。
于是，分别计算每一种根本变形各自引起的应力和变形，然后求出这些应力和变形的总和，便是杆件在原载荷作用下的应力和变形，这就是叠加原理在组合变形中的应用。
上述叠加原理的成立，除材料必须服从虎克定律外，小变形的限制也是必要的。
现以压缩与弯曲的组合变形来说明这一问题。
当弯曲变形很小，可以忽略不计时，图(a，弯矩可以按杆件变形前的位置来计算。
这时轴向力P和横向载荷q的影响11-2)是各自独立的，叠加原理可以使用。
反之，假设杆件的抗弯刚度较小，弯矩应按杆件(b，那么轴向压力P除引起轴力外，还将产生弯矩Pv，变形后的位置计算，图11-2)而挠度v又受P及q的共同影响。
显然，压力P及横向载荷q的作用并不是各自独立的。
在这种情况下，尽管杆件仍然是线弹性的，但叠加原理也不能成立。
11.1.3 组合变形的几种常见方式1.斜弯曲2.拉伸或压缩与弯曲的组合3.扭转和弯曲的组合11.2 斜弯曲11.2.1 斜弯曲的概念由第7章知，仅当作用于构件上的横向力的作用线通过弯曲中心，且垂直于截面的一根形心主惯性轴时，构件才发生平面弯曲。
在工程实际中，作用在杆件上的横向力虽然通过弯曲中心，但有时并不垂直于截面的形心主轴。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
12-1 工程力学-组合变形的强度计算
§12–2
弯曲与扭转组合变形 P
a L
P
(1)外力分析
a L Mo=Pa P’=P
(2)内力分析
Mmax=PL MT=Pa 危险截面？
Mo=Pa
P’=P
(3)应力分析
P
危险点？
a L
M max 正应力： Wz
MT 切应力： WP
危险点应力状态？
பைடு நூலகம்
（4）强度条件
二向应力状态：需用强度 理论求出相当应力，建立 强度条件
2 1 2 2 2 3
2 3 2
强度条件：
r4
M 2 0.75M T2 Wz
r4
32P l 2 0.75a 2 3 d
例1 卷扬机L=800mm,R=180mm
AB轴直径d=30mm,转速 n=150r/min,电动机功率 P=2.5kW, 90MPa 试按第三和第四强度理论 分别校核AB轴的强度 解: (1)外力分析
pl 20 0.2 M 1KN m 4 4
T m 1KN m 危险截面C 3）强度计算
r
4
1 W
M 2 0.75T 2 [ ]
即
取d 44mm
32 1 0.75 106 d 3 43.8mm 160
x ,
1
2
y 0, x
2 2
2
将上式代入主应力公式，得主应力：
2 0 3
2 2 2
2
第三强度理论的强度条件
r 3 1 3 4
组合变形强度计算
Fa / 2 1 2a a2
2F a2
6
开槽后的最大压应力 开槽前的最大压应力
2F F/
/ a2 4a 2
8
23
例8-4、如图所示桥式起重机。 为保证立柱m-m截面只承受压力，试确定行走大梁支承点的位置。
F1
F2
F2
mm
m
m
mz F1
F2
ze
m
m
b
y
h
24
解：(1) 外力分析：将力 F2 向截面形心 简化后，梁上的外力有
形的组合。 3、叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理成立。
即所有载荷共同作用下的内力、应力、应变等于各个载荷单独
作用下相应值的叠加。
F
F
mC F
P
mC
F
+P
拉
弯
mC +
mC 扭
6
二、组合变形强度计算的一般分析方法
外力分析
外力（分解，向轴线平移） 内力分析
分组
分别进行内力分析 应力分析
40
例8-8、图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向 力 5 kN，径向力 1.82 kN；齿轮 D上作用有水平切向力10 kN，径 向力 3.64 kN 。齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm ,齿轮 D 的节圆直
径 d2 =200 mm。设许用应力 =100 MPa ,试按第四强度理论求
Iz=26.1106mm4， [ +]=20MPa ， [ -]=80MPa 。
Py
P 试校核其正应力强度？
15º
Mz Px
P
A
1.2m
11-1 斜弯曲
Wy
z M max FPy
FP cos l 30 4Wz
Wz
解：3. 计算两个平面弯曲情形下的最大正应力
FPsin l FPcos l max b , c 4Wy 4Wz
其中l=4 m，FP=80 kN， =5。另外从型钢表中可查到 32a 热轧普通工字钢的 Wz=70.758cm3 ， Wy=692.2cm3 。将 这些数据代入上式得到.
对称轴 z x
梁的轴线 挠曲线 y
9
1.平面弯曲的两种情况
挠曲线
水平纵向对称面 z x
对称轴 y 梁的轴线 （2）梁在水平纵向对称面 xz 平面内曲， y 轴为中性轴。
10
2.平面弯曲的两大特征：
1）弯曲后的轴线在载荷作用面内； 2）中性轴与载荷的作用面垂直。 要求：载荷作用在主形心惯性平面内
c
Pl cos Pl sin A Wz Wy A B
My
z
My B 中性轴
x Mz
18
y A Mz
My
z
cos sin B y0 z0 0 Iy 中性轴(零应力线) I z
My
x Mz
斜弯曲梁横截面中性轴上 各点的坐标为y0、z0 ，应 力=0，所以 cos sin pl ( y0 z0 ) 0 Iz Iy 故中性轴方程为：
y0 Iz tg tg z0 Iy
上式表明：①当力F通过第一、二象限时，中性 轴通过第三、四象限；②中性轴与力的作用线 并不垂直，这正是斜弯曲的特点，除非Iz=Iy， 即截面的两个形心主轴的惯性矩相等，例如截 面为正多边形的情形，此时中性轴才与力的作 用线垂直，而此时不论φ角是多少，梁总发生 平面弯曲，对于圆形、正方形、正三角形或正 多边形等的截面，无论力作用在哪个纵向平面 内，梁只发生平面弯曲。