备战2020年高考数学一轮复习第14单元计数原理与分布列单元训练B卷理含解析
2020届高考数学一轮复习单元检测一集合与常用逻辑用语B小题卷单元检测理含解析新人教A版
单元检测一集合与常用逻辑用语()(小题卷)考生注意：．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．．本次考试时间分钟，满分分．．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知集合＝{>}，＝{－－≤}，则∩∁等于( )．{≤≤}．{－≤≤}．{－≤≤}．{≤－}答案解析由题意知＝{>}，＝{－－≤}＝{－≤≤}，则∁＝{≤}，所以∩∁＝{－≤≤}．．已知集合＝{－＝}，则下列式子表示正确的有( )①∈；②{－}∈；③∅⊆；④{，－}⊆.．个．个．个．个答案解析因为＝{－＝}＝{，－}，所以∈正确，∅⊆正确，{，－}⊆正确．．集合＝{－，－}，＝{}，＝{＝＋，∈，∈，∈}，则集合的真子集的个数是( )．．．．答案解析由题意知，集合＝{－，－}，＝{}，则＝{＝＋，∈，∈，∈}＝{}，所以集合的真子集的个数为－＝.．已知＝{＝}，＝{＋＝}，则∈是∈的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析因为＝{＝}＝{}，且＝{＋＝}＝{－}，所以∈不能得到∈，∈也不能得到∈，所以∈是∈的既不充分也不必要条件．．已知：≥，：<，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( ) ．[，＋∞) ．(，＋∞)．[，＋∞) ．(－∞，－]答案解析∵<，∴－＝<，即(－)(＋)>，∴>或<－，∵是的充分不必要条件，∴>，故选.．已知实数，满足＋>，则命题“若≥，则≥且≥”的逆否命题是( ) ．若<，则≥且≥．若≥，则<或<．若≥且≥，则≥．若<或<，则<答案解析由题意实数，满足＋>，则命题“若≥，则≥且≥”的逆否命题是“若<或<，则<”．．命题“∀∈，≠”的否定是( )．∀∈，≠．∀∈，＝．∃∉，≠．∃∈，＝答案．李大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件答案解析“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．∴“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．．命题：“∀>，不等式>成立”；命题：“函数＝12log(－＋)的单调递增区间是(－∞，]”，则下列复合命题是真命题的是( )．(綈)∨(綈) ．∧．(綈)∨．(綈)∧答案解析由题意知，命题：“∀>，不等式>成立”，根据指数函数与对数函数的图象可知是正确的，所以命题为真命题；命题：“函数＝12log(－＋)的单调递增区间应为(－∞，)”，所以为假命题，所以(綈)∨(綈)为真命题．．下列命题中，真命题是( )．若，∈，且＋>，则，中至少有一个大于．∀∈>．＋＝的充要条件是＝－．∃∈，≤答案解析对于选项，假设≤，≤，则＋≤，与已知矛盾，所以原命题正确．当＝时，＝，故错误．当＝＝时，满足＋＝，但＝－不成立，故＋＝的充要条件是＝－错误．∀∈，>，故∃∈，≤错误．．下列选项叙述错误的是( )．命题“若≠，则－＋≠”的逆否命题是“若－＋＝，则＝”．若“或”为真命题，则，均为真命题．“若<，则<”的否命题为假命题．“>”是“－＋>”的充分不必要条件答案解析由逆否命题概念知选项正确；根据或命题真假可知若或为真，则，至少有一个命题为真，故，均为真命题错误；选项中，原命题的否命题为“若≥，则>”，当＝时，≥成立，推不出>，命题不成立，是假命题；选项中，>能推出－＋>成立，－＋>推不出>，所以“>”是“－＋>”的充分不必要条件，故选.．在下列四个命题中，其中真命题是( )①“若＝，则＋＝”的逆命题；②“若·＝·，则⊥(－)”的否命题；③“若≤，则方程－＋＋＝有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为°”的逆命题．．①②．①②③④．②③④．①③④答案解析①“若＝，则＋＝”的逆命题为“若＋＝，则＝”，该命题为真命题；②“若·＝·，则⊥(－)”的否命题为“若·≠·，则不垂直于(－)”，由·≠·，可得·(－)≠，据此可知：不垂直于(－)”，该命题为真命题；③若≤，则方程－＋＋＝的判别式Δ＝(－)－(＋)＝－≥，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为°”的逆命题为“三个内角均为°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.二、填空题(本题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．已知集合＝{＝－，∈}，＝{>，∈}，那么∩＝.答案{}解析集合＝{＝－，∈}＝{≤}，＝{>，∈}，故∩＝{<≤，∈}＝{}．．方程＋＋＝有两个不相等的负实数根的充要条件是．答案<<解析因为方程＋＋＝有两个不相等的负实数根，且＋＝－<，所以只需即解得<<，所以方程＋＋＝有两个不相等的负实数根的充要条件是<<.．设非空集合＝{＋≤≤－}，＝{≤≤}，且满足⊆(∩)，则实数的取值范围是．答案[]解析因为非空集合＝{＋≤≤－}，＝{≤≤}，且满足⊆(∩)，∴解得≤≤，∴的取值范围是≤≤.．已知命题：∀∈，＋>；命题：()＝(－)是增函数．若“∧”为假命题且“∨”为真命题，则实数的取值范围为．答案[)解析命题真：<；命题真：<，当真假时，无解；当假真时，解得≤<.故实数的取值范围是[)．。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
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解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
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解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
备战2020年高考数学一轮复习第13单元统计、统计案例与概率单元训练(B卷,理,含解析)(最新整理)
则上述说法中，正确的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
8．某产品近期销售情况如下表：
月份
2
3
4
5
6
销售额 （万元）
15．1
16．3
17．0
17．2
18．4
根据上表可得回归方程为 ，据此估计，该公司8月份该产品的销售额为（)
三、解答题：本大题共6个大题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村扶贫．此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度,随机调查了40个贫困户,得到贫困户的满意度评分如下：
免征额 元
免征额 元
级数
全月应纳税所得额
税率（ ）
级数
全月应纳税所得额
税率( ）
1
不超过 元部分
1
不超过 元部分
2
超过 元至 元的部分
2பைடு நூலகம்
超过 元至 元的部分
3
超过 元至 元的部分
3
超过 元至 元的部分
…
…
…
…
…
…
某税务部门在某公式利用分层抽样方法抽取2019年3月 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．
16．谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．
备战2020年高考数学一轮复习第1单元集合与常用逻辑用语单元训练(B卷,理,含解析)(最新整理)
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B) 第1单元 集合与常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知，下列四个条件中，使成立的充分不必要的条件是( ） A ．B ．C ．D ．3．设集合，,，则集合中元素的个数为( ） A ．11B ．9C ．6D ．44．下列说法正确的是( ）A ．命题“，使”的否定为“,都有”B ．命题“若向量与的夹角为锐角，则"及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角中，”为真命题D ．命题“若,则或”的逆否命题为“若且，则”5．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D．{}1A xx =>{}220B x x x =--<()A B =R ð{}1x x >-{}11x x -<≤{}11x x -<<{}12x x <<,abR ∈a b >1a b >-1a b >+a b>2a>{}2,1,0,1,2A=--{}1,0,1B =-22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭C []00,1x ∃∈2010x -≥[]0,1x ∀∈210x -≤ab0⋅>a b A B C V si n c o s A B <20x x +=0x =1x =-0x ≠1x ≠-20x x +≠{}|03Ax x =≤≤(){},B x yy =+AB ={}13x x ≤≤{}13x x <≤∅{x x ≥6．若命题，，命题，．则下列命题中是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知集合，，则( ）A ．B ．C ．D ．8．下列说法正确的是（ ） A ．设是实数,若方程表示双曲线，则．B ．“为真命题”是“为真命题"的充分不必要条件．C ．命题“，使得”的否定是：“,”．D ．命题“若为的极值点,则”的逆命题是真命题．9．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设和是两个集合，定义集合，且，如果，，那么（ ） A ．B ．C ．D ．11．设整数，集合,令集合，且三条件、恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（ ) A ．，B ．,C ．，D ．，0:p x ∃∈R 20010x x -+≤:0q x ∀<x x >p q ∧()p q ∧⌝()p q ⌝∧()(p q ⌝∧⌝{}(1)(4)0Ax x x =+-≤{}2l o g 2B x x =≤AB =[]2,4-[)1,+∞(]0,4[)2,-+∞m 22112x y m m +=--2m >p q ∧p q ∨x ∃∈R 2230x x ++<x ∀∈R 2230x x ++>0x ()y f x =0()0f x '=()2,,2xx a f x x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩[)0,+∞12．设集合, ()()222,22m A x y x y m ⎧⎫=≤-+≤⎨⎬⎩⎭，若，则实数m的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若，则或”的逆否命题为__________．14．命题“，”的否定是__________． 15．已知全集，集合，，且，则的取值范围 为________．16．已知曲线关于x 轴、y 轴和直线y =x 均对称,设集合．下列命题： ①若,则； ②若,则S 中至少有4个元素； ③S 中元素的个数一定为偶数；④若，则．其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题:本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）己知集合，．(1）若，求实数a 的取值范围； （2)若，求实数a 的取值范围．AB ≠∅1,222⎡⎤+⎢⎥⎣⎦21⎡⎤++∞⎢⎥⎣⎦∅2320x x -+=1x =2x =x R ∀∈220x x ->U A B ⊆ð(),0F xy =()(){},,0,,Sx y F x y x y ==∈∈Z Z ()1,2S ∈()2,1S --∈()0,2S ∈(){}2,4,,x y y x x y S =∈∈⊆ZZ (){}2,4,,x y x y x y S =-∈∈⊆ZZ {}3Ax a x a =≤≤+{}24120B x x x =-->A B =∅18．（12分）已知函数，集合．（1）求函数的定义域； （2)若“"是“”的必要条件,求实数的取值范围．19．（12分)已知，命题方程表示圆心在第一象限的圆；命题方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围； (2）若命题为假命题,求实数的取值范围．()2121f x x x =-+-m ∈R :p 2222(26)14260x y x m y m m +-+-+-+=:q 22117x y m m +=--yq m p q ∨m20．（12分）（1）设命题实数满足，其中，命题实数满足．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2)已知命题方程表示焦点在x 轴上双曲线；命题空间向量,的夹角为锐角,如果命题“"为真，命题“"为假．求的取值范围．0a >2260280x x x x --≤+->⎧⎪⎨⎪⎩22141x y k k +=--()2,1,k =-a ()1,0,1k =-b21．（12分)已知的定义域为，,使得不等式成立，关于的不等式的解集记为．（1）若为真，求实数的取值集合；(2）在(1)的条件下,若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．()21:4p f x a x a x =-+22．（12分)已知函数，且．（1）当时，设集合，求集合；（2)在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围; （3）若对任意的,存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．()1l o g 1af x x =-单元训练金卷▪高三▪数学卷(B ） 第1单元 集合与常用逻辑用语 答 案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题得，，所以．故选B ． 2．【答案】B【解析】A 选项是的必要不充分条件； B 选项是的充分不必要的条件； C 选项是的即不充分也不必要条件；D 选项是的充要条件， 故选B ． 3．【答案】A【解析】根据条件得:从，0，1任选一个，从,0,1任选一个，有9种选法；或2时，，有2种选法，所以共种选法，C 中元素有11个．故选A ．4．【答案】D【解析】命题“,使”的否定应为“，都有”，所以A 错误； 命题“若向量与的夹角为锐角,则”的逆命题为假命题，故B 错误；锐角中，，∴,所以C 错误，故选D ．5．【答案】C 【解析】因为集合是数集，集合是点集，所以,故选C ．6．【答案】C【解析】对于命题，所以命题p 是假命题，所以是真命题；对于命题q ,,，是真命题，所以是真命题．故选C ．{}1Axx =≤Rð{}12B x x =-<<(){}11ABx x =-<≤Rð1a b >-a b >1a b >+a b >a b>a b >22ab>a b >x1-y1-2x =-0y =9211+=∴[]00,1x ∃∈2010x -≥[]0,1x ∀∈210x -<ab 0⋅>a b A B C V ππ022π2AB A B +>⇒>>->s i n s i n cs πo 2A B B ⎛⎫>-=⎪⎝⎭ABA B =∅2200013:1=024px x x ⎛⎫-+-+> ⎪⎝⎭p ⌝0x ∀<x x >()p q ⌝∧7．【答案】C【解析】，，故，故选C ．8．【答案】B 【解析】A ．设是实数，若方程表示双曲线，则,所以或，所以该命题是假命题；B ．“为真命题”则p 真且q 真，“为真命题”则p ，q 中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件．所以该命题是真命题;C ．命题“，使得”的否定是：“，”． 所以该命题是假命题；D ．命题“若为的极值点,则"的逆命题是“，则为的极值点”,如函数，，但是不是函数的极值点，所以该命题是假命题．故选B ． 9．【答案】A 【解析】当时,在上满足，单调递增，满足题意；又由，，解得或4． 当时，，函数，函数在上单调递增,满足题意，但不满足∴“”是“函数在上单调递增"的充分不必要条件． 故选A ．10．【答案】D{}[](1)(4)01,4Ax x x =+-≤=-{}(]2l o g 20,4B x x =≤=(]0,4A B =m22112x y m m+=--()()120m m --<2m>1m <p q ∧p q ∨p q ∧p q ∨x ∃∈R 2230x x ++<x ∀∈R 0322≥++x x 0x ()y f x =0()0f x '=0()0f x '=0x ()y f x =3()f x x =(0)0f '=00x =[)0,+∞()2xf x =22x x =[)0,x ∈+∞2x =22x x≥()2,,2xx a f x x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩[)0,+∞0a ≤[)0,+∞【解析】，；∴．故选D ．11．【答案】B 【解析】取、、、，显然满足和都在中，此时，，故A 、C 、D 均错误,只有B 成立，故选B ． 12．【答案】A【解析】由题意，,则,∴或,显然． 要使，只需圆与或有交点，即或，∴或,又∵或,∴．当时，不在内． 综上，实数m 的取值范围是．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．13．【答案】“若且,则”． 【解析】因为若原命题为“若，则”，那么它的逆否命题为“若，则．"所以命题“若,则或”的逆否命题为“若且,则”． 14．【答案】，【解析】依据题意，先改变量词,然后否定结论,可得命题的否定是，， 故答案为,． 15．【答案】【解析】，，如下图所示，可得,A ≠∅22mm ≥12m ≥B ≠∅AB ≠∅2x y m +=21x y m +=+222mm-≤122mm-≤2211m -≤≤+0m ≤12m ≥122m ≤≤0m =()2,001x y ≤+≤1,22⎡⎢⎣1x ≠2x ≠2320x x -+≠p q q ⌝p⌝2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠0x R∃∈20020x x -≤0x R ∃∈20020x x -≤0x R∃∈20020x x -≤{}{}{}|0UB x x a x x a B x x a =-≥=≥∴=<，ðU A B⊆ð本题正确结果．16．【答案】①②④【解析】①若,则（1,2）关于y =x 对称的点，关于x 轴对称的点， 关于y 轴对称的点;故①正确； ②若,关于x 轴对称的点，关于y =x 对称的点，， 此时S 中至少有4个元素；故②正确；③若，则（0，0）关于x 轴，y 轴，y =x 对称的点是自身，此时S 中元素的个数为奇数个，故③错误； ④若，则关于y 对称的集合为，从而，关于y =x 对称的集合，故④正确,故答案为①②④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】(1）；（2）． 【解析】（1）∵集合，或，，∴,解得，∴实数a 的取值范围是．(2），或,解得或． ∴实数a 的取值范围是． 18．【答案】（1）；(2）．()1,2S ∈()2,1S ∈()2,1S -∈()2,1S --∈()0,2S ∈()0,2S -∈()2,0S ∈()2,0S -∈()0,0S ∈(){}2,4,,x y y x x y S =∈∈⊆ZZ (){}2,4,,x y y x x y S =-∈∈⊆ZZ (){}2,4,,x y y x x y S =-∈∈⊆ZZ (){}2,4,,x y y x y S x =-∈∈⊆ZZ {}56a a a <->或A B =∅236a a ≥-+≤⎧⎨⎩32a ∴+<-6a >5a <-6a >{}56a a a <->或{}121xx x <≤<-或1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【解析】(1）要使有意义，则，解得或,的定义域． （2）“”是“"的必要条件，，①当时,；②当时,或,解得，实数的取值范围为．19．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)命题， 即实数的取值范围为．(2）由题意,， 命题，， 因为为假命题,所以、为假命题， 因此．20．【答案】(1）．【解析】（1）是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件， 命题实数满足，其中为真,可得，命题实数满足为真，可得，即；即，则，所以实数的取值范围是． （2）命题为真的条件是:且，解得；命题空间向量，的夹角为锐角，为真，即有，即，解得， 由于，不共线,可得． 22010x x -≥->⎧⎨⎩1x <-{}121Dxx x =<≤<-或A =∅A ≠∅221m m >-≤-⎧⎨⎩22122m m m >--≥≤⎧⎪⎨⎪⎩122m -<≤-1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦(1,4)m ∈(,1][4,)m ∈-∞+∞:71014qmm m ->->⇒<<m(1,4)22(1)(3)816x y m m -++-=-8160:30m p m ->⎧⎨->⎩23m ∴<<p q ∨p q (,2][3,)(,1][4,)(,1][4,)m m m ∈-∞+∞⎧⇒∈-∞+∞⎨∈-∞+∞⎩2260280x x x x --≤+->⎧⎪⎨⎪⎩2324x x x -≤≤><-⎧⎨⎩或()2,1,k =-a ()1,0,1k =-b 0⋅>a b ()210k k +->12k -<<ab 12k -<<又命题“”为真，命题“”为假，可得命题有且仅有一个是真命题， 即或，即有．21．【答案】(1）；（2）．【解析】（1）真：的定义域为R ，则对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足,当a ≠0时，有,解得．综上，真：，使得不等式成立，∴,即,为真，即真，真，．（2）①，即，此时，是的充分不必要条件,；②,即，此时不符合题意;③①,即，此时,为的充分不必要条件，，无解；综上所述：．22．【答案】（1）；（2）；（3）实数的取值范围为．【解析】（1）由时，．由得，即，解得，所以．（2）由，得，1421k k k ⎩<<≥≤-⎧⎨或4112k k k ≥≤-<<⎧⎨⎩或10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦p()f x 214a x a x +≥-20()0a a a >--≤⎧⎨⎩01a <≤[]0,1a ∈qx ∃∈R 140Δa =->1,4a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭10,4A ⎡⎫∴=⎪⎢⎣⎭101,11824m m ⎧⎪⎨⎪⎩-≤⎡⎤⇒⎢⎥≥⎣⎦10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11420m m -≥≤⎧⎪⎨⎪⎩1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎫⎪⎝⎭()1l o g 1af x x =-21log 01x ≥-111x ≥-所以,所以可转化为,在上恒成立，解得，所以实数的取值范围为．（3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于“，时，”．①当时,由题意可得函数为上的减函数，为上的增函数，故等价于,即,不等式无解； ②当时,为上的增函数，为上的减函数， 故等价于，即，解得．综上可得，所以实数的取值范围为．2020x b bx x b bx ⎧+>+>>⎪⎨⎪⎩203b <<20,3⎛⎫⎪⎝⎭()1l o g 1af x x =-1log log 4a a a >()1l o g 1af x x =-()1l og l og 12a a a >+。
2020衡水名师理科数学专题卷：专题十四《计数原理》
2020衡水名师原创理科数学专题卷专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、考点45 中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( )A.715B.815C.115D.4152、考点45 中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( )A. 11 26B. 9 26C. 11 52D. 9 523、考点45 中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( )A.12B.24C.48D.7204、考点45 中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6B.12C.36D.725、考点45 中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( )A.360种B.432种C.456种D.480种 6、考点45 难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( )A.5040B.4800C.3720D.4920 7、考点46 易24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．248、考点46 易 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则=8a （ ）A.-180B.180C.45D.-45 9、考点46 易9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．-1B ．1C ．-512D ．51210、考点46 中难已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46 中难在二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,系数最大的项为( )A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项 12、考点46 中难332除以9的余数是( )A.1B.2C.4D.8第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷+数学(文)+第7单元++数列+B卷++Word版含答案【KS
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第7单元 数列注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 2．已知等比数列{}n a 中，31320a a ⋅=，64a =，则10a 的值是（ ） A ．16B ．14C ．6D ．53．等比数列{}n a 中，12330a a a ++=，456120a a a ++=，则789a a a ++=（ ） A ．240B ．±240C ．480D ．±4804．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么9N 的值为（ ）A ．369B ．321C ．45D ．415．已知1，1a ，2a ，9四个实数成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，9五个数成等比数列，则221()b a a -=（ ） A ．8B ．-8C ．±8D ．986．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且116a ，49a ，72a 成等差数列，则3S =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．97．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即20165a -=（ ）A ．20182014⨯B ．2018201⨯C ．10112015⨯D ．10102012⨯8．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则77a b =（ ） A ．9310B ．172C ．14317D ．159．已知数列{错误!未找到引用源。
2020年高考高三理科数学一轮复习单元训练AB卷 第1单元 集合与常用逻辑用语 B卷 Word版含答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第1单元 集合与常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()A B =R ð（ ）A ．{}1x x >-B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}12x x <<2．已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b >3．设集合{}2,1,0,1,2A =--，{}1,0,1B =-，22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合C 中元素的个数为（ ） A ．11B ．9C ．6D ．44．下列说法正确的是（ ）A ．命题“[]00,1x ∃∈，使210x -≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，都有2 10x -≤” B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则0⋅>a b ”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”5．已知集合{}|03A x x =≤≤，(){},1B x y y ==，则AB =（ ）A ．{}13x x ≤≤B ．{}13x x <≤C ．∅D ．{}0x x ≥6．若命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+≤，命题:0q x ∀<，x x >．则下列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 7．已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A ．[]2,4-B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞8．下列说法正确的是（ ）A ．设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则2m >．B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．C ．命题“x ∃∈R ，使得2230x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，2230x x ++>”．D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题是真命题．9．已知函数()2,,2x x af x x x a⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则“”是“函数在[)0,+∞上单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设和是两个集合，定义集合，且，如果，，那么（ ） A ．B ．C ．D ．11．设整数，集合，令集合，且三条件、恰有一个成立．若和都在中，则下列选项 正确的是（ ） A ．， B ．， C ．，D ．，12．设集合()()222,22m A x y x y m ⎧⎫=≤-+≤⎨⎬⎩⎭，，若AB ≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,222⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．C ．21,⎡⎤++∞⎢⎥⎣⎦D ．∅第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为__________． 14．命题“x R ∀∈，220x x ->”的否定是__________． 15．已知全集，集合，，且U A B ⊆ð，则的取值范围 为________．16．已知曲线(),0F x y =关于x 轴、y 轴和直线y =x 均对称，设集合()(){},,0,,S x y F x y x y ==∈∈Z Z ．下列命题：①若()1,2S ∈，则()2,1S --∈；②若()0,2S ∈，则S 中至少有4个元素； ③S 中元素的个数一定为偶数；④若(){}2,4,,x y y x x y S =∈∈⊆Z Z ，则(){}2,4,,x y x y x y S =-∈∈⊆Z Z ． 其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）己知集合{}3A x a x a =≤≤+，{}24120B x x x =-->． （1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数()221f x x x =-+-，集合．（1）求函数的定义域； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．19．（12分）已知m ∈R ，命题:p 方程2222(26)14260x y x m y m m +-+-+-+=表示圆心在第一象限的圆；命题:q 方程22117x ym m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆． （1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围．20．（12分）（1）设命题实数满足，其中0a >，命题实数满足2260280x x x x --≤+->⎧⎪⎨⎪⎩．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）已知命题方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上双曲线；命题空间向量()2,1,k =-a ，()1,0,1k =-b 的夹角为锐角，如果命题“”为真，命题“”为假．求的取值范围．21．（12分）已知()21:4p f x ax ax =-+的定义域为，，使得不等式成立，关于的不等式的解集记为．（1）若为真，求实数的取值集合；（2）在（1）的条件下，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数()1log 1a f x x =-，且．（1）当时，设集合，求集合；（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围； （3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第1单元 集合与常用逻辑用语 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】由题得{}1A x x =≤R ð，{}12B x x =-<<，所以(){}11A B x x =-<≤R ð．故选B ． 2．【答案】B【解析】A 选项1a b >-是a b >的必要不充分条件； B 选项1a b >+是a b >的充分不必要的条件； C 选项a b >是a b >的即不充分也不必要条件； D 选项22a b >是a b >的充要条件， 故选B ． 3．【答案】A【解析】根据条件得：x 从1-，0，1任选一个，y 从1-，0，1任选一个，有9种选法；2x =-或2时，0y =，有2种选法，所以共9211+=种选法，∴C 中元素有11个．故选A ．4．【答案】D【解析】命题“[]00,1x ∃∈，使210x -≥”的否定应为“[]0,1x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误；命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则0⋅>a b ”的逆命题为假命题，故B 错误； 锐角ABC V 中，ππ022π2A B A B +>⇒>>->，∴sin sin c s πo 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误，故选D ． 5．【答案】C【解析】因为集合A 是数集，集合B 是点集，所以A B =∅，故选C ． 6．【答案】C【解析】对于命题220013:1=024p x x x ⎛⎫-+-+> ⎪⎝⎭，所以命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题；对于命题q ，0x ∀<，x x >，是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题．故选C ． 7．【答案】C【解析】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，故(]0,4A B =，故选C ． 8．【答案】B【解析】A ．设m 是实数，若方程22112x y m m+=--表示双曲线，则()()120m m --<，所以2m >或1m <，所以该命题是假命题；B ．“p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p ，q 中至少有个命题为真命题， 所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件．所以该命题是真命题；C ．命题“x ∃∈R ，使得2230x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，0322≥++x x ”． 所以该命题是假命题；D ．命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0()0f x '=”的逆命题是“0()0f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00x =不是函数的极值点，所以该命题是假命题．故选B ． 9．【答案】A 【解析】当时，在[)0,+∞上满足()2x f x =，单调递增，满足题意；又由22x x =，[)0,x ∈+∞，解得2x =或4． 当时，22xx ≥，函数()2,,2xx af x x x a⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，函数在[)0,+∞上单调递增，满足题意，但不满足∴“0a ≤”是“函数在[)0,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选A ．10．【答案】D 【解析】，；∴．故选D ．11．【答案】B 【解析】取、、、，显然满足和都在中，此时，，故A 、C 、D 均错误，只有B 成立，故选B ． 12．【答案】A【解析】由题意，A ≠∅，则22mm ≥，∴或12m ≥，显然B ≠∅． 要使A B ≠∅，只需圆与2x y m +=或21x y m +=+有交点，即222m m -≤或122m m -≤，∴或2211m -≤≤+，又∵0m ≤或12m ≥，∴122m ≤≤当0m =时，()2,0不在01x y ≤+≤内．综上，实数m 的取值范围是1,22⎡+⎢⎣．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”．【解析】因为若原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝．” 所以命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”．14．【答案】0x R ∃∈，20020x x -≤【解析】依据题意，先改变量词，然后否定结论，可得命题的否定是0x R ∃∈，20020x x -≤， 故答案为0x R ∃∈，20020x x -≤． 15．【答案】【解析】{}{}{}|0U B x x a x x a B x x a =-≥=≥∴=<，ð， U A B ⊆ð，如下图所示，可得，本题正确结果．16．【答案】①②④【解析】①若()1,2S ∈，则（1，2）关于y =x 对称的点()2,1S ∈，关于x 轴对称的点()2,1S -∈， 关于y 轴对称的点()2,1S --∈；故①正确；②若()0,2S ∈，关于x 轴对称的点()0,2S -∈，关于y =x 对称的点()2,0S ∈，()2,0S -∈， 此时S 中至少有4个元素；故②正确；③若()0,0S ∈，则（0，0）关于x 轴，y 轴，y =x 对称的点是自身，此时S 中元素的个数为奇数个，故③错误；④若(){}2,4,,x y y x x y S =∈∈⊆Z Z ，则关于y 对称的集合为(){}2,4,,x y yx x y S =-∈∈⊆Z Z ，从而(){}2,4,,x y y x x y S =-∈∈⊆Z Z ，关于y =x 对称的集合(){}2,4,,x y y x y S x =-∈∈⊆Z Z ， 故④正确， 故答案为①②④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）{}56a a a <->或．【解析】（1）∵集合，或，A B =∅，∴236a a ≥-+≤⎧⎨⎩，解得，∴实数a 的取值范围是． （2），32a ∴+<-或6a >，解得5a <-或6a >．∴实数a 的取值范围是{}56a a a <->或．18．【答案】（1）{}121x x x <≤<-或；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）要使有意义，则22010x x -≥->⎧⎨⎩，解得1x <-或，的定义域{}121D x x x =<≤<-或． （2）“”是“”的必要条件，，①当A =∅时，；②当A ≠∅时，221m m >-≤-⎧⎨⎩或22122m m m >--≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，解得122m -<≤-，实数的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．19．【答案】（1）(1,4)m ∈；（2）(,1][4,)m ∈-∞+∞． 【解析】（1）命题:71014q m m m ->->⇒<<， 即实数m 的取值范围为(1,4)．（2）由题意，22(1)(3)816x y m m -++-=-， 命题8160:30m p m ->⎧⎨->⎩，23m ∴<<，因为p q ∨为假命题，所以p 、q 为假命题， 因此(,2][3,)(,1][4,)(,1][4,)m m m ∈-∞+∞⎧⇒∈-∞+∞⎨∈-∞+∞⎩． 20．【答案】（1）．【解析】（1）是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，命题实数满足，其中为真，可得，命题实数满足2260280x x x x --≤+->⎧⎪⎨⎪⎩为真，可得2324x x x -≤≤><-⎧⎨⎩或，即；即，则，所以实数的取值范围是． （2）命题为真的条件是：且，解得；命题空间向量()2,1,k =-a ，()1,0,1k =-b 的夹角为锐角，为真，即有0⋅>a b ，即()210k k +->，解得12k -<<， 由于a ，b 不共线，可得12k -<<． 又命题“”为真，命题“”为假，可得命题有且仅有一个是真命题，即1421k k k ⎩<<≥≤-⎧⎨或或4112k k k ≥≤-<<⎧⎨⎩或，即有．21．【答案】（1）10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）p 真：()f x =的定义域为R ，则2104ax ax +≥-对任意实数x 都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a >--≤⎧⎨⎩，解得01a <≤． 综上[]0,1a ∈，q 真：x ∃∈R ，使得不等式成立，∴140Δa =->，即1,4a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，为真，即真，真，10,4A ⎡⎫∴=⎪⎢⎣⎭．（2）①，即，此时，是的充分不必要条件， 101,11824m m ⎧⎪⎨⎪⎩-≤⎡⎤⇒⎢⎥≥⎣⎦；②，即，此时不符合题意；③①，即，此时，10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为的充分不必要条件，11420m m -≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．22．【答案】（1）；（2）20,3⎛⎫⎪⎝⎭；（3）实数的取值范围为．【解析】（1）由时，()1log 1af x x =-． 由得21log 01x ≥-，即111x ≥-，解得，所以．（2）由，得，所以，所以可转化为2020x b bx x b bx ⎧+>+>>⎪⎨⎪⎩，在上恒成立，解得203b <<，所以实数的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）“对任意的，存在，使不等式恒成立”，等价于“，时，”． ①当时，由题意可得函数()1log 1a f x x =-为上的减函数，为上的增函数，故等价于，即1log log 4aa a >，不等式无解； ②当时，()1log 1af x x =-为上的增函数，为上的减函数， 故等价于，即()1log log 12aa a >+， 解得．综上可得，所以实数的取值范围为．。
2020版高考数学一轮新高考专用精练：第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含解析 (24)
第1讲 直线的方程一、选择题1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. 答案 D3.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 B4.(2017·高安市期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A.6x －4y －3＝0 B.3x －2y －3＝0 C.2x ＋3y －2＝0D.2x ＋3y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0.答案 A5.(2016·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B.－13C.－32D.23解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 B6.(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合. 答案 B7.(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A. 答案 A8.(2017·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0，b ＞0)过点(1，1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4. 答案 C 二、填空题9.已知三角形的三个顶点A (－5，0，)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案 x ＋13y ＋5＝010.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________.解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0， 即－3≤k ＜0，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0).答案 [－3，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，111.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1， 即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝012.直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. 解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2). 答案 (2，－2)13.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A.4x －3y －3＝0 B.3x －4y －3＝0 C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.答案 D14.(2017·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B.[－1，0] C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 答案 A15.已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y ).则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2，4)，B (3，2)， 设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23. 如图所示，可知23≤k ≤2.∴直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，216.在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________.解析 直线OA 的方程为y ＝x ， 代入半圆方程得A (1，1)，∴H (1，0)，直线HB 的方程为y ＝x －1， 代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32. 所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案3x ＋y －3－1＝0。
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用精练：第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A.30个B.42个C.36个D.35个解析 ∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数.答案 C2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从20名选手中决出冠军，应进行比赛的场数为( )A.18B.19C.20D.21解析 因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要决出冠军，就要淘汰19名选手，故应进行19场比赛.答案 B3.(2016·济南质检)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( )A.24B.14C.10D.9解析 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式，第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法.∴由分类加法计数原理，共有12＋2＝14(种)选择方式.答案 B4.某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为( )A.20B.25C.32D.60解析 依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.答案 C5.集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A.9B.14C.15D.21解析 当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个).当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3，4，5，6，7，8，9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).答案 B6.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款，不同的支付方法的种数为( )A.3B.5C.9D.12解析 只用一种币值有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种.由分类加法计数原理得，共有3＋5＋1＝9(种).答案 C7.从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析 将和等于11的放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每12一小组中取一个，有C＝2种，共有2×2×2×2×2＝32个.故选A.答案 A8.(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9解析 由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.答案 B二、填空题9.(2017·西安质检)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个(用数字作答).131313解析 当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有C C个，131313由分类加法计数原理知共有“好数”C＋C C＝12(个).答案 1210.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案 4011.如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法(用数字作答).解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法.答案 26012.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加)，(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，则有________种不同的报名方法；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，则有________种不同的报名方法；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有________种不同的报名方法(用数字作答).解析 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36＝729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).答案 (1)729 (2)120 (3)21613.(2017·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279解析 0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).答案 B14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对解析 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对.正方体的12条面对角线共有12×8＝96(对)，且每对均重复计算一次，故共有＝48(对).962答案 C15.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进，Q点处出，沿图中线路游览A ，B ，C 三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O 外)的不同游览线路有________种(用数字作答).解析 根据题意，从点P 处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法.由分步乘法计数原理知共有6×4×2＝48种不同游览线路.答案 4816.(2016.广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99.3位回文数有90个：101，111，121，...，191，202， (999)则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个.解析 (1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有9×10n种填法.答案 (1)90 (2)9×10n。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．概念方法微思考1．在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．2．两种原理解题策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法．(√)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)题组二教材改编2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A．12 B．8 C．6 D．4答案 C解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C.3．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A．16 B．13 C．12 D．10答案 C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．题组三易错自纠4.现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案 D解析需要先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法，由分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理知，共有12＋6＝18(个)奇数．6．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．答案12解析当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况．当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.题型一分类加法计数原理1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．10答案 B解析方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分类讨论．①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4个有序数对．②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个有序数对不满足题意，分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)．a≠0时，(a，b)共有3×4＝12个实数对，故a≠0时满足条件的实数对有12－3＝9个，所以答案应为4＋9＝13.2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204 C．729 D．920答案 A解析若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．3．(2016·全国Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个答案 C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C34个，共2＋8＋4＝14(个)．思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．题型二分步乘法计数原理例1 (1)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18 C．12 D．9答案 B解析从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．答案120解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．引申探究1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．跟踪训练1 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O外)的游览线路有______种．(用数字作答)答案48解析根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任取一个，有2种选法．由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48(种)不同游览线路．题型三两个计数原理的综合应用例2 (1)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1 080解析①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．(2)现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140 C．240 D．260答案 D解析由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A 处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，到C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．故选D.(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48 C．36 D．24答案 B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．跟踪训练2 (1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个答案 B解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B.(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_______．答案36解析第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(3)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．答案96解析按区域1与3是否同色分类：①区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3同色时，共有4A33＝24(种)方法．②区域1与3不同色：第一步涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有1种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴共有A24×2×1×3＝72(种)方法．故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为24＋72＝96.1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7,8,9}，从集合A，B中各取一个数，能组成的没有重复数字的两位数的个数为()A．52 B．58 C．64 D．70答案 B解析根据分步乘法计数原理得(C12·C13＋C14·C13＋C12·C14＋C23)·A22＝58.2．(2018·包头质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种答案 B解析分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有()A．24种B．16种C．12种D．10种答案 C解析根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有4×3＝12(种)，故选C.4．(2018·大连联考)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)各位数均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为() A．9 B．10 C．11 D．12答案 D解析根据题意个位数n需要满足n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数k需要满足3k<10，∴k<3.3，∴十位数可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4＝12(个)．故选D.5．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有()A．120种B．260种C．340种D．420种答案 D解析由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420.故选D.6．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有()A．24 B．48 C．96 D．120答案 C解析若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2＝24(种)；若颜色A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)，根据分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96(种)，故选C.7．对33 000分解质因数得33 000＝23×3×53×11，则33 000的正偶数因数的个数是() A．48 B．72 C．64 D．96答案 A解析33 000的因数由若干个2(共有23,22,21,20四种情况)，若干个3(共有3,30两种情况)，若干个5(共有53,52,51,50四种情况)，若干个11(共有111,110两种情况)，由分步乘法计数原理可得33 000的因数共有4×2×4×2＝64(个)，不含2的共有2×4×2＝16(个)，∴正偶数因数的个数为64－16＝48，即33 000的正偶数因数的个数是48，故选A.8．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为______．答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数中不含有1时，可得到A25＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．9．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有_____个．答案27解析先考虑等边的情况，a＝b＝c＝1,2，…，6，有六个，再考虑等腰的情况，若a＝b＝1，c<a＋b＝2，此时c＝1与等边重复，若a＝b＝2，c<a＋b＝4，则c＝1,3，有两个，若a＝b＝3，c<a＋b＝6，则c＝1,2,4,5，有四个，若a＝b＝4，c<a＋b＝8，则c＝1,2,3,5,6，有五个，若a＝b＝5，c<a＋b＝10，则c＝1,2,3,4,6，有五个，若a＝b＝6，c<a＋b＝12，则c＝1,2,3,4,5，有五个，故一共有27个．10．2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案为________种．答案65解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16种情况，故哈西站一定要有人去有81－16＝65种情况，即哈西站一定有人去的游览方案有65种．11．(2018·鞍山模拟)联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有________种．答案25解析根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有1种方法；一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，两个国家药品，有3×2＝6种方法；三个国家粮食，一个国家药品，有3种方法；三个国家药品，一个国家粮食，有3种方法，故方法总数是25.12．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为_____．答案240解析将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60(种)情况；②若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60(种)情况；③若末位数字为4，因为有2个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．答案60解析 根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60种方法，故答案是60.14．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且 DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有______种．答案 12解析 由DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，说明△ABC 是等腰三角形，且|BA |＝|BC |，必有f (1)＝f (3)，f (1)≠f (2)．当f (1)＝f (3)＝1时，f (2)＝2,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝2，f (2)＝1,3,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝3，f (2)＝2,1,4，有三种情况；f (1)＝f (3)＝4，f (2)＝2,3,1，有三种情况．因而满足条件的函数f (x )有12种．15．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99,3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)5位回文数有________个；(2)2n (n ∈N ＋)位回文数有________个．答案 (1)900 (2)9×10n －1 解析 (1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n －1种填法．16．用6种不同的颜色给三棱柱ABC －DEF 六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有________种．(用数字作答)答案8 520解析分两步来进行，先涂A，B，C，再涂D，E，F.第一类：若6种颜色都用上，此时方法共有A66＝720种；第二类：若6种颜色只用5种，首先选出5种颜色，方法有C56种；先涂A，B，C，方法有A35种，再涂D，E，F中的两个点，方法有A23种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有C56·A35·A23·2＝4 320种；第三类：若6种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有C46种；先涂A，B，C，方法有A34种，再涂D，E，F中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有C46·A34·3·3＝3 240种；第四类：若6种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有C36种；先涂A，B，C，方法有A33种，再涂D，E，F，方法有2种，故此时方法共有C36·A33×2＝240种．综上可得，不同涂色方案共有720＋4 320＋3 240＋240＝8 520种．。
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单元训练金卷▪高三▪数学卷（B） 第14单元 计数原理与分布列 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A．2267AA B．3247AA C．322367AAA D．362467AAA 2．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A．18 B．36 C．54 D．72 3．的展开式中的系数是（ ） A．27 B．27 C．26 D．26 4．已知，则（ ） A．9 B．36 C．84 D．243 5．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（ ） 附：若，则， A．171 B．239 C．341 D．477
6．设随机变量的概率分布列如下表，则=（ ） 16 14 13
A．712 B．12 C．512 D．16 7．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）
A．37 B．45 C．67 D．1213 8．设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则（ ）
A．110 B．0 C．110 D．15 9．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ）
A．313 B．413 C．14 D．15 10．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（ ） A．3600 B．1080 C．1440 D．2520
11．在二项式622axx的展开式中，其常数项是15．如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） 此
卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座
位号 A．π146 B．π146 C．π4 D．16
12．如果不是等差数列，但若k*N，使得，那么称为“局部等差”数列． 已知数列的项数为4，记事件：集合，事件：为“局部等差”数列，则条件概率（ ）
A．415 B．730 C．15 D．16
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）． 14．将4位女生和4位男生分为两组参加不同的两个兴趣小组，一组3个男生1个女生，余下的组成另外一组，则不同的选法共有___种（用数字填写答案）．
15．在(0)naxax的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含6x的项的系数为_________． 16．若，则
32019124
2342019
aaaaa
eeeee______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中． （1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 18．（12分）已知从3312nxx的展开式的所有项中任取两项的组合数是21． （1）求展开式中所有二项式系数之和(用数字作答)； （2）若323112naxxx展开式中的常数项为72，求a的值． 19．（12分）某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在60,150），按下列分组60,70，70,80，80,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150作出频率分布直方图，如图1： 样本中分数在70,90内的所有数据的茎叶图如图2： 根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表． （1）求n的值及频率分布直方图中的,xy值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率； （3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研， 用表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 20．（12分）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了拯救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进．某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
（1）求观众评分的平均数？ （2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的 概率是多少？ （3）视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为10分的人数，求的分布列及数学期望． 21．（12分）某销售公司在当地A、B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A、B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X表示这两家超市每日共销售食品件数，n表示销售公司每日共需购进食品的件数． （1）求X的分布列； （2）以销售食品利润的期望为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选哪个？
22．（12分）某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办随机统计了2018
年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得．利用该正态分布，求： ①在2018年脱贫攻坚工作中，该地区约有的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12．14千元的人数约为多少？
参考数据：．若，则；；． 单元训练金卷▪高三▪数学卷（B） 第14单元 计数原理与分布列 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】采用捆绑法和插空法； 从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A种， 这样与第4个男生看成是2个男生； 然后6个女生任意排的方法数是66A种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生， 方法数是27A种． 综上所述，不同的排法共有362467AAA种．故选D． 2．【答案】B 【解析】若甲、乙一起（无其他人）有23675种， 若甲、乙与另一人一起（三人一起）有133318CA种，共18+18=36种， 故选B． 3．【答案】B 【解析】展开式中的系数， 中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项， 中的与展开式中项相乘，， 所以的系数是，故选B项． 4．【答案】B 【解析】展开式中不含； 展开式中含的系数为， 所以，故选B． 5．【答案】B 【解析】设每袋面粉的质量为，则由题意得， ∴111010.29810.2220.4772522PZPZPZ．． 由题意得，∴． 故选B． 6．【答案】C 【解析】根据随机变量的概率分布列知，1111643a，解得14a， 又，∴＝1或＝3，则11521136412PPP，故选C． 7．【答案】D 【解析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B， 则26281513112828CPAC，1126281228CCPABC， 则1213PABPBAPA，故选D． 8．【答案】A 【解析】依题意可的的分布列为
1 2 3 4
依题意得23412233443abababababababab，解得1,010ab， 故110ab．所以选A． 9．【答案】A 【解析】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；
事件为“学生丙第一个出场”，则41134333555578ACCAPAAA，1333555518CAPABAA，