关于帕普斯定理的猜想 续篇
帕斯卡定理平面几何
帕斯卡定理平面几何1 什么是帕斯卡定理帕斯卡定理是拉丁语学者穆索尼根帕斯卡（Euridcles Pascal）提出的一条关于三角形的定理，而此定理又是二十世纪数学家高斯归纳定理（Gausslaw of Quadratic Reciprocity）的重要前提代替。
帕斯卡定理是平面几何中的一条基本定理，它宣称“一个由比较的三条线段组成的三角形，它的内角之和等于180度”。
这一定理表明，如果已知三角形的三个边，那么该三角形所拥有的三条边和三个内角之间会存在特定的关系。
2 证明帕斯卡定理证明帕斯卡定理最常用的是利用全等三角形和半平面有序定理来完成的。
a.使用全等三角形：假设ABC是一个三角形，K是它的内切圆， O为圆心，M,N,P分别是它的三个内角。
将K依次切割三角形与其相对边的位置，画出一条它垂直边的垂直线，以边的中点为它的一端，把其切割的三角形组合成两个全等三角形。
同理，用它垂直每一条边，可将三角形ABC切割成三个全等三角形。
根据全等三角形的性质，各自的三个内角之和为180度，即NM+NP+PM=180度。
加上ABC的三个内角之和，记作θ，则有θ＝NM＋NP＋PM＝180。
综上所述，ABC三角形的三个内角之和等于180度，即证明了帕斯卡定理。
b.使用半平面有序定理：这种方法也可用来证明帕斯卡定理，通过连接三角形的三个顶点，并将它的任意一边定义为圆心，可形成一个圆，在此圆上可画出三个半弧。
经过定义，可知，当三个半弧构成完整圆时，它们之和必等于360°，注意只有两端，即ABC三角形的三个内角之和等于180°，从而证明了帕斯卡定理。
3 应用1. 应用在求向量和通过应用帕斯卡定理，可以求出三维空间下两个向量组成的三角形的内角之和，用这个向量之和计算出两个向量的总和。
此外，还可以把帕斯卡定理应用在二维空间下的向量的情况，即可以求得另一个与两个给定矢量所构成的三角形的顶点构成的一个矢量的和。
“帕普斯—古尔丁”定理的证明及其在中学物理领域的应用
“帕普斯—古尔丁”定理的证明及其在中学物理领域的应用作者：王磊陈建文来源：《物理教学探讨》2019年第11期摘 ; 要：“帕普斯—古尔丁”定理早在古希腊时期就被几何学家发现了，该原理的思辨性容易被中学数学水平的学生理解，其证明方法可以用微积分所得，当把该原理应用于处理求刚体重心有关的物理问题时可以代替微积分方法，有效地简化物理问题的处理，尤其是在高中物理竞赛和大学物理课程中使用更为多见。
关键词：“帕普斯-古尔丁”定理;刚体重心;竞赛中图分类号：G633.7 文献标识码：A ; ;文章编号：1003-6148（2019）11-0058-31 ; ;“帕普斯—古尔丁”定理的介绍古希腊后期的几何学家帕普斯（Pappus，约公元300—350年前后），在其所著的《数学汇编》中记载了关于旋转体体积的一个定理，大意为：“封闭的平面图形围绕同一平面内且不与之相交的轴回转，所产生的体积等于这图形面积乘以图形重心所描画出的圆周的长”。
他还进一步断言：“可以将封闭平面图形改成一段平面曲线，它回转所产生的曲面面积等于曲线的长乘以其重心所画过的圆周的长。
”帕普斯只叙述而没有证明。
文艺复兴后期，瑞士数学家古尔丁（图1）重新独立发现了这一定理，记录在他的著作《关于重心》中。
实际上，他也没有证明，只是作了“形而上学”的推理。
因此，后人常称之为“帕普斯—古尔丁”定理[1]。
意大利数学家卡瓦列里（图2）指出这一缺陷后，用自己创立的微积分奠基理论“不可分量原理”证明了该定理的成立。
2 ; ;“帕普斯—古尔丁”定理的微积分证明[1]任意的平面封闭几何形状（图3），其面积为S，该几何图形的重心为C，在该几何图形平面内任取一与该几何图形无相割的直线x为转轴，重心C与x轴的垂直距离为yC，使该几何图形绕x轴旋转α角（α≤2π）形成一个立体几何体。
根据“帕普斯—古尔丁”定理，该几何体的体积为：以直线x为x轴建立三维直角坐标系。
将该图形置于三维坐标系中的xy平面内研究（图4），把该图形分成上下两部分，上下两边界的曲线分别看成y关于x的函数y1=f1（x），y2=f2（x）。
帕斯卡定理的对偶定理(3篇)
第1篇一、帕斯卡定理及其背景帕斯卡定理是组合数学中的一个基本定理，它描述了二项式系数的性质。
具体来说，对于任意的非负整数n和k，有：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)其中，C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，也称为二项式系数。
帕斯卡定理的证明有多种方法，其中一种常用的是数学归纳法。
假设当n=1时，帕斯卡定理成立，即C(1, k) = C(0, k-1)，显然成立。
接下来，假设当n=m时，帕斯卡定理成立，即C(m, k) = C(m-1, k-1) + C(m-1, k)。
现在考虑n=m+1的情况，我们有：C(m+1, k) = C(m, k-1) + C(m, k)根据归纳假设，上式可转化为：C(m+1, k) = [C(m-1, k-2) + C(m-1, k-1)] + [C(m-1, k-1) + C(m-1, k)]合并同类项，得：C(m+1, k) = C(m-1, k-2) + 2C(m-1, k-1) + C(m-1, k)这正是C(m+1, k) = C(m, k-1) + C(m, k)的形式，说明帕斯卡定理在n=m+1时也成立。
由数学归纳法，帕斯卡定理对所有的非负整数n和k都成立。
二、帕斯卡定理的对偶定理帕斯卡定理的对偶定理是关于组合数之间的一种对偶关系。
具体来说，对于任意的非负整数n和k，有：C(n, k) = C(n, n-k)这个对偶定理揭示了组合数之间的对称性。
证明如下：由组合数的定义，C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
而C(n, n-k)表示从n个不同元素中取出n-k个元素的组合数。
由于从n个元素中取出的元素个数总和为n，因此取出k个元素的同时，必然取出了n-k个元素。
因此，C(n, k)和C(n, n-k)表示的是相同的情况，即从n个元素中取出k个元素，剩下的n-k个元素也被取出。
因此，C(n, k) = C(n, n-k)。
椭圆帕斯卡定理
帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形其三对边的交点共线，与布列安桑定理对偶，是帕普斯定理的推广。
定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal)所发现，被称为帕斯卡定理，是射影几何中的一个重要定理。
设ABCDEF是圆锥曲线刃的内接六边形，对边AB和DE交于X，对边BC和EF交于
y，对边CD和AF交于z，则x、y、z在一条直线上。
第二步:过圆0的圆心作圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，以S为顶点，圆D为底面作圆锥。
注意到SXY确定一个平面，用与平面SXY平行的平面截圆锥，则构造成功一个以S为透射中心的中心射影，这个中心射影将圆0变为椭圆多，将直线XY变为无穷远直线。
于是，命题转化为:设ABCDEF是椭圆的内接六边形，对边AB平行DE，对边BC
平行EF，则CD平行AF。
射影几何帕斯卡定理
射影几何帕斯卡定理
帕斯卡定理是射影几何中的一个重要定理，它指出圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）的三对边的交点共线。
这个定理与布里昂雄定理对偶，约于公元1639年由法国数学家布莱士·帕斯卡发现，被称为帕斯卡定理，是帕普斯定理的推广。
如果一个六边形内接于一条二次曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同一条直线上。
由于六边形的存在多种情况，帕斯卡定理的图形也存在多种，但它们均为帕斯卡定理，证明它们的方法也是相同的。
数学竞赛帕普斯定理
帕普斯定理考虑一个智力测验问题：有9棵树，要栽成9行，使得每行恰好有3棵树，怎样栽法？在图1中，可以找到上述“九树九行”问题的解法。
图中有9个点A、B、C、D、E、F、X、Y、Z。
容易看出，它们分布在9条直线上，每条直线上恰好包含其中的3个点。
图1中的直线，有些画成粗实线，有些画成细实线，还有一条画成虚线，这是什么原因呢？原来，图l的本意不是为了口答智力测验问题，而是为了介绍帕普斯定理。
帕普斯定理可以叙述成下面的形式：如图1，设六边形ABCDEF的顶点交替分布在两条直线a和b上，那么它的三双对边所在直线的交点X、Y、Z在一直线上。
从图中可以看到，三点A、C、E在直线a上，三点B、D、F在直线b上。
顺次连结线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到一条封闭折线ABCDEF，封闭折线就是一般意义下的多边形。
看六边形的名称ABCDEF，就能知道它的哪两条边是对边。
例如，在六边形名称ABCDEF 中，字母B和C相邻，说明BC是它的一条边；从B往后隔两个字母是E，C往后隔两个字母是F，EF就是BC的对边。
利用“六边形”和“对边”这两个简单术语，就能概括图l中9个点和9条直线之间的复杂关系。
可见帕普斯定理是一个非常有用的定理。
如何来证明它？答案帕普斯定理答案帕普斯定理可以利用梅涅劳斯定理来证明。
如图2，考虑由三条直线BC、DE和FA围成的三角形MNP（其中P是直线BC与DE的交点，N是DE与FA的交点，M是FA与BC的交点）。
从截线AXB得；从截线CZD得；从截线EYF得；从截线AEC得；从截线DBF得。
在以上五式中，将前三式相乘，然后将后两式代入，约简得。
从最后得到的等式，利用梅涅劳斯定理的逆定理，知道三点X、Y、Z在一直线上。
帕普斯(Pappus，约公元前300年左右)是古希腊的数学家。
帕普斯定理中，三双对边交点X、Y、Z所在的直线，叫做帕普斯线。
叭普斯定理
叭普斯定理哎呀，说起这叭普斯定理，我一开始接触的时候那叫一个晕头转向。
我当时正坐在教室里，眼睛瞪着黑板上那关于叭普斯定理的公式和图形，心里直犯嘀咕：“这都是啥跟啥呀？”我就赶忙拉着旁边学霸同桌的胳膊，着急地说：“同桌啊，你快给我讲讲这叭普斯定理到底咋回事嘛。
我这脑袋里就像一团乱麻，怎么理都理不清。
”同桌笑着看了我一眼，然后耐心地解释道：“你看啊，叭普斯定理主要是说在某个特定的几何情境里，一些线段或者图形之间存在着一种奇妙的比例关系。
就好比一群小伙伴排队，他们之间的间隔有着固定的规律。
比如说在一个三角形中，如果有几条特殊的线，像中线或者角平分线之类的，按照叭普斯定理，它们分割出来的线段长度之比是有确定数值的。
”我似懂非懂地点点头，又接着问：“那这定理在实际做题中有啥用呢？”同桌指了指练习册上的一道几何题说：“用处可大了去了。
你看这道题，要求某个线段的长度，直接求很难，但是如果我们运用叭普斯定理，找到对应的三角形和那些特殊线，就能通过已知的线段长度轻松算出未知的。
我之前考试的时候就碰到一道类似的题，一开始我也懵了，后来突然想到叭普斯定理，三下五除二就把答案算出来了，那感觉就像找到了一把打开宝藏大门的钥匙。
”我听了，羡慕地说：“哇，你可真厉害。
那这定理有没有啥容易出错的地方呢？”同桌皱了皱眉头说：“当然有啦。
很多人在找对应的三角形和特殊线的时候就容易搞错。
就像你在一个大迷宫里找出口，一旦找错了路，就会越走越远。
我见过有的同学，没仔细分析题目，胡乱套用叭普斯定理，结果得出的答案完全不对。
还有就是在计算比例的时候，一不小心就会算错数值，这就像你数钱数错了一样，差之毫厘谬以千里。
”我挠挠头说：“原来是这样啊。
那有没有啥好办法能避免出错呢？”同桌眼睛一亮说：“多画图呀！把题目中的图形仔仔细细地画出来，把那些特殊线都标清楚，这样就不容易混淆了。
而且做完题之后，要再检查一遍，看看自己找的三角形和运用的定理是不是正确。
帕斯卡定理及其应用
帕斯卡定理及其应用帕斯卡定理（Pythagorean Theorem），又称勾股定理，它是古希腊几何学家帕斯卡于公元前六世纪提出的一个定理，是数学史上最经典的证明定理之一，它的历史悠久，内容概括地的解释起始于古希腊，甚至在古埃及。
其实就是一个三角形中，对于直角边和斜边的关系：当且仅当一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，该三角形即满足帕斯卡定理。
用数学语言来表述就是：在一个Right triangle(直角三角形)中，直角边的平方之和等于斜边的平方，即：a2+b2=c2。
帕斯卡定理，得益于其神奇的力量，被许多人应用到实际生活中。
它在工程建筑中的使用方便，只需拿出尺子，测量测量的就可以得出最终的乘积结果。
此外，它还可以应用在计算游泳池的容积、测量桥梁的拱度等，既能满足实际需要，又能简化数学化的复杂计算。
随着互联网的发展壮大，帕斯卡定理也及其经典的应用应运而生，用在科学研究中和生活中都显得无比重要。
在科学研究领域，帕斯卡定理被广泛运用，如地球及其表面的坐标系统就是基于该定理的理论基础上指定的，它也被应用于物理力学、电磁学及流体力学等领域，发挥了更大的作用。
此外，帕斯卡定理在教育领域也是学习者不可或缺的存在。
在对三角形的研究中，它提供了一种新的角度和思路，可以帮助教育者阐明课堂概念的内涵，进而提高学习者的数学思维能力，让他们在平缓曲线上攀登到数学高峰。
近些年，随着计算机科学与技术的高速发展，帕斯卡定理也逐渐发挥了更为重要的作用，将它与计算机技术结合起来，其应用也渗透到教学研究领域，用更具吸引力的形式来呈现数学知识，让学生在学习讲授的同时，也能增强计算机能力，让他们的思维能力更加灵活、综合能力更加提高，从而为他们的未来打下坚实的科学基础，。
帕普斯定理中线公式
帕普斯定理中线公式帕普斯定理中线公式帕普斯定理是数学中的一个重要定理，该定理指出在一个三角形中，如果从一个顶点向对边的中线引垂线，垂足将会在中线上。
线段比例公式帕普斯定理中的线段比例公式是指在一个三角形中，从一个顶点到对边上某点的线段与对边两侧线段的比相等。
具体公式如下：A点到BC边线段与BC边两侧线段的比为：AB AC = AD BDB点到AC边线段与AC边两侧线段的比为：BC AB = BE AEC点到AB边线段与AB边两侧线段的比为：CA BC = CF BF其中，A、B、C分别为三角形的顶点，AD、BE、CF分别为对边上的中线，AB、BC、CA为三角形的边长。
实例解释以一个等边三角形为例，边长均为5，如下所示：A/ \/ \C-----B根据帕普斯定理，从顶点A到BC边上的中线AD，AD与BC边的焦点为D，根据线段比例公式可得：AB AC = AD BD5 5= AD BD根据等边三角形的性质，AC与BC的长度均为5，所以BD的长度为，由此可得AD的长度也为。
因此，D点恰好位于BC边的中点，证明了帕普斯定理中线公式在此等边三角形中的成立。
同理，根据帕普斯定理和线段比例公式，我们可以在其他类型的三角形中证明该定理的成立。
总结帕普斯定理中线公式是数学中的一个重要定理，揭示了三角形中顶点到对边中线的线段比例关系。
通过该定理可以解决一些与三角形相关的问题，也有助于提高对三角形性质的理解和应用。
外接圆半径公式帕普斯定理中的外接圆半径公式是指在一个三角形中，三个顶点到三条边的垂直距离与外接圆半径的乘积相等。
具体公式如下：顶点A到BC边的垂直距离与外接圆半径R的乘积为：AD⋅R=a 2顶点B到AC边的垂直距离与外接圆半径R的乘积为：BE⋅R=b 2顶点C到AB边的垂直距离与外接圆半径R的乘积为：CF⋅R=c 2其中，a、b、c分别为三角形的边长，AD、BE、CF分别为顶点到对边的垂直距离。
实例解释以一个直角三角形为例，两直角边分别为3和4，斜边为5，如下所示：A/|/ |C--B根据帕普斯定理，顶点A到BC边上的垂直距离为AD，并且AD与外接圆半径R的乘积等于BC边长的一半，即：AD⋅R=3 2由于直角三角形的性质，顶点A到BC边的垂直距离AD等于斜边AB的长度，所以该式可以改写为：AB⋅R=3 2根据直角三角形的勾股定理，AB的长度为5，代入上式可得：5⋅R=3 2解得外接圆半径R为。
帕普斯的几何命题与三角公式
帕普斯的几何命题与三角公式上海华东师范大学数学系汪晓勤众所周知,古希腊几何学自公元1世纪初开始走向衰微,在此后近3个世纪漫长的时间里,并没有出现过做出重要贡献的大几何学家.直到3世纪末,在亚历山大出现了一位精通几何学,并致力于复兴古代几何学的学者,他就是帕普斯(Pappus).帕普斯是古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家,他的代表作是《数学汇编》.《数学汇编》是一部"关于希腊几何学的手册或指南"[,它不仅为我们保留了许多重要的希腊数学史料(如倍立方问题的解法,阿基米德半正多面体等等),而且电包含了许多帕普斯自己的命题.帕普斯对蜜蜂"智慧"的赞美,对勾股定理的推广,三等分角的圆锥曲线解法,鞋匠刀形内切圆问题,轨迹问题,圆锥曲线的统一定义,关于旋转体的体积和表面积的形心定理(今称"古尔丁定理")等等在今天都已广为人知(具体可参阅一些数学史专着的介绍,如文[1]～文[5]).《数学汇编》第3卷第2部分所给出的算术中项,几何中项和调和中项的作图法今天已经成了中学数学教师所熟悉的证明均值不等式的方法(如图l,由0.LJDE≤cD≤()D,得≤v/"Ds~—TO).实际上,我们还可以从《数学汇编》中获取更多有用的教学材料.该书第5卷第4部分是对阿基米德《论球与圆柱》的"评注,其中,帕普斯给出了下面两个命题:图1命题1如图2,设H是以AB为直径的半圆上的一点,CE是半圆在点H处的切线,CH—HE.CD和EF为AB的垂线,D,F为垂足.则(CD+EF)CE—AB?DF.命题2如图3,设C,E是以AB为直径的半圆上的两点,CD和EF为AB的垂线,D,F为垂足,CEK弧为半圆.则(CDA十EF?CE—EK?DF在图2中,过H作AB的DOGB2垂线,垂足为G;过E作CD的垂线,垂足为.易知Rt/kOGH-~Rt△CIE相似.于是一—D—F,或即GH.CEOHGHGH'IJ,i=OH?DF.但GH—1(EF+CD),OH=]AB,故得命题1的结论.在图3中,作()H—LCE于H.作垂线HG,El,由Rt△OC;H与Rt△CIE的相似性,即可证得命题2. 命题1和命题2为我们提供_『许多三角公式的几何模型.设HOB一口,COH===EOH一口,OC—OE=1,则C(JD一一(Ol+),.~EOF—Ol—ft.于是有OH—COS卢,HG—sinaCOS卢,CB—COSaCOS, HE=sin卢,SJ===CL—COSasin卢,JE=sinasinft.因CD—LD+CL=:=HG+HJ,EF—HG—HJ,0F一(+E,D===DG一(X;--JE一(I)G,故sin(口十卢)一sinaCOSfl+COSasin卢,①sin(口～卢)一sinaCOS—COSasin卢,②COS(口十)=::COSffCOS一sinasin,③COS(口～)一COSaCOS十sinasinft.④又因HG一寺(CD+EF),H.,一-6-(CD—EF),JE寺(OF+OD),OG寺(OF…OD),故sinaCOS卢一.÷[sin(口+)+sin(口)],⑤COSasin一吉[sin(口十)—sin(a-f1)],⑥sinasln卢一寺[cos(口...)cos(口+)],⑦COSaCOS卢一-~[cos(a一卢)+cos(a十卢)].(着所设的角不变,而OG===1,因HCI—口,故得HG—tan口,OH—sec口,CH—S[tCatan,CI.一CHcos口_'tanft.LH—fanatanft.于是在Rt/xxCOD中tanZCOD--面CD一HG=+丽CL(口+<号)或(号<a十凼此我们雨'tan(a一.如图4和图5,若设/COD口,EOF—,0(2一OE一1,N~COE=丌～(口+),,~OHG一cEJ一,~OEHA=.于是有OH===i,HG—sincos4.,(一sini,HE=cos,HJ=cossin,JE=c.s.图4⑨图5凼(十E—ZH,L—E一【』一ZJ,011+OF=DF=2JE,OD--OF=一20G,故an8__2c.s2,⑩sina—sin8=2c.s出2in删2,⑩cosa+cos8=2㈣出2㈣,⑩c一c.s卢一2sin2.⑩义梯形ECDF,ACOD,AEOF,ACOE的面积分别为s梯形肼.F=I(EF+CD)?DF=-1(sin口十sin卢)(cos口+COS),SAC~)V=lop?cD一丢sina?c.sa,s△一吉oF?FF=一sin卢?c.s卢,s圳丢oc?OEn(a+卢)==丢(a邯1).而梯形ECDF的面积等于△COD,ACOE,AEOF的面积之和,因此sin口+1sin8e.s卢+1si4COSn(+卢)m.十mo十"十=1(sin口+sin卢)?(c.sa+cos卢),即sin口COSa+sinZcos+sin(4+)一(sin4+sin)?(cos12-~-COS).⑩由此即得和角正弦公式①.等式⑩对应着图6中的菱形面积与图7中的两个矩形面积相等,此即和角公式的面积交换推导法,它类似于勾股定理的证明.sinflc0cOSa岛c(=l(Y oga图7另一方面,在△COE和ACIE中,由余弦定理和勾股定理分别可得(E=C,0+JE0一(sin4一sin).+(COS4+COS)0,CE.一CJ+JE.一0(2+OE+20C?0ECOS(口+口)一2+2cos(口+).故得公式③.我们知道,几何定理是三角公式的源泉,几何方法是教学设计所不可或缺的方法;帕普斯的几何命题有着如此丰富的三角学内涵,完全可以用于和角,差角,积化和差,和差化积等公式的教学.区区一个几何模型能简洁,直观地解决众多的三角公式,而这个模型竟出自一位公元4世纪初数学家的手笔,这使我们充分领略到数学史的魅力,数学史的价值.因此, HPM也为数学史研究提供了新视角.探求数学教材中某个概念,公式,定理,方法或某个专题的来源或历史发展过程,从数学史料中寻找教学素材,从历史发展中获得教学启示,数学史因而不再是"无用的学问",而是能够为数学教学提供丰富养料的"宝藏".这种教育取向的数学史研究是HPM各项研究的基础, 正如文[6]所指出的那样,它将是未来HPM研究的方向之一.参考文献1Heath.T.L.AHistoryofMathematics.London:Oxford UniversityPress,19212BoyerC.B.AHistoryofMathematics.NewY ork:John Wiley&Sons.19683Kline,M.MathematicalThougthfromAncienttoModern Times.NewY ork:OxfordUniversityPress,19724Eves.H.AnintroductiontotheHistoryofMathematics. Philadelphia:SaundersCollegePublishing,19835Fauvel,J.&JGrayJ,TheHistoryofMathematics:A Reader.Hampshire:MacmillanEducation,19876张小明,汪晓勤.HPM的实践与若干启示[J].中学数学教学参考(高中版).2006.1～2。
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关于帕普斯定理的猜想 续篇
帕普斯(Pappus)定理:直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，
AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。,这里解释一下,L1,L2或相交或平行,
先回顾上篇的内容：
下面应用几何画板作出的动图影射的是平面上的两条平行直线。
图一 图二
图三
显然PQR三点不共线，但我们不灰心，继续看下面的动图、，代表平面上两条相交直线
图一 图二
图三 图四
图五 图六
图七 图八
图九
除了第6幅图有异常，我们暂且归谬于误差吧。。。
图一 图二
上面左图Ｒ点在圆右边，右图R点在圆左边，不计误差的话，ＰＱＲ 三点仍然共线
相同的定理，为什么相交线可以,平行线反倒不适应？
那好,我们接下来继续,换个角度思考，把两条平行线看作是两个相离的圆,帕普斯定理是成立的,且
看下面画板图示:
既然是两条平行线的直观影射,那他们的远点又跑到哪里去了?!
下面看看----先生的博客上的一篇文章节选,看看能不能找到一点线索:
时隔一千多年后， 法国数学家和物理学家帕斯卡（Pascal）把帕普斯定理推广到了圆进而又推广
到了一般的圆锥曲线中， 这就是著名的帕斯卡定理（射影几何中的另一个经典定理）：
因为两条直线可以看作是双曲线的极限情形（两条相交直线可以看作实轴和虚轴趋向无穷小的双曲
线的极限， 两条平行直线可以看作实轴固定,而虚轴趋向无穷大的双曲线的极限）， 所以帕普斯
定理可以看作帕斯卡定理的退化情形。
用传统的平面几何方法虽然可以证明帕普斯定理（通过反复多次运用梅涅劳斯定理或者用面积法），
但需要高度的技巧和很好的运气（碰巧能凑出所需要的那个梅涅劳斯逆定理的条件来）， 这样的
证明诚然是很漂亮的， 但总给人以一种“凑巧”、“玄奇”和“险峻”的感觉， 且在除了证明本
身之外， 我们并没有任何额外的收获， 和对该定理更深刻的认识， 你会认为它仅仅是一个巧合，
只是碰巧如此， 而不是必然如此。
【注 1】
请读者思考一下当这些直线中有一对或两对互相平行时会出现什么情况（我们后面将把它作为帕普
斯定理的特殊情形单独讨论）。
【注 2】
即便知道梅涅劳斯定理， 具体该怎么用却也是一片茫然， 因为三角形和截线实在太多， 犹如一
堆乱麻， 理不出一个头绪来。
【注 3】
帕普斯虽然发现了这个定理， 但遗憾的是， 他显然并没有意识到它背后隐藏的普遍原理——即射
影几何的原理， 否则， 射影几何就会提前一千多
年被发现。
2. 证明的基本思路
我们将用数学中一个普遍有效的思想方法证明帕普斯定理（菲尔兹奖得主 Timothy Gowers 在论如
何自主地发现三次方程的解法（How to Discover for Yourself the Solution of the Cubic）中
讲到了同样的思想方法）：
一、首先“退一步”， 先对一种非常特殊的最最简单的情形证明帕普斯定理成立。
二、 第二步是“化一般为特殊”， 设法把一般情形归化为上面这个已经解决的特殊情形， 具体
的办法是考虑某种变换， 只要该变换是保线性的（即把直线变为直线）， 我们就“大功告成”了。
（请读者思考什么样的变换能达成此目的？）
好吧,上面的介绍的只是圆以及圆锥曲线,仅仅把两条或平行或相交的直线看作是一条曲线,不存在两
条直线对应两条曲线的情形.【双曲线看作是一条函数曲线的话】只能继续探索了。。。。
我在这里写这些文字只是个人的初步看法，不涉及各种利益问题，当然，如果你有更好的看法，并
且愿意告诉我的话，我将非常感谢你。作者邮箱2714085031@qq.com