1.3 反证法 课件(北师大选修2-2)

4．用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b 与已知直线a平行． 证明：假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行， 即b∩b′＝A，b′∥a. 因为b∥a，由平行公理知b′∥b. 这与假设b∩b′＝A矛盾，所以过直线外一点只有一条 直线与已知直线平行.
[例 3]
π 已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x －2y＋ ，b＝y2 2
在证明数学命题时，先假定 命题结论的反面 成立，
在这个前提下，若推出的结果与 定义 、 公理 、 定理 相
矛盾，或与命题中的 已知条件 相矛盾，或与 假定 相矛 盾，从而断定 命题的反面 不可能成立，由此断定 命题
的结论 成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的证题步骤 (1)作出 否定结论 的假设； (2)进行推理， 导出矛盾 ； (3) 否定假设 ，肯定结论．
6．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数， 则方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根． 证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根， 不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f(α)＝f(β)＝0.
因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，
所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾． 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 所以 a＋b＋c>0.这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a，b，c 中 至少有一个大于 0.
[一点通]
(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能” 等字样时，常用反证法． (2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表： 原结论词 至少有一个 一个也没有 (不存在) 至多有 一个 至少有 两个 至少有 至多有n个 至少有n＋1个
1 1 x0x0≠－2，则 f－2＝f(x0)＝0.
即
1 2×－2＋1＝2x0＋1.
1 1 ∴x0＝－ ，这与 x0≠－ 矛盾． 2 2 1 故假设不成立，即函数 f(x)＝2x＋1 除－ 外没有零点． 2 综上所述，函数 f(x)＝2x＋1 有且只有一个零点．
2
π π 2 －2z＋ ，c＝z －2x＋ .求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 3 6
[精解详析] c≤0.
假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，
所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
π 2 π 2 π 2 ＝x －2y＋ 2 ＋y －2z＋3 ＋z －2x＋6
[例2] 求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点． [思路点拨] 一般先证存在性，再用反证法证唯一性．
[精解详析]
1 1 (1)存在性： 因为 2×(－ )＋1＝0， 所以－ 为 2 2
函数 f(x)＝2x＋1 的零点． 所以函数 f(x)＝2x＋1 至少存在一个零点． 1 (2)唯一性：假设函数 f(x)＝2x＋1 除－ 外还有零点 2
[思路点拨]
此题为否定形式的命题，可选用反证
法，证题关键是利用等差中项、等比中项．
[精解详析]
假设 a， b， c成等差数列，
则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，∴a＋c＋2 ac＝4 ac， ∴( a－ c)2＝0，即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
必须是明显的．
n个
至多有
反设词
n－1个
5．已知 x，y>0，且 x＋y>2. 1＋x 1＋y 求证： y ， x 中至少有一个小于 2. 1＋x 1＋y 证明：假设 y ， x 都不小于 2.
1＋x 1＋y 即 y ≥2， x ≥2. ∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2，这与已知 x＋y>2 矛盾． 1＋x 1＋y ∴ y ， x 中至少有一个小于 2.
3．过平面α上一点A，作直线a⊥α，求证：a是唯一的． 证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满 足b⊥α. ∵a，b是相交直线，∴a，b可以确定一个平面β. 设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c，又a∩b＝A，∴c⊥β.
这与c β矛盾．
故过点A垂直于平面α的直线有且只有一条，即a是唯 一的．
[一点通]
(1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形
式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所 以用反证法证明简单而又明了． (2)“有且只有”的含义有两层．①存在性：本题中只需 找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直 接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原 命题的正确性．
[一点通]
(1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明
的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑 采用反证法．一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没 有”等否定性词语时，宜采用反证法证明． (2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结
论更具体更容易研究和掌握的命题．
1．用反证法证明 2＋ 3>3.
1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达 到肯定命题结论的目的．
2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)
与假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；
(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
[例 1]
已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等
差数列，求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 2＋ 3>3不成立，则 2＋ 3≤3.
平方得：2＋2 6＋3≤9，即 6≤2,6≤4，这与实数的 大小关系相矛盾，所以 2＋ 3>3.
2．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明：假设a不是偶数，则a为奇数．
设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.
∵4(m2＋m)是偶数， ∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾． ∴a一定是偶数.
理解教材新知
第 一 章
§3
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中 的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的 命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的
人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了
什么？
提示：说的是“不拥有的人们不Hale Waihona Puke 福”．用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，
要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条 件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行 论证，就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有 的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b， c不可能都是奇数． 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能．
问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时，
还满足条件a2＋b2＝c2吗？ 提示：a，b，c都是奇数．此时不满足条件a2＋b2＝c2.
1．反证法的定义