时变电磁场4-1_7515_341_20100419102149
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第四章时变电磁场
时谐电磁场的概念
假如场源以一定的角频率随时间呈时谐〔正弦或余弦〕变化， 那么所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以 一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。
研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。播送、电视和通信
的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。
d1 212
2
S ( E 0 H 0 ) e n d S d tV ( 2H 0 2 E 0) d V VE 0d V
根据E 0 和 H 0 的边界条件，上式左端的被积函数为
( E 0 H 0 ) e n S ( e n E 0 ) H 0 S ( H 0 e n ) E 0 S 0
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描绘。不同位
函数之间的上述变换称为标准变换 原因：未规定 A的散度
位函数的标准条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 A的散度使位函数满足的方程得以简 化。
在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即
A
0
t
除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
第四章时变电磁场
引入位函数的意义 引入位函数来描绘时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
位函数的定义
B0
Ε B t
BA
(ΕA)0 t
E A
t
位函数的不确定性
满足下列变换关系的两组位函数（A、）和（A、）能描述同
一个电磁场问题。
A
A
t
为任意可微函数
A (A ) A
即
A t ( t) t(A ) A t
第七章 时变电磁场优秀课件
对于复能流密度矢量，应着重介绍其实部和虚部的 物理意义，以及电场和磁场之间的相位差对于复能流密 度矢量的影响
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义 的概念。
电荷守恒定律：
q
S J dS t
J
t
对于静态场，因 原理
q ，由此0 导出电流连续性
t t
S J dS 0
J0
对于时变电磁场，因 q0，; 不可0能根据电
“在简单的形式下隐藏着深奥ห้องสมุดไป่ตู้内容，这些内容只有仔 细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它 不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系 起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发 生联系。”
“假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方 程便可预测在空间稍微远一些，在时间上稍微迟一些所发 生的事件。”
如此广泛的应用说明了麦克斯韦和赫兹对于人 类文明和进步的伟大贡献。
3. 时变电磁场的边界条件
①在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，
即
E1t E2t
②
en
或写成矢量形式 en(E 2E 1)0
①
因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么 由电磁感应定律的积分形式
l EdlSB t dS
即可获得上面结果。
因此，时变电磁场是有旋有散场。
在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在
空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦
方程还应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系
的方程，即
J DE BH
t
式中 J代 表电流源或非电的外源。
1. 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义 的概念。
电荷守恒定律：
q
S J dS t
J
t
对于静态场，因 原理
q ，由此0 导出电流连续性
t t
S J dS 0
J0
对于时变电磁场，因 q0，; 不可0能根据电
“在简单的形式下隐藏着深奥ห้องสมุดไป่ตู้内容，这些内容只有仔 细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它 不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系 起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发 生联系。”
“假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方 程便可预测在空间稍微远一些，在时间上稍微迟一些所发 生的事件。”
如此广泛的应用说明了麦克斯韦和赫兹对于人 类文明和进步的伟大贡献。
3. 时变电磁场的边界条件
①在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，
即
E1t E2t
②
en
或写成矢量形式 en(E 2E 1)0
①
因为只要磁通密度的时间变化率是有限的，那么 由电磁感应定律的积分形式
l EdlSB t dS
即可获得上面结果。
因此，时变电磁场是有旋有散场。
在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在
空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦
方程还应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系
的方程，即
J DE BH
t
式中 J代 表电流源或非电的外源。
时变电磁场数学表达式
时变电磁场数学表达式
时变电磁场是指随时间变化的电磁场。
它是电磁学中的重要概念，广泛应用于无线通信、电磁波传播、电磁感应等领域。
本文将从数学表达式的角度出发，探讨时变电磁场的特点和相关理论。
时变电磁场的数学表达式可以用麦克斯韦方程组来描述。
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律。
这些方程描述了电场和磁场之间的相互作用，以及它们随时间和空间的变化规律。
时变电磁场的数学表达式可以通过求解麦克斯韦方程组得到。
在求解过程中，需要考虑电场和磁场的初始条件和边界条件，以及电荷和电流的分布情况。
通过适当的数学方法，可以得到电场和磁场随时间和空间的变化规律，从而得到时变电磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以是一个复杂的函数，包含时间和空间的变量。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的数学模型和方法来描述时变电磁场。
例如，可以使用傅里叶变换将时域的电磁场转换为频域的电磁场，从而简化问题的求解过程。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质。
通过数学模型和计算方法，可以预测电磁场的传播特性、辐射特性和相互作用特性。
这对于无线通信系统的设计、电磁波传播的研究以及电磁感应现象的分析都具有重要意义。
时变电磁场是电磁学中的重要概念，通过数学表达式可以描述电磁场随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的基本方程，通过求解这些方程可以得到电场和磁场的数学表达式。
时变电磁场的数学表达式可以用于分析和设计电磁场的行为和性质，对于相关领域的研究和应用具有重要意义。
时变电磁场与电磁波
2
j 2 H k H 0, H 0, E * H
2
k 2 2 *
四、无界空间电磁波的传播
4.1无界空间中电磁波解 4.2理想介质中的电磁波 4.3导电介质中的电磁波
4.1无界空间中电磁波解
1 直角坐标系中，矢量波动方程的简化
2
E H t 2 2 E E t 2 0, E 0 E H 2 t 2 H H 0, H 0 E 0 t 2 H 0
2
达朗贝尔方程，是关于势函数的波动方程。
4 达朗贝尔方程解－推迟势
t t0 1 dV t 4 V r J t t0 At V r dV 4
t0 r r , 1
推迟势或滞后位充分说明电磁波传播效应。
2
k 2 2
3 导电介质Helmhottz方程 J E , H j E j j j *
j 2 E k E 0, E 0, H E
三、无源区场的波动方程
1 无源区场方程 所谓无源区指没有电荷和电流分布的 区域，可以理解为源在无穷远处。 0, J 0
2 A A t 2 0 , A 0 t 2 2 0 2 t
2 理想介质Helmhottz方程 jt jt E r ,t E r e , H r ,t H r e
j 2 E k E 0, E 0, H H k H 0, H 0, E H
j 2 H k H 0, H 0, E * H
2
k 2 2 *
四、无界空间电磁波的传播
4.1无界空间中电磁波解 4.2理想介质中的电磁波 4.3导电介质中的电磁波
4.1无界空间中电磁波解
1 直角坐标系中，矢量波动方程的简化
2
E H t 2 2 E E t 2 0, E 0 E H 2 t 2 H H 0, H 0 E 0 t 2 H 0
2
达朗贝尔方程，是关于势函数的波动方程。
4 达朗贝尔方程解－推迟势
t t0 1 dV t 4 V r J t t0 At V r dV 4
t0 r r , 1
推迟势或滞后位充分说明电磁波传播效应。
2
k 2 2
3 导电介质Helmhottz方程 J E , H j E j j j *
j 2 E k E 0, E 0, H E
三、无源区场的波动方程
1 无源区场方程 所谓无源区指没有电荷和电流分布的 区域，可以理解为源在无穷远处。 0, J 0
2 A A t 2 0 , A 0 t 2 2 0 2 t
2 理想介质Helmhottz方程 jt jt E r ,t E r e , H r ,t H r e
j 2 E k E 0, E 0, H H k H 0, H 0, E H
第4章 时变电磁场
⇒ ∇× H =
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
B = ∇× A
E = −∇ϕ −
1 ∂E ∇×∇× A = J +ε µ ∂t ∂ ⎛ ∂A ⎞ −∇ ϕ − ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ∂t ⎠
= J +ε
将矢量恒等式
∇ × ∇ × A = ∇ (∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A
得 即
⎛ ∂ϕ ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A = µ J − µε ∇ ⎜ ⎝ ∂t
2
2
∂2 A ⎞ ⎟ − µε ∂t 2 ⎠
∂2 A ∂ϕ ⎞ ⎛ J A ∇ A − µε = − µ + ∇ ∇ ⋅ + µε ⎜ ⎟ ∂t 2 ∂t ⎠ ⎝
◇ 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 ◇ 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 ∂ϕ ◇ 令 （洛仑兹条件) ∇ ⋅ A = − µε ∂t 所以 同理
)=
−H ⋅
∂B ∂D − E ⋅J − E ⋅ ∂t ∂t
)
∂D ∂t ∂ (ε E ) = E ⋅ ∂t 1 ∂ = (ε E ⋅ E 2 ∂t ∂ ⎛1 2 ⎞ = ⎜ εE ⎟ ∂t ⎝ 2 ⎠
E ⋅
)
E ⋅ J = σ E2
于是得
H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H
)= −
∂ → jω ∂t
∂2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ −ω 2 2 ∂t
二、复数形式的麦氏方程 由麦氏第一方程 设为时谐场
∇× H = J + ∂D ∂t
i i ⎡ ⎛ i jωt ⎞⎤ ⎡ ⎡ jωt ⎤ ⇒ ∇× ⎢ Re ⎜ Hm e ⎟⎥ = Re ⎢ J m e ⎥ + Re ⎢ jω Dm e jωt ⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝
4 电磁场与电磁波--时变电磁场
A t
称为洛仑兹条件。
• 电磁场与电磁波 •
第四章 时变电磁场
三、达朗贝尔方程
B A A E t
A A J 2 t t
2
D H J t
个相互关联的方程变为两个独立方程：矢量位仅与电流密度有 关，已知电流分布，即可求出矢量位；标量位仅与电荷密度有 关，已知电荷分布，即可求出标量位。求出矢量位及标量位以 后，即可求出电场与磁场。
• 电磁场与电磁波 •
第四章 时变电磁场
这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求 解过程显然得到了简化。因为原来电磁场方程为两个结构复杂 的矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量
在任意闭曲面 S所包围的体积 V 上，对上式两端积分，并应用 散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式：
d 1 1 S ( E H ) dS dt V ( 2 E D 2 H B) dV V E J dV
通过曲面S 进入体积V 的电磁功率 单位时间内体 积V 中所增加 的电磁能量 单位时间内电场对体积V中的 电流所作的功（在导电媒质中， 即为体积V内总的损耗功率）
空间区域V中的电磁能量：
1 1 W w dV ( E D H B)dV V V 2 2
☆ 当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改
变，从而引起电磁能量流动。
• 电磁场与电磁波 •
第四章 时变电磁场
为了描述电磁能量的流动状况，引入了电磁能流密度矢量， 其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能 量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡 印廷矢量，用 表示。 S 电磁能量同其他能量一样也要服从能量守恒原理。而根据 麦克斯韦方程组推导出来的坡印廷定理定量地描述了电磁场能 量守恒关系。 下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理以及描 述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。
电动力学教程 第4章 时变电磁场
A 随时间变化为动态矢量位
A E t 0
也随时间变化称为动态标量位。
A E t
(6)
2. 达朗贝方程 将(5)和(6)式分别代入麦克斯韦方程组得 到A和满足的微分方程 ρ 2 A t ε
因此上式改写为：
1 1 E H H E E J E D H B t 2 t 2 利用矢量恒等式 E H H E H E E H
麦克斯韦方程的复数形式是分别对其实部和虚部进行的并不改变其实部和虚部的性质故在复数运算中对复数的微分和积分运算rererererererere其中l是实线性算子如等因此麦氏方程所有场变量都仅仅是空间的函数反映场的空间分布方程的解剩以时间因子e与含时的麦氏方程比较其复数形式实现了时空分离因此使方程的求解更简单
利用麦氏方程组可以导出Poynting矢量和Poynting定理 的表达式。
D H J t B E t D E H E J E t B H E H t
kE0 B ˆx H dt e cos(t kz ) 0 t 0 1
(2) S (t ) E(t ) H (t )
ˆy E0 cos(t kz ) e ˆx e
ˆz e
kE0 2
0
kE0
cos(t kz )
0
cos2 (t kz )
电荷分布场(标量场)中的电荷流（即电 流）及电荷流密度（即电流密度）
dq i , dt
《电磁场与电磁波》第四章 时变电磁场
E e ln(b a) ,
r H
r e
I
2π
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
[er
U
ln(b
a)] (er
I)
2π
r ez
UI
2π 2 ln(b
a)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
原因：未规定 A的散度。
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 的A散度使位函数满足的方程得以简
化。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
r
(H0) 0
r E0
r H0 t
r
( E0 ) 0
根据坡印廷定理，应有
S
(E0
H0
)
endS
d dt
V
(1
2
H0
2
1 2
E0
2
)dV
2
V
E0
dV
rr
根据 E0 和 H0的边界条件，上式左端的被积函数为
r (E0
(E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。 S
推证 由
H Ε
J
D
r H
r e
I
2π
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
[er
U
ln(b
a)] (er
I)
2π
r ez
UI
2π 2 ln(b
a)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
原因：未规定 A的散度。
位函数的规范条件
造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 A的散度。利用位 函数的不确定性，可通过规定 的A散度使位函数满足的方程得以简
化。
在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即
A
0
t
除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即
A 0
r
(H0) 0
r E0
r H0 t
r
( E0 ) 0
根据坡印廷定理，应有
S
(E0
H0
)
endS
d dt
V
(1
2
H0
2
1 2
E0
2
)dV
2
V
E0
dV
rr
根据 E0 和 H0的边界条件，上式左端的被积函数为
r (E0
(E H ) dS —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。 S
推证 由
H Ε
J
D
5、时变电磁场
21
第二十一页，共七十一页。
将B=A代入麦克斯韦第二(dìèr)方程
E ( A ) ( A )
t
t
即
(E A) 0
t
定义标量电位函数
E A
t
因此
E A
t
物理(wùlǐ)意义
电荷产生的 变化磁场产生
库仑场强
的感应场强
2022/1/7
第五章时变(shíbiàn)电磁场
(W)
流出闭合 面的电磁 功率（VA）
时变电磁场的电磁功率平衡方程——坡印亭定理
静态场
J 2 dV (E H ) dS
导电媒质中消耗的焦耳 功率是通过其表面S由外
V
S
部进入的电磁能流提供的。
2022/1/7
第五章时变(shíbiàn)电磁场
13
第十三页，共七十一页。
例5-2 已知自由空间中
对空间坐标z进行(jìnxíng)不定积分，可得
自由空间没 有传导电流
Hy
3 0105 sin(108 t
z) C 3
式中C为由边界条件确定的积分常数，在无限大空间(kōngjiān) 情况下可去C=0。故得
H
(
z
,t
)
3
0105
s
in(108
t
Z 3
)
e
y
10 4
120
sin(108
t
Z 3
)
)
e
x
]
010
5
cos
(10
8
t
z 3
)
e
x
ex ey ez ex ey ez由于 源自H 0 x y z0z
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
30
例4.5.4 已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量
为 E(z) ey E0e jkz ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度的复 矢量 H；（2）瞬时坡印廷矢量 S ；（3）平均坡印廷矢量 Sav。
解：（1）由 E j0H 得
H (z)
1
j0
E(z)
电介质
tan
，磁介质
tan
，导电媒质
tan
材料按其导电性能的分类
不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性 能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分类：
1—— 弱导电媒质和绝缘体 1 —— 一般导电媒质 1—— 良导体
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
简谐场量的复数表示形式 简谐电磁场的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 场复矢量的亥姆霍兹方程 简谐电磁场位函数的复矢量方程 平均能量密度和平均能流密度
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
18
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r , t )是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
t
H
0
Ε 0
同理可得
2E
2E
0
t 2
H
(
E )
t
( H )
2H
2H t 2
2H
2H t 2
0
问题：
在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？
真空无源区域中电磁场波动方程：
2E
1 c2
2E t 2
0
c 1
0 0
注意：该方程适用于真空中的一切电磁波，而不 只适用于“简谐波”，也不只适用于“平面波”。