【教育资料】湘教版高一下册数学《向量与实数相乘》练习题及答案学习精品
高中数学数乘向量同步练习
2.1.4 数乘向量 同步练习1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )的结果是( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b解析：选B.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b ) ＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a .2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B ．－6aC ．6aD ．－65a解析：选C.原方程变形为2x －3x ＋6a ＝0，∴x ＝6a .3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD→等于( ) A.BC →＋12BA → B ．－BC →＋12BA → C ．－BC →－12BA →D.BC →－12BA → 解析：选B.CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.4．O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2＝12BC →，2e 1＝12AB →，∴3e 2－2e 1＝12BC →－12AB →＝12(BC →－AB →)＝12BD →＝BO →.答案：BO→一、选择题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |＝|λ|a 解析：选C.A 错误，因为λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的；B 错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立，D 错误．等号左边结果表示一个数，而等号右边的结果表示一个向量，不可能相等．C 正确，因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同，故选C.2．若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( ) A ．－a B ．－b C ．－c D ．以上都不对 解析：选A.∵3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝(3a ＋6b )－(6b ＋2c )－(2a ＋2b )＝a －2b －2c ，又∵a ＝b ＋c ，∴3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝－a .3．设x 是未知向量，a 、b 是已知向量，且满足3(x ＋a )＋2(b －a )＋x －a －2b ＝0，则x 等于( )A ．0B ．a ＋bC ．3a －bD ．0解析：选D.(3＋1)x ＝－3a －2b ＋2a ＋a ＋2b ＝0， ∴x ＝0.4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0C.PB→＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0解析：选B.以BC→，BA →为邻边作▱ABCD ，对角线的交点为O ，如图，则BC→＋BA →＝BD →＝2BO →，又BC →＋BA →＝2BP →， 所以O ，P 重合，PC →＋P A →＝OC →＋OA →＝0. 5．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足(2x －2y )a ＋(2x －3y )b＝6a ＋3b ，则x ＋y 的值为( )A ．3B ．－3C ．9D ．2解析：选C.∵(2x －2y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＝62x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3. ∴x ＋y ＝6＋3＝9.6．O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：选A.如图，因为AB →|AB →|是向量AB →的单位向量，设AB →与AC →方向上的单位向量分别为e 1和e 2，又OP →－OA →＝AP →，则原式可化为AP→＝λ(e 1＋e 2)，由菱形的基本性质知AP 平分∠BAC ，那么在△ABC 中，AP 平分∠BAC .二、填空题7．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b －3x ＋c )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析：2x ＋32x ＝23a ＋12b －b ＋12c ，∴x ＝421a －17b ＋17c .答案：421a －17b ＋17c8．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状一定为________．解析：∵△ABC 满足|CB→|＝|AB →＋AC →|， ∴由矩形的对角线相等且互相平分可知： △ABC 的形状必定为直角三角形． 答案：直角三角形9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD的中点，若AC→＝a ，BD →＝b ，则AE →＝________.解析：如图，∵AE →＝12(AO →＋AD →)，且AO →＝12a ， AD →＝AO →＋OD →＝12a ＋12b ， ∴AE →＝12(12a ＋12a ＋12b )＝12a ＋14b . 答案：12a ＋14b 三、解答题10．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ；(3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 解：(1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0.(3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6－4＋4)a ＋(－6＋8)b ＋(6－4－2)c ＝6a ＋2b .11．如图所示，已知OA→＝3e 1，OB →＝3e 2，(1)如图(1)，C 、D 为AB 的三等分点，求OC→，OD →； (2)如图(2)，C 、D 、E 为AB 的四等分点，求OC→、OE →. 解：(1)AB →＝OB →－OA →＝3e 2－3e 1， ∴AC→＝e 2－e 1＝CD →.∴OC →＝OA →＋AC →＝3e 1＋e 2－e 1＝2e 1＋e 2； OD →＝OC →＋CD →＝2e 1＋e 2＋(e 2－e 1)＝e 1＋2e 2. (2)AB →＝3e 2－3e 1，AC →＝34e 2－34e 1，OC →＝OA →＋AC →＝3e 1＋34e 2－34e 1＝94e 1＋34e 2，此时，AE →＝34AB →＝34(3e 2－3e 1)＝94e 2－94e 1，OE →＝OA →＋AE →＝3e 1＋94e 2－94e 1＝34e 1＋94e 2. 12．已知e 、f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB→＝e ＋2f ，BC→＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f . (1)将AD→用e 、f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．解：(1)根据向量求和的多边形法则， 有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD→＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝－2BC →， 即AD→＝2BC →. 所以根据数乘向量的定义，AD →与BC →同方向，且AD→的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形．。
高中数学新湘教版选修2-1 空间中向量的概念和运算
3．1空间中向量的概念和运算第一课时 空间中向量的概念和线性运算[读教材·填要点]1．向量的概念既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→.3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律)(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘(1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．(2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律)[小问题·大思维]1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→. [自主解答]如图，(1)∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→ ＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→，∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→. 又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.本例中，若P Q ―→＝x BA ―→＋y BC ―→＋z BP ―→，则x ，y ，z 为何值？解：∵P Q ―→＝PB ―→＋BC ―→＋C Q ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12CD ―→＝－BP ―→＋BC ―→＋12BA ―→＝12BA ―→＋BC ―→－BP ―→，∴x ＝12，y ＝1，z ＝－1.利用多边形法则是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．1.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB ―→＋BA 1―→； (2) AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→；(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→. 解：(1)CB ―→＋BA 1―→＝CA 1―→.(2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM ―→＝12BB 1―→.又AA 1―→＝BB 1―→，所以AC ―→＋CB ―→＋12AA 1―→＝AB ―→＋BM ―→＝AM ―→.(3)AA 1―→－AC ―→－CB ―→＝CA 1―→－CB ―→＝BA 1―→. 向量CA 1―→，AM ―→，BA 1―→如图所示．空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别在边CB ，CD 上，且CF ―→＝23CB ―→， CG ―→＝23CD ―→.判断EH ―→与FG ―→是否共线？若共线，并判断四边形EFGH 的形状．[自主解答] 根据题意，∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→， BD ―→＝AD ―→－AB ―→， 又∵AH ―→＝12AD ―→，∴AE ―→＝12AB ―→.∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝23CD ―→，CF ―→＝23CB ―→，∴FG ―→＝23(CD ―→－CB ―→)＝23BD ―→.②由①②得，EH ―→＝34FG ―→.∴EH ―→与FG ―→共线．∴EH ∥FG ―→，且|EH ―→|≠|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |≠|FG |. ∴四边形EFGH 为梯形．判断空间图形中两个向量共线的步骤为： (1)作出空间图形；(2)结合空间图形，充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a 与b ； (3)化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线．本例中，如果F ，G 分别是边CB ，CD 的中点，你能判断出EFGH 是什么四边形吗？ 解：若F ，G 分别是边BC ，CD 的中点， ∵EH ―→＝AH ―→－AE ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→， AH ―→＝12AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，∴EH ―→＝12BD ―→.①∵FG ―→＝CG ―→－CF ―→，BD ―→＝CD ―→－CB ―→， 又∵CG ―→＝12CD ―→，CF ―→＝12CB ―→，∴FG ―→＝12(CD ―→－CB ―→)＝12BD ―→.②由①②，得EH ―→＝FG ―→， ∴EH ―→∥FG ―→且|EH ―→|＝|FG ―→|. 又∵点F 不在直线EH 上， ∴EH ∥FG 且|EH |＝|FG |. ∴四边形EFGH 是平行四边形．2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且 A 1E ―→＝2ED 1―→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F ―→＝23FC ―→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c . ∵A 1E ―→＝2ED 1―→，A 1F ―→＝23FC ―→，∴A 1E ―→＝23A 1D 1―→，A 1F ―→＝25A 1C ―→.∴A 1E ―→＝23AD ―→＝23b ，A 1F ―→＝25(AC ―→－AA 1―→)＝25(AB ―→＋AD ―→－AA 1―→) ＝25a ＋25b －25c . ∴EF ―→＝A 1F ―→－A 1E ―→ ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB ―→＝EA 1―→＋A 1A ―→＋AB ―→＝－23b －c ＋a＝a －23b －c ，∴EF ―→＝25EB ―→.所以E ，F ，B 三点共线．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM ―→＝13OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→.(1)判断MA ―→， MB ―→， MC ―→三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[自主解答] (1)∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝3OM ―→，∴OA ―→－OM ―→＝(OM ―→－OB ―→)＋(OM ―→－OC ―→)＝BM ―→＋CM ―→. ∴MA ―→＝BM ―→＋CM ―→＝－MB ―→－MC ―→. ∴向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面．(2)由(1)向量MA ―→，MB ―→，MC ―→共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线， ∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．利用向量法解决向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．向量共面的充要条件的实质是：共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．3．已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH . 证明：如图，连接EG ，BG .(1)因为EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12BD ―→，所以EH ∥BD .又EH⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知斜三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点M ，N 分别在面对角线AC ′，棱BC 上，且AM ＝kAC ′，BN ＝kBC (0<k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB ′A ′.[巧思] 要证明MN ∥平面ABB ′A ′，只要证明向量MN ―→可以用平面ABB ′A ′内的两个不共线的向量线性表示即可，但要注意指明MN 不在平面ABB ′A ′内．[妙解] 因为M 在AC ′上，且AM ＝kAC ′， 所以AM ―→＝kAC ′―→＝k AC ―→＋kAA ′―→，又AN ―→＝AB ―→＋BN ―→＝AB ―→＋k BC ―→＝AB ―→＋k (AC ―→－AB ―→)＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→， 所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝(1－k )AB ―→＋k AC ―→－k AC ―→－kAA ′―→＝(1－k )AB ―→－kAA ′―→. 因为AB ―→与AA ′―→不共线，由共面向量定理，可知MN ―→，AB ―→，AA ′―→共面． 因为0<k ≤1，所以MN ⊄平面ABB ′A ′， 所以MN ∥平面ABB ′A ′.1．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO ―→＋OB ―→＝DO ―→＋OC ―→， ∴AB ―→＝DC ―→.∴AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A2．已知向量AB ―→，AC ―→，BC ―→满足|AB ―→|＝|AC ―→|＋|BC ―→|，则( ) A ．AB ―→＝AC ―→＋BC ―→ B ．AB ―→＝－AC ―→－BC ―→ C ．AC ―→与BC ―→同向D ．AC ―→与CB ―→同向 解析：由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确． 答案：D3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式： ①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→；②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→；④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→中，运算结果为向量AC 1―→的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①(AB ―→＋BC ―→)＋CC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→＝AC 1―→； ②(AA 1―→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1―→＋D 1C 1―→＝AC 1―→； ③(AB ―→＋BB 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→； ④(AA 1―→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1―→＋B 1C 1―→＝AC 1―→. 答案：D4．对于空间中任意四点A ，B ，C ，D 都有DA ―→＋CD ―→－CB ―→等于________． 解析：由向量加(减)法的三角形法则可知DA ―→＋CD ―→－CB ―→＝DA ―→＋BD ―→＝BA ―→. 答案：BA ―→5．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB ―→－CB ―→＝AC ―→； ②AA ′―→＝CC ′―→；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝AC ′―→. 其中正确的有________．解析：①AB ―→－CB ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AC ―→，正确；②显然正确；③AB ―→＋BB ′―→＋BC ―→＋C ′C ―→＝(AB ―→＋BC ―→)＋(BB ′―→＋C ′C ―→)＝AC ―→＋0≠AC ′―→，错误．答案：①②6.如图，在直四棱柱ABCD -A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1，F 分别是棱AD ，AA 1，AB 的中点．证明：直线EE 1∥平面FCC 1.证明：由题意知AB ―→＝2DC ―→，∵F 是AB 的中点， ∴AF ―→＝12AB ―→＝DC ―→，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ―→＝FC ―→.∵E ，E 1分别是AD ，AA 1的中点，∴EE 1―→＝AE 1―→－AE ―→＝12AA 1―→－12AD ―→＝12CC 1―→－12FC ―→，又CC 1―→与FC ―→不共线，根据共面向量定理可知EE 1―→，CC 1―→，FC ―→共面． ∵EE 1不在平面FCC 1内， ∴直线EE 1∥平面FCC 1.一、选择题1．已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)等于( )A ． AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋12×(2BG ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.答案：A2.如图所示空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG ―→－AB ―→＋AD ―→等于( )A.32 DB ―→ B ．3MG ―→ C ．3GM ―→D ．2MG ―→解析：MG ―→－AB ―→＋AD ―→＝MG ―→－(AB ―→－AD ―→) ＝MG ―→－DB ―→＝MG ―→＋BD ―→ ＝MG ―→＋2MG ―→＝3MG ―→. 答案：B3．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB ―→，CD ―→共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB ―→，CD ―→共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.答案：C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2； 当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1； 当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面． 答案：D 二、填空题5．化简：AB ―→－AC ―→＋BC ―→－BD ―→－DA ―→＝________. 解析：原式＝(AB ―→－AC ―→)＋(BC ―→－BD ―→)－DA ―→＝CB ―→＋DC ―→－DA ―→＝DB ―→－DA ―→＝AB ―→. 答案：AB ―→6．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ―→＝e 1＋ke 2，BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值是________．解析：∵BC ―→＝5e 1＋4e 2，DC ―→＝－e 1－2e 2，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB ―→＝λBD ―→，∴e 1＋ke 2＝λ(6e 1＋6e 2)，∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ，k ＝6λ，∴k ＝1.答案：17.如图，已知空间四边形ABCD 中，AB ―→＝a －2c ，CD ―→＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF ―→＝________(用向量a ，b ，c 表示)．解析：设G 为BC 的中点， 连接EG ，FG ，则EF ―→＝EG ―→＋GF ―→ ＝12AB ―→＋12CD ―→ ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c . 答案：3a ＋3b －5c8．在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，给出以下向量：①3a －4b ＋3c ；②－4a ＋3b ＋3c ；③3a ＋3b －4c ； ④43a －b －c . 其中与MN ―→平行的向量是________(只填相应序号即可)．解析：由已知得MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝－23a ＋12b ＋12c .所以MN ―→＝16(－4a ＋3b ＋3c )＝－12⎝⎛⎭⎫43a －b －c ，故②④适合． 答案：②④ 三、解答题9.如图，H 为四棱锥P -ABCD 的棱PC 的三等分点，且PH ＝12HC ，点G 在AH 上，AG ＝mAH .四边形ABCD 为平行四边形．若G ，B ，P ，D 四点共面，求实数m 的值．解：连接BD ，BG ，∵AB ―→＝PB ―→－PA ―→ 且 AB ―→＝DC ―→， ∴DC ―→＝PB ―→－PA ―→. ∵PC ―→＝PD ―→＋DC ―→， ∴PC ―→＝PD ―→＋PB ―→－PA ―→ ＝－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→. ∵PH HC ＝12，∴PH ―→＝13PC ―→＝13(－PA ―→＋PB ―→＋PD ―→)＝－13PA ―→＋13PB ―→＋13PD .又∵AH ―→＝PH ―→－PA ―→， ∴AH ―→＝－43PA ―→＋13PB ―→＋13PD ―→.∵AGAH ＝m ，∴AG ―→＝m AH ―→＝－4m 3PA ―→＋m 3PB ―→＋m 3PD ―→.∵BG ―→＝－AB ―→＋AG ―→＝PA ―→－PB ―→＋AG ―→， ∴BG ―→＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3PA ―→＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB ―→＋m 3PD ―→. 又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m 3＝0，∴m ＝34.10.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)证明：四边形AEC 1F 是平行四边形； (2)试判断A 1D 1是否平行于平面AEC 1F .解：(1)证明：∵E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点， ∴AE ―→＝AD ―→＋DE ―→＝AD ―→＋12DD 1―→，FC 1―→＝FB 1―→＋B 1C 1―→＝12BB 1―→＋B 1C 1―→.又AD ―→＝B 1C 1―→，DD 1―→＝BB 1―→， ∴AE ―→＝FC 1―→，即AE 綊FC 1， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形．(2)设A 1D 1平行于平面AEC 1F ，则存在x ，y ，使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，又AE ―→＝AD ―→＋ 12DD 1―→，AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝AB ―→＋12BB 1―→， ∴A 1D 1―→＝x (AD ―→＋12DD 1―→)＋y (AB ―→＋12BB 1―→)即(x －1)A 1D 1―→＋y AB ―→＋12(x ＋y )BB 1―→＝0.∵A 1D 1―→，AB ―→，BB 1―→不共面，∴不存在实数x ，y 使得上式成立，故不存在实数x ，y 可以使得A 1D 1―→＝x AE ―→＋y AF ―→，∴A1D1不平行于平面AEC1F.第二课时空间向量的数量积[读教材·填要点]空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.(3)数量积的性质：[小问题·大思维]1．已知三个非空向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c成立吗？提示：不一定有b＝c.当a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c＝0，此时不一定有b＝c.2．已知向量a，b，对于|a·b|＝|a|·|b|成立吗？提示：|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|.∴当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值：(1)EF ―→·BA ―→； (2)EF ―→·BD ―→； (3)EF ―→·DC ―→； (4)AB ―→·CD ―→.[自主解答] (1)EF ―→·BA ―→＝12BD ―→·BA ―→＝12|BD ―→||BA ―→|·cos 〈BD ―→，BA ―→〉 ＝12cos 60°＝14. (2)EF ―→·BD ―→＝12BD ―→·BD ―→＝12|BD ―→|2＝12.(3)EF ―→·DC ―→＝12BD ―→·DC ―→＝12|BD ―→|·|DC ―→|cos 〈BD ―→，DC ―→〉＝12cos 120°＝－14.(4)AB ―→·CD ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＝AB ―→·AD ―→－AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AD ―→|cos 〈AB ―→，AD ―→〉－|AB ―→||AC ―→|cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝cos 60°－cos 60°＝0.空间向量数量积的计算要充分利用向量所在的图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时要充分利用图形的特点以及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．1．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵p ⊥q 且|p |＝|q |＝1，∴a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3＋0－2＝1. 答案：A2．已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)OA ―→·OB ―→；(2)(OA ―→＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)．解：(1)OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12.(2)(OA ＋OB ―→)·(CA ―→＋CB ―→)＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→－OC ―→＋OB ―→－OC ―→) ＝(OA ―→＋OB ―→)·(OA ―→＋OB ―→－2OC ―→)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求A ，D 两点间的距离．[自主解答] ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→，∴|AD ―→|2＝AD ―→·AD ―→＝(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→)＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|CD ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2BC ―→·CD ―→＋2AB ―→·CD ―→.①∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB ―→|＝|BC ―→|＝|CD ―→|＝2.② 又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB ―→·BC ―→＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD ―→·BC ―→＝0.④把②③④代入①可得|AD ―→|2＝4＋4＋4＋2AB ―→·CD ―→＝12＋2|AB ―→|·|CD ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉 ＝12＋8cos 〈AB ―→，CD ―→〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，从而∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α，∴AB ∥DF . ∴〈AB ―→，DC ―→〉＝〈DF ―→，DC ―→〉＝60°. ∴〈AB ―→，CD ―→〉＝120°.代入⑤式得到|AD ―→|2＝12＋8cos 120°＝8， ∴|AD ―→|＝2 2.即A ，D 两点间的距离为2 2.求两点间的距离或线段长度的方法如下： (1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用|a |＝a 2，通过计算求出|a |，即得所求距离．3．如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，求线段PC 的长． 解：∴PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→， ∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD ―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .[自主解答] 设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0，|a |＝|b |＝|c |.∵A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12a ＋12b ，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→＝OC ―→＋CG ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋12CC 1―→＝12a ＋12b －12c . ∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12a ·b －12a 2＋12b 2－12b ·a＝12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0.于是A 1O ―→⊥BD ―→，即A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→，即A 1O ⊥OG . 于是有A 1O ⊥平面GBD .用向量法证明垂直关系的操作步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．4.如图，在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .证明：在△OAC 和△OAB 中， OB ＝OC ，AB ＝AC ， ∴△OAC ≌△OAB . ∴∠AOC ＝∠AOB .∵OA ―→·BC ―→＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→) ＝OA ―→·OC ―→－OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OC ―→|cos ∠AOC －|OA ―→|·|OB ―→|cos ∠AOB ＝0， ∴OA ⊥BC .解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[巧思] 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD ―→的模，但向量BD ―→的模无法直接求出，可以转化为其他向量，注意折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，可以充分利用这种关系．[妙解] ∵∠ACD ＝90°， ∴AC ―→·CD ―→＝0.同理AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→ ＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉． ∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.1．设a ，b 为空间的非零向量，下列各式：①a 2＝|a |2；②a ·b a2＝ba ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；⑤(a ·b )·c ＝b ·(a ·c )＝(b ·c )·a ；⑥向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由向量数量积的性质可知①正确；向量的数量积不满足消去律，故②不正确；(a ·b )2＝a 2·b 2·cos 2〈a ，b 〉≤a 2·b 2，故③不正确；由向量数量积的运算律知④正确；数量积不满足结合律，⑤不正确；|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 的方向上的投影，可正可负，⑥正确．答案：C2.已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE和BF 夹角的余弦值为( )A.413 B.313 C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A -BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED ―→＝EA ―→＋AD ―→＝14BA ―→＋AD ―→，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝BC ―→＋14CD ―→，∴ED ―→·BF ―→＝14BA ―→·BC ―→＋14AD ―→·CD ―→＝4，|ED ―→|2＝116BA ―→ 2＋12BA ―→·AD ―→＋AD ―→2＝1－4＋16＝13.|ED ―→|＝13，同理|BF ―→|＝13. ∴cos 〈ED ―→，BF ―→〉＝ED ―→·BF ―→| ED ―→||BF ―→|＝413.答案：A3．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则a ·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝0. 答案：B4．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________．解析：cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝OA ―→·BC ―→|OA ―→|·|BC ―→|＝OA ―→·(OC ―→－OB ―→)|OA ―→|·|BC ―→|＝|OA ―→||OC ―→|cos π3－|OA ―→||OB ―→|cosπ3|OA ―→|·|BC ―→|＝0. 答案：05．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________. 解析：∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝ 3.答案： 36．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求：(1)BC ―→·ED 1―→； (2)BF ―→·AB 1―→.解：如图所示，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC ―→·ED 1―→＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF ―→·AB 1―→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.一、选择题1．下列各命题中，不．正确的命题的个数为( ) ①a ·a ＝|a |；②m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R)； ③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a .A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵a ·a ＝|a |2， ∴a ·a ＝|a |，故①正确．m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故②正确． a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故③正确． a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ， 故④不一定正确． 答案：D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对解析：由已知c ＝－(a ＋b )，所以|c |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ，即a ·b ＝32. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝14. 答案：D3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC等于( )A ．62B ．6C ．12D ．144 解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AB ―→＋BC ―→，∴PC ―→2＝PA ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144.∴|PC |＝12.答案：C4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ―→·AC ―→＝0，AC ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AD―→＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴BD ―→·BC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝AD ―→·AC ―→－AD ―→·AB ―→－AB ―→·AC ―→＋|AB ―→|2＝|AB ―→|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC ―→，BD ―→〉＝BC ―→·BD ―→|BC ―→|·|BD ―→|>0，∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B二、填空题5．在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AD ′―→·BC ′―→＝________.解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′―→， BC ′―→〉＝0，又|AD ′―→|＝|BC ′―→|＝2，所以AD ′―→·BC ′―→＝2·2·1＝2.答案：26．在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G为△ABC 的重心，则OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：由已知OA ―→·OB ―→＝OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→＝0，且OG ―→＝OA ―→＋OB ―→＋OC ―→3， 故OG ―→·(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)2 ＝13(|OA ―→|2＋|OB ―→|2＋|OC ―→|2) ＝13(1＋4＋9)＝143. 答案：1437．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．解析：AB ―→＝AC ―→＋CD ―→＋DB ―→，∴AB ―→·CD ―→＝(AC ―→＋CD ―→＋DB ―→)·CD ―→＝AC ―→·CD ―→＋CD ―→2＋DB ―→·CD ―→＝0＋12＋0＝1，又|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1.∴cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→| AB ―→|·|CD ―→|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°.答案：60°8.如图所示，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________．解析：∵PC ―→＝PA ―→＋AD ―→＋DC ―→.∴|PC ―→|2＝(PA ―→＋AD ―→＋DC ―→)2＝|PA ―→|2＋|AD ―→|2＋|DC ―→|2＋2PA ―→·AD ―→＋2AD ―→·DC ―→＋2DC ―→·PA ―→＝62＋42＋32＋2|AD―→||DC ―→|cos 120°＝61－12＝49.∴|PC ―→|＝7，即PC ＝7.答案：7三、解答题9.如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2.BD ―→·AC ―→＝(AD ―→－AB ―→)·AC ―→＝AD ―→·AC ―→－AB ―→·AC ―→，由于AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AD ―→＋DC ―→)＝AD ―→·AD ―→＝1，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos 60°＝2×2×12＝1. ∴BD ―→·AC ―→＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面ADC .10.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为 2.(1)设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3，求侧棱的长． 解：(1)证明：AB 1―→＝AB ―→＋BB 1―→， BC 1―→＝BB 1―→＋BC ―→.∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1―→·AB ―→＝0，BB 1―→·BC ―→＝0.又△ABC 为正三角形，∴〈AB ―→·BC ―→〉＝π－〈BA ―→·BC ―→〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1―→·BC 1―→＝(AB ―→＋BB 1―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝AB ―→·BB 1―→＋AB ―→·BC ―→＋BB 1―→2＋BB 1―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝－1＋1＝0，∴AB 1⊥BC 1.(2)结合(1)知AB 1―→·BC 1―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos 〈AB ―→，BC ―→〉＋BB 1―→2＝BB 1―→2－1.又|AB 1―→|＝AB ―→2＋BB 1―→2＝2＋BB 1―→2＝|BC 1―→|.∴cos 〈AB 1―→，BC 1―→〉＝BB 1―→2－12＋BB 1―→2＝12，∴|BB 1―→|＝2，即侧棱长为2.。
高一数学向量试题及答案
高一数学向量试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 若向量a=（2，3），向量b=（-1，2），则向量a+b等于（）。
A.（1，5）B.（1，1）C.（3，5）D.（3，1）答案：A2. 若向量a=（3，-2），向量b=（1，m），且向量a与向量b 垂直，则m的值为（）。
A.-3B.2C.-2D.3答案：B3. 若向量a=（1，2），向量b=（2，3），则|向量a+向量b|等于（）。
A.3√2B.√10C.5D.√13答案：B4. 若向量a=（1，-1），向量b=（2，2），则向量a·向量b等于（）。
A.0B.-2C.2D.-4答案：B5. 若向量a=（2，3），向量b=（-1，2），则|向量a-向量b|等于（）。
A.√10B.3√2C.√13D.5答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量a=（2，-3），向量b=（1，k），且向量a与向量b 共线，则k的值为______。
答案：-67. 若向量a=（1，2），向量b=（-3，4），则向量a+向量b=______。
答案：（-2，6）8. 若向量a=（3，4），向量b=（-2，1），则向量a·向量b=______。
答案：59. 若向量a=（1，2），向量b=（2，-3），则|向量a-向量b|=______。
答案：√1310. 若向量a=（2，-1），向量b=（3，4），则|向量a+向量b|=______。
答案：√29三、解答题（每题10分，共65分）11. 已知向量a=（1，2），向量b=（-2，4），求向量a+向量b和向量a-向量b。
解：向量a+向量b=（1-2，2+4）=（-1，6）向量a-向量b=（1+2，2-4）=（3，-2）12. 已知向量a=（3，-2），向量b=（1，m），且向量a与向量b垂直，求m的值。
解：根据向量垂直的性质，有向量a·向量b=0，即3×1+（-2）×m=0，解得m=3/2。
高中数学必修4单元配套练习试题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义及参考答案解析
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义姓名:___________班级:______________________1.设1e ,2e 是两个不共线的向量,若向量()12k k =-+∈R m e e 与向量212=-n e e 共线,则( )A.0k =B.1k =C.2k =D.12k =2.设a 是任一向量,e 是单位向量,且a e ,则下列表达式中正确的是( ) A.=a e a B.=a a e C.=-a a e D.=±a a e3.已知向量3AB a b =+,53BC a b =+,33CD a b =-+,则( )A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线4.设a 是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是( )A.a 的方向a λ的方向相反B.a a -λ≥C.a 与2a λ方向相同D.a a λ=λ5.已知关于x 的方程()3+a x x =,则x =( ) A.32a B.32a - C.23a D.无解 6.如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP mAB AC =+,则实数m 的值为( ) A. 19 B. 13C.1D.37.已知△ABC 的三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,且PA PB PC AB ++=,则( )A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上等,0OA =a ,201OA =b ,用a ,b 表示012201...OA OA OA OA ++++,其结果为( )A.()100+a b B.()101+a b C.()201+a b D.()202+a b9.若向量34=-a i j ,54=+b i j ,则()123332⎛⎫-⎛⎫- ++-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭a b a b b a ________. 10.已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC xOA yOB =+,则x y +=__________.11.已知点M 是线段AB 上的一点,点P 是任意一点,3255PM PA PB =+, 若AM MB =λ,则λ等于 .12.计算:(1)()()()826222-+-+--+a b c a b c a c ; (2)()()11284232⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦a b a b ; (3)()()()()+--+⋅⋅+m n a b m n a b . 13.已知△OAB 中,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量OC ,CD ;(2)若45OE OA =,求证:C 、D 、E 三点共线. 14.设P ,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点.(1)试用向量法证明:PQ AB ; (2)若3AB CD ,求PQ AB的值.参考答案1.D 【解析】当12k =时,1212+=-m e e ,又122=-+n e e ,∴2=n m ,此时m 、n 共线, 故选D.考点:共线定理及其应用.2.D【解析】对于A,当=0a 时,a a没有意义,错误.对于B,C,D,当=0a 时,选项B,C,D 都正确;当≠0a 时,由a e 可知,a 与e 同向或反向,且=a e a ,故B,C 不全面,选D.考点:向量数乘运算的定义.3.B【解析】∵()26232BD BC CD a b a b AB =+=+=+=,∴A 、B 、D 三点共线.故选B. 考点:共线定理及其应用.4.C【解析】对于A,a 与a λ方向相同或相反,因此不正确;对于B,1λ<时,a a -λ<,因此不正确;对于C,因为20λ>,所以a 与2a λ同向,正确;对于D,a λ是实数,a λ是向量,不可能相等.故选C.考点:向量数乘运算的定义.5.B【解析】∵()3+a x x =,∴33a x x +=,∴23x a =-,∴x ＝32a -. 考点:向量数乘运算的定义.6.A【解析】∵点P 在BN 上,则存在实数λ使BP BN λ=.∴()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB AN λλλλ=+=+=+-=-+.∵13AN NC =,∴4AC AN =,∴2899AP mAB AC mAB AN =+=+, ∴1,8,9m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩解得19m =,故A 正确. 考点:向量的加减法法则,向量数乘运算.7.D【解析】∵PA PB PC AB PB PA ++==-,∴2PC PA =-,∴P 在AC 边上,故选D.考点:共线定理及其应用.8.B【解析】设0201A A 的中点为A ,则A 也是1200100101,A A A A ⋯，的中点, 由向量的中点公式可得02012OA OA OA ++==a b ,同理可得,12002100119019OA OA OA OA OA OA +=++=⋯=+=a b ,故()01220110121...01OA OA OA OA OA =+=+++⨯+a b ,故选B.考点:向量的数乘运算. 9.21633-+i j 【解析】()12111333322233⎛⎫-++-=-⎛--+-=-- ⎪⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a a b a b b a a b ()()4432 345451111163343=--=---+=-++-i j i j i j i j i j . 考点:向量数乘的运算律.10.1【解析】∵A ,B ,C 三点共线,∴存在λ∈R 使AC AB =λ.∴()OC OA OB OA λ-=-,∴()1OC OA OB λλ=-+,∴1x λ=-,y λ=,∴1x y +=.考点:共线定理及其应用. 11.23【解析】∵AM MB =λ,∴()PM PA PB PM PB PM -=λ-=λ-λ,即()1PM PB PA +λ=λ+,∴111PM PB PA λ=++λ+λ, ∵3255PM PA PB =+,∴2,1513,15λ⎧=⎪⎪+λ⎨⎪=⎪+λ⎩解得23λ=. 考点:共线定理及其应用.12.略【解析】(1)原式1688612642=-+-+---a b c a b c a c()()()1664812862--+-++--=a b c64=+a b .(2)原式()()()4113342362-==⎡⎤=+--+-⎣⎦a b a b a b b a . (3)原式()()()()()2=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅=-+⋅m n a m n b m n a m n b m n b .考点:向量数乘的运算律.13.见解析【解析】(1)∵,,AB a AO b ==∴OC OA AC a b =+=--,()()11151233333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明:∵()413.555CE OE OC b a b a b CD =-=-++=+= ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有公共点C ,∴C 、D 、E 三点共线.考点:向量的共线定理.14.(1)见解析(2)13【解析】(1)证明:∵Q 为BD 的中点,∴2CB CD CQ +=,又P 为AC 的中点,∴2CA CP =.∴()222PQ CQ CP CB CD CA CB CD AC AB CD =-=+-=++=+,又向量CD 与AB 共线,∴可设向量CD AB λ=,则()21PQ AB λ=+, ∴12PQ AB λ+=①,又梯形ABCD 中,AB CD ≠,∴1λ≠-, ∴PQ AB ,即PQ AB .(2)∵向量AB 与CD 反向,且3AB CD =,所以3AB CD =-,即13λ=-,代入①式得111323PQ AB AB -==,∴13PQ AB =. 考点:向量的共线定理.。
高一数学向量试题及答案
高一数学向量试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若向量a=(1,2)，向量b=(-2,4)，则向量a+b等于（）。
A. (-1, 6)B. (-3, 6)C. (-1, 2)D. (3, 6)答案：D2. 若向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a·b等于（）。
A. 1B. 2C. 5D. 7答案：C3. 若向量a=(2,3)，向量b=(4,-6)，则向量a与向量b的夹角的余弦值等于（）。
A. 1/2B. 0C. -1/2D. 1答案：C4. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,-3)，则向量a与向量b的夹角的正弦值等于（）。
A. √5/5B. 2√5/5C. -√5/5D. -2√5/5答案：B件是（）。
A. a·b=0B. |a|=|b|C. a=bD. a=-b答案：A6. 若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a与向量b的模长分别为（）。
A. 1, 1B. 0, 1C. 1, 0D. 0, 0答案：A比等于（）。
A. 5/√5B. √5/5C. 5√5/5D. √5/√5答案：A8. 若向量a=(2,3)，向量b=(4,-6)，则向量a与向量b平行的条件是（）。
A. a=2bB. a=-bC. a=3bD. a=-2b答案：A是（）。
A. a=2bB. a=-bC. a=3bD. a=-2b答案：A10. 若向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b不共线的条件是（）。
A. a=2bB. a=-bC. a≠2bD. a≠-b答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 若向量a=(2,-3)，向量b=(4,6)，则向量a+b=______。
答案：(6,3)12. 若向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a·b=______。
答案：-713. 若向量a=(2,3)，向量b=(4,-6)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为______。
高一向量试题及答案详解
高一向量试题及答案详解一、选择题1. 若向量a和向量b满足|a|=3，|b|=2，且a·b=6，则向量a与向量b的夹角θ为：A. 0°B. 90°C. 60°D. 120°答案：C解析：根据向量的数量积公式，a·b = |a|·|b|·cosθ，将已知数值代入公式得6 = 3·2·cosθ，解得cosθ = 1，因此θ = 60°。
2. 若向量a = (1, 2)，向量b = (3, -1)，则向量a+b的坐标为：A. (4, 1)B. (-2, 3)C. (2, 1)D. (-1, 3)答案：A解析：向量加法遵循坐标相加的原则，即a+b = (1+3, 2-1) = (4, 1)。
3. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, -6)，则向量a与向量b是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若两个向量共线，则存在一个实数k使得a = kb。
将向量a和向量b的坐标代入，得到2 = 4k和3 = -6k，解得k = -1/2，因此向量a与向量b共线。
二、填空题4. 若向量a = (x, y)，向量b = (2, -3)，且向量a与向量b垂直，则x和y的值分别为______。
答案：x = 3，y = -2解析：若两个向量垂直，则它们的数量积为0，即a·b = 0。
将向量a和向量b的坐标代入，得到2x - 3y = 0，解得x = 3，y = -2。
5. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，求向量a在向量b方向上的投影长度。
答案：2.4解析：向量a在向量b方向上的投影长度可以通过公式|a|·cosθ计算，其中θ是向量a和向量b之间的夹角。
首先计算cosθ = (a·b) / (|a|·|b|) = (1*3 + 2*4) / (sqrt(1^2 + 2^2) * sqrt(3^2 + 4^2))= 14 / 5sqrt(5)。
高一数学向量同步练习实数与向量的积三 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校高一数学向量同步练习实数与向量的积三一、选择题①对于实数m和向量、恒有：；②对于实数m,n和向量 ,恒有：；③假设 (m∈R)，那么有：；④假设 (m、n∈A．1 B．2 C．3 D．42、设和为两个不共线的向量，那么 =2 －与 = +λ〔λ∈R〕共线的充要条件是〔〕A．λ=0 B．λ=－1 C．λ=－2 D．λ=－①②③④假设两个非零向量、满足 (k≠0)，那么、同向．正确的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．34、点G是△ABC的重心，D是AB的中点，那么 + 等于〔〕A．4 B．－4 C．6 D．－65、在矩形ABCD中，O为AC中点，假设 =3 , =2 , 那么等于〔〕A． (3 +2 ) B． (3 －2 ) C． (2 －3 ) D． (3 +2 )6、假设向量方程2 －3( －2 )= ,那么向量〔〕A． B．－6 C．6 D．－二、填空题1、向量，，那么4 －3 =_____________．2、在 ABCD中， = ， = ，那么 =_____ __， =______ ___．3、梯形ABCD，AB∥CD，且，M、N分别是 DC和AB的中点，如图，假设 = , = ，用，表示和，那么 = ；．4、假设 ABCD的中心为O，P为该平面上一点，，那么．5、设、为二不共线向量，如果k + 与 +k 共线，那么k= ．6、M、N是线段AB的三等分点，对平面上任一点O，用来表示，；．三、解答题1、如下列图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．2、ΔABC中， = ， = ，点D、E分别在线段AB、AC上，AD：DB=AE：EC，证明：与平行．3、如图， ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN= BD，求证：M、N、C三点共线．[参考答案]一、选择题CDC AAC二、填空题1、j i 97--； 2、()b a AB -=21；()b a AD +=21． 3、b a BC +-=21；b a MN -=41． 4、PO 4． 5、1±=k ． 6、OB OA OM 3132+=；OB OA ON 3231+=． 三、解答题1、∵BFAB EA EF ++=，CF DC ED EF ++=， ∴ DC AB EF+=2． 2、∵EC AE DB AD =，∴ k ACAE AB AD ==， ∵ ()BC k AB AC k AD AE DE =-=-=，∴ BC DE //． 3、∵ CB CD BD -=，∴ ()CD CB BD CB CN +=+=23131， ∵ ()CN CD CB CD CB BM CB CM 2322321=+=+=+=， ∴ CM CN //，即：M 、N 、C 三点共线．。
高一下数学同步训练：向量及其运算测试(A卷)(附答案)
高一数学同步检测十七 向量及其运算测试（A 卷）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．给出关于平面向量的四个命题： ①a 是非零向量，且a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②|a ·b |＝|a |·|b |；③a 、b 是非零向量，a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a －b |；④a ，b 是任意两个不共线的非零向量，存在实数p 1、p 2，使得p 1a ＋p 2b ＝0，则p 21＋p 22＝0.以上命题只有两个是正确的，它们是A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 答案：A解析：若a ⊥b ，a ⊥c ，则a ·b ＝a ·c ＝0，不一定有b ＝c ，故①不正确；由a ·b ＝|a ||b |cosθ，所以|a ·b |＝|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |.故②不正确．2．设e 1、e 2是两个不共线的向量，则向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与向量b ＝－(e 1－2e 2)共线的充要条件是A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝2D ．λ＝－2 答案：D解析：因为a ∥b ，所以存在一个实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝－μ(e 1－2e 2)．3．把函数y ＝2sin2x 的图象按向量a 的方向平移，得到函数y ＝2sin(2x ＋π3)＋1的图象，则向量a 的坐标为A ．(－π3，1)B ．(－π6，1)C ．(π3，－1)D ．(π6，1)答案：B解析：设向量a ＝(m ，n)，在函数y ＝2sin2x 的图象上任取一点(x 1，y 1)，平移后的对应点为(x 0，y 0)，4．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若，则点P 与△ABC 的位置关系是A ．P 在AC 边上B ．P 在AB 边上或其延长线上C ．P 在△ABC 的内部D ．P 在△ABC 的外部答案：A5．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是A.B.C.D.答案：A6．在平行四边形ABCD 中，＝13，＝14，CE 与BF 相交于G 点，若＝a ，＝b ，则等于 A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17b D.47a ＋27b 答案：C 解析：如图，7．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案：D解析：由题意知4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0， 则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d ＝0， 即(2,6)＋d ＝0，所以d ＝(－2，－6)．8．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，13)答案：B解析：代入验证，知A 、B 、C 、D 模均为1，且|a |＝|b |. 设向量e 与a 、b 夹角相等，则a ·e ＝b ·e ，代入验证即可．9．若点P 分有向线段所成的比为－13，则点B 分有向线段所成的比是A ．－32B ．－12 C.12 D ．3答案：A10．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于 A. 5 B.10 C ．5 D ．25 答案：C解析：∵50＝|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝5＋20＋|b |2， ∴|b |＝5.第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若＝a ，＝b ，则＝________.答案：13(b －a )12．若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－3，则|a ＋b |＝________. 答案：23解析：由|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×(－3)＋52＝23，得|a ＋b |＝23. 13．如图，平面内两条相交直线OP 1和OP 2，将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)，若＝a＋b，且点P 落在第Ⅲ部分，则点(a ，b)在第________象限．答案：四解析：∵P 落在第Ⅲ部分，∴在直线OP 1上的分向量与同向，在直线上的分向量与反向． ∴a>0，b<0，故点(a ，b)在第四象限．14．已知|a |＝1，|b |＝2，且(λa ＋b )⊥(2a －λb )，a 与b 的夹角为60°，则λ＝________. 答案：－1±3解析：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×2×12＝1.∵(λa ＋b )⊥(2a －λb )， ∴(λa ＋b )·(2a －λb )＝0，即2λa 2＋(2－λ2)a ·b －λb 2＝0. ∴λ2＋2λ－2＝0.解得λ＝－1±3.三、解答题(本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分8分)一架执行任务的飞机从A 地按北偏西30°的方向飞行300 km 后到达B 地，然后向C 地飞行，已知C 地在A 地东偏北30°的方向处，且A 、C 两地相距300 km ，求飞机从B 地到C 地飞行的方向及B 、C 间的距离．答案：又因为∠ABC ＝45°，且A 地在B 地的东偏南60°的方向处，可知C 地在B 地的东偏南15°的方向处．答：飞机从B 地向C 地飞行的方向是东偏南15°，B 、C 两地间的距离为300 2 km.16．(本小题满分8分)如图，▱ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知＝c ，＝d ，试用c 、d 表示和.答案：17．(本小题满分9分)求证：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和．答案：证法一：如图，▱ABCD中，求证：AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2.①＋②得AC2＋BD2＝2a2＋2b2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.故原命题得证．证法二：如图，建立平面直角坐标系，设A(m，n)，C(p,0)，18．(本小题满分9分)已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．答案：解法一：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2， 又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. 设a 与a ＋b 的夹角为θ，则解法二：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， ∵|a |＝|b |，∴x 12＋y 12＝x 22＋y 22.由|b |＝|a －b |，得x 1x 2＋y 1y 2＝12(x 12＋y 12)．由|a ＋b |2＝2(x 12＋y 12)＋2·12(x 12＋y 12)＝3(x 12＋y 12)，得|a ＋b |＝3·x 12＋y 12.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则∴θ＝30°.∴△AOB 为正三角形，∠AOB ＝60°. 于是∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.19．(本小题满分10分)平面内三点A 、B 、C 共线，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝答案：解：因为A 、B 、C 三点共线，所以＝λ.因为＝－＝(7，－1－m)，＝－＝(n ＋2,1－m)， 所以(7，－1－m)＝λ(n ＋2,1－m)， 即7＝λ(n ＋2),1＋m ＝λ(m －1)． 所以mn －5m ＋n ＋9＝0.① 由·＝0，得m －2n ＝0.②由①②得m ＝6，n ＝3或m ＝3，n ＝32.。
高中数学必修二 6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示 练习(含答案)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量(,4)a m =，(1,2)=-b ，且a ∥b ，则m = A ．8- B ．2- C ．2 D ．8【答案】B 【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：4,212mm =∴=--.本题选择B 选项.2．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量()1,2a =，()2,b m =-且//a b ，则23a b +=（ ） A ．()2,4-- B ．()3,6-- C ．()4,8-- D ．()5,10--【答案】C【解析】()1,2a =，()2,b m =-且//a b ，()122m ∴⨯=⨯-，4m =-∴，则()2,4b =--，因此，()()()2321,232,44,8a b +=+--=--，故选C.3．已知向量()2cos ,2sin a θθ=，(b =，且a 与b 共线，[)0,2πθ∈，则θ= A ．π3 B ．π6 C ．π3或2π3 D ．π6或7π6【答案】D【解析】因为a 与b 共线，所以2230cos sin θθ⨯=，cos θθ=，所以3sin tan cos θθθ==又因为[)0,2θπ∈，所以6πθ=或76π.本题选择D 选项4．已知向量则下列向量中与向量平行且同向的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，故选A ．5．（多选题）若三点A (4,3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子正确的是( ) A ．2m －n ＝3B ．n －m ＝1C ．m ＝3，n ＝3D ．m －2n ＝3 【答案】AC【解析】∵三点(4,3)A ，(5,)B m ，(6,)C n 在一条直线上∴AB AC λ=∴(1,3)(2,3)m n λ-=-∴12λ=∴13(3)2m n -=-，即23m n -=.当m ＝3时，n ＝3。
高一数学-教材习题解析(实数与向量的积) 精品
［教材习题解析］方法点拨练习（第107页） 1.A B CD=4e . =－4e2.75；－72. 3.（1）b =2a ；（2）b =－47a ； （3）b =－21a ；（4）b =98a .4.（1）因为b =－a ,所以a 与b 共线.（2）因为b =－2a ,所以a 与b 共线. （3）因为b =41a 或a =4b ,所以a 与b 共线. （4）设e 1=λe 2,则a =（1+λ）e 2,b =2（λ－1）e 2， 所以b =λλ+-1)1(2a ，即a 与b 共线.练习（第109页）1.（1）3e 1+2e 2（2）4e 1－e 2（3）－2e 1+21e 222实数与向量的积是一向量,实数的正负决定两共线向量的方向相同还是相反,实数的绝对值与两向量的模有关.画图表示.共线向量具有传递性.判断两个向量a 、b 是否共线的唯一依据是：能否找到唯一确定的实数λ使得b =λa （a ≠0）.求作两个向量的和可用三角形法则，也可用平行四边形法则.求作两个向量的差可用向量减法的三角形法则，也可把减法视为加法的逆运算，用加法的三角形法则或平行四边形法则求解.2.O BO BO A（1）=21（+） ABOMZ 118（2）=21（－） B ' NABO（3）OG =3OA +2OB2O B 3O A O G习题（第109页）1.略.2.（1）5（3a －2b ）+4（2b －3a ） =15a －10b +8b －12a =3a －2b ；（2）31（a +2b ）+41（3a －2b ）－21（a －b ） =31a +32b +43a －21b －21a +21b =（31+43－21）a +（32－21+21）b=127a +32b ； （3）6（a －3b +c ）－4（－a +b －c ） =10a －22b +10c ；（4）21（3a －2b +5a －2a +3b ） =21（6a +b ）=3a +21b ； （5）（x －y －x +y ）a +（x －y +x －y ）b =2（x －y ）b . 3.a +b =4e 1；a －b =（e 1+2e 2）－（3e 1－2e 2）=－2e 1+4e 2. 3a －2b =3（e 1+2e 2）－2（3e 1－2e 2） =3e 1+6e 2－6e 1+4e 221（±）所对应的向量是以、为邻边所作的平行四边形的对角线的一半.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，它们满足交换律与结合律.化简向量代数式，可把共线向量视为同类项进行合并化简.若提取公因式，则公因式应是向量.把共线向量视为同类项合并处理.=－3e 1+10e 2.4.=－=31－31=31（－） =31. CN5.（1）四边形ABCD （2）四边形ABCD （3）四边形ABCD 是菱形.6.OC =－a ；OD =－b ；DC =b －a ；BC =－a －b .A7.=41b ； =b －a DE =AE －AD =41（－AB ）=41（b －a ）； DB =43a ；EC =43b ；=21=81（b －a ）；=81（a +b ）. B证明两个向量共线的唯一依据是共线向量定理.一组对边平行且相等（不相等）的四边形是平行四边形（梯形）；邻边相等的平行四边形是菱形.选定一组基底，平面内的任一向量都可用这组基底表示出来.选定一组基底，通过向量的加法、减法、实数与向量的积，就可把所求向量表示出来.。
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湘教版高一下册数学《向量与实数相乘》练习题
及答案
数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一
个小小的小数点都会影响最后的结果。下文就为向量与实数
相乘练习题及答案，希望大家认真对待。
一、向量的数乘运算
计算下列各式：
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
思路分析：利用向量的线性运算律计算.
解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=a+b
=0·a+0·b=0+0=0.
计算：(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
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(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算
中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并.
二、向量共线条件的应用
已知向量e1和e2不共线.
(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三
点共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.
思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共
线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件
知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值.
(1)证明：∵=e1+e2，
=+=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5，
∴∥.又∵AB∩BD=B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线，
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只能有
则k=±1.
已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向
量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d=λa+μb
与c共线?
解：∵d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，
要使d与c共线，则应存在实数k，使d=kc，
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，
∴∴λ=-2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共
线.
1.若b=λa(λ∈R)，则b与a共线.由此可以判断向量共线
问题.若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b=λa.
据此可以求两个共线向量中的系数问题.
2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使
得a=λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步
骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证
得三点共线.
三、向量线性运算的应用
=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表
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示，，.
思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以
及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘
运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，
∴=+=b+a-b=a+b，
=(+)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.
1.已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为
________.
答案：+
解析：∵=，
∴-=-，2=+.
2.如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE=3EB，设=a，
=b，用a，b表示.
解：∵CE=3EB，
又∵=-，
=a+(b-a)=a+b.
在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在
三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行
四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一
些定理的应用.
1.下列计算正确的数目是( )
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①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a ③(a+2b)-(2b+a)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：①②正确，③错误，应有(a+2b)-(2b+a)=0.
2.化简为( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
答案：C
解析：原式=a+b+a-a+b=a+b.
3.下面向量a，b共线的有( )
①a=2e1，b=-2e2;
②a=e1-e2，b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2，b=e1-e2;
④a=e1+e2，b=2e1-2e2.(e1，e2不共线)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
答案：A
解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，
所以a与b不共线;
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②中b=-2a，故a与b共线;
③中b=a，故a与b共线;
④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，
使e1+e2=λ(2e1-2e2)，于是λ无解.故a与b不可能共线.
4.已知平行四边形ABCD中，=a，=b，其对角线交点为O，则
等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
答案：C
解析：+=+==2，所以=(a+b)，故选C.
5.已知向量a与b不共线，m=a-b，n=xa+3b，若m与n共线，
则x的值等于__________.
答案：-6
解析：依题意存在实数λ，使m=λn，
即=λ(xa+3b)，
即于是λ=-，x=-6.查字典大学网为大家提供的向量与实数
相乘练习题及答案，大家仔细做了吗?希望够帮助到大家。