新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(有答案解析)(5)
7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二
7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。
7.1复数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课前检测(含解析)
人教A 版7.1复数的概念课前检测题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．12．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．-15．在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(),2-∞-C ．()2,0-D ．()3,4 6．已知153z i =+，254z i =+，下列各式中正确的是A ．12z z >B ．12z z <C ．12z z >D ．12z z < 7．复数243a a i --与复数24a ai +相等，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4- 8．下列命题中,正确的是( )A ．复数的模总是正实数B ．复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应C ．如果与复数z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数9．设1()z xi x R =+∈，且||2z =，则z在复平面内对应的点在第（ ）象限. A ．一、二 B ．三、四 C ．一、四 D ．二、四10．在复平面内,复数2lg (23)i z m m m =+--(i 为虚数单位)对应的点在实轴上,则实数m 的值为( )A ．1-B ．3C ．1-或3D ．111．已知i 为虚数单位,若(2)x yi -+和3x i -互为共轭复数,则实数x ,y 的值分别是( )A ．3,3B ．5,1C ．1-,1-D ．1-,112．已知复数12i z a =-(a ∈R ,i 为虚数单位)对应的点在直线1433y x =+上,则复数22z a i =+对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设复数12z i =-，(i 是虚数单位)，则||z =__________.14．在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．三、解答题15．设：z C ∈,在复平面内z 对应的点为Z ,那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）||3z =；（2）2||5z <.16．若复数22(12)(23)z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点在第二象限参考答案1．A【分析】根据复数的概念可得出结论.【详解】复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.2．C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．3．D【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.4．B【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．5．D【分析】复数所对应的点在第二象限应满足实部0a <，虚部为0b >，解不等式在即可得到答案.【详解】∵在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限， ∴224060m m m m ⎧-<⎨-->⎩解得34x << ∴实数m 的取值范围是()3,4故选：D.【点睛】本题考查复数的概念及分类，属于基础题.6．D【详解】 试题分析：虚数不可比较大小，模可以比较大小，221||5334z =+=，，12z z <考点：复数的模的计算7．C【解析】243a a i --=24a ai +2243{44a a a a a-=∴⇒=--= 8．D【解析】分析：利用复数的概念和性质对每个选项逐一判断得解.详解：复数的模大于或等于0,故选项A 不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,不是与复平面内所有向量组成的集合一一对应，因此选项B 不正确;同理选项C 也不正确,选项D 正确.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查复数的概念及其性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一一对应,不是与复平面内所有向量组成的集合一一对应,注意“从原点出发的向量”这个关键词，因为向量是可以平移的，所以不加这个条件就不可能一一对应.9．C【分析】根据条件列方程，求出x ，进而可得z 在复平面内对应的点在第几象限.【详解】2=，得x =∴1z =±，故z 在复平面内对应的点位于第一或第四象限.故选：C.【点睛】本题考查复数模的运算以及复数的几何意义，是基础题.10．B【分析】结合复数对应点在实轴上的条件以及对数的知识，求得m 的值.【详解】因为在复平面内,复数z 所对应的点在实轴上,所以2230m m --=,解得1m =-或3m =.又0m >,所以3m =.故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点在实轴上的条件，考查对数的知识，属于基础题.11．D【分析】根据共轭复数的知识列方程组，解方程组求得,x y 的值.【详解】(2)x yi -+和3x i -互为共轭复数,23,(1)0,x x y -=⎧∴⎨+-=⎩解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩ 故选：D【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，属于基础题.12．B将点(2,)a -代入直线方程，由此求得a 的值，进而求得2z 对应点所在象限.【详解】复数12i()z a a =-∈R 对应的点的坐标为(2,)a -,该点在直线1433y x =+上,故2433a -=+,解得2a =-,所以复数222z i =-+,它对应的点的坐标为(2,2)-,在第二象限,故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及对应点所在象限.13【分析】由复数的模的计算公式即可求出．【详解】解：因为复数12z i =-，所以||z ==14．()()2,12,--+∞【分析】由已知建立不等式组，解之可得答案．【详解】 根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．15．（1）以原点O 为圆心，以3为半径的圆.（2）以原点O 为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界【解析】根据模的几何意义说明．【详解】解：（1）由||3z =得，向量OZ 的模等于3,所以满足条件||3z =的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆.（2）不等式2||5z <可化为不等式组|25z z ⎧⎪⎨<⎪⎩,不等式||5z <的是圆||5z =的内部所有的点组成的集合，不等式||2z 的解集是圆||2z =上的点及其外部所有的点组成的集合，所以，满足条件2||5z <的集合是以原点O 为圆心，以2及5为半径的两个圆所夹的圆环，包括内边界，但不包括外边界（如图所示）.【点睛】本题考查复数模的几何意义，复数z 的模z 表示其在复平面上对应点Z 到原点的距离OZ ．16．(1) 1m =-或3m =：(2) 4m =-；(3) 41m -<<-.【分析】(1)z 是实数，根据虚部为0，列方程即可求解；(2)z 是纯虚数，根据实部为0，虚部不为0，列方程组即可求解；(3)z 对应的点在第二象限，根据实部小于0，虚部大于0，列不等式组即可求解.【详解】解：由题意：(1)223=0m m --1m ⇒=-或3m =，∴当1m =-或3m =时，z 是实数.(2)22120230m m m m ⎧+-=⇒⎨--≠⎩4m =-， ∴当4m =-时，z 是纯虚数.(3)2212041230m m m m m ⎧+-<⇒-<<-⎨-->⎩ ∴当41m -<<-时，z 对应的点在第二象限.【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．32．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ） A ．2 B ．21+C ．21-D ．33．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．2 4．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．126．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．55⎡⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4B ．2C ．0D ．2-8．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则ab的值为（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．3210．复数z 满足(1i)2i z -=，则z = A ．1i - B ．1i -+ C ．1i --D ．1i +11．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．312．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________. 14．若z a bi =+，21zR z∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.16．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 17．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 18．已知，则 =____．19．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___． 20．定义运算a c ad bc b d=-，复数z 满足i 1i 1iz =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.三、解答题21．已知复数1z 、2z 满足1||71z =、2||71z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．已知复数1z i =-. （1）设25341z z ω=+-+，求ω的值；（2≥的实数a 的取值范围. 23．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2OM 的取值范围. 24．已知复数1z 满足：111z i z =++. （1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.25．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值.（2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a=+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围.26．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又22|1|(1)(1)z i x y -+=-++表示定点(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离． 则由几何意义得()()x 22ma |1|2110121z i -+=-+--+=+，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.5．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．C解析：C 【分析】由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max2z≤，即可求出a 的范围.【详解】因为对任意θ，2z ≤，则max2z≤,()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤故选：C. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，所以1z i =+也是方程的一个根， 故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩，所以0p q +=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值. 【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=， 因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 10．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 11．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.12．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.二、填空题13．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，cos sin 12222θθ-≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b += 【分析】根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件. 【详解】()22222211()1212z a bi a bi a biz a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14ab abia bi ab a b+--=++--()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+--()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+--()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--因为21zR z∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件. 故答案为：0b =或221a b +=. 【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4 【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可. 【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= . 故答案为：4. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.16．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论. 【详解】()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.18．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 19．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．12473z i z +=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717147717171z z ++==±=±--+. 【点睛】本题的易错点在12z z =，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】（1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误； （2）将复数1z i =-3≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=； （2|1|3a a i +-≥3≥， 即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.23．1zi =+,3⎡-+⎣【详解】分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得234OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件解得11a b =⎧⎨=⎩，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++()()22211OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭3≤+即233OM -≤≤+故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，1(1)(1)i abi a b i =+++=+++，100,,11b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨=-=+⎩∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】（1）根据4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=， 所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.26．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】由已知等式得()4320z i --+-≤()z i z i z z∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤|||43|4322||523||7所以z最大值为7；z最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 2．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -5．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --7．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -8．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3210．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．212．若i 为虚数单位，复数z满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C．D．二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 14．若z a bi =+，21z R z ∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________. 17．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.18．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 19．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 20．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 三、解答题21．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.22．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 23．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z .24．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 25．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．4．A解析：A【解析】 令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==5．A解析：A【分析】 利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 7．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cos sin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝， ()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝， 22112222z ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝．故选A ． 12．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线. 二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】 由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b +=【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14a b abi a bi a b a b+--=++--()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++..【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+【分析】根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.【详解】解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，点Q 到圆心C 的距离为5CQ =所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.51.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+= 【分析】 设复数(,)z x yi x y R =+∈2222(2)(2)x y x y +=++-简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22z x y =+2222(2)(2)(2)(2)z i x y i x y +-=++-=++-=20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基 解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值.【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①② 22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】 本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性 解析：-2【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+． ∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=，∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+． ∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=， ∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=，∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.20．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z 为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和 解析：6【分析】利用立方差公式，由38z =，得()2(2)240z z z -++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z +++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 三、解答题21．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z = 【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-. 12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.22．（1）5；（2）22i -或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值； （2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++，由2510z z +=+得()()222225410x y x y ++=++，化简得2225x y +=， 因此，225z x y =+=； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得1023102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1023102x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 因此，10310i z =-或10310i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数，所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ， ∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 24．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．12-【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1212,12k k ⇒==．所以12k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题. 26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=，由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2 2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 5．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 6．设313i z i +=-，则232020z z z z ++++=（ ） A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 7．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i - 9．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23D ．3210．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ）A ．15i +B ．1i -C ．15i -D ．1i +11．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i + 12．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A1 BC ．3D ．2 二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．15．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 16．已知1i z z -=-+，则复数z =______.17．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．18．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．19．若复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点位于第二象限，则z 的取值范围是_______.20．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.三、解答题21．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标；（2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.23．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.24．已知复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，且125121313z z i -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值.参考答案25．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =.（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 2．D解析：D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z = 所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ， 所100501++=-z z i ，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 3．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.5．C解析：C【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ， 因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ， 因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．【详解】3(3)(13)1013(13)(13)10i i i i z i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．7．B解析：B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 8．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cossin 22i z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi10．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．B解析：B【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i 111iz i i i ==+=-+-,选B. 12．A解析：A【分析】 根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】 根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以z ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解.【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=， 故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9.故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x和y关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.15．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：2 3 -【分析】先化简222(4)125bi b b ii---+=+，再解方程224+055b b---=即得解.【详解】由题得2(2)(12)22(4) 12(12)(12)5bi bi i b b ii i i-----+==++-，因为复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，所以2242+0,553b bb---=∴=-.故答案为：2 3 -【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i-【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥， 所以1z -的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 18．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根， 1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.19．【分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点的坐标为再根据该点位于第二象限得即而再用二次函数法求其取值范围【详解】因为复数对应的点的坐标为又因为该点位于第二象限所以解得所以因为所以故答案为：【点睛】本解析：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为21a a -+（,），再根据该点位于第二象限，得2010a a -<⎧⎨+>⎩即1a 2-<< ，而||z ===范围. 【详解】因为复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为()21a a -+,， 又因为该点位于第二象限， 所以20,10,a a -<⎧⎨+>⎩解得1a 2-<<.所以||z ===因为1a 2-<<，所以||,32z ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的模，还考查运算求解的能力，属于中档题.20．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解； （2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++- 因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限， 所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解. 22．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可. 【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=--（1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-，所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限，则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a >所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞. 【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.23．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值； （3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值． 【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--， （1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =； （2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．24．12【分析】将复数12,z z 代入等式125121313z z i -=+中，得22cos()1αβ-+=，即可得答案； 【详解】因为复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ-=-++=+ 所以5cos cos 13αβ-=，12sin sin 13αβ+=， 所以2222512(cos cos )(sin sin )11313αβαβ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos()1αβ-+=，所以1cos()2αβ+=. 【点睛】本题考查复数与三角函数知识同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.25．（1）12z =-+.(2）ABC S ∆=. 【解析】分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-， 故2222z a b abi z a bi =-+==-. 所以22a b a -=，2ab b =-. 又0a <，0b >，解得12a =-，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 234ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.26．56-或76 【分析】若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，2121212122()4x x x x x x x x =+=+=+-，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求. 【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0，即331212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m = 综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)(3)
一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆3．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -4．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ） A ．2B ．10C ．2D ．45．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，86．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．28．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或69．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ） A 5B 2C ．22D ．310．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A B C D 12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．已知i 为虚数单位，计算：12cos sin 2233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 16．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.17．若z C ∈且1z =，那么2z i +-的最小值为_______________．18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 19．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.22．（1）在复数范围内解方程()232iz z z i i-++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．23．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11zu z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值. 24．已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 25．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()212f x z z =-的值域.26．已知z 为虚数，42z z +-为实数． （1）若2z -为纯虚数，求虚数z ； （2）求|4|z -的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．A解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B 【分析】根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.4．C解析：C 【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案． 【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ， 所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =， 所以(0,2)AB OB OA =-=，则202AB AB ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．5．A解析：A 【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=，即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．7．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.9．A解析：A 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．A解析：A 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】 由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sinθ= 所以14z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题解析：二 【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】 由()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：144-+【分析】先把122i+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】解：原式cos sin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦14=-+.故答案为：144-+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.16．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38； 【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果. 【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数， 所以32z i =-- ② 把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38 【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题17．【分析】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离求出即可得出结果【详解】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离∵∴的最小值是故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数1【分析】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离，求出1OM -即可得出结果．【详解】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离．∵OM ==∴2z i +-11．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值. 【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -.. 【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.19．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论. 【详解】()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）3a b ==；（2）min z =【分析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦， 即()()221122x y ++-=，它表示复数z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为22，构成的图形是以()11,1O -为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，12OO =22r = ∴当1z i =-时，z 有最小值，且min 2z =【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.22．（1）132z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++-设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a bμ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．23．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】（1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a zω=+=， 根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a aω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi bi u a bi a ---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.24．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =-又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围25．3⎡⎤-⎣⎦【分析】求出()f x 的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由x 的范围结合正弦函数的性质可得()f x 的值域.【详解】 ()()()()22212cos 11sin 32cos sin f x z z x x x x =-=-+-=-+34x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.26．（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ； （2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x的范围，根据复数的模的定义，化简为4z -=的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠， （1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+， 又因为42z z +-为实数， 则(442)242z yi y i R z yi y +=++=+-∈-， 得40y y-=，2y =±， 所以22z i =+或22z i =-. （2）2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+， 因为42z z +-为实数， ∴2240(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<， 即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.【点睛】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数122z =--，则z z +=（ ）A ．12-- B ．12-+ C ．12+ D ．12- 3．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C ．2D ．124．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 5．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --7．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．18．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-310．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．412．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．32二、填空题13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i ++++=___________.14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________. 16．若z C ∈且1z =，那么2z i +-的最小值为_______________． 17．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．已知复数()22356()=-+-+∈z k k k k i k R ，且0z <，则k =________. 19．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 20．已知，则 =____．三、解答题21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围. 22．（1）计算：()()432-23i i（i 为虚数单位）；（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）. 23．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.24．（1）在复数范围内解方程()232iz z z i i-++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．25．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.26．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限.（1）求复数z ；（2）若复数ω满足1zz iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()11711768341112i i i iz i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得122z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.3．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质112z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 5．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==6．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.7．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．D解析：D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 10．C解析：C 【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 11．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.12．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及 解析：10101010i -【分析】设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和． 【详解】设232020232020S i i i i =+++⋯+， 2342021232020iS i i i i =+++⋯+，上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i--=-=-=---，则(1)202020201010101012i i i S i i +=-=-=--． 故答案为：10101010i -． 【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题解析：二 【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】 由()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.故答案为：二. 【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．2【分析】首先将题中所给的式子进行化简求得从而得到其虚部的值【详解】根据可得所以所以复数的虚部为故答案为：2【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模复数的虚部属于简单解析：2 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】根据(12)|34|i z i -=+，可得(12)5i z -==， 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.16．【分析】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离求出即可得出结果【详解】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离∵∴的最小值是故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数1【分析】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离，求出1OM -即可得出结果．【详解】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离．∵OM ==∴2z i +-11．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的解析：12-【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解. 【详解】因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18．2【分析】由知为实数且的实部小于零由此可构造方程求得结果【详解】解得：故答案为：【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题关键是能够明确复数只有在虚部为零即为实数时才可以比较大小解析：2. 【分析】由0z <知z 为实数且z 的实部小于零，由此可构造方程求得结果. 【详解】0z < z R ∴∈ 2256030k k k k ⎧-+=∴⎨-<⎩，解得：2k = 故答案为：2 【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题，关键是能够明确复数只有在虚部为零，即为实数时才可以比较大小.19．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+ 9110z ∴=+=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．20．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.三、解答题21．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可. 【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=--（1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-，所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限，则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a >所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.22．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-【分析】（1）()()()()()()4222232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，列方程组求解.【详解】（1）()()()()()()4222232-22-22-26488i i i -===-； （2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+， 223313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩， 所以13z i =-+或1z =-.故答案为：13z i =-+或1z =-【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 23．（1）3a b ==；（2）min z =【分析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，即()()221122x y ++-=，它表示复数z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为22， 构成的图形是以()11,1O -为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，12OO =22r = ∴当1z i =-时，z 有最小值，且min 2z =【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.24．（1）132z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】 （1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：123x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩132z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z =()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强． 25．56-或76【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，①0∆≥，即35312m -≤或35312m +≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；②∆<0，即3533531212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得2m =±（舍）；综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题. 26．（1）1z i =-+；（2）25π 【分析】（1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ； （2）把复数1i z =-+代入iz z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i, ∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.。
人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试题(答案解析)(1)
【详解】
因为 是方程 的一个根，所以 ，
即 ，所以 ，解得 ，故选A.
【点睛】
本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.
2．A
解析：A
【解析】
【详解】
由 是方程 的根可得 ,
整理可得： ，
所以 ，解得 ，所以 ，故选A.
3．C
25．已知复数 满足 ， 的虚部为 ，且 在复平面内对应的点在第二象限.
（1）求复数 ；
（2）若复数 满足 ，求 在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
26．已知
（1）若 若在复平面上对应的点分别为A,B，求 对应用的复数
（2）若
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
9．复数 ， 是虚数单位，则下列结论正确的是
A． B． 的共轭复数为
C． 的实部与虚部之和为1D． 在复平面内的对应点位于第一象限
10．复数 的实部和虚部分别为 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
11．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
12．已知复数 满足： ，那么 的最小值为（）
二、填空题
13．6【解析】分析：先找到复数z对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这
解析：6
【解析】
分析：先找到复数z对应的点的轨迹，再求 的最大值.
详解：设复数 ，则 ，
11．A
解析：A
【分析】
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一、选择题1．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)3．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，84．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 6．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --7．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i --8．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =A ．1i -B ．1i -+C ．1i --D ．1i +9．若32a ii -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23 D ．3210．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i 11．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．)2 B ．)1C ．)2-D ．)1-二、填空题13．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________.14．计算121009100(23)(13)(123)i z i i -+=+=-++_______. 15．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________； 16．设i 为虚数单位，复数z 满足()()2133i z i+=-+，则z =______．17．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．18．已知复数z 满足43(zi i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 19．已知，则 =____．20．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.三、解答题21．已知复数1z 、2z 满足1||71z =、2||71z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.23．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11zu z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值.24．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R . (1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹; (2)求方程实根的取值范围.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.2．A解析：A 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确； 对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．5．B解析：B 【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++， 即()()222211x y x y -+=++， 解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.6．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.7．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.8．B解析：B 【解析】因为()1i 2i z -=，所以()2i111iz i i i ==+=-+-,选B. 9．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.10．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.11．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得222|13|1(3)1211z i i =+=+=-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.14．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511 【分析】利用复数的运算公式，化简求值. 【详解】原式1212100369100100999(23)121511()13[(23)]132()()i i i i i i -=+=+=-+=---⨯-⨯-+-+. 故答案为：511- 【点睛】思路点睛：本题考查复数的n 次幂的运算，注意31312⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值.15．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.16．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2ii =-+=-，则21z ====-，所以12z =-=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和解析：118(,)55-1-【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=，则118)656555z i '=-+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.18．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目 解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果. 【详解】由43z i i +=可得34zi i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+， 故答案是：34i -+. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++三、解答题21．1247z z +=，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ， 由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717473717171z i z +==±=±--+. 【点睛】本题的易错点在127171z z +=-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）123626z z i ⋅=--；（2）158. 【分析】（1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=；当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题23．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】（1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a zω=+=， 根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a aω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi bi u a bi a ---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立，所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.24．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心.(2)[4,0]-.【分析】(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入200220t t xy ++=中即可得出所求点的轨迹方程；(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围.【详解】解:(1)设方程实根为0t .根据题意得200(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,即()()2000220t t xy t x y i ++++-=. 根据复数相等的充要条件,得20002200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩① 由①得0t y x =-,代入200220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=即22(1)(1)2x y -++=.所以所求的点的轨迹方程是22(1)(1)2x y -++=,轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =直线0t y x =-与圆有公共点,2,即022t +,所以040t -.故方程实根的取值范围是[4,0]-.【点睛】本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题.25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）由已知得212212iz z z i-=+，又13z =， 所以222132iz z i-=+，所以22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-，整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=， 即2433z i -=，所以存在常数33k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．z 4＝7＋3i ，210AD =【分析】由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果.【详解】如图所示：AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1i 62i 210＋－＋＝＋＝【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．。