二次函数综合压轴题题型

二次函数综合压轴题题型

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函数的综合压轴题型归类

一、常考点汇总

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

２、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为:??

?

??++22

B

A B A y y x x ，

直线11b x k y +=(01≠k )与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系:

（1)两直线平行?21k k =且21b b ≠ (2）两直线相交?21k k ≠

(3)两直线重合?21k k =且21b b = （４)两直线垂直?121-=k k

3、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:

已知关于x 的方程2

3(1)230mx m x m --+-=(m 为实数),求证:无论m 为何值,方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ;

当0≠m 时，()032

≥-=?m ，()m m x 213?±-=

，m

x 3

21-=、12=x ；

综上所述:无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1。

4、函数过固定点问题,举例如下：

已知抛物线22

-+-=m mx x y (m 是常数）,求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122

；

∴ ???=-=+-0

1 02 2x x y ,解得：???=-=1 1 x y ；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1,-1)。

(题目要求等价于:关于m 的方程()x m x y -=+-122

不论m 为何值,方程恒成立）

小结．．

：关于x 的方程b ax =有无数解????==0

b a 5、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴）

如图，直线1l 、2l ,点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、

N ,使得MN AM +之和最小。

6、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图,S △PAB =1/２ ·ＰM ·△x=1/2 ·ＡN ·△y 7、函数的交点问题:二次函数(c bx ax y ＋＋＝2

)与一次函数（h kx y ＋＝）

(１)解方程组???h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

(2）解方程组???h

kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2,即()02

＝－＋－＋h c x k b ax ,通过?可判断两个图象的交点的

个数

有两个交点 ? 0＞?； 仅有一个交点 ? 0=?； 没有交点 ? 0＜? ８、方程法

(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3)列方程或关系式 9、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求 几何分析

涉及公式

应用图形 跟平行有关的图形 平移

2121k k l l ＝∥?

平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形 勾股定理逆定理 利用全等、平行、对顶角、互余、互补等 ()()22B A B A x x y y AB -+-=

直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的图形 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 ()()22B A B A x x y y AB -+-=

等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图形

利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

【例题精讲】

一 基础构图:

ｙ=322

--x x (以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小,差最大

(1)在对称轴上找一点P,使得PB+PC 的和最小,求出P 点坐标

(2）在对称轴上找一点P,使得P Ｂ－PC 的差最大，求出P 点坐标

★求面积最大 连接

A Ｃ,在函数函数第四象限的部分找一点Ｐ，使得

ACP ?面积最大，求出P 坐标

★ 讨论直角三角 连接

AC,在对称轴上找一点Ｐ，使得ACP ?为直角三角

形,

求出P 坐标或者在抛物线上求点Ｐ,使△ＡCP 是以A Ｃ为直角边的直角三角形．

★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点Ｐ，使得ACP ?为等腰三角形，

求出P 坐标

★ 讨论平行四边形 １、点Ｅ在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以Ｂ,

Ａ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标

二 综合题型

例1 (中考变式）如图,抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1，０）,B(-３，0)两点，顶点为Ｄ。交Y 轴于Ｃ

(1）求该抛物线的解析式与△AB Ｃ的面积。

(２)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△ＭBC 是以∠B ＣM 为直角的直角三角形,若存在,求出点P 的坐标。若没有,请说明理由

(3)若E为抛物线B、Ｃ两点间图象上的一个动点(不与A、Ｂ重合)，过E作EF与Ｘ轴垂直，交B Ｃ于F,设E点横坐标为ｘ.EＦ的长度为L，

求Ｌ关于X的函数关系式?关写出X的取值范围?

当E点运动到什么位置时,线段ＥF的值最大,并求此时E点的坐标？

(4)在(5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点Ｈ。当E点运动到什么位置时,以点Ｅ、F、Ｈ、Ｄ为顶点的四边形为平行四边形？

(5）在(5)的情况下点Ｅ运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

例2考点: 关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(－1,0)、(０,3

－)，

点B在ｘ轴上．已知某二次函数的图象经过Ａ、B、C三点，且它的对

称轴为直线x＝1,点Ｐ为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点

P与B、C不重合），过点P作ｙ轴的平行线交BC于点F.

(１)求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；

（3）求△ＰBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.

y

x

B

A F

P

x

＝

1

C

O

例3 考点：讨论等腰

如图，已知抛物线y =2

1

x 2＋b ｘ＋c 与y 轴相交于C ，与ｘ轴相交于A 、B ,点A 的坐标为（2，0），点

Ｃ的坐标为（0，－1）． (1）求抛物线的解析式;

（2）点E 是线段AC 上一动点,过点E 作ＤE ⊥x 轴于点D ，连结ＤC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

(３)在直线ＢC 上是否存在一点P ，使△ＡCP 为等腰三角形，若存在,求点Ｐ的坐标，若不存在,说明

理由．

例4考点：讨论直角三角 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与ｘ轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y ＝2

1x ２

＋ｂx +ｃ的图象与一次函数y ＝

2

1

x +1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、Ｅ两点且D 点坐标为(1，0） (1)求二次函数的解析式;

（２)求四边形ＢDE Ｃ的面积S ;

（3)在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P ,若不存在，请说明理由．

D

B C

O A y

x

E B C

O A

备用图

y x

O A B

y

C

x

D E

2

例5 考点:讨论四边形

已知:如图所示,关于ｘ的抛物线ｙ＝ａx 2+x ＋ｃ(a ≠0）与x 轴交于点A (－2，０)，点B (6,０),与y 轴交于点C .

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标;

(2）在抛物线上有一点Ｄ，使四边形A ＢDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线ＡＤ的解析式；

(3）在（２)中的直线A Ｄ交抛物线的对称轴于点Ｍ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一动点Q ．是

否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的坐标;如果不存在，请说明理由．

综合练习：

1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ,与y 轴的正半轴交

于点C ，点 Ａ的坐标为(１， 0),O Ｂ＝OC ，抛物线的顶点为Ｄ。 (1） 求此抛物线的解析式；

（２) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠ＡP Ｂ＝∠ＡCB ,求点P 的坐标；

(３） Q 为线段B Ｄ上一点，点Ａ关于∠A ＱB 的平分线的对称点为A ',若2=-QB QA ,求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。

２、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数2

+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴

交于Ａ、B 两点,点B 的坐标为()0 3，

-。 (1) 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2

的两部分，求出此时点M 的坐标;

（3） 点Ｐ是第二象限内抛物线上的一动点,问：点Ｐ在何处时△CPB 的面积最大?最大面积

是多少?并求出此时点P 的坐标。

B

A y

O

C x

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线x x m

y 222

-=与x 轴负半轴交于点A ,顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。

（1)求点B 的坐标(用含m 的代数式表示);

（２）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ,若E （0,2)，求抛物线的解析式;

（3）在(2)的条件下,点M 在直线OB 上，且使得AMC ?的周长最小，P 在抛物线上,Q 在直线BC 上,若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的坐标。

４、已知关于x 的方程2

(1)(4)30m x m x -+-+=。 (１) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

(2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2

(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于

A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿ｘ轴翻折,图象的其余部分保持不变，得到一

个新的图象;请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时,求出k 的值(只需要求出两个满足题意的k 值即可)。

５如图，抛物线y=ax 2+2ax+c(a≠0)与ｙ轴交于点Ｃ(0,4)，与x 轴交于点A （﹣4，０)和B.

(１)求该抛物线的解析式;

（2)点Ｑ是线段A Ｂ上的动点，过点Q 作Q Ｅ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CE Ｑ的面积最大时,求点Q 的坐标； （3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(﹣2,０).问是否有直线l,使△ＯDF 是等腰三角形?若存在，请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由．

中考二次函数定值问题

1. (2０１2江西南昌8分）如图,已知二次函数Ｌ１:ｙ=x2﹣4ｘ＋3与x轴交于A.B两点（点A在点B左边），与y轴交于点Ｃ．

（１)写出二次函数Ｌ1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（２）研究二次函数L2：y＝kx２﹣4kx+3ｋ(k≠0).

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线ｙ=8k与抛物线L２交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度;如果会，请说明理由．

2．（2０12山东潍坊11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2，O)、B（2,０)、C（0，－l)三点,过坐标原点Ｏ的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(０，－２)作平行于x

轴的直线

1

l、2l.

(1)求抛物线对应二次函数的解析式;

(２)求证以OＮ为直径的圆与直线

1

l相切;

(3）求线段MN的长（用k表示),并证明M、N两点到直线

2

l的距离之和等于线段ＭN的长.

3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=ｋx 与抛物线2422

y=x +x 273

交于点A(3,6）.

（1)求直线ｙ=k ｘ的解析式和线段ＯA 的长度；

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合)，交直线OA 于点Q,再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究:线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点Ｂ为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O 、Ａ不重合）,点D(m ，０）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠ＢA Ｅ=∠ＢED=∠AＯD ．继续探究：ｍ在什么范围时,符合条件的Ｅ点的个数分别是1个、２个？

４.（２011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ａｘ２

(a

＜0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ,两直角边与该抛物线交于Ａ、Ｂ两点,请解答以下问题:

（1)若测得OA ＝O Ｂ＝2

错误!(如图1),求ａ的值；

（2）对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作ＢＦ⊥ｘ轴于点F ,测得OF =1,写出此时点B 的坐标,并求点A 的横坐标．．．; （３)对该抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

F E

y

x

B

A

O