2005年高考数学广东卷试题及答案

2005年高考数学广东卷试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的. 1．若集合}03|{},2|||{2

=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N=

（ ）

A ．{3}

B ．{0}

C ．{0，2}

D ．{0，3}

2．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则2

2

b a += （ ）

A ．0

B ．2

C ．2

5 D ．5 3．9

3

lim 23-+-→x x x =

（ ）

A ．6

1-

B ．0

C ．

6

1 D ．

3

1

4．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三 角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（ ）

A ．

41

B ．

21 C ．6

3 D ．

4

3 5．若焦点在x 轴上的椭圆

122

2

=+m y x 的离心率为2

1，则m=（ ） A ．3

B ．

2

3

C ．

3

8 D ．3

2 6．函数13)(2

3

+-=x x x f 是减函数的区间为

（ ）

A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2）

7．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：

①若不共面与则点m l m A A l m ,,,?=??αα；

②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；

④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =??? 其中为假命题的是 （ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分

如图1

别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（ ）

A ．

61 B ．

36

5 C ．

121 D ．2

1 9．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）

A ．???

??≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f

B ．???

??≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x f

C ．???

??≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f

D ．???

??≤<-≤≤-=42,32

21,62)(x x x x x f

10．已知数列===+==∞→--12112,2lim .,4,3),(2

1

,2}{x x n x x x x x x n n n n n n 则若满足Λ（ ）

A ．

2

3

B ．3

C ．4

D ．5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．函数x

e

x f -=

11)(的定义域是 .

12．已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = .

13．已知5

)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4

)4

5(+x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos =

.

14．设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示

这n 条直线交点的个数，则)4(f = ；当n>4时， )(n f = .（用n 表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）

化简),,)(23

sin(32)2316cos()2316cos(

)(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=π

ππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.

16．（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，

AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，3417

15

=CF ，点E 在线段AB 上，

且EF ⊥PB.

（Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ；

如图2

（Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小. 17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4

所示）.

（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存

在，请说明理由.

18．（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）

设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有

.0)3()1(==f f

（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

如图4

2005年高考数学广东卷试题及答案

参考答案

一、选择题

1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、填空题

11.{x|x<0} 12.4 13.22± 14. 5, )1)(2(2

1

+-n n 三、解答题

15

．解：()cos(22)cos(22)sin(2)3

33

f x k x k x x π

π

π

ππ=+

++-

-++

2cos(2)sin(2)4cos 233

x x x ππ

=+++=

函数f(x)的值域为4-;

函数f(x)的周期πω

π

==2T ；

16．（I ）证明：∵2

22

1006436PC AC PA ==+=+

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证

△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故PA ⊥平面ABC

又∵306102

1

||||21=??==

?BC AC S PBC 而

PBC S CF PB ?==??=3017

34

1534221||||21 故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB ∴PB ⊥平面CEF

（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE

在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ， EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC 故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角

3

5

610cot tan ===

∠=∠AP AB PBA FEB 二面角B —CE —F 的大小为35

arctan

17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

????+=+=33

2121y y y x x x (1)

∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有2

222

11,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x

∴3

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

2

32

+=x y （II ）2

2

212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==

? 由（I

）得1212

AOB S ?=≥==?=

当且仅当6

261x x =即121-=-=x x 时，等号成立

所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；

18．解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n

(II) ξ的数学希望为

n

n

n n t s t n t s st n t s st t s st t s s E )()()1(...)(2)(1011322+?++?-+++?++?++?=--ξ…(1) 1

1

1113322)

()()1()()2(...)(2)(++---+++-++-+++++=+n n n n n n t s nt t s st n t s st n t s st t s st E t s t ξ…(2) (1) －(2)得

n

n

n n n n t s nt t s t n t s s t s t E )()()1()(11++

+--+-=--ξ 19.解: 由)14()4()

14()()

4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=???

?+=-+=-

)10()(+=?x f x f ,

又(3)0,(7)0f f =≠而,

(3)(7)0f f ?-=≠ (3)(3)f f ?-≠，(3)(3)f f -≠-

故函数)(x f y =是非奇非偶函数;

(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-??

??-=-=????+=-+=-

)10()(+=?x f x f

又(3)(1)0(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ==?==-=-= 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,

从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解20.解(I) （1）当0=k 时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程2

=

y

（2）当0≠k 时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G(a,1)(02)a <≤， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k a k a

k k OG -=?-=-=?11

,1 故G 点坐标为)1,(k G -(2k -≤<

从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为2

1,2(k M -

折痕所在的直线方程)2

(21k

x k y +=-，即2122k y kx =+

+(2k -≤<由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：

k=0时，2

1

=y ；0≠k 时2122k y kx =+

+(2k -≤< （II ）⑴当0k =时，折痕的长为2;

⑵当0≠k 时,

①如下图，折痕所在的直线与边AD 、BC 的交点坐标为2211

(0,),(2,222

k k N P k +++

这时，20k -<<，222

444(1)(4,16(2y PN k k ==+=+∈- ②如下图，折痕所在的直线与边AD 、AB 的交点坐标为)0,21

(),21,0(22k

k P k N +-+

这时，12k -≤≤-

2223

2

222

11(1)()()224k k k y PN k k +++==+-=

22223222/

43

3(1)24(1)8162k k k k k y k k

+??-+?==

令0/

=y 解得2

2-

=k ， ∵

1227

|2,|

,|16(216

k k k y y y =-=-=-

∴27

[

,16(216

y ∈- ③如下图，折痕所在的直线与边CD 、AB 的交点坐标为2211

(,1),(22k k N P k k

-+-

这时，21k -≤<

-，2

2

1

5()1[4

y PN k

==+∈

综上述，max 16(2y ==≈