离散数学考试试题(A、B卷及参考答案)

1 / 6 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C) (A∧(PQ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C) (P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C再反用分配律 ( A∧(PQ))∨C (A∧(PQ))C 2) (PQ) PQ。 证明：(PQ)((P∧Q))(P∨Q))PQ。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(QR))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。 证明： 公式法：因为(P(Q∨R))∧(P∨(QR)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q∧R)∨(Q∧R)) (P∨Q∨R)∧(((P∨Q)∧(P∨R))∨(Q∧R))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)∧(P∨R∨Q)∧(P∨R∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) 4M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制为4 0m∨1m∨2m∨3m∨7m 所以，公式(P(Q∨R))∧(P∨(QR))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 2 / 6

真值表法： P Q R QR P(Q∨R) P∨(QR) (P(Q∨R))∧(P∨(QR)) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知，公式(P(Q∨R))∧(P∨(QR))为可满足式，其相应的成真赋值

为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分） 1）P∨Q，Q∨R，RSPS。 证明： (1)P 附加前提 (2)P∨Q P (3)Q T(1)(2)，I（析取三段论） (4)Q∨R P (5)R T(3)(4)，I（析取三段论） (6)RS P (7)S T(5)(6)，I（假言推理） (8)PS CP 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明（1）xP(x) (2)P(a) (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) 3 / 6

(10)x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分） 证明：因为 x∈(A∪B)－Cx∈(A∪B)－C

x∈(A∪B)∧xC (x∈A∨x∈B)∧xC (x∈A∧xC)∨(x∈B∧xC) x∈(A－C)∨x∈(B－C) x∈(A－C)∪(B－C) 所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。 八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(mod m)}是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。X(modm)=y(modm) 证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。 2）x,y∈I，若xRy，则xy(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以yx(mod m)，即yRx。 3）x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。 九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。 证明： 因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。 因为∈f-1g-1存在z（∈g-1∈f-1）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。 离散数学考试试题(B卷及答案）

一、证明题（10分） 1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T 4 / 6

证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入) 2) xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y)) 证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y)) 二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10分） 解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q) (P∨Q)∨(P∨Q) (P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q) (P∨Q) M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1 m0∨m2∨m3使之为真 三、推理证明题（10分） 1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R (2)R∨P p (3)P T（1）（2）析取三段论 (4)P(QS) p (5)QS T（3）（4）I假言推理 (6)Q P (7)S T（5）（6）I假言推理 (8)RS CP 2) x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。 证明：(1)x(A(x)yB(y)) P 5 / 6

(2)A(a)yB(y) T(1)ES (3)x(B(x)yC(y)) P (4)x(B(x)C(c)) T(3)ES (5)B(b)C(c) T(4）US (6)A(a)B(b) T(2)US (7)A(a)C(c) T(5)(6)I假言三段论 (8)xA(x)C(c) T(7)UG (9)xA(x)yC(y) T(8)EG 四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。 解 ： 设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集 合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。 (1)PxA(x) P (2)PxA(x) T(1)E (3)xA(x)P T(2)E (4)xA(x)Q P (5)(xA(x)Q)∧(QxA(x)) T(4)E (6)QxA(x) T(5)I (7)QP T(6)(3)I 五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分） 证明： ∵ x A∩（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（xB∨xC）（ x A∧ xB）∨（x A∧xC） x（A∩B）∨x A∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图（10分）。有就是1，没就是0 七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。 r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包） 6 / 6

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}（对称闭包） t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递闭包） 九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。 解 因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhg

＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gfh＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。 由hgf＝IA，得f－1＝hg；由fhg＝IB，得g－1＝fh；由gfh＝IC，得h－1＝gf。

五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问: (1) 有多少不同的由X到Y的关系? (2) 有多少不同的由X到Y的影射? (3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?

（12分）是个群，u∈G，定义G中的运算“”为ab=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：也是个群。 证明：1）a,b∈G，ab=a*u-1*b∈G，运算是封闭的。 2）a,b,c∈G，（ab）c=（a*u-1*b）*u-1*c=a*u-1*（b*u-1*c）=a（bc），运算是可结合的。 3）a∈G，设E为的单位元，则aE=a*u-1*E=a，得E=u，存在单位元。 4）a∈G，ax=a*u-1*x=E，x=u*a-1*u，则xa=u*a-1*u*u-1*a=u=E，每个元素都有逆元。 所以也是个群。

六.