第5-7讲信号处理部分作业参考答案

令t t
则：
Rx(- ) E X (t ).X (t) E X (t ).X (t) E X (t).X (t- ) Rx( )
5-3 证明自相关函数的性质：
1）互相关函数的取值范围：xy x y Rxy xy x y

u1t
e j f (u)e judu e j F ( j)
F f (1 t) f (1 t)e jtdt f (u)e j(1u)du

u1t
e j f (u)e judu e j F ( j)
2）Rxy(- ) Ryx( )
证明： Rxy(- ) E X (t).Y (t+ ) E Y (t+ ).X (t)
令t t+
E Y (t).X (t ) E Y (t).X (t ) Ryx ( )
3
6-1 如图所示矩形波，请用下列函数近似
d
F f (1 t)

f (1 t)e jtdt


jtf (1 t)e jtdt F jtf (1 t)
d
d

d
tf (1 t) j
F f (1 t)
d j
e j F ( j)
e j F ( j) je j F ( j)

2 x


2 x


2 x

Rx (
)


2 x


2 x
2
3) Rx(- ) Rx( ) 证明：
Rx( )是的偶函数
Rx(
)

lim
T
1 T
T /2 T / 2
x(t ) x(t

)dt

E

X
(t).X
(t -
)
Rx(- ) E X (t).X (t )


n

m


1 2


n

m
1


1 2
n
u
(n)

1 2
h

n

1
8
h(n)

1 2
h(n

1)


1 2
n

u(n)
1 2
h(n)

1 2
1 2
h(n

2)

1 2

1 2
n1

u(n
1)
7-4: 测 2-17
fs 2 fm 28.3 16.6kHz N fs 16600 1.66104
d
dF f (2t)
j
tf (2t)
d
F f (2t) 1 F ( j )
22
tf (2t) 1 jF ( j )
2
2
（4）因有
jtf (t) dF ( j) d
两边同时求导

jt
df
(t)

jf
(t)

d

dF ( j) d



1

E 2
2

( )
维纳钦 1 欣定理
1 R( )

S() 2 Fn 2 ( n1) n
S ( )

E 2 2

(
1 )

(
1 )
R( ) 1 S()e j d
2


E2 4
[e j1
解（1）
h(0) y(0) x(0) 1
h(1) y(1) h(0)x(1) x(0) 1 1 0
22


h(2) y(2) h(0)x(2) h(1)x(1)

0

x(0)


1 2
2


0


1 2
2



h(3) y(3) h(0)x(3) h(1)x(2) h(2)x(1)
e j1
]

E2 2
cos 118
6-7
F () E2 2Sa2 ( ) 2
7
7-1 已知人的脑电波频率范围 0-45Hz，对其作数字信号处理时，求最大抽样周期 T。如果 T=5ms 抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不失真的恢复原信号，问理想低通 滤波器的截止频率 fc 应满足什么条件？
j
dF (
j)
dt
dt
d
t df (t) f (t) dF ( j)
dt
d
t df (t) dF ( j) F ( j)
dt
d
所以有：
5
（5）
F f (1 t) f (1 t)e jtdt f (u)e j(1u)du
d
d
F (1 t) f ((1 t) F f (1 t) tf (1 t) F f (1 t) F tf (1 t) je j F( j)
6-5 求如图函数的傅里叶变换。
解： 如图，
6
也可以直接利用 t*U(t)和 U(t)的 Fourier 变换，不过结果要注意化简；
Rx (0)Rx (0) Rx2 (0)
2)
自相关函数的取值范围：
2 x

2 x

Rx




2 x
Байду номын сангаас

2 x
x ( )

E
x(t)
x x(t
x x
)

x


Rx ( )

2 x

2 x
x ( ) 1

Rx
(
)


2 x
1
2）Rxy(- ) Ryx( )
证明：
1）互相关函数的取值范围：xy x y Rxy xy x y
证明：
lim 1
xy (
)

E
x(t)
x y(t
x y
)

y

T
T
f 1
9
解：(1)0.011s (2)45Hz~155Hz
7-2
某地址勘探测试设备给出的发射信号x(n) n 1 n 1 ,
2
接收回波信号y(n)


1 2
n

u(n), 若地层反射特性的系统函数用
h(n)表示，且满足y(n) h(n) x(n)。
求:h(n);
任一函数在给定的区间内可以用在此区间的完备正交函数集表示，但若只取函数集中的 有限项，或者正交函数集不完备，则只能得到近似的表达式。

f (t) sin ntdt
Cn

sin2 ntdt


sin ntdt

0
sin2 ntdt
0

1 2
t
0
1 cos nt

t
11 et 2 et
5-2 证明自相关函数的性质：
1） Rx(0)为自相关函数的最大值：Rx(0) Rx( )
2)
自相关函数的取值范围：
2 x

2 x

Rx




2 x

2 x
3) Rx(- ) Rx( )
Rx( )是的偶函数
证明：
1) Rx(0)为Rx( )的上界：Rx (0) Rx( ) 许瓦尔兹不等式：E2 ( XY ) E2 ( X )E2 (Y ) 证明：Rx2( ) E2 X (t).X (t- ) E X 2 (t) E X 2 (t- ) E X 2(t) E X 2(t)
6-6 求周期余弦的功率谱 f (t) E cos(1t) 功率谱 和自相关
例：求周期余弦的功率谱 S() 和自相关R( )
f (t)
f (t) E cos1t
F ()
E
t

E 2
(e j1t
e j1t )
F() E[ ( 1) ( 1)]
1
T
2 T
x(t) x
y(t ) y
dt
2
x y
Rxy ( ) xy x y
xy ( ) 1
Rxy ( ) xy 1 x y
xy x y Rxy xy x y



1
1
t 1
f1(t) * f2 (t) 1 e(t 1)d 2 e(t 1)d

1
t 1
t 1
1 e(t 1)d 1 e(t 1)d

1
u t 1 0
0
1 eudu 1 eudu
n
0
1 cos 2nt 2n
0


2
n
(1)n
1
6-2 测 P115 的 2-11
15, f 15 ; 2
y(t) 100 109.77 cos(15t 10.46)