湖南师大附中2016--2017学年度高二下学期期中考试数学(理)试题含答案
北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
北京师大附中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数i z +-=2所对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是（ ） A. 2,1(πB. )2,1(π-C. )1,0(D. )0,1(3. 定积分⎰-+22)cos (sin ππdx x x 的值为（ ）A. 0B.4π C. 2 D. 44. 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点（0，0）处的切线方程为x y 2=，则a ＝（ ） A. 0B. 1C. 2D. 35. 若函数)(x f 在R 上可导，x e f x x f ln )(2)(+'=，则)(e f '＝（ ） A. 1B. －1C. e1-D. e -6. 若函数)(x f y =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称)(x f y =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是（ ）A. x y sin =B. x y ln =C. x e y =D. 3x y =7. 设)(x f '是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8. 设函数)(x f 在R 上的导函数为)(x f '，且2)()(2x x f x x f >'+，下面的不等式在R上恒成立的是（ ）A. 0)(>x fB. 0)(<x fC. x x f >)(D. x x f <)(二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分。
9. 若i z 34+=，则||z z＝_______________。
2016-2017年山东师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
一、选择题（下列各题 A、B、C、D 四个答案有且只有一个正确，每题 5 分， 满分 60 分） 1． （5 分） A．31 ＝（ B．32 ） C．33 D．34 ） D．
2． （5 分）i 为虚数单位， （1+i） ＝（1﹣i）2，则|z|＝（ A．1 3． （5 分） A． 4． （5 分） A．﹣36 B．2 ＝（ B． ） C． ） C．
的展开式中的常数项； ，求（a0+a1+a2+a3+…+a10） （a0
（1）写出第 6 个等式，并猜想第 n 个等式； （n∈N*） （2）用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立． （n∈N*） 20． （12 分）已知函数 f（x）＝x3﹣ax﹣1（a∈R） （ I）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）若函数 f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减，求实数 a 的取值范围． 21． （12 分）设函数 f（x）＝alnx﹣x﹣ （ I）a＝2，求函数 f（x）的极值； （Ⅱ）讨论函数 f（x）的单调性． 22． （12 分）设函数 φ（x）＝ex﹣1﹣ax， （ I）当 a＝1 时，求函数 φ（x）的最小值； （Ⅱ）若函数 φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数 a 的范围； （ III）证明不等式 ex≥1+x+ ．
【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ①、所选的四人中有 1 名女生，则有 3 名男生，有 C43C21＝8 种情况， ②、所选的四人中有 2 名女生，则有 2 名男生，有 C42C22＝6 种情况， 则所选的四人中至少有一名女生的选法有 8+6＝14 种； 故选：A． 6． （5 分） “a＝1” 是 “复数 z＝ （a2﹣1）+2（a+1）i（a∈R）为纯虚数”的（ A．充要条件 C．充分不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ）
湖南师范大学附属中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题 答 要 不 内 线 封 密号位座____________ 号场考____________ 号 学____________ 名 姓____________级 班____________ 级 年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学命题人：黄祖军 周正安 (必修1～5，选修2－1第1、2章)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是A .111B .80883C .112D . 无法确定 2．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A .25B .110C .910D .153．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24. 平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为A. 2B. 3 C ．2 D ．3 6. 下列命题中正确的有①命题x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝3的否定是“对x ∈R ，恒有sin x ＋cos x ≠3”； ② “a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的充要条件；③若曲线C 上的所有点的坐标都满足方程f (x ，y )＝0，则称方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程； ④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)． A ．①②③④ B ．①④ C ．②③ D ．③④7. 设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立．．．．．．的是 A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b α，c α，若c ∥α，则b ∥c 8. 双曲线x 2－y 23＝1位于第一象限内的点P 到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P 构成的三角形面积S ＝A.15 B ．4 C ．2 3 D ．59．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 A ．－24 029B ．－24 030C ．－24 031D. －24 03310．已知x ，y ∈[－2，2]，任取x 、y ，则使得(x 2＋y 2－4)x －y ≤0的概率是 A.π2 B.π4 C.π6 D.π8答题卡二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，其两条渐近线方程是________．12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、左视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点P 到右焦点F 的距离||PF 均满足||PF 2－2a ||PF ＋c 2≤0，则该椭圆的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)从一批土鸡蛋中，随机抽取n 个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]频数(个)1050m15已知从n 个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[)90，95的土鸡蛋的概率为419.(1)求出n ，m 的值及该样本的众数的近似值；(2)用分层抽样的方法从重量在[)80，85和[]95，100的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g 1 、g 2，求|g 1－g 2|>10的概率．已知命题p ：方程x 2m －2＋y 2m －5＝1表示双曲线，命题q ：x ∈(0，＋∞)，x 2－mx ＋4≥0恒成立，若p ∨q 是真命题，且綈(p ∧q )也是真命题，求m 的取值范围．已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1，－2)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为22，求直线l的方程．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点P 在以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上运动，点Q 在直线x －y ＋5＝0上运动，则||PF ＋||PQ 的最小值为( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．62．f (x )是定义在R 的以3为周期的奇函数，且f (2)＝0，则函数f (x )在区间[－3，3]内的零点个数的最小值是( )A ．4 B. 5 C. 7 D ．9二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．3．已知实数x ，y 使得x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0，则x ＋2y 的最小值等于________． 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 4．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．已知等差数列{}a n 满足：a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0. (1)求{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足：b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)，求{}b n 的前n 项和S n .如图，已知焦点在x 轴上的椭圆x 28＋y 2b 2＝1(b >0)有一个内含圆x 2＋y 2＝83，该圆的垂直于x 轴的切线(左侧)交椭圆于点M ，N ，且OM →⊥ON →(O 为原点)．(1)求b 的值；(2)设内含圆的任意切线l 交椭圆于点A 、B ，求证：OA →⊥OB →，并求|AB →|的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案 必考试卷Ⅰ一、选择题．题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案BDABCBCACD1.B2．D 【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，选D.3．A 【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0，解得λ＝－1. 4．B5．C 【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x ＋3cos x ，知其最大值为2.6．B 7．C8．A 【解析】由双曲线定义知，三角形三边分别为4，4，2，其面积值为S ＝15. 9．C 【解析】据程序框图， 可看做是： 已知a 1＝21－2＝－2，a n ＋1＝a n1－a n，求a 2 016，由已知有1a n ＋1＝1a n －1，求出通项a n ＝－22n －1(或由前几项归纳)，故a 2 016＝－24 031.10．D 【解析】(x 2＋y 2－4)x －y ≤0等价于满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x 2＋y 2－4≤0，即如图中的的阴影部分，故所求概率为阴影部分占正方形的面积比．二、填空题． 11．y ＝±34x12．3π 【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是3，故球的表面积是4π⎝⎛⎭⎫322＝3π. 13.⎝⎛⎦⎤0，22 【解析】||PF →2－2a ||PF →＋c 2≤0||PF →2－2a ||PF →＋a 2－b 2≤0即a －b ≤||PF →≤a ＋b ，而椭圆中，a －c ≤||PF →≤a ＋c ，故⎩⎪⎨⎪⎧a －c ≥a －b a ＋c ≤a ＋bc ≤b c 2≤a 2－c 2e ∈⎝⎛⎦⎤0，22.三、解答题．14．【解析】(1)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧m n ＝419n ＝10＋50＋15＋m ，从而得m ＝20，n ＝95.(4分)据表知该样本的众数的近似值是87.5.(5分)(2)若采用分层抽样的方法从重量在[80 , 85)和[95 , 100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80 , 85)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，(6分)在[95 , 100]的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，(7分)从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a )，(x , b )，(x , c )，(a , b )，(a , c )，(b , c ) ，(y , a )，(y , b )，(y , c )，(x , y ) 10种情况．(9分)要|g 1－g 2|>10，则必须是“重量在[80 , 85)和[95 , 100]中各有一个”，这样的情况共有(x , a )，(x , b )，(x , c )，(y , a )，(y , b )，(y , c ) 6种．设事件A 表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g 1－g 2|>10”，则P (A )＝610＝35.答：从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g 1－g 2|>10的概率为35.(11分)15．【解析】p 真时有：(m －2)(m －5)<0即2<m <5；(3分)q 真时有： m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x，对x ∈(0，＋∞)恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫x ＋4x min ，而x ∈(0，＋∞)时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4，当x ＝2时取等号．即m ≤4.(7分) 由p ∨q 是真命题，且綈(p ∧q )也是真命题得：p 与q 为一真一假；(9分)当p 真q 假时，⎩⎨⎧2<m <5m >44<m <5；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≤2或m ≥5m ≤4m ≤2；(11分)综上，所求m 的取值范围是(－∞，2]∪(4，5). (12分)16．【解析】(1)令抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．将点A (1，－2)的坐标代入方程，得p ＝2， 故所求抛物线的标准方程为y 2＝4x .(3分)(2)若直线l ⊥x 轴，则M (1，2)，N (1，－2)，此时△MNO 的面积为2，不合题设；(4分) 若直线l 与x 轴不垂直，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l ：y ＝k (x －1) (k ≠0)，将其代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2x 1x 2＝1.(7分)于是，||MN ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4（1＋k 2）k 2， (或|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝2（k 2＋2）k 2＋2＝4（1＋k 2）k 2)又原点到直线l 的距离为d ＝||k 1＋k 2，(9分)则22＝12||MN ·d ＝12·4（1＋k 2）k 2·||k 1＋k 2，解得，k ＝－1或1.综上，所求直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.(12分) (或设直线方程是x ＝my ＋1解之)必考试卷Ⅱ一、选择题．1．C 【解析】||PF ＋||PQ 的最小值为点F (1，0)到直线x －y ＋5＝0的距离d ＝3 2.2．D 【解析】f (2)＝0f (－2)＝0f (1)＝0f (－1)＝0， f (0)＝0f (3)＝0f (－3)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32，又f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝0，故至少可得9个零点． 二、填空题． 3．－22－1【解析】x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0(x －1)2＋4(y ＋1)2＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θy ＋1＝sin θ，则x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ－1≥－22－1.三、解答题．4．【解析】(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0sin C ＝cos C ， 又cos C ≠0tan C ＝1C ＝π4.(4分)(2)由(1)知B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.(6分)由0<A <3π4π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.(8分)综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.(10分)5．【解析】(1)令等差数列{}a n 的公差为d ，由a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3（a 1＋4d ）－2（a 1＋2d ）＋1＝0， 解得a 1＝1，d ＝2,故{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(5分) (2)由已知得b n ＝(－1)n (2n －1)＋n ，(6分) 若n 为偶数，结合a n －a n －1＝2，得S n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a n －1＋a n )＋(1＋2＋…＋n )＝2·n 2＋n （n ＋1）2＝n 2＋3n 2；(9分)若n 为奇数，则S n ＝S n －1＋b n ＝（n －1）2＋3（n －1）2－(2n －1)＋n ＝n 2－n 2.(12分)6．【解析】(1)当MN ⊥x 轴时，MN 的方程是x ＝－83，设M ⎝⎛⎭⎫－83，y 1，N ⎝⎛⎭⎫－83，－y 1，由OM →⊥ON →知△MON 是等腰直角三角形，∴|y 1|＝83， 即点M ⎝⎛⎭⎫－83，83在椭圆上，代入椭圆方程得b ＝2.(3分) (2)当l ⊥x 轴时，由(1)知OA →⊥OB →，(4分)当l 不与x 轴垂直时，设l 的方程是：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0， 则|m |1＋k 2＝833m 2＝8(1＋k 2)．(5分)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 28＋y 24＝1(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0, Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝323(4k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，(7分)x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝（1＋k 2）（2m 2－8）1＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝3m 2－8（1＋k 2）1＋2k 2＝0，即OA →⊥OB →.即椭圆的内含圆x 2＋y 2＝83的任意切线l 交椭圆于点A 、B 时总有OA →⊥OB →.(9分)当l ⊥x 轴时，易知|AB |＝283＝463.(10分) 当l 不与x 轴垂直时，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）·323（4k 2＋1）（1＋2k 2）2＝463（1＋k 2）·（4k 2＋1）（1＋2k 2）2，设t ＝1＋2k 2∈[1，＋∞)，1t ∈(0，1]，则|AB |＝4632t 2＋t －12t 2＝463－12⎝⎛⎭⎫1t －122＋98. 所以1t ＝12即k ＝±22时，|AB |取最大值23，1t ＝1即k ＝0时|AB |取最小值463，综上|AB |∈⎣⎡⎦⎤463，23.(13分)。
2016-2017年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数2．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3 3．（3分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．715．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，O为底面ABCD中心，G为△D 1C1O重心，则＝（）（用表示）A．B．C．D．7．（3分）设函数，则曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．B．C．D．8．（3分）设，都是非零向量，命题P：，命题Q：的夹角为钝角．则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条10．（3分）若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（）A．﹣1B．﹣C．D．111．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．12．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝．14．（4分）命题：等腰三角形两底角相等的逆命题是：．15．（4分）设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为．16．（4分）设函数f（x）＝（x﹣3）3+（x﹣1），数列{a n}是公差不为零的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）＝14，则a1+a2+…+a7＝．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．18．（8分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x＝2对称（1）求b值；（2）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．19．（8分）已知数列{a n}满足：（1）求a2，a3；（2）猜想{a n}通项公式并加以证明．20．（12分）如图，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE；（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；（3）求点D到平面ACE的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．2016-2017学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（3分）下列语句不是命题的是（）A．﹣3＞4B．0.3是整数C．a＞3D．4是3的约数【解答】解：A，B，D都是表示判断一件事情，C无法判断，故选：C．2．（3分）“直线x﹣y﹣k＝0与圆（x﹣1）2+y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是（）A．﹣1＜k＜3B．﹣1≤k≤3C．0＜k＜3D．k＜﹣1或k＞3【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去y得：2x2+（﹣2k﹣2）x+k2﹣1＝0，由题意得：△＝（﹣2k﹣2）2﹣8（k2﹣1）＞0，变形得：（k﹣3）（k+1）＜0，解得：﹣1＜k＜3，∵0＜k＜3是﹣1＜k＜3的一个真子集，∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜k＜3．故选：C．3．（3分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【解答】解：不妨设向量为＝（x，y，z），A．若＝（﹣1，1，0），则cosθ＝＝，不满足条件．B．若＝（1，﹣1，0），则cosθ＝＝＝，满足条件．C．若＝（0，﹣1，1），则cosθ＝＝，不满足条件．D．若＝（﹣1，0，1），则cosθ＝＝，不满足条件．故选：B．4．（3分）已知：，，类比上述等式，则：a+t＝（）A．70B．68C．69D．71【解答】解：观察下列等式：，照此规律，第7个等式中：a＝8，t＝82﹣1＝63a+t＝71．故选：D．5．（3分）已知命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．B．或C．D．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+3≥0”是假命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣2ax+3＜0”是真命题，故△＝4a2﹣12＞0，解得：或，故选：B．6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，O为底面ABCD中心，G为△D 1C1O重心，则＝（）（用表示）A．B．C．D．【解答】解：取D1C1的中点E，∵G为△D1C1O重心，∴＝＝×（+）＝（+++）＝（++）＝﹣，∵＝＝（+）＝+，∴＝+＝++﹣＝﹣++，故选：C．7．（3分）设函数，则曲线f（x）在点（1，f（1））处切线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，导数为f′（x）＝•e x﹣f（0）+x，令x＝1可得f′（1）＝f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，可令x＝0，则f（0）＝•e0＝1，可得f′（1）＝e，即有f′（x）＝e x﹣1+x，可得曲线f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为e，切点为（1，e﹣），即有切线的方程为y﹣e+＝e（x﹣1），即为y＝ex﹣．故选：B．8．（3分）设，都是非零向量，命题P：，命题Q：的夹角为钝角．则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设，都是非零向量，由命题P：成立，可得的夹角为钝角或平角，故不能推出Q成立，故充分性不成立．由命题命题Q：的夹角为钝角成立，可得命题P：成立，故必要性成立．综上可得，P是Q的必要不充分条件，故选：B．9．（3分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条【解答】解：设切点为P（x0，x03﹣3x0），f′（x0）＝3x02﹣3，则切线方程y﹣x03+3x0＝（3x02﹣3）（x﹣x0），代入A（2，1）得，2x03﹣6x02+7＝0．令y＝2x03﹣6x02+7＝0，则由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7＞0，x0＝2时，y＝﹣1＜0．所以方程2x03﹣6x02+7＝0有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3﹣3x的切线的条数是3条．故选：A．10．（3分）若f（x）＝x2+2f（x）dx，则f（x）dx＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【解答】解：令f（x）dx＝t，对f（x）＝x2+2f（x）dx，两边积分可得：t＝+2tdx＝+2t，解得t＝f（x）dx＝﹣，故选：B．11．（3分）已知；，则f（n+1）﹣f（n）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴f（n+1）﹣f（n）＝，故选：D．12．（3分）若点P（a，b）在函数y＝x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y ＝x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8C．2D．2【解答】解：设直线y＝x+m与曲线y＝﹣x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y＝﹣x2+3lnx，∴y′＝﹣2x+，令﹣2x0+＝1，又x0＞0，解得x0＝1．∴y0＝﹣1+3ln1＝﹣1，可得切点P（1，﹣1）．代入﹣1＝1+m，解得m＝﹣2．可得与直线y＝x+2平行且与曲线y＝﹣x2+3lnx相切的直线y＝x﹣2．而两条平行线y＝x+2与y＝x﹣2的距离d＝＝2．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值＝（2）2＝8．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．13．（4分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝45．【解答】解：由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为a n，则有a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝7﹣3＝4，…a n﹣a n﹣1＝2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得a n﹣a1＝，故a n＝n2﹣n+1，可得a45＝1981，a46＝2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：4514．（4分）命题：等腰三角形两底角相等的逆命题是：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形．【解答】解：等腰三角形两底角相等，即为若一个三角形为等腰三角形，则这个三角形的两个底角相等，那么它的逆命题为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形，故答案为：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形为等腰三角形15．（4分）设，对任意x∈R，不等式a（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【解答】解：∵，表示y＝在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一，∴a＝×π，∴对任意x∈R，不等式（cos2x﹣m）+πcos x≥0恒成立，可得m≤cos2x+4cos x在x∈R上恒成立，cos x∈[﹣1，1]，求出cos2x+4cos x的最小值即可，cos2x+4cos x＝（cos x+2）2﹣4，∵函数开口向上，cos x∈[﹣1，1]，函数f（cos x）＝cos2x+4cos x在[﹣1，1]上增函数，当cos x＝﹣1时取得最小值，可得（﹣1）2+4×（﹣1）＝﹣3，∴cos2x+4cos x的最小值为﹣3，∴m≤﹣3，故答案为（﹣∞，﹣3]；16．（4分）设函数f（x）＝（x﹣3）3+（x﹣1），数列{a n}是公差不为零的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）＝14，则a1+a2+…+a7＝21．【解答】解：由题意可得，[（a1﹣3）3+a1﹣1]+[（a2﹣3）3+a2﹣1]+…+[（a7﹣3）3+a﹣1]＝14，7∴[（a1﹣3）3+a1﹣3]+[（a2﹣3）3+a2﹣3]+…+[（a7﹣3）3+a7﹣3]＝0，根据等差数列的性质可得（a4﹣3﹣3d）3 +（a4﹣3﹣2d）3 +…+（a4﹣3﹣d）3+7（a4﹣3）＝0，（a4﹣3）3 +7（a4﹣3）＝0，（a4﹣3）[7（a4﹣3）3 +84d2+7]＝0，∴a4﹣3＝0，即a4＝3．∴a1+a2+…+a7＝7a4＝21，故答案为：21三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）设p：|4x﹣3|≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若：非q是非p的充分不必要条件，求实数a取值范围．【解答】解：p：|4x﹣3|≤1，解得≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1，∵非q是非p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤，故实数a取值范围为[0，]18．（8分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x＝2对称（1）求b值；（2）若f（x）在x＝t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2bx+c因为函数f′（x）的图象关于直线x＝2对称，所以﹣＝2，于是b＝﹣6；（2）由（1）知，f（x）＝x3﹣6x2+cx，f′（x）＝3x2﹣12x+c＝3（x﹣2）2+c﹣12，（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）＝0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x＝x2处存在唯一极小值，所以t＝x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）．19．（8分）已知数列{a n}满足：（1）求a2，a3；（2）猜想{a n}通项公式并加以证明．【解答】解：（1）数列{a n}满足：，∴n＝2时，＝22a2，可得a2＝，∴n＝3时，+a3＝9a3，解得a3＝．（2）猜想a n＝．证明：∵，∴n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）2a n﹣1．∴n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1＝a n．化为：．∴a n＝••…•a1＝•••…×××＝．20．（12分）如图，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE；（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B﹣AC﹣E的正弦值；（3）求点D到平面ACE的距离．【解答】法一、（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，则BC⊥AE，又BF⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE；（2）解：连接AC、BD交于G，连接FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，BG⊥AC，∴AC⊥平面BFG，∴FG⊥AC，即∠FGB为二面角B﹣AC﹣E的平面角，由（1）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，AE＝BE＝，在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝，在正方形中，BG＝，在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝；（3）由（2）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，D到平面ACE的距离等于B 到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为．法二、（1）证明：同法一；（2）解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y 轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图．∵AE⊥面BCE，BE⊂面BCE，∴AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB＝2，O为AB的中点，∴OE＝1．∴A（0，﹣1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），＝（1，1，0），＝（0，2，2）．设平面AEC的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣1，1）是平面AEC的一个法向量．又平面BAC的一个法向量为＝（1，0，0），∴cos＜＞＝＝．∴二面角B﹣AC﹣E的正弦值为；（3）解：∵AD∥z轴，AD＝2，∴＝（0，0，2），∴点D到平面ACE的距离d＝||•|cos＜＞＝＝．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣﹣2lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，①求a的取值范围；②证明：f（x2）＜x2﹣1．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＝0，得x2﹣2x+a＝0，其判别式△＝4﹣4a，①当△≤0，即a≥1时，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当△＞0，即a＜1时，方程x2﹣2x+a＝0的两根为，，若a≤0，则x1≤0，则x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；若a＞0，则x1＞0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，1﹣）上单调递增，在（1﹣，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增；当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）①解：由（1）可知，函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x2﹣2x+a ＝0在（0，+∞）有两不等实根，故0＜a＜1．②证明：由上述过程得0＜a＜1，，且1＜x＜2，．，令g（t）＝t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，则，由于1＜t＜2，则g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上单调递减．故g（t）＜g（1）＝1﹣2ln1﹣1＝0．∴f（x2）﹣x2+1＝g（x2）＜0．∴f（x2）＜x2﹣1．。
2016-2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题及答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(m o d 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016_2017学年度高二第二学期期末考试理科数学试题与答案
试卷类型：A高二数学（理科）试题2017.7 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
2.答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的、号填写清楚，并粘好条形码。
请认真核准条形码上的号、和科目。
3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域作答。
答在本试卷上无效。
5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于 （A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为 (A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数 （3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成 （A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立 （B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立 （C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立 （D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有 （A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种 (5)曲线xe y =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X 服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87(7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为 (A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为 (A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76（9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38 (12)中国南北朝时期的著作《子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
华师大二附中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4×；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。
湖南省师大附中学高二数学下学期期中试题理
湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{}－1，0，1，2，3，4，A ＝{}－1，0，2，4，则∁U A ＝ A B ．{0，2，4} C ．{1，3} D ．{－1，1，3}2．设f ()x ＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x∈()1，2内近似解的过程中得f ()1<0，f ()1.5>0，f ()1.25<0，则方程的根落在区间A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定3．如果直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于A ．－2B ．－13C ．－23D ．24．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则B ＝A.π6B.5π6C.π6或5π6D.2π3 5．如图的程序运行后输出的结果为 x ＝5 y ＝－20IF x<0 THEN x ＝y －3 ELSE y ＝y ＋3 END IFPRINT x －y ENDA ．－17B ．22C ．25D ．286．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．平行或重合7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，cos B ＝45，则cos C 的值为A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 8．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是A ．5，10，15，20，25，30B ．3，13，23，33，43，53C ．1，2，3，4，5，6D ．2，4，8，16，32，48 9．取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2 m 的概率是A.15B.13C.14D ．不确定 10．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分答案11．已知m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝4，则mn 的最大值是________．12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x （x>0），2x （x≤0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________．13．等差数列{}a n 中，a 3＝3，a 8＝33，则数列{}a n 的公差为________．14．函数y ＝2sin x －1的定义域是________．15．如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P －ABCD ＝163，则球O 的表面积是________．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分6分)某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．(1)估计这次竞赛成绩的众数与中位数(结果保留小数点后一位)；(2)若这次竞赛成绩不低于80分的同学都可以获得一份礼物，试估计该校参加竞赛的1200名学生中可以获得礼物的人数．已知函数f(x)＝a·2x－12x ＋1的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域； (3)证明：函数f(x)是奇函数．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)求证：PB∥平面AEC ； (2)求证：CD⊥平面PAD ；(3)若三棱锥C －ADE 的体积为23，求四棱锥P －ABCD 的侧面积．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan x 的值；(2)设函数f(x)＝(a ·b )·cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f(x)的值域．20．(本小题满分10分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若b n ＝n·a n ，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)对于(2)中的T n ，设c n ＝T n －2a 2n ＋1，求数列{}c n 中的最大项．第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．21．给出下列四个命题①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x≠1”；②命题“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“x ∈R ，x 2＋x －1>0”； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两顶点为A 1，A 2，其虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是A.5－1B.3＋52C.5＋12D.3＋123．设a 1，a 2，…，a n 是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i 的左边且比a i 小的数的个数称为a i (i ＝1，2，…，n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为A ．96B ．144C ．192D ．240 答题卡24．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)．设直线l 与抛物线C 的两个交点为A 、B ，点F 为抛物线C 的焦点，则||AF ＋||BF 的值为________．25．若存在实数a ，b(0<a<b)满足a b ＝b a，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．26．(本小题满分12分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 作与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且||QF 1＝||F 1F 2.(1)若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x －3y －3＝0相切，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P(m ，0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．27．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ln ()x ＋1，g(x)＝12ax 2＋bx.(1)若a ＝0，f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立，求b 的取值范围；(2)设数列c n ＝n n ＋1，S n 为数列{c n }的前n 项和，求证：S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22；(3)当a≠0时，设函数f(x －1)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于点P ，Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M ，N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案 第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z ) 15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R ＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π.三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内． 设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分)17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x－12x ＋1，∵2x >0，2x＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE. 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线， 所以OE∥PB.又PB 平面AEC ，OE 平面AEC ， 所以PB∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD⊥AD. 因为PA⊥底面ABCD ，所以CD⊥PA.又AD∩PA＝A ，所以CD⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1.又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0， 解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ① ∴2a n －1＝2＋S n －1(n≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n.(3分)(2)b n ＝n·a n ＝n·2n，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分)(3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ，由⎩⎪⎨⎪⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n≤3(n∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c＝12a ·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0， 由e ＝c a，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln x x (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y ＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)，知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝aa ＝2.∴c＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)， 由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0， 即：k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0， 由已知条件知k≠0且k∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14， 故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ，设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b≤0，显然不满足题意；若b≥1，则x∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x－b≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立；若0<b<1，则h′(x)＝11＋x －b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时h′(x)≥0， 所以h(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意． 综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分)(2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1， 则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)， ∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))，即S n <n －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋22.(8分) (3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2，则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22. C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝ ⎪⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2. C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2.即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 22＋bx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分) 设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ① 令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u ，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2. 因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增．故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1. 这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)。
2016-2017学年湖南省高二下学期期中考试数学(文)试题7
高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（5分×12=60）1．设集合2{|340}A x x x =--≤， {|3}B x x =≤，则集合A B ⋂=（ ） A. []3,1-- B. []3,4- C. []1,3- D. []3,42．已知平面向量,a b， ()()1,1,2,a b k =-= ，若//a b ，则实数k =（ ） A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣43．已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=（a ，b N +∈），则a b +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．24．定义在R 上的奇函数()f x 满足： ()()11f x f x +=-，且当10x -<<时，()21x f x =-，则()2log 20f =（ ）A. 14B. 14-C. 15-D. 155．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则角的大小为A. B. C. D.6．等比数列{}n a 中， 3232a a -=，且45a 为312a 和52a 的等差中项，则{}n a 的公比等于（ ）A. 3B. 2或3C. 2D. 67．已知数列}{n a 的前项n 和n n S n 22+=，则数列}1{1+n n a a 的前项n 和为（ ） A ．)32(3+n n B ．)32(32+n n C ．)12(31+-n n D ．12+n n8．若0,2παβπ<<<<且()17cos ,sin ,39βαβ=-+=则sin α的值是( ). A. 127 B. 527 C. 13 D. 23279．已知log 1,23,1aa b c =->>，设log bx a =-， log b y c =， 13z a =，则,,x y z的大小关系正确的是( )A. z x y >>B. z y x >>C. x y z >>D. x z y >>10．已知函数()213,1{log ,1x x x f x x x -+≤=>，若对任意的x R ∈，不等式()254f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. 11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．函数()cos21xf x x xπ=+的图象大致是（ ）A.BC.D12．若函数()122log ,01{43,1x x f x x x x <≤=-+->，函数()()g x f x kx =-有两个零点，则k 的值是A. 0或423-B. 423+C. 0D. 423±二、填空题（5分×4=20）13．若角α的终边经过点P （a ，2a ）（a<0），则cos α= ．14．在等比数列{}n a 中， 126442n n a a S ==-=-，，，则公比q 等于______．15．函数()212log 65y x x =-+-的单调递减区间是_______________.16．如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅- 的值为 .三、解答题17（10分）．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和递增区间； （Ⅱ）求函数的图象的对称中心的坐标．18（12）．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知()2cos cos c a B b A -=．（1）求角B ； （2）若6b =， 2c a =，求ABC ∆的面积．19（12）ABC ∆中， 1,2,3AB BC B π==∠=，记,AB a BC b ==（1）求的()()234a b a b -⋅+值；（2）求2a b- 的值；20（12）．已知实数满足，函数.（1）求实数的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.21(12)．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件的销售价格p (千元)与时间x (天)组成有序数对，点落在下图中的两条线段上，且日销售量(件)与时间(天)之间的关系是.(Ⅰ) 写出该产品每件销售价格〔千元)与时间(天)之间的函数关系式； (Ⅱ) 在这30天内，哪一天的日销售金额最大?(日销售金额每件产品的销售价格日销售量)22（12）．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n na nb ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足()n n nn a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N ∈时，都有n n c c >+1.数学（文科）参考答案1．C 2 B 3 A 4 D 5 B 6C 7A 8C 9A 10．B 11.C 12A10【解析】易知函数()213,1{log ,1x x x f x x x -+≤=>在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数在12x =处取得最大值14，所以有21544m m ≤-，解得114m ≤≤，故选B.11【解析】由题意，因为()()cos 21x f x f x x xπ⎛⎫- ⎪⎝⎭-==---，所以()f x 为奇函数，排除A 、D ，当0x →时，分子cos02x π→，分母1x x+→∞，所以()0f x →，故选C.12【解析】函数()()g x f x kx =-有两个零点，即函数()122log ,01{43,1x x f x x x x <≤=-+->和函数()t x kx =有两个不同的交点，作出两函数的图象（如图所示），显然当0k =时，符合题意；当0k >时，由图象得两函数在区间()0,1上有一个交点，则另一交点应是函数()t x 与函数()f x 的切点，设切点坐标为()00,x y ，则200004324x x x x -+--+=，解得023x =，即423k =-；综上所述， k 的值是0或423-；故选A.13．55-14．2- 15．()1,3 16．-1616【解析】 ()()()()()()()()22AP AQ AB AC PQ AQ AB AC AQ AB AC AB AC AB AC+⋅-=+⋅-=⋅-=+-2292516.AB AC =-=-=uu u r uuu r17．（I ）最小正周期，单调递增区间是，；（II ）对称中心的坐标是，.18．（1）3B π=；（2）63.19．（1）6（2）223a b -=20．（1）;（2）时，.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）第10天的日销售金额最大.解：（Ⅰ）根据图象，每件的销售价格与时间的函数关系为：（Ⅱ）设第天的日销售金额为（千元），则即当时，，当时，，当时，是减函数，，因此，这种产品在第10天的日销售金额最大.22．（1）12n na -=；（2）()1121n n T n +=-∙+；（3）123<<-λ且0λ≠．解：（1）当n=1时111121,1a S a a ==-=得，又1121n n S a ++=-与原式两边分别相减得11122,2n n n n n a a a a a +++=-=得， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12n n a -=； 因为22nn n b na n ==∙，所以232341222322,2222322n n n n T n T n +=+∙+∙++∙=+∙+∙++∙ ，两式相减得()1231112222222212112n n n n n n T n n n ++++--=++++-∙=-∙=-∙-- ， 所以()1121n n T n +=-∙+；（3）∵112)1(23-+-⋅+=n n n n C λn n n 2)1(31λ+-+= ∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(3λ-+ 即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ 即0)22()1(321>+-+⋅+n n n n λ 即023)1(32>⋅-+⋅n n n λ∴>-λn)1(nn 2332⋅⋅- 即>-λn)1(1)23(--n 当n 为偶数时≤--1)23(n 23- ∴23->λ当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ即 1<λ 又∵0λ≠ ∴ 123<<-λ且0λ≠。
湖南师大附中2016-2017学年高二下学期期中考试试题地理试卷Word版含解析
湖南师大附中2016-2017学年度高二第二学期期中考试地理试题第Ⅰ卷必考部分（100分）一、选择题（每小题有且仅有一个选项是正确的是，每小题2分，共50分）读图（阴影部分表示夜半球、东半球），完成下列各题。
1. 此时北京时间可能为A. 3月21日15时20分B. 9月23日8时C. 9月23日3时20分D. 6月22日7时2. 此时全球与北京处于同一日期的范围（箭头表示向东）是A. 20⁰W→160⁰EB. 0⁰→180⁰C. 70⁰E→180⁰D. 110⁰W→180⁰【答案】1. C 2. C【解析】试题分析：1. 图示昼夜平分，太阳直射赤道，其时间为3月21日或9月23日，因图示160°E为6时，那么北京时间为3时20分。
故选C。
2. 根据图中180°经线和东半球的范围可以判断，与180°经线相邻的经线为160°E，地球自转的方向为顺时针。
阴影部分表示夜半球、东半球，0时经线位于夜半球的中央，与160°E 相差90°，0时经线对应的经度为70°E，由此可以判断此时全球与北京处于同一日期的范围（箭头表示向东）是70°E→180°。
故选C。
考点：光照图判读、时间的计算读岩石物质循环图，完成下列各题。
3. 下列选项正确的是A. E为变质岩B. A为沉积岩C. D为岩浆岩D. C为岩浆4. 图中各个数码对应的地质作用正确的是A. ⑤为外力作用B. ⑥为变质作用C. ③为重熔再生作用D. ①为冷却凝固作用【答案】3. A 4. D【解析】3. 读图可知，D由沉积物形成，为沉积岩，沉积岩可以转化为变质岩和岩浆，所有岩石在高温融化作用下，都可以转化为岩浆，所以A为岩浆，岩浆冷凝形成侵入岩和喷出岩，所以B为侵入岩C为喷出岩，E为变质岩。
故选A。
4. 读图结合上题分析可知，A为岩浆，B为侵入岩，C为喷出沿，D为沉积岩，E为变质岩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 湖南师大附中2016－2017学年度高二 下学期期中考试数学(理)试题 时量：120分钟满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知tan(π－α)＝34，α∈π2，π，则cos α＝
A．－45 B.45 C．－35 D.35 2．已知随机变量ξ～N(3，22)，若ξ＝2η＋3，则D(η)等于 A．0 B．1 C．4 D．16 3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110
经过计算可得，k2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（c＋a）（b＋d）≈7.8. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 4．若定义在R上的函数f(x)＝log3(2x＋4x2＋a)为奇函数，则实数a的值为 A．－1 B．0 C．1 D．2 5．下列命题为真命题的是 A．若p∧q为假命题，则p∨q为真命题 B．不存在实数α，β，使得等式tan α＋tan β＝tan(β＋α)成立 C．函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0 D．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋1)＝1，则f(x)是一个周期为1的函数 6．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望是 A．90 B．100 C．180 D．200 7．若函数f(x)＝loga(8－ax)满足：对任意x1，x2∈(]0，2()x1≠x2，都有()x1－x
2
[]f（x1）－f（x2）<0，则实数a的取值范围是
A.()0，1 B.()1，4 C.(]1，4 D.()4，＋∞
8．函数f(x)＝2x＋ln1x－1的零点所在的大致区间是 A.()0，1 B.()1，2 C.()2，3 D.()3，4 2
9．函数y＝1＋2x1＋4x的值域为 A.0，2＋12 B.－∞，2＋12 C.(]0，1 D.(]－∞，1
10．用红，黄，蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，„，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1，5，9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 A．108种 B．60种 C．48种 D．36种 第Ⅰ卷 答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答 案 二、填空题：(每题5分，共15分，将答案填在答题纸上．)
11．函数f(x)＝1ln（x＋1）＋4－x2的定义域为____________． 12．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为________．(参考数据：lg 2＝0.301)
13．在△ABC中，tan A＝14，tan B＝35，若△ABC最小边的边长为2，则△ABC最大边
的边长为____________． 三、解答题：(本大题共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 14．(本小题满分10分)
已知全集U＝R，非空集合A＝x|x－2x－（3a＋1）<0，
B＝x|x－a2－2x－a<0. (1)当a＝12时，求(∁UB)∩A； (2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
15.(本小题满分12分) 设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象
向左平移π3个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值．
16.(本小题满分13分) 已知a∈R，函数f(x)＝log21x＋a. (1)当a＝1时，解不等式f(x)>1； 3
(2)若关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素，求a的值； (3)设a>0，若对任意t∈
1
2，1，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超
过1，求a的取值范围．
第Ⅱ卷 一、选择题：(本大题共2个小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
17．已知sin α＋cos α＝－52，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )
A．－32 B.32 C．－34 D.34 18．已知函数f(x)＝
－2x－x2，x≤0
||lg x，x>0
，若a
＋2d的取值范围是( ) A.3，20110 B.1，18110 C.()22，＋∞ D.()22－2，＋∞ 二、填空题：(共一个小题，每题5分，将答案填在答题纸上) 19．若存在实数m，n(m1)的定义域与值域均为[]m，n
，则实数a
的取值范围为________． 三、解答题：(共3个小题，总分35分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 20．(本小题满分10分)
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得
0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手
每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．
21.(本小题满分12分) 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2B＋C2－cos 2A＝72. (1)求角A的大小； (2)若BC边上高为1，求△ABC面积的最小值．
已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)，g(x)＝ln x，其中函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1. (1)若a＝1，求函数f(x)的解析式； (2)若f(x)≥g(x)在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：1＋2＋3＋„＋1n>ln(n＋1)＋n2（n＋1）(n≥1)．
22.(本小题满分13分) 已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)，g(x)＝ln x，其中函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方4
程为y＝x－1. (1)若a＝1，求函数f(x)的解析式； (2)若f(x)≥g(x)在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：1＋2＋3＋„＋1n>ln(n＋1)＋n2（n＋1）(n≥1)．
参考答案 第Ⅰ卷 5
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C C D B C A A 二、填空题 11.()－1，0∪(]0，2 12．14 13.17 三、解答题
14．【解析】(1)当a＝12时，A＝x|x－2x－52<0＝
x|2
5
2，
B＝x|x－94x－12<0＝x|12∴∁UB＝x|x≤12或x≥94.∴(∁UB)∩A＝x|94≤x<52. (2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a①当3a＋1>2，即a>13时，A＝{x|2∵p是q的充分条件，∴A⊆B.
∴a≤23a＋1≤a2＋2，即13②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，符合题意； ③当3a＋1＜2，即a＜13时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}． 由A⊆B，得a≤3a＋1且a2＋2≥2，解得－12≤a<13. 综上所述，a∈－12，3－52. 15．【解析】(1)由f(x)＝23sin(π－x)sinx－(sin x－cosx)2 ＝23sin2x－(1－2sin xcos x)＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin2x－π3＋3－1.
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)或kπ－
π12，kπ＋5π
12（k∈Z）.
(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1， 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)． 得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象．
再把得到的图象向左平移π3个单位，