2019年北京各区二模理科数学分类汇编----三角函数
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--解析几何+答案
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
北京市2019年中考二模数学试卷精选汇编：几何综合专题(含答案) (1)
几何综合专题 【2019东城二模】27.如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A,C 重合)，连接BP ， 过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,连接DE,CE ．（1）求证：BD=CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点； （3）若△ABC 的边长为1，直接写出EF 的最大值.27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形. 在等边△ABC 和等边△ADE 中 AB ＝ACAD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分 ∴BD=CE ……………………………………3分（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ∴∠G ＝∠BDF∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90° ∴∠BDF ＝30°∴∠G ＝30°……………………………………………………4分 由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90° ∵∠AED ＝60°， ∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分 在△BDF 和△CGF 中 BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CGF （AAS ） ∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分 （3）1……………………………………………………7分【2019西城二模】27. 如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF =AE ，连接DE ，DF ，EF . FH 平分∠EFB 交BD 于点H . （1）求证：DE ⊥DF ； （2）求证：DH =DF ：（3）过点H 作HM ⊥EF 于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.EBAE【2019海淀二模】27．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P 在射线CM 上，连接PA ，PQ ，记BQ kCP =． （1）若60α=︒，1k =，①如图1，当Q 为BC 中点时， 求PAC ∠的度数； ②直接写出PA 、PQ 的数量关系；（2）如图2，当45α=︒时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．图1 图2 27．（本小题满分7分）（1）①解：在CM 上取点D ，使得CD =CA ，连接AD .∵ 60ACM ∠=︒， ∴△ADC 为等边三角形． ∴60DAC ∠=︒.∵C 为AB 的中点，Q 为BC 的中点， ∴AC =BC=2BQ . ∵BQ =CP ,∴AC =BC=CD =2CP . ∴AP 平分∠DAC . ∴∠PAC =∠PAD =30°. ② PA =PQ .（2）存在k =. 证明：过点P 作PC 的垂线交AC 于点D . ∵45ACM ∠=︒，∴ ∠PDC =∠PCD =45°. ∴PC =PD ，∠PDA =∠PCQ =135°.M∵CD=，BQ=，∴CD= BQ.∵AC=BC，∴AD= CQ.∴△PAD≌△PQC.∴PA=PQ.【2019朝阳二模】27．∠MON=45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB=1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA=1，OP，依题意补全图形；（2）若OP AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA 的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆．若OA=1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度．【2019丰台二模】27. 如图，在正方形ABCD中， E为BC边上一动点（不与点B，C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB=45°．G为DC边上一点，且DG =BE，连接DF．点F关于直线AB的对称点为M，连接AM，BM．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：∠DAG =∠MAB；（3）用等式表示线段BM，DF与AD的数量关系，并证明．27. 解：（1）略；.........................1分（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD, ∠ABC =∠BAD=∠ADG=90°.∵BE=DG，∴△ABE≌△ADG.∴∠BAE=∠DAG.∵点F关于直线AB的对称点为M,∴∠BAE=∠MAB.∴∠DAG=∠MAB. ......................3分（3）222BM DF AD+=. ......................4分2证明：连接BD.延长MB交AG的延长线于点N.∵∠BAD=90°, ∠DAG=∠MAB,∴∠MAN=90°.由对称性可知∠M=∠AFB=45°，∴∠N=45°.∴∠M=∠N.∴AM=AN.∵AF=AM,∴AF=AN.∵∠BAN=∠DAF,∴△BAN≌△DAF.∴∠N=∠AFD=45°.∴∠BFD=90°.∴222+=.BF DF BD∵2=, BM=BF,BD AD∴222+=. .........................7分2BM DF AD【2019石景山二模】27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G.（1）求证：AF=BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明.C【2019门头沟二模】27．如图，在等边三角形ABC 中，点D 为BC 边上的一点，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接AD 、DE ，在AD 上取点F ，使得∠EFD = 60°，射线EF 与AC 交于点G ． （1）设∠BAD = α，求∠AGE 的度数（用含α的代数式表示）； （2）用等式表示线段CG 与BD 之间的数量关系，并证明．AB CD EFG【2019房山二模】27. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=4∠BAC. 延长BC到点D，使CD=CB，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F.(1) 依题意补全图形；(2) 求证：∠B=2∠BAD；(3) 用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明.A B。
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----三角函数
2019年北京各区高三一模文科数学分类汇编----三角函数1.（2019海淀一模文科）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 D(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+2.（2019海淀一模文科）在△ABC 中，14,5,cos 8a b C ===，则=c ，ABC S ∆=6,3.（2019海淀一模文科）已知函数())cos4f x x x a π=-+的图象经过点(O,l)，部分图象如图所示． (I)求a 的值；(Ⅱ)求图中0x 的值，并直接写出函数()f x 的单调递增区间．解：（Ⅰ）π(0)sin()cos014f a =+=12a += 所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+π)4x =+由图象得0ππ242x += 所以0π8x = 函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z4. （2019朝阳一模文科）已知ABC △中， 120A ∠=，a =ABC 的面积且b c <.则 Bc b -=A. B. 3 C. 3-D.5.（2019朝阳一模文科）已知函数2()cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()3f π的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．解：（Ⅰ）由已知2()coscos 3333f ππππ=+13144=+=. 因为()fx 1cos 222x x +=+π1sin(2)62x =++， 所以函数()f x 的最小正周期为π．………………………..7分（II ）由πππ2π22π262k x k -++≤≤得,ππππ36k x k -+≤≤，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 当0k =时, 函数()f x 的单调增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则ππ[0,],36m ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的最大值为π6. ………………………..13分 6.（2019西城一模文科）在△ABC 中，已知2a =，1sin()3A B +=，1sin 4A =，则 C （A ）（B ）（C ）（D ）7.（2019西城一模文科）能说明“在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则A B =”为假命题的一c =438343组A ，B 的值是____．答案不唯一，如60A =，30B =8.（2019西城一模文科）已知函数()sin (cos )f x x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π5π[,]312-上的最小值和最大值.解：（Ⅰ）2()sin cos f x x x x =-1sin 2cos2)2x x =-……………… 4分πsin(2)3x =+， (6)分所以函数()f x 的最小正周期πT =. ……………… 8分（Ⅱ）因为π5π312x -≤≤，所以 ππ7π2336x -+≤≤． ……………… 9分所以当ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值1.当ππ233x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值 ……………… 13分9.（2019丰台一模文科）已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<．①函数()f x 的最小正周期为____； ②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____． ．π；6π-10.（2019丰台一模文科）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3cos 24C =-．（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =时，求a ．解：（Ⅰ）因为 3cos24C =-，所以 2312sin 4C -=-.因为 02C π<<，所以 sin 4C =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin C =因为 ABC ∆是锐角三角形，所以 cos 4C ==. 因为 2c a =，sin sin a cA C=，所以 1sin sin 2A C ==,cos 8A =.所以 sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=.因为sin sin a bA B=，b =， 所以 2a =.11.（2019石景山一模文科）已知2π()sin()5f x x =，则(0)(1)(2)(3)(2019)f f f f f +++++= AA. 0B. 505C. 1010D. 202012.（2019石景山一模文科）在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3α=，则sin β=__________．13-13.（2019石景山一模文科）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，b =3c=，1cos 3B =-．（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积．解：(Ⅰ)在ABC △中，1cos 3B =-，∴sin B==，∵b=3c=，由正弦定理sin sinb cB C=3sin C=，∴sin C=（Ⅱ）由余弦定理222+2cosb=a c ac B-得2112+923()3=a a-⨯⨯-，∴2230a a=+-，解得1a=或3a=-（舍）∴1sin2ABCS=ac B11323=⨯⨯⨯14.（2019延庆一模文科）函数()=sin22f x x x在区间[,]22ππ-上的零点之和是 D（A）3π-（B）3π（C）6π（D）6π-15.（2019延庆一模文科）如图，在ABC∆中，点D在BC边上，cos ADB∠=，3cos=5C∠，7AC=．sin CAD∠（求Ⅰ）的值；（Ⅱ）若10BD=，求AD的长及ABD∆的面积．解：（Ⅰ）因为cos10ADB∠=-，所以cos10ADC∠=，………………………1分ADB Csin ADC ∠=…………………2分又因为3cos =,5C ∠4sin 5C ∠=，所以，…………………3分s i n s i n ()s i n c o s c o s s i n D A C A D C A C D A D C A C D A D C A C D∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠……5分3455=+=…………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，…………9分得47sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．…………11分所以11sin 102822ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………13分 16.（2019怀柔一模文科）在ABC ∆中，=b ，45∠=A ，75∠=C ，则=a __________．17.（2019怀柔一模文科）已知函数()sin cos f x x x =+． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值． 解：（Ⅰ）．------------------------5分 （Ⅱ），的最小正周期为． ，因此，函数的最大值是．----------------------------------------13分 18.（2019东城文科一模）在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠= .34π 19.（2018东城文科一模）已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两()sincos444f πππ=+==()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+-(sin cos )(sin cos )x x x x =+-+22cos sin cos 2x x x =-=22T ππ==()g x π1cos21x ∴-≤≤()g x 1个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间 . 5[,]44ππ（答案不唯一） 20（2019东城文科一模）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象. 解：（I ）2224cos sin 13336f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 132ππ=+14112⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭1=-.………………………………………………………………………………………………………………. 3分（Ⅱ）()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 166x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14cos sin cos 122x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =-+2cos2x x =-12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………..9分所以()f x 的最小正周期22T π==π. ………………………………………………….10分因为[]0,x ∈π，所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.列表如下：…………………………..13分21.（2019昌平文科一模）在锐角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3．若△ABC 的面积为，则∠A ＝ 60° ；BC ＝．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sin A ，结合A 为锐角可求A 的值，根据余弦定理可求BC 的值．【解答】解：∵AB ＝2，AC ＝3． 若△ABC 的面积为＝AB •AC •sin A ＝，∴解得：sin A ＝，∵A 为锐角， ∴A ＝60°，∴BC ＝＝＝．故答案为：60°，．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．22.（2019昌平文科一模）已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）若f （x ）在区间上的最小值为﹣2，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）＝＝sin2x +cos2x ＝2sin （2x +）． 由2k π﹣≤2x +≤2k π+，求得．所以f （x ）的单调递增区间是．（Ⅱ）在区间上，∴2x +∈[2m +，]．要使得f （x ）在区间上的最小值为﹣2，2sin （2x +）在区间上的最小值为﹣1， ∴2m +≤﹣，∴m ≤﹣，即m 的最大值为﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题． 23.（2019房山文科一模）在△ABC 中，已知6BC =，4AC =， 3sin 4A =，则B ∠=____.6π 24.（2019房山文科一模）已知函数sin 2cos21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围.（Ⅰ）()sin0cos0111012cos02f +++=== ……………2分（Ⅱ） 由0cos ≠x 得,2x k k π≠+π∈Z所以 函数的定义域是 ,2x x k k ⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z ……………5分 （Ⅲ）()22sin cos 2cos 112cos x x x f x x⋅⋅+⋅-+=⋅ ……………9分()2cos sin cos 2cos x x x x⋅+=⋅sin cos x x =+4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………11分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即 02x π<<3sin()144424x x ππππ∴<+<<+≤1)6x π∴<+所以 函数()fx 在(0,)2π上的取值范围为 ……………14分25.（2019通州文科一模）已知函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为 CA ．f (x )＝2sin(32 x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(x ＋2π9)C ．f (x )＝2sin(32 x ＋5π4)D ．f (x )＝2sin(x ＋2518π)26.（2019通州文科一模）在△ABC中，3cos 5A =，a =5b =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积． 解：（Ⅰ）因为3cos 5A =,0A <<π， 所以02A π<<，4sin 5A =． ………………2分 3232由sin sin a b A B =得，45sin sin 2b A B a ⨯===． ………………4分 因为a b > ，所以A B >. 所以4B π=． ………………6分 （Ⅱ）因为A BC ++=π，所以()C A B =π-+. ………………7分 因为4B π=，所以sin cos B B ==． ………………8分 所以()()sin sin sin C A B A B =π-+=+⎡⎤⎣⎦ ………………9分sin cos cos sin A B A B =+ ………………10分4355==． ………………11分 所以△ABC 的面积1sin 2S ab C =1514210=⨯⨯=． ………………13分27.（2019门头沟文科一模）已知中，，则的面积为（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求C ，再根据余弦定理求b ，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】因为,所以,因此,从而的面积为，选C.【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.28.（2019门头沟文科一模）一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位: )表示为时间(单位: )的函数，则此函数表达式为_______________ .【答案】(1). (2).【解析】【分析】1利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；2由题意求值，结合的情况可求出的值，即得函数解析式．【详解】解：1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为：1，2．【点睛】本题考查函数的图象与应用问题，理解函数解析式中参数的物理意义，是解题的关键．29.（2019门头沟文科一模）已知函数（1）求的周期及单调增区间；（2）若时，求的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1），所以的周期单调增区间：（2）【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.。
2019年北京市通州高三二模数学(理科)试卷及答案
通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019年4月第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2M =--, {}220N x x x =--<,则M ∩N ＝ A ．{-2，-1 } B ．{-1，0 } C ．{0，1 } D ．{1，2 }2. 已知0c <，则下列不等式中成立的是A ．2c c >B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭ D ．122c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭3.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是A ．12⎛⎫ ⎪⎝⎭，π B. 12π⎛⎫⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7 B. 8 C. 9 D. 105.设抛物线24=y x 的焦点为F ，已知点14M ,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12N ,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1P ,c ，()4Q ,d 都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．6.“0m >”是“方程1222=+-m y m x 表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.32 B. 34 C.38 D. 3168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数2ii- (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限． 10.在ABC ∆中，3cos 5A =，42a =5b =，则c = ． 11．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2z x y =+的最大值是 ．12. 能说明“若函数)(x f 满足0)2()0(>⋅f f ，则)(x f 在)2,0(内不存在零点”为假命题的一个函数是 ．13. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有 个(用数字作答)．14.在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(b a A ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”． 以下函数：①x y 21=，②122+=x y ，③x y sin =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是 ．已知点),(b a A 在函数2x y =的图象上，若函数2x y =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()()22sin cos 2cos 1f x x x x =π-+-．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲职工乙（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2． （Ⅰ）求证：平面A ′ED ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A ′D 上一点，若EF //平面A ′BC ，求DF FA'的值．DCBEA 'ED C BA图1 图2已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，长轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0u u u r u u u r u u u u r ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．()()2R kxe f x k x=∈定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作{|}M N x x M x N -=∈∉且．已知集合{}1,2,3,,100S =L ．（Ⅰ）若集合{|2,*}nT x x n N ==∈，写出集合()S S T --的所有元素； （Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A S ⊆，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S A -中必有10个元素组成等差数列．通州区高三年级第一次模拟考试 数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共40分）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．三 10．7 11．112．()()21f x x =-(答案不唯一) 13．48 14． ① ③ , (]0-∞，三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．解：（Ⅰ）()()22sin cos 2cos1f x x x x=π-+-2sin cos cos2x x x =+sin 2cos2x x =+………………3分2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭………………4分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………5分所以最小正周期2019.422T π==π； ………………6分 （Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． (7)分所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值-．…………10分所以()f x 有最小值1-． ………………11分因为当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立， 所以1m ≤-，即m 的取值范围是(]1-∞-，． …………13分16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A ． ..........1分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =； ..........3分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2， . (4)分()0P X ==，()1P X ==，()2P X =． (7)分X 的分布列为..........8分()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=；..........10分（Ⅲ）3月3日． ..........13分 由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求． 17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ． 所以A ′E ⊥DE ． ………………1分因为A ′E ⊥BE ,DE ∩BE =E ， DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ， 所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………3分 因为A ′E ⊂平面A ′ED ， 所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ， 如图建立空间直角坐标系E -xyz ，则 ………………5分E (0,0,0)，B (2,0,0)，D(0,2√3,0)，C(4,2√3,0) A ,(0,0,2) ，所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−2)， BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). ………………6分 设平面A ′BC 的法向量n =(x,y,z )，由 {n ∙BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ………………7分200.1200=⨯X 0 1 2P717472得 {−2x +2z =0，2x +2√3y =0，所以{x =z ， x =−√3y ．令y =−1，则x =√3，z =√3．所以n =(√3,−1,√3)． ………………8分所以|n |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7， 又 |A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A ′E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =−2√3，所以cos ,7A E A E A E '⋅'<>===-'⋅u u u u ru u u u r u u u u rn n n． ………………9分所以直线A ′E与平面A ′BC所成角的正弦值为7. ………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mDA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3m,2m)，则 ………………11分EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3−2√3m,2m)． ………………12分因为EF //平面A ′BC ，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0， 即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………13分所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以1DFFA ='. ………………14分 18．解：（Ⅰ）由已知，得，所以c e a ===． ..........3分a =1c =又，所以． (4)分所以椭圆C 的标准方程为，离心率3e =． ..........5分（Ⅱ）设．①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B的坐标分别为(，(0． 因为()0,m mMA x y =-u u u r，()0mmMB x y =-u u u r，()0,0m m MO x y =--u u u u r，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0u u u r u u u r u u u u r．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+． .......... ..........7分由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，， 得()2232630k x kx ++-=， .......... ..........8分()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分因为，，，所以1212(03,03)0m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=u u u r u u u r u u u u r．222a b c =+b =22132x y +=11(,)m m MA x x y y =--u u u r 22(,)m m MB x x y y =--u u u r (0,0)m m MO x y =--u u u u r所以12123,3m m x x x y y y +=+=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+． .......... . (11)分消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=． .......... ..........12分对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端： 2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分19．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x -'=-=-. ..........1分所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， (3)分即230x y -+=； (4)分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为，..........................5分 所以()f x '==． .......... ........ ..............7分 令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分（ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分综上k 的取值范围是()(]002,,-∞U ． ..........13分2xe kx{}0|≠x x 422x xe x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k ⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+020. 解：（Ⅰ）集合的所有元素是:248163264，，，，，； (2)分（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即11D =．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； ............................4分当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即1d =．这样的数列首项可以是12391L ，，，，中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分（Ⅲ）将集合S 中元素列表如下：表中各行或各列的十个数分别构成等差数列． 假设存在含有10个元素的集合A ，使得S -A 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A 中的唯一一个元素．记表中第i 行第j 列的数为(),i j ．若第i (1≤i ≤9)行中集合A 的唯一元素为(i ,j )，则第i +1行中(i +1,1),(i +1,2),┈(i +1,j )中必有集合A 中元素．若第i (1≤i ≤9)行的第一个数在集合A 中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A 的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i (1≤i ≤8)行的第二个数在集合A 中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A 的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A ={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．...........................13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--导数及其应用+答案
2019高三二模分类汇编—导数及其应用1.（本小题满分14分） 已知函数22()(),ax a f x e x a+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角；(Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．2.（本小题14分）已知函数()sin f x x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()cos f x ax x ≥在区间π[0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围．3.（本小题满分13分） 已知函数()(ln 1)f x x x =+，其中0a ≠．(Ⅰ)若曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线的斜率小于1，求0x 的取值范围；(Ⅱ)设整数k 使得1()()2f x k x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值.4. （本小题满分13分）已知函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠). （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅰ）若函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值. 5．（本小题13分）已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（Ⅱ）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-．6. （本小题共13分） 设函数()ln ,f x x a R=∈.（I ）若点()1,1在曲线()y f x =上，求在该点处曲线的切线方程； （II ）若()f x 有极小值2，求a .7．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程； （Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．8.（本小题14分）已知函数21()2sin +1,()cos 2f x x xg x x m x =-=+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在(0,)π上的单调区间；（Ⅲ）当1m >时，证明：()g x 在(0,)π上存在最小值.2019高三二模分类汇编—导数及其应用答案部分1．（共14分）解：（Ⅰ）因为22()e ()a x a f x x a+=-，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f = 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0（Ⅱ）方法1：()()2R kxe f x k x=∈因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a +=-=--=-<，符合题意 当1a =-时，1221a x x a+=-==， 2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表而2(1)e ()0af a=->，不符合题意当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:所以2()2122()e[()()]0a a aa a f x a a+-++=--<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U方法2：因为函数()f x 的极小值小于0，所以()0f x <有解，即220a x a+-<有解 所以20a a+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0aa a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而22()()212222(2)()e[()()]e 0a a a a aa a a a f x a a a ++--+++=--=<，符合题意综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞U2.（共14分） 解： （Ⅰ）因为()sin f x x x =+，所以()1cos f x x '=+，()12f π'=，()122f ππ=+，所以曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程为1.y x =+ ............................5分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以sin 0x ≥，cos 0x ≥，当0a ≤时，()sin 0f x x x =+≥恒成立，cos 0ax x ≤恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立.当0a >时，设()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x=-=+-，()1cos cos sin 1(1)cos sin g x x a x ax x a x ax x '=+-+=+-+，若01a <≤，(1)cos 0a x -≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；若12a <≤，110a -≤-<，1(1)cos 0a x +-≥，sin 0ax x ≥，所以()0g x '>在区间[0,]2π上恒成立；所以()g x 在区间[0,]2π上单调递增，min()(0)0,g x g ==所以当2a ≤时，不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立；当2a >时，令()()1(1)cos sin h x g x a x ax x '==+-+，()(21)sin cos h x a x ax x '=-+，()0h x '>在区间[0,]2π上恒成立，所以()g x '在区间[0,]2π上单调递增，min ()(0)20g x g a ''==-<，max ()()1022a g x g ππ''==+>，所以存在0[0,]2x π∈，使得0()0g x '=. 当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当02x x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当0x x =时，()0g x '=，()g x 取得极小值；而(0)0g =，所以0()0g x <，所以不等式()0g x ≥在区间[0,]2π上不能恒成立，所以不等式()cos f x ax x ≥在区间[0,]2π上恒成立时实数a 的取值范围是(,2].-∞ (14)分3.4． (本小题满分13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()yf x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分（Ⅱ）①当1a <-时，x 变化时变化情况如下表：此时1()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立. ②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--.因为10a -<<，所以2a =-.④当0a >时，x 变化时变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--，故不成立.综上所述2a =-+. ………….13分 5.（共13分） 解：（Ⅰ）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=-， ..................2分 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. ..................3分 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减， ..................4分 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f = . (5)分（Ⅱ）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=． ………………6分①当0a =时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意；………………7分②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->．此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ……………8分③当102a <<时，此时112a <．函数()f x 在区间1(1,)2a上单调递减，在区间1(,)2a +∞上单调递增，所以min 111()()ln 224f x f a a a ==-， ………………9分即11()ln24g a a a =-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln10(0)222a a a -+<<<， ………………10分 设12t a=，()ln 1(1)h t t t t =-+> ……………11分由（Ⅰ）知()(1)0h t h <= ………………12分即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. ………………13分6. 解：（I ）因为点()1,1在曲线()y f x =上，所以1a =，()ln f x x------------------------------------------1分又()1f x x '==------------------------------------------3分 所以()112f '=-------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为()1112y x -=--即230x y +-=-----------------5分（II ）定义域为()0,+∞，()1222f x x x x '=-=-------------------------------6分 讨论：（1）当0a ≤时，()0f x '<此时()f x 在()0,+∞上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分 （2）当0a >时，令()=0f x '可得24=x a------------------------------------------9分 列表可得所以()f x 在240,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增----------------------11分 所以()24=f x f a ⎛⎫⎪⎝⎭极小值=242ln a -，所以242ln a -=2解得()2a =舍负------13分 7．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分 所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， .....................................3分即230x y -+=； .....................................4分 （Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为， ..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分 令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分 ①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分 ②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分 （ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分 ②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分 综上k 的取值范围是()(]002,,-∞U ． ..........13分 8.（本小题13分） （Ⅰ）因为()2sin 1f x x x =-+，所以'()12cos f x x =-则(0)1f =，'(0)1f =-，所以切线方程为1y x =-+ ……………………4分（Ⅱ）令'()0f x =，即1cos 2x =，()0,x ∈π，得3x π= 当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下：2xe kx{}0|≠x x 422x x e x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+0所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)3,单调递增区间为(,)3π…………………8分（Ⅲ）因为21()cos 2g x x m x =+，所以'()sin g x x m x =- 令'()()sin h x g x x m x ==-，则'()1cos h x m x =- ……………9分 因为1m >， 所以1(0,1)m∈ 所以'()1cos 0,h x m x =-=即1cos x m =在()0,π内有唯一解0x当()00,x x ∈时，'()0h x <，当()0,x x π∈时，'()0h x >，所以()h x 在()00,x 上单调递减,在()0,πx 上单调递增. ……………11分 所以0()(0)0h x h <=，又因为()0h ππ=>所以()sin h x x m x =-在0(,)(0,)x ππ⊆内有唯一零点1x……………12分当()10,x x ∈时，()0h x < 即'()0g x <，当()1,x x π∈时，()0h x > 即'()0g x >， ……………13分所以()g x 在()10,x 上单调递减,在()1,πx 上单调递增. 所以函数()g x 在1x x =处取得最小值 即1m >时，函数()g x 在()0,π上存在最小值……………………………………14分。
2019年北京各区二模理科数学分类汇编----平面向量
2019年北京各区二模理科数学分类汇编---平面向量1.（2019东城二模理科）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为(A)1m n +=(B) 1m n +=- (C)1mn = (D)1mn =- 答案：C考点：平面向量共线的性质。
解析：因为,,A B C 三点共线，所以，AB AC λ=，即()a mb na b λ+=+，所以，有1n m λλ=⎧⎨=⎩，解得：1mn = 2.（2019朝阳二模理科）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC =π3，∠ACB ≠π2，BC =1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上投影的最大值是（ ） A. 13B. 12C. √33D. 23【答案】C【解析】 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-，0），C （，0），P （0，0），设A （x ，y ），则x ＜0，设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2，由到角公式得：=tan， 化简得：x 2+（y-）=，则x 2， 则-≤x ＜0， 由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|， 则在方向上投影的最大值是，故选：C ．先建系，再由到角公式得：=tan ，化简得：x 2+（y-）=，则x 2，则-≤x ＜0，再由在方向上投影的几何意义可得解．本题考查了到角公式及平面向量数量积的运算，属中档题．3.(2019昌平二模理科)设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 答案：B考点：充分必要条件，平面向量。
解析：存在实数λ，使得=λa b ，说明向量,a b 共线，当,a b 同向时，||||||+=+a b a b 成立，当,a b 反向时，||||||+=+a b a b 不成立，所以，充分性不成立。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：三角函数
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编三角函数（共10区）一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,)46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最大值是_____________． 2、（朝阳区2019届高三上学期期末）将函数sin 2y x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后，图象经过点3(,)32π，则ϕ的最小值为 A.12π B.6π C.3π D.65π 3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知π(,0)2α∈-，3sin 5α=-，则cos α= ；tan(+)απ= .4、（大兴区2019届高三上学期期末）在ABC ∆中，已知ab c b a 2222-=+，则C ∠=________.5、（东城区2019届高三上学期期末）函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-在区间2[,]63π-π上的最大值为 .6、（海淀区2019届高三上学期期末）在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .7、（海淀区2019届高三上学期期中）角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=-35，则tan θ=（A ）43- （B ）43 （C ）-34 （D ）348、（石景山区2019届高三上学期期末）在ABC △中，7,3,60a c A ==∠=︒，则ABC △的面积为 A.1532B.1534C. 123D. 639、（通州区2019届高三上学期期末）已知角α的终边与单位圆221x y +=的交点为3,2P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则s i n2α= ．10、（西城区2019届高三上学期期末）已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则 （A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形（B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形（C ）函数()()y f x g x =是周期函数（D ）函数()()f x y g x =最大值为4711、（西城区2019届高三上学期期末）已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____．12、（通州区2019届高三上学期期中）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=+C ．sin(2)6y x π=- D ． cos(2)6y x π=-13、（通州区2019届高三上学期期中）在ABC ∆中，30b =，15c =，25C =︒，则ABC ∆解的情况是A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定参考答案一、选择、填空题1、43π2、B3、34- 4、3π4 5、36、327、C 8、D 9、32± 10、D11、12、C 13、B二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）若ABC △的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (Ⅰ) 求cos A 的值； (Ⅱ) 求sin 2sin A C的值.2、（朝阳区2019届高三上学期期末）在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长.3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数22()23sin cos sin cos f x x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若对任意[0,]2x π∈，()f x m ≤（m 为实数）恒成立，求m 的最小值.4、（大兴区2019届高三上学期期末）已知函数1)3πsin()πsin(4)(-+-=x x x f .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间]2π,12π[上的最大值和最小值．5、（东城区2019届高三上学期期末）在△ABC 中，2sin cos sin .c A B a C = （Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.6、（房山区2019届高三上学期期末）在△ABC 中，3cos sin a Ab B=. （Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）若72a b ==，，求△ABC 的面积.7、（丰台区2019届高三上学期期末）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，23b =，1cos 3B =.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积.8、（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--，其中0a >（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.9、（海淀区2019届高三上学期期中）已知函数cos ()sin sin cos xf x x x x=++22.（Ⅰ）求()f 0的值；（Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的单调递增区间．10、（石景山区2019届高三上学期期末）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.O y x114π3π311、（通州区2019届高三上学期期末）如图，在△ABC 中，4A π∠=，4AB =，17BC =，点D在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-． （Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求△BCD 的面积．12、（西城区2019届高三上学期期末）在ABC ∆中， 3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．13、（通州区2019届高三上学期期中）已知函数()21cos sin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最值； （Ⅱ）若()3210f α=，求sin 2α的值．14、（通州区2019届高三上学期期中）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3sin cos b A a B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若3b =，sin 3sin C A =，求a ，c ．参考答案 二、解答题1、解: 因为ABC △的面积为22, 所以 112sin 16sin 222ABC S bc A A ==⨯⨯⨯=V ，所以3sin 3A = ． 因为 ABC △中，A ∠为锐角， 所以26cos 1sin 3A A =-=. …………6分 （II ）在ABC △中，由余弦定理，2222262cos 1(6)21633a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3a =． 由正弦定理=sin sin a c A C, 所以sin =sin A aC c .所以sin 22sin cos 223623cos sin sin 336A A A a A C C c ⋅⨯==⋅=⨯=. ……13分 2、 解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =.由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，即5sin 13=1352sin 22CAB BC A =⋅⨯=. .……… 6分（Ⅱ）在ABD △中，322172cos cos()cos sin 42226B C C C π=π--=+=.由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅, 所以2AD 21691317229(52)+25242264=-⨯⨯⨯=. 所以292AD =. ……………… 13分 3、解：（Ⅰ）由已知可得()3sin 2cos 2f x x x =- 312(sin 2cos 2)22x x =- 2sin(2)6x π=-.所以最小正周期为22T π==π. 令222262k x k πππ-+π≤-≤+π，k ∈Z .所以222233k x k π-+π≤≤π+π，所以63k x k ππ-+π≤≤+π，即单调递增区间为[,],63k k k ππ-+π+π∈Z .…………………….8分 （Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以52[,]666x πππ-∈-， 则1sin(2)[,1]62x π-∈-，所以()[1,2]f x ∈-， 当262x ππ-=，即3x π=时，max ()2f x =. 因为()f x m ≤恒成立，所以2m ≥，所以m 的最小值为2. …………….13分4、解：（Ⅰ）()4sin()sin()13f x x x π=π-+-314sin (cos sin )122x x x =+- ……3分 223sin cos 2sin 1x x x =+-3sin 2cos2x x =- ……5分π2sin(2)6x =-， ……6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． ……7分 （Ⅱ）因为ππ[,]122x ∈，所以 π5π2[0,]66x -∈． ……2分所以当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值为2； ……4分 当π206x -=，即π12x =时，()f x 取得最小值为0． ……6分 5、解:sin 2sin sin cos .sin 2ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,22.24S =ABC ac a c a π==(Ⅱ)因为的面积所以△ 22228222,5.2b a a a a b a =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，22258310cos .102522a a a A a a+-==⋅⋅所以 .............................13分6、7、解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为3a =，23b =，1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ……………….2分 可得2230c c --=， ……………….4分所以3c =，或1c =-（舍）． ……………….6分（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3B B =∈π， 所以222sin 1cos 3B B =-=. 所以ABC △的面积1122sin 3332223S ac B ==⨯⨯⨯=. …………….13分 8、解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f > （Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --9、10、解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=， ||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-31sin cos sin()226x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤.当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-. 11、解：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 3ADB ∠=-， 所以22sin 3ADB ∠=． ……………………………………………………………2分 由正弦定理sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， ……………………………………………3分所以24sin 23sin 223AB BAD BD ADB ⨯∠===∠． …………………………………………5分 （Ⅱ）因为ADB CDB π∠+∠=，所以()1cos cos cos 3CDB ADB ADB π∠=-∠=-∠=． ……………………6分 所以22sin 3CDB ∠= ． ………………………………………7分 在BCD ∆中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， ……8分得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ………………………………………………11分 所以BCD ∆的面积1sin 2S BD CD CDB =⋅⋅∠ 122344223=⨯⨯⨯=． 13分 12、13、解：（Ⅰ）由()21cos sin cos 2222x x x f x =--，得 ()()11121cos sin cos 22224f x x x x π⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭． 3分所以()f x 的最小正周期为2π，最大值为22，最小值为22-； 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()232cos 2410f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 7分 所以sin 2cos 22παα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭8分 cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10分 212cos 4πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12分 18712525=-=． 13分14．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，， 由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin b A a B =． 2分 由3sin cos b A a B =，得3sin cos 3b A a B =． 所以3sin cos 3B B =． 4分 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin 3tan cos 3B B B ==， 所以6B π=． 6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a c A C=， 而sin 3sin C A =， 所以3c a = ① 9分 由余弦定理22cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即2239a c ac +-= ② 12分 把①代入②得3a =，33c =. 13分。
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(一)——二次函数(含解析)
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（一）——二次函数一．选择题1．（2020•海淀区一模）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 2．（2019•房山区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15mB．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4sD．小球飞出1s时的飞行高度为10m3．（2019•通州区三模）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4 5．（2019•道外区二模）将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1 6．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），（5，3），则下列说法正确的是（）①抛物线与y轴有交点②若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上③抛物线的对称轴不可能是x＝3④若抛物线的对称轴是x＝4，则抛物线与x轴有交点A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④7．（2019•丰台区模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定二．填空题8．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．9．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是．10．（2020•西城区校级模拟）已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．11．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．12．（2020•西城区校级模拟）如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．13．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为，若区域W内恰有7个整点，则a 的取值范围是．14．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．15．（2019•朝阳区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．16．（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．17．（2019•石景山区二模）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为，水管AB的长为m．三．解答题18．（2020•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．19．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．20．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y 轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．22．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．23．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．24．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25．（2020•西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W的距离．例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果点G（0，b）（b＜0）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．（2）求点M（3，0）到直线y＝x+3的距离．（3）如果点N在直线x＝2上运动，并且到直线y＝x+4的距离为4，求N的坐标．参考答案一．选择题1．解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y＝2x2﹣3．故选：B．2．解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选：C．3．解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．4．解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y1＝2（x ﹣1）2；抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2＝（x﹣1）2；抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3＝（x ﹣1）2；抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣b）且﹣b＜﹣4，根据待定系数法求得y4＝﹣（x﹣1）2；综上，二次项系数绝对值最小的是y3故选：C．5．解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣1．故选：D．6．解：①当x＝0时，y＝c，∴与y轴有交点；①正确；②抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3），∴，∴a＝，∴抛物线开口向上；∴②正确；③如果抛物线的对称轴x＝3，（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（5，3）矛盾，∴对称轴不能是x＝3，∴③正确；④对称轴是x＝4，∴﹣＝4，∴b＝﹣8a，将点（1，2），（5，3）代入得，，∴24a+4b＝1，∴﹣8a＝1，∴a＝﹣，∴b＝1，c＝△＝b2﹣4ac＝64a2﹣4ac＞0，∴抛物线与x轴有交点，∴④正确；故选：A．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．二．填空题（共10小题）8．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：①④．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，AC有最小值2，即正方形的边长AB的最小值是．故答案为：．10．解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意，故答案为：4（答案不唯一）．11．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．12．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．13．解：（1）当a＝2时，函数y＝﹣x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（﹣，0），（，0），函数y＝﹣x2+2的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（﹣1，1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内．所以此时在区域W内的整数点有1个．（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；当a＝3时，在W区域内有4个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3个整数点（0，3），（﹣1，2），（1，2）；当a＝4时，在W区域内有7个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（﹣1，2），（1，2）；所以区域W内恰有7个整点，3＜a≤4．故本题答案是1；3＜a≤4．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．15．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x＝1或﹣3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．16．解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；2.25．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），∴y＝0时，ax（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4，∴抛物线与x轴交于点A（0，0），B（4，0）．∴抛物线y＝ax2﹣4ax的对称轴为直线：．（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4a）．令y＝5a，得ax2﹣4ax＝5a，a（x﹣5）（x+1）＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴当y＝5a时，抛物线上两点M（﹣1，5a），N（5，5a）．①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q（2+2a，5a）位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≥5，解得a．②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q（2+2a，5a）位于点P的左侧，（ⅰ）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时﹣4a≤2，解得a．（ⅱ）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≤﹣1，解得a．综上，a的取值范围是a≥或﹣a＜0或a．19．解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，∴a＝0，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，∴顶点C坐标为（，﹣），（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，由题意可得：，解得：0≤a＜6；当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，∴，∴a＝，综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；（3）由题意可得当x＝3时，y＝0，即9﹣15+a﹣2＝0，∴a＝8．20．解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3，求得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：把A（﹣3，0）代入y＝x2+2x+a得0＝9﹣6+a，解得a＝﹣3，二次函数y＝x2+2x+a的的顶点与图象F的顶点（﹣1，4）重合时，则4＝1﹣2+a，解得a＝5，由图象可知，二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为﹣3≤a＜3或a＝5．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），∴对称轴x＝﹣＝1，∵一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，∴A（0，3），∵点A向右平移5个单位得到点C，∴C（5，3）．（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个，②∵抛物线的顶点（1，﹣4a），当a＜0时，由①可知，a＝﹣1时，抛物线经过A，B，∴当a＜﹣1时，抛物线与图象G有且只有一个公共点，当抛物线的顶点在线段AC上时，如图2中，也满足条件，∴﹣4a＝3，∴a＝﹣，当a＞0时，如图3中，抛物线经过点C时，25a﹣10a﹣3a＝3，解得a＝，抛物线经过点B时，﹣4a＝﹣a+3，解得a＝﹣（舍弃）不符合题意．观察图象可知a≥时，满足条件，综上所述，满足条件的a的取值范围：a＜﹣1或a≥或a＝﹣．22．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．23．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．25．解：（1）①当G在原点下方时，b＝﹣3，②当G在原点上方时，＝3，整理得：x4+（1﹣2b）x2+b2﹣9＝0，△＝（1﹣2b）2﹣4（b2﹣9）＝0，解得：b＝（舍去），故答案为：﹣3；（2）如图1，作直线y＝x+3与x轴交于点B（﹣3，0），过点M作MN⊥BN交于点N，则MN的长度为所求值，则△BMN为等腰直角三角形，故MN＝BM＝3，故点M（3，0）到直线y＝x+3的距离为3；（3）①当点N在直线BH和x＝2的交点下方时，如图2，作直线y＝x+4交x轴于点B，过点N作NH⊥BH于点H，过点N作MN∥x轴交直线BH于点M，则HN＝4，由（2）同理可知，△HMN为等腰直角三角形，MN ＝HN＝4，故x M＝2﹣4，y M＝x M+4＝6﹣4＝y N，故点N的坐标为：（2，6﹣4）；②当点N在直线BH和x＝2的交点上方时，同理可得：点N的坐标为：（2，6+4）；综上，点N的坐标为：（2，6﹣4）或（2，6+4）．。
2019年北京市昌平区中考数学二模试卷(解析版)
2019年北京市昌平区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列几何体中，俯视图是矩形的是（）A.B.C.D.2.2019年全国两会期间其中某一天产生的信息有122863条，热度最高的三个关键词分别是：“健康”“医疗”和“教育”，请将122863用科学记数法表示（）A. B. C. D.3.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.4.二元一次方程组的解是（）A. B. C. D.5.如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（-1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为（）A. B. C. D.6.如果m+n=2，那么代数式的值是（）A. 2B. 1C.D.7.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（）A. B. 矩形矩形C. 矩形D.8.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（）①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB______∠COD．（填“＞”，“=”或“＜”）10.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是______．12.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近______．（精确到0.1）13.某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有______种．14.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若CF=6，则AF的长为______．15.今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票）三名候选人有机会当选村长（填甲、乙、丙），并写出你的推断理由．16.“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为______升．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：+（-2019）0-4sin45°+|-2|．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：＜，19.在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP=______=______．∴四边形ABQP是菱形（______）（填推理的依据）．∴PQ∥l．20.已知：关于x的一元二次方程x2-4x+m+1=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF=8，DF=4，求CD的长．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与直线y=2x-2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B为函数（x＞0）的图象上的一点，直线AB与y轴交于点C，当AC=2AB时，求点C的坐标．23.如图，在Rt ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ=AC，AD=2时，求BP的长．24.近日，某中学举办了一次以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为主题的诗词大会比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.589①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为______；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为______（填“初一”或“初二”）；③若成绩在85分及以上为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为______人．25.如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：1x y y x（）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为______．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当≤AB≤时，结合函数图象，求a的取值范围．27.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图1，①依题意补全图1；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD=60°时，求BE的长．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M 到⊙C的“圆距离”，记作d（M-C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M-O）=______；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M-O）=______；③记函数y=kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M-O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M-C）=1，直接写出t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、圆锥俯视图是圆（带圆心），故此选项错误；B、长方体俯视图是矩形，故此选项正确；C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；故选：B．俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2.【答案】A【解析】解：将122863用科学记数法表示为：1.22863×105．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：A、∵a＜-2，∴|a|＞2，结论A错误；B、∵b＜0，c＞0，∴c-b＞0，结论B正确；C、∵a＜-2，0＜c＜1，∴a+c＜0，结论C错误；D、∵b＜0，d＞2，∴bd＜0，结论D错误．故选：B．观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：，①+②得：3x=6，解得：x=2，把x=2代入①得：y=0，则方程组的解为，故选：B．方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5.【答案】D【解析】解：根据庆陵的位置坐标（-1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，如图所以定陵的位置坐标为（-5，-2），故选：D．根据庆陵的位置坐标（-1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，然后直接写出定陵的位置坐标．本题考查了坐标确定位置，正确建立直角坐标系是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：原式=（）•=•=∵m+n=2，∴原式==1，故选：B．先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形∴S AEF=S AFN，S FMC=S CGF，S ABC=S ACD，∴S矩形BEFM =S矩形NFGD，∴选项A、B、D是正确的故选：C．根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：由图象可得，小明家和学校距离为1200米，故①正确；小华乘坐公共汽车的速度是1200÷（13-8）=240米/分，故②正确；480÷240=2（分），8+2=10（分），则小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇，故③正确；小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，小华从家到学校的所用时间为：1200÷100=12（分），则小华到校时间为8：00，小明到校时间为8：00，故④正确；故选：D．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】=【解析】解：根据题意可知tan∠AOB=2，tan∠COD=2，∴∠AOB=∠COD，故答案为：=根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10.【答案】x≥1【解析】解：∵在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．11.【答案】6【解析】解：解法一：设所求正n边形边数为n，则120°n=（n-2）•180°，解得n=6；解法二：设所求正n边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n=360°，∴n=6．故答案为：6．多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．12.【答案】0.3【解析】解：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，故答案为：0.3；由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．13.【答案】3【解析】解：设可以购买x个篮球，y个排球，依题意，得：120x+90y=1200，∴x=10-y．∵y为正整数，x为非负整数，∴，，．∴共有3种购买方案．故答案为：3．设可以购买x个篮球，y个排球，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合y为正整数、x为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．14.【答案】3【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是边AB的中点，∴AE=AB=CD，∵AB∥CD，∴ AEF∽ CDF，∴，∵CF=6，∴AF=3，故答案为：3．由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由E是边AB的中点，得出AE=AB=CD，证AEF∽ CDF，即可求出AF的长．本题考查了平行四边形的性质，相似三角表的判定与性质等，较基础，解题关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质．15.【答案】甲或丙∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97=583；乙得票数为：211+85+41=337；丙得票数为：147+244+205=596：∴596-583=13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596-337=259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，【解析】解：∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97=583；乙得票数为：211+85+41=337；丙得票数为：147+244+205=596：∴596-583=13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596-337=259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，故答案为：甲或丙，∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97=583；乙得票数为：211+85+41=337；丙得票数为：147+244+205=596：∴596-583=13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596-337=259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长．根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案．此题主要考查了推理与论证，正确利用表格中数据分析得票情况是解题关键．16.【答案】37【解析】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1-2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为升∴当用时1+1=2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45-8×1=37升，故答案为：37．找准几个关键点进行分析解答即可．本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．17.【答案】解：原式=2+1-4×+2=2+1-2+2=3．【解析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数等考点的运算．18.【答案】解：＜①②，由①可得：x＜4；由②可得：x≥1；所以不等式组的解集为：1≤x＜4．【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19.【答案】PQ BQ四边相等的四边形是菱形【解析】解：（1）如图所示．（2）：∵AB=AP=PQ=BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴PQ∥l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．（1）根据要求作出图形即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等实根，∴ =16-4（m+1）＞0，12-4m＞0，∴m＜3；（2）∵当m=-1时，x（x-4）=0，∴x1=0，x2=4．【解析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围；（2）由（1）中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可．本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21.【答案】（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：设BC=CD=x，则CF=8-x在Rt DCF中，∵x2=（8-x）2+42 ，∴x=5，∴CD=5．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）设BC=CD=x，则CF=8-x根据勾股定理即可得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：（1）∵直线y=2x-2过点A（2，m），∴m=2×2-2=2∴A（2，2），∵ （x＞0）过点A（2，2），∴k=2×2=4；（2）∵AC=2AB，∴B点的横坐标为1或3，把x=1或3代入y=得，y=4或，∴B（1，4），或（3，），设直线AB为y=ax+b，把A、B的坐标代入求得解析式为y=-2x+6或y=-x+，令x=0，则C（0，6）或C（0，）．【解析】（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）根据题意求得B的横坐标，代入反比例函数的解析式求得纵坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可求得C点的坐标．本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出B点的坐标．23.【答案】解：（1）连接DC，∵，∴∠DCA=∠DOA，∵∠ADQ=∠DOQ，∴∠DCA=∠ADQ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∵∠ADQ+∠DAC=90°，∠ADO=∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO=90°，∴DP是⊙O切线；（2）∵∠C=90°，OC为半径．∴PC是⊙O切线，∴PD=PC，连接OP，∴∠DPO=∠CPO，∴OP⊥CD，∴OP∥AD，∵AQ=AC=2OA，∴，∵AD=2，∴OP=3，∵OP是ACB的中位线，∴AB=6，∵CD⊥AB，∠C=90°，∴BC2=BD•BA=24，∴BC=，∴BP=．【解析】（1）连接DC，根据圆周角定理得到∠DCA=∠DOA，由于∠ADQ=∠DOQ，得到∠DCA=∠ADQ，根据余角的性质得到∠ADQ+∠ADO=90°，于是得到结论；（2）根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线，求得PD=PC，连接OP，得到∠DPO=∠CPO，根据平行线分线段长比例定理得到OP=3，根据三角形的中位线的性质得到AB=6，根据射影定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】0.05 8 82.75 初一270【解析】解：（1）频数4÷0.10×0.20=8，频率1-0.10-0.20-0.35-0.30=0.05，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80-90分∵80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89，∴中位数为（82.5+83）÷2=82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为故答案为270．（1）频数4÷0.10×0.20=8，频率1-0.10-0.20-0.35-0.30=0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2=82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25.【答案】3.50或5或6【解析】解：（1）当x=3时，点E是AB的中点，易证ECF是等腰直角三角形，EF=EC=3≈4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y=x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．（1）当x=3时，点E是AB的中点，易证ECF是等腰直角三角形，EF=EC=3≈4.24．（2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）由直线y=x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当AEF为等腰三角形时AE的长度．本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】（-1，0）【解析】解：（1）令y=0，x+1=0，则A点坐标为（-1，0）；故答案为（-1，0）；（2）①将（-1，0）代入y=ax2+bx+3a，∴a-b+3a=4a-b=0，∴b=4a，∵x=-=-2；②设B（m，m+1），AB==|m+1|，∵m+1=am2+4am+3a，m+1=a（m+1）（m+3），∵m≠-1，∴m=-3，∴AB=|-2|，∵≤AB≤，∴≤|-2|≤，∴或；（1）令y=0，x+1=0，则A点坐标为（-1，0）；（2）①将（-1，0）代入y=ax2+bx+3a，可得b=4a，由对称轴x=-=-2；②设B（m，m+1），由m+1=am2+4am+3a，得m=-3，AB==|m+1|=|-2|，结合AB的取值范围即可求解；本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握交点坐标的含义，不等式的解法是解题的关键．27.【答案】解：（1）①补全图形如图1所示：②FG=DG，FG⊥DG，理由如下：连接BG，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC=90°，∴ CEG是等腰直角三角形，EG=GC，∴∠GEC=∠GCE=45°，∴∠BEG=∠GCF=135°，由平移的性质得：BE=CF，在BEG和GCF中，，∴ BEG≌ GCF（SAS），∴BG=GF，∵G在正方形ABCD对角线上，∴BG=DG，∴FG=DG，∵∠CGF=∠BGE，∠BGE+∠AGB=90°，∴∠CGF+∠AGB=90°，∴∠AGD+∠CGF=90°，∴∠DGF=90°，∴FG⊥DG；（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示：在Rt ADG中，∵∠DAC=45°，∴DH=AH=，在Rt DHG中，∵∠AGD=60°，∴GH===，∴DG=2GH=，∴DF=DG=，在Rt DCF中，CF==，∴BE=CF=．【解析】（1）①补全图形即可：②连接BG，由SAS证明BEG≌ GCF得出BG=GF，由正方形的对称性质得出BG=DG，得出FG=DG，在证出∠DGF=90°，得出FG⊥DG即可；（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=，由直角三角形的性质得出FG=DG=2GH=，得出DF=DG=，在Rt DCF中，由勾股定理得出CF=，即可得出结果．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．28.【答案】4 3【解析】解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA=5，d（M-O）=AQ=5-1=4，故答案为4；②如图1，由题意得：d（M-O）=PQ=4-1=3；③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，则d（M-O）=P′Q′，当P′Q′=2为临界点的情况，OD=4，∴∠P′DO=30°，∴k=，故k；（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ=1，则OC=2，即：t=2；②如图3，当点P在射线OA时，tan∠AOC=，则sin∠AOC=，CP=CQ+PQ=1+1=2，t=OC==；故：t=2或．（1）①点A（4，3），则OA=5，d（M-O）=AQ，即可求解；②由题意得：d（M-O）=PQ；③P′Q′=2为临界点的情况，OD=4，则∠P′DO=30°，即可求解；（2）①分点为角的顶点O（P）、点P在射线OA两种情况，分别求解即可．本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大．。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)之三角函数
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“ 割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π34．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．8．【2015年北京理科12】在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC=．9．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x）的最小正周期为．10．【2012年北京理科11】在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝．11．【2011年北京理科09】在△ABC中．若b＝5，∠B=π4，tan A＝2，则sin A＝；a＝．12．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．【2019年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．14．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．15．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．16．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A+cos C的最大值．17．【2015年北京理科15】已知函数f（x）=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．【2014年北京理科18】已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．20．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√322．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√33．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π48．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√312．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π414．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x−π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为（）A．π6B．π4C．π3D．π216．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)．若关于x的方程f(x)= 1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．617．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√6319．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．3221．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠ABC =90°，已知AD =√3，BD =√6.（1）求sin∠ABD 的值；（2）若CD =2，且CD >BC ，求BC 的长.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13．(1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x . (I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3；②cosB =−23；③a =7；④b =3． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC 的面积．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3②a =13③c =15④sinC =13 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求△ABC 的面积.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tanα=1m =yx，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m2+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6B ．t =√32，s 的最小值为π6C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可） 【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，26．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，98．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ． 【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14， ∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ．【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15， 由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55，根据正弦定理得：asinA=b sinB，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17；条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74. 13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：csinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0，得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ） =√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2 =√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0， g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0 （x 0，π2） g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C 【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D 【解析】∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（） A ．π6 B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6，∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x 的方程f(x)=1在区间[0，]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32. 【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)， 所以f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx=√3sinωx −3cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3(sinωx −π3)由题设知f(π6)=0， 所以ωπ6−π3=kπ，k ∈Z . 故ω=6k +2，k ∈Z ，又0<ω<3， 所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x −π3) 所以g(x)=√3sin(x +π4−π3)=√3sin(x −π12). 因为x ∈[−π4,3π4]，所以x −π12∈[−π3,2π3]，当x −π12=−π3，即x =−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋√3asinC －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3 【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ， 即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sin A sinC =75.设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积． 【答案】（1）√63；（2）√2【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13， ∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理b sinB =csinC 得√32√23=3sinC ，∴sinC =√63．（2）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得12=a 2+9−2×3a ×(−13)， ∴a 2+2a −3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=√2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD>BC，则BC=1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．(1)求sin2B+C2+cos2A的值；(2)若a=√3，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24【解析】 (1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1=cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1=1+132+2×19−1=−19；(2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32．（1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77．【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ，所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217．因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217．②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77．因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ，即sin∠ADB =2√77．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22，因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22，所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2.（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55，。
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2019年北京各区二模理科数学分类汇编---三角函数1.（2019西城二模理科）在ABC ∆中，若,a b ==，则三个内角中最大角的余弦值为答案：4-考点：余弦定理。
解析：a =，所以，a ＞b ，b =，所以，b ＞c ，所以，a ＞b ＞c ，根据大边对大角，显然∠A 最大，cosA ＝22222224b c a bc +-== 2.（2019西城二模理科）已知函数()cos(2)2sin cos 6f x x x x π=-+(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将函数()f x 的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的函数解析式为()g x ，求()g x 的单调递增区间．(Ⅰ) ())6f x x π=+；(Ⅱ) 2[,]()36k k k z ππππ-+-+∈3.（2019东城二模理科）将函数sin 22yx x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π= .答案：考点：三角恒等变换，三角函数图象的平移变换。
解析：sin 22yx x =＝2sin(2)3x π-，图象向左平移6π个单位长度，得：()y g x =＝2sin[2()]2sin 263x x ππ+-=， 5()6g π＝552sin(2)2sin 2sin(2)633ππππ⨯==-=4.（2019东城二模理科）如图，在四边形ABCD 中，2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（Ⅰ）求CAD ∠的正弦值；（Ⅱ）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.解：（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π， 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得sin 7DAC ∠= ............................6分（Ⅱ）由已知得4ABCACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=因为sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以cos 7CAD ∠==.因此AB = ...............13分5.（2019朝阳二模理科）在△ABC 中，，c =4，，则b =（ ）A.B. 3C.D.【答案】B 【解析】解：∵，c=4，，∴sinC==，∴由正弦定理，可得：，解得：b=3．故选：B ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算得解b 的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．6.（2019朝阳二模理科）已知函数． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当，时，求证： ．【答案】解：（Ⅰ） =， =，所以f （x ）的最小正周期．证明：（II ）因为 ， ，即 ， ，所以f （x ）在 ，上单调递增．当时，即时， ． 所以当，时， ． 【解析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.（2019昌平二模理科）在ABC V 中，三边长分别为3,a b c ===其最大角的余弦值为_________,ABC V 的面积为_______.答案：10考点：余弦定理，三角形面积公式。
解析：大边对大角可知，A最大，所以，cosA＝2222b c abc+-==sin A==，ABCV的面积为S＝11sin22bc A=⨯38.（2019昌平二模理科）已知函数1(=cos cos)+2f x x x x-）.（I）求()3fπ的值；（II）当[0,]2xπ∈时，不等式()2c f x c<<+恒成立，求实数c的取值范围．解：（I）21(cos cos+2f x x x x-1=sin2cos222x x-=sin(2)6xπ-,所以()13fπ=. ….8分（II）因为02xπ≤≤，所以52666xπππ-≤-≤.所以1sin226xπ-≤-≤（）1.由不等式()2c f x c<<+恒成立，所以1,221cc⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c-<<-.所以实数c的取值范围为1(1,)2--. ….13分9.（2019海淀二模理科）已知函数()sin(0)f x xωω=>，则“函数()f x的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件答案：A考点：充分必要条件。
解析：函数()f x的图象经过点（4π，1）时，有sin14πω=，所以，242kππωπ=+，28k ω=+，函数为：()sin(28)f x k x =+，当2x π=时，()sin(28)sin(4)022f k k ππππ=+⨯=+=，所以，充分性成立；当函数()f x 的图象经过点（,02π）时，sin02πω=，所以，2k πωπ=，即2k ω=，()sin 2(0)f x kx k =>，当4x π=时，()sin(2)sin442k f k πππ=⨯=不一定等于1，所以，必要性不成立。
10.（2019海淀二模理科） 在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是钝角三角形，求BC 边上的高．解：（Ⅰ）在ABC △中，因为7a =，8b =，3A π=，所以由正弦定理sin sinB A ba=得sin 8sin 7b A B a ===. （Ⅱ）方法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得214964282c c =+-⨯⨯⨯即28150c c -+=，解得5c =或3c = ，因为,b a b c >>，所以B ∠为ABC △中最大的角，当5c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉当3c =时，222cos 02a c b B ac+-=<，ABC △为钝角三角形，所以3c =设BC 边上的高为h ，所以sin h c B==方法2：因为b a >，所以π3B A >=，所以π3C <，所以B ∠为ABC △中最大的角 因为ABC △为钝角三角形，所以B 为钝角因为sin B ，所以1cos 7B =-所以sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=设BC 边上的高为h ，所以sin h b C =11.（2019房山二模理科）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为()g x = ；对于满足12()()2f x g x -=的12,x x ，12x x -的最小值等于 . 答案：sin(2);33x ππ- 考点：三角函数的图象及其性质。
解析：()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得：函数()g x ＝sin 2()6x π-＝sin(2)3x π-，由于12()()2f x g x -=，所以，12,x x 分别是f （x ），g （x ）最大值或最小值点的横坐标， 不妨设f （x1）是最大值，g （x2）是最小值，则 x1＝4k ππ+， 212x k ππ=-，12x x -的最小值为：4123πππ+=12.（2019房山二模理科）已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．（Ⅰ） 由余弦定理得 2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 角B 为三角形内角 3π=∠∴B ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 23A CB ππ∠+∠=-∠=C A ∠-=∠∴32π……………6分 C A c o s co s +∴ =C C cos 32cos +⎪⎭⎫⎝⎛-π = C C C cos sin 32sin cos 32cos+⋅+⋅ππ= 1cos sin cos 2C C C -⋅++= 1sin cos 2C C +⋅= cossin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ = ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πC ……………10分320π<<C 6566πππ<+<∴C 16s i n 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴πC C A cos cos +∴ 的最大值是1 ……………13分13.（2019丰台二模理科）已知函数()sin(2)()22f x x θθππ=+-<<的图象过点1(0,)2P ，现将()y f x =的图象向左平移(0)t t >个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么 （A ）3θπ=，t 的最小值为3π （B ）3θπ=，t 的最小值为π （C ）6θπ=，t 的最小值为3π （D ）6θπ=，t 的最小值为π 答案：C考点：三角函数的图象及其性质。
解析：点1(0,)2P 化入f （x ），得：1sin 2θ=，所以，6θπ=，排除A 、B ，将()y f x =的图象向左平移(0)t t >个单位长度得：()sin[2()]6f x x t π=++，这个图象也过点P ，所以，1sin(2)62t π+=，所以，2266t k πππ+=+或52266t k πππ+=+即t k π=或3t k ππ=+，又t ＞0，所以，t 的最小值为：3π，选C 。
14.（2019丰台二模理科）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin B b A =． （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）求sin sin A C +的最大值.解：cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =. ………………2分 因为在ABC △中，sin 0A ¹，sin B B =. ………………3分 因为0B <<π, ………………4分所以3B π=. .………………5分 （Ⅱ）因为A B C π++=， ………………6分所以sin sin A C +sin sin()3A A π=++.………………7分1sin (sin cos )22A A A =++ .………………8分)6A π=+. ………………9分 因为203A π<<， 所以5666A πππ<+<. ………………11分当62A ππ+=，即3A π=时，sin sin A C +. .………………13分15.（2019通州模拟）已知函数y =sinωx （ω＞0）在（0，）上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围为______． 【答案】（2，6]【解析】解：当x（0，）时，，∵y=sinωx（ω＞0）在（0，）上有最大值，没有最小值，∴，∴，∴2＜ω≤6．ω的取值范围为：（2，6]．故答案为：（2，6]．根据x的范围可得，然后根据条件得解不等式即可．本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属基础题．16.（2019通州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）若D为BC边上的点，并且，求∠ADB．解：（Ⅰ）由余弦定理可得：，即，整理得c2+2c-3=0，解得c=1或c=-3（舍）．所以c=1．（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，∠可得 ∠ ．又因为＜，所以＞．所以＜∠ ＜．所以∠ ．【解析】（Ⅰ）由已知结合余弦定理，可求c；（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，可求sin∠ADB，进而可求；本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于知识的简单应用．17.（2019平谷模拟理科）已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)【答案】答案不唯一，如：【解析】【分析】根据f（x）≤|f（）|，可得x时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；【详解】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z若x时，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z故答案为：【点睛】本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题18.（2019平谷模拟理科）已知，、、为的三个内角，，（1）求角；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简f（x），根据f（A）＝0．即可求A角；（2）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．【详解】（1）由f（x）＝sin x cos x＝2sin（x﹣60°），∵f（A）＝0．即2sin（A﹣60°）＝0，∵0＜A＜180°，可得：A＝60°；（2）由（1）可得A＝60°，BC＝a＝2，根据余弦定理cos A，可得bc＝b2+c2﹣4，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），∴bc+4≥2bc，可得bc≤4．那么△ABC面积S bc sin A，故得△ABC面积的最大值为．【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了余弦定理与不等式的结合求解最值问题．属于基础题．19.（2019人大附中模拟理科）在三角形ABC中,,则（）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得或，选D.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.20.（20191附中模拟理科）在中，，，的面积等于，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I ）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II ）利用正弦定理求得 的的值，利用二倍角公式求得的值. 【详解】解：（Ⅰ）由已知得 整理得解得或 因为，所以． （Ⅱ）由正弦定理， 即． 所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.21.（2019人大附中模拟理科）已知02sin d 3a x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则下列区间为函数3sin cos 3y ax ax =-+的单调递增区间的是 AA. ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 55,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.（2019人大附中模拟理科）若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是________ 23.（2019人大附中模拟理科）在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于(,)M x y 11，将α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于(,)N x y 22，记()f y y α=+12.（1）求函数()f α的值域；（2）在△ABC中，若(),sin sin f C c A B ==+=7△ABC 的面积. 解：（1）sin ,sin ,y y παα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭123()sin sin f y y ππαααα⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1236 ,ππππαα<<∴<+<202663Qπα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6，函数()f α的值域是⎝. （2）()f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭6,sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭16 ,C C ππππ<<∴<+<70666Q C ππ∴+=62,C π=3,由sin sin sin a b c A B C ===sin sin A B += 得a b +=13由余弦定理()cos c a b ab C a b ab =+-=+-222223，得ab =40，sin ABC a S b C ∴==12V 24.（2019北京四中模拟理科）函数 Ccos tan y x x=A ．B ．C ．D ．25.（2019北京四中模拟理科）函数()sin y A x ωϕ=+（函数表达式为 BC. D.26.（2019北京四中高三上期中理科）已知ABC ∆的三个内角分别为A ,B ,C ,且22sin ()2.B C A +=（Ⅰ）求A 的度数； （Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴= ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. …………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中,60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC == ,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分27.（2019北京四中高三上期中理科）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈时，求函数(f x ）的单调递减区间.解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x +1cos2(22x f x x ）++1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x π++），22.||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分 (Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈, 由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈ 所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分。