函数条件极值的若干求法
9-8多元函数的极值及其求法(精)
四川大学数学学院 邓瑾
定理1 (必要条件) 函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 存在 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y( x0 , y0 ) 0 证: 因 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极值 , 故
5
四川大学数学学院 邓瑾
在点(1,2) 处 A 12, B 0, C 6 AC B 2 12 ( 6) 0, f (1, 2) 不是极值; 在点(3,0) 处 A 12, B 0, C 6,
AC B 2 12 6 0, f ( 3,0)不是极值;
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
令
A f xx ( x0 , y0 ) , B f xy ( x0 , y0 ) , C f yy ( x0 , y0 )
2 2 2
2 2
(0,0)
0
因此 z(0,0) ( x y )
2
7
2 2 (0,0)
0 为极小值.
四川大学数学学院 邓瑾
例 3 求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4z 10 0 确定的函数 z f ( x , y )的极值.
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
A
6
ห้องสมุดไป่ตู้
B
四川大学数学学院 邓瑾
C
例2.讨论函数 z x y 及 z ( x 2 y 2 )2 在点(0,0)
函数极值的求解方法
函数极值的求解方法
函数的极值，就是函数在某一区域内达到的最大值或最小值,取得极值的(自变量)点叫做极值点。
从函数的图象上来看,极值点的切线与x轴平行,所以也可以说,切线与x轴平行的点就是函数的极值点。
同一个函数的极值点可以有多个,且大小不一定都相等,所以极值点中可能有函数的最大值与最小值,这又不同于函数在某一区域的最大最小值。
一、利用二次方程的判别式求极值
在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。
例：求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。
解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x ∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法≥0，解之得：-1≤y≤1∴函数y= 求函数极值的若干方法值域为[-1，1]。
二、利用倒数关系求极值
对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。
三、利用重要不等式求极值
对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。
四、利用换元法求极值
有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。
五、用解析法求极值
形如y=求函数极值的若干方法其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。
但若借助与解析法，将求函数极值的若干方法分别视作平面直角坐标系内两
点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
多元函数的极值及其求法
f x ( x, y) + λϕx ( x, y) = 0, f y ( x, y) + λϕy ( x, y) = 0, ϕ( x, y) = 0.
标. 解出x, y, λ，其中x, y就是 能 极 点 坐 . 可 的 值 的 标
(1)
2 2 例２ 函数 z = − x + y
在(0,0) 处有极大值． 处有极大值．
(2)
例３ 函数z = xy
处无极值． 在(0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理1 必要条件） 定理 1（必要条件） 函 设 数z = f ( x, y)在 ( x0, y0 )具 偏导 ， 在 点 有 数且 值， 点( x0, y0 )处有极 ，则它在该点的偏导 必 值 数 然 为零： 为零：
f x ( x0, y0 ) = 0,
f y ( x0, y0 ) = 0， f xy ( x0, y0 ) = B，
令
f xx ( x0, y0 ) = A，
f yy ( x0, y0 ) = C，则
(1) AC − B2 > 0时具有极值，且 时具有极值， 当A < 0时 极 值 当A > 0时 极 值 有 大 ， 有 小 ；
格 日 数 可推 拉 朗 乘 法 推 到 变 多 两 的 况 可 广 自 量 于 个 情 ： 找 数 要 函 u = f ( x, y, z, t ) 在 件 ϕ( x, y, z, t ) = 0， 条
ψ ( x, y, z, t ) = 0 下的极值。
构 函 （ 中 数） 先 造 数 其 λ1, λ2 均 常 ） 为 数
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
函数极值的求法及其应用
目录摘要 (2)ABSTRACT (2)第一章引言 (4)第二章一元函数的极值 (5)2.1极值的充分条件 (5)2.2几种特殊函数的极值 (8)第三章多元函数的极值 (12)3.1无条件极值 (13)3.2条件极值 (15)第四章函数极值的应用 (19)参考文献 (24)致谢 (25)函数极值的求法及其应用曾浪数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。
本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。
关键词：函数；极值；应用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章引言函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。
多元函数的极值及其求法
的梯度平行
引入辅助函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
拉格朗日 乘数法
推广
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个 约束条件的情形.
例如, 求函数 u f ( x, y, z ) 在条件 ( x, y, z ) 0 ,
( x, y, z ) 0下的极值.
( x , y ),
取 y y 0，则 f ( x , y ) f ( x , y ), 0 0 0
一元函数
d f ( x , y0 ) dx
x x0
f ( x , y 0 ) 在 x x 0 取得极大值 .
y
( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0.
2 2
2 2 2
的最大值和最小值.
0, 0,
解： 由 zx
zy
得驻点(
( x y 1) 2 x ( x y ) ( x y 1)
2 2 2 2
( x y 1) 2 y ( x y ) ( x y 1)
2 2 2
1 2
,
1
)和 (
1 2
f x ( x 0 , y 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) 0 .（驻点）
多元函数的极值点如果有偏导数则必是驻点.
证:
不 妨 设 z f ( x , y )在 点 ( x 0 , y0 ) 处 有 极 大 值 ,
则对于 ( x 0 , y 0 )的某个邻域内的所有点 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ),
A f xx ( x 0 , y 0 ) , B f xy ( x 0 , y 0 ) , C f yy ( x 0 , y 0 ),
极大值和极小值点的性质和求解方法
极大值和极小值点的性质和求解方法一、引言极值是函数在变量取值范围内的最大值和最小值，是数学中的一个基本概念。
极值在实际问题中具有重要的应用价值，如求最大利润、最小成本、最大效益等。
本文将介绍极大值和极小值点的性质和求解方法，以及该概念在实际问题中的应用。
二、概念定义1. 求解最大值和最小值的方法最常用的方法是导数法。
当函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且在$(a,b)$ 内可导时，如果 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增；如果 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减；如果 $f'(x)=0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可能取得极值。
2. 极值点的分类设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则：（1）当 $f'(x_0)=0$ 时，$x_0$ 称为 $f(x)$ 的稳定极值点。
当$f(x)$ 在 $x_0$ 左边单调递增，在 $x_0$ 右边单调递减时，$x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点；当 $f(x)$ 在 $x_0$ 左边单调递减，在$x_0$ 右边单调递增时，$x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点。
（2）当 $f'(x_0)$ 不存在时，根据函数的单调性分类。
（3）当 $x_0$ 在定义域之外时，点 $x_0$ 可能是分段函数的分段点。
分段函数在分段点处可能存在极值。
三、经典例题1. 求函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ 在区间 $[-1,5]$ 上的极值。
解：首先求导，得到 $f'(x)=3x^2-12x+9$。
令其等于零，解得$x_1=1,x_2=3$。
将这两个点代入原函数中，并比较大小，得到$x_1=1$ 为极小值，$x_2=3$ 为极大值。
2. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求其在$[-1,3]$ 上的极值点。
高等数学 -多元函数的极值及其求法
16
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y x , 故有 dx y
23
例5：某公司可通过电台及报纸两种方式做商品销售
广告，根据资料知销售收入 R（万元）与电台广告费用
x 万元, 报纸广告费用 y 万元, 之间的关系公式：
R 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2
1、在广告费用不限的情况下求最优广告策略。
2、若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略
x y 1.5
x 0
y
1.5
即将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大.
32
例6：某公司的两个工厂生产同样的产品但所需成本
不同，第一个工厂生产 x 件产品和第二个工厂生产 y
件产品时的总成本是; Cx, y x2 2 y2 5 x y 700
若公司的生产任务是500件，问如何分配任务才能使总
解：最优广告策略即为用于广告费多少时可使得利润
函数 Lx, y 最大。由题意可知： Lx, y 15 14 x 32 y 8x y 2 x2 10y2 x y
15 13x 31y 8x y 2 x2 10y2
Lx 13 8 y 4 x 0 Ly 31 8 x 20 y 0
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10
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在 点 尸 ２ 处 ， ＝ 导 ， ＝ 一 詈 ， ｃ ： ， △ ＝ ｃ — ＝ × 詈 ｘ （ 一 号 ） ＝ 导＞ ０ ， 又 因 为 ＝ ＞ ０ ， 所
以点 尸 ２ 为极小值点。
因 而 ， 函 ｚ ） 在 相 应 的 点 （ 詈 ， 一 处 有 极 小 值 ， 极 小 值 为 厂 弓 ， 一 一 。
一
些常用方法作了总结 ，并 通过典 型例题 阐明了求 函数极值时 ，应针对不 同的题 目的特点选用不同的方法 。
关键词 ：函数 ；条件极值 ；方法 中图分类号 ：０ ２ ４ 文献标 志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ７ 一 ． ９ ８ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ 一 ． ０ ０ ７ ９ — ０ ３
｛ ｇ ｉ ￣ － ２ ｙ ｘ ＋ － ２ Ｘ Ｙ ＋ ｘ Ｙ ２ － Ｏ ， 得 驻 点 （ 。 ， ｏ ） ， Ｐ ２ （ ， 一 ， ｇ ＂ ＝ － ２ ｙ ， ｇ ＂ ｙ ＝ ２ － ２ ｘ ＋ ２ ｙ ， ｇ ＂ ｙ ｙ ＝ ２ ｘ ， 在 点
处 ，Ａ＝ ０ Ｂ＝ ０ Ｃ＝ ０ ，Ａ＝ Ａ Ｃ— Ｂ ＝ ｏ 一 ２ ２ ＝ 一 ４ ＜ ０ ，所以点 不是极值点。 从而 ｆ （ ｘ ， ， ｚ ） 在点 （ ０ ， ０ ， ２ ） 处无极值。
极值的概念来 自 数学应用 中的最值问题 ，而有界闭区域上的连续函数都存在最大值和最小值，问题在 于确定它在哪些点处达到最大值或最小值 ，如果不是边界点就一定是 内点 ，因而是极值点。极值未必是最 值， 但极值一定是函数在某个区间内的最值 ，如果 函数的最值在某个 区间内取得 ，该点一定是极值点 。
函数 厂 （ ｘ 一 ， ｘ ） 在ｐ 。Ｘ ０ １ － ￣ ． ， Ｘ ０ ｎ ） 的梯 度 ，记作 ｄ ｄ ｆ＝ （ （ ） ， …， （ ）） 。
．
引理 设 厂 （ ） 在点 连续 ， 在 。 （ Ｘ ｏ ， ） 内可微 ， 若 ∈Ｕ 。 （ Ｘ ｏ ， ） ， 有（ ｘ － ｘ 。 ） （ ｊ ｃ — Ｘ ｏ ） ｆ’ （ ） ＜ ０ ， 则厂 （ ｘ ）
ｌ 用代人法求极值
采用代人法将条件极值转化为无条件极值进行求解 ，实质是通过消去一个 白 变量 ，使解题由繁到简 ， 此法以例题的方式介绍如何求函数的条件极值点。 例 求函数 ｆ （ ｘ ， Ｙ ， ｚ ） ＝ｘ ｙ ｚ 在 — ＋ ｚ ＝２ 条件下的极值 。
解 ：由 — Ｙ＋ｚ＝２，解 得 ｚ ＝２ 一 ＋Ｙ ，将 上 式代 人 厂 （ Ｙ ， ｚ ），得 ｇ （ ， Ｊ ， ） ＝ （ ２ 一 ＋ ） ，解 方 程 组
ｂ， ＾ 一 ’
为原问题的极小值点。
３ 利用梯度法求 条件极值
定 义 若 ／ （ … ， ） 在 ｐ 。 （ Ｘ ０ ． ， ． ． ． ， Ｘ ０ ） 点 存 在 对 所 有 自 变 量 的 偏 导 数 ， 则 称 向 量 ［ 罢 （ ｐ 。 ） ， … ， 詈 （ ） 】 为
２ 利用拉格 朗 日乘数法求极值
关 于 有 等 式 约 束 的极 值 问 题 ，也 有 利 用 导 数 来 描 述 的 一 个 必 要 条 件 ，对 于 问 题 ｍｉ ｎ ｚ ＝ｆ （ ｘ ， Ｙ ）， ｓ Ｊ ． ｇ （ ｘ ， ） ＝ ０，如 果 （ ， Ｙ ） 是 该 问题 的极 小 值 点 则 存 在 一 个 数 ，使 得 （ ’ ， ） ＋２ ｇ （ ‘ ， Ｙ ） ＝０， （ ， Ｙ ’ ） 十 （ ， Ｙ ’ ） ＝ｏ，利用 这一 性质 求极值 的方法 称为 拉格 朗 日乘 数法 。 （ ＞。）上求 与原 点距 离最 近的点 。
鲁翠仙
（ 临沧师范高等专科学校 数理系 ，云南 临沧 ６ ７ ７ ０ ９ ９）
摘要 ：在生活 、工农业 生产 、经济管理和经济核算中 ，常常要解决在一定条件下要怎么做才会使投入最小 ，产出 最多 ，效益最高 、求利 润最大化 、用料最省等实际问题 ，而这些问题 的解决就转化到 了数学 中极值问题 ，而 函数 的极值 问题技巧性强 、难度 大 、解法 灵活 ，所 以函数极值求法 的探讨也具有了其重要 意义。本文就求函数极值的
第２ ９卷第 ３ 期
２ ０ １ ３ 年 ５月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａｌ ｏ ｆ Ｑｉ ｑ ｉ ｈ ａ ｒ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ ｏ １ ． ２ ９ ． Ｎ ｏ ． ３
Ｍａ ｙ． ． ２０１ ３
函数 条件极值的若 干求法
２ ０ １ ３ 年
后， 令此函数对 的导数和对 Ｙ的导数分别为零 ，再与原等式约束合并得
２ ｘ ＋ 丝： ０
４
２ ｙ＋ ＝０ ｌ Ｙ
解得 ： 鼍 ／ ３，Ｙ＝
５ ，一 ’１
， 这是唯一可能取得最值的点，因此 ＝ ３ ，Ｙ ＝
例 在 曲线 ＝
解： 将约束等式的左端乘以一个常数加到 目 标 函数中作为新 的目标函数 ｗ＝ ２ ＋ ＋ （ 一 ） ， 然
收稿 日期 ：２ ０ １ ２ — １ １ － － ２ ５ 基金项 目：云南省 教育厅 科学研 究 基金 重点项 目 （ ２ ０ １ ２ Ｚ Ｉ ５ ０ Ｃ），云南 省教 育厅科 学研 究基金 一般 项 目 （ ２ ０ １ ２Ｙ ２ ７ ３） 作者 简介 ：鲁 翠仙 （ １ ９ ８ ０ － 一 ），女 （ 彝 族 ），云南 临沧人 ，讲 师 ，硕 士 ，主要从 事代数 、计 算方 法方 而的研 究 ，ｈ ｒ ａ ｉ ｌ ｃ ｘ ＠１ ２ ６ ． １ ３ ｏ ｍ。
在 点取得极 大值 ；若 ∈Ｕ。 （ Ｘ ｏ ， ） ，： ￣ ｆ（ ｘ －ｘ ｏ ） ｆ’ （ ｘ ）＞０ ，则 ／ （ ） ｘ ｏ 点 取得极 小值 。