曲线与方程
§9.8 曲线与方程
方程的曲线 _______________.
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x, y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、
斜率公式等将其转化为x, y的方程式,并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点
轨迹方程.
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
3. 两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 坐标应该是两个曲线方程的 _________ ，即两个 公共解 曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程 组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组 _______ 无 解 ，两条曲线就没有交点. 充 要 条件是它们的方 (2)两条曲线有交点的 _______ 程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点 问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实 数解问题.
即 ((x 即((－ －x x,,－ －4 4－ －2 2y y)· )· x,,－ －2) 2)＝ ＝0. 0. 12 1 2 所以曲线 所以曲线 C C 的方程为 的方程为 y y＝ ＝x x2－ －2. 2. 4 4
主页
x
1 22 1 2 2 1 1 1 (2) 设 P ( x ， y ) 为曲线 C ： y ＝ x － 2上一点． 上一点． (2) 设 P ((x ， y ))为曲线 C ： y ＝ － 2 2 0 0 2x 0 0 0 0 (2) 设 P x ， y 为曲线 C ： y ＝ x － 2 上一点． 0 0 4 (2)设 P (x0y ， y0)为曲线 Cy ： y＝ x2 － 2 上一点． (2)设 P(x C： ＝ x4 － 上一点． 0， 0)为曲线 4 4 4 y 1 1 1 1 1 1 1 1x 因为 y y′′ ′1 ＝1x x，所以 ，所以 ll l 的斜率为 的斜率为 x00 . 因为 ＝ .. 0 0 因为 y ＝ x ，所以 的斜率为 x 2 2 因为 y ′ ＝ x ，所以 l 的斜率为 x . 2 2 因为 y′＝ x，所以 l 的斜率为 x02 . 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 因此直线 ll l 的方程为 的方程为 y y－ －y y00 ＝2 x00 (x x－ －x x00 )， ， 因此直线 ＝ x (( )) 0 0 0 0 0 0 因此直线 的方程为 y － y ＝ x x － x ， 因此直线 l 的方程为 yy － y0＝ － x0)， 因此直线 l 的方程为 y－ x2 (x－ x 0(x 0＝ 0)， 2 2 02 2 2 2 O 2 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 即 x x － 2 y ＋ 2 y － x ＝ 0. 2 0 0 0 2 x 0x－2y＋2y 0－ 0＝0. 0 0 0 0 即 x － 2y2 ＋ y00 － x ＝0. 即即 x0xx － 2 y＋ y02 － x ＝ 0. 0x 0 0 2 0 2 2 2 |2y y00 － x00 | |2 － || 2 1 22 1 0 0 2x 0 0 2 2 |2 y － x 1 |2 y － x | 1 |2 y － x | 0 0 1 2 所以 O 点到 l 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 所以 O 点到 ll 的距离 d ＝ . 又 y ＝ － 2 ， 0 0 0 0 2x 0 0 0 0 2 2 所以 O 点到 的距离 d ＝ . 又 y ＝ x － 2 ， 2 0 0 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ 2 x .又 y0＝ x02 － 2， 4 所以 O 点到 l 的距离 d＝ .又 y0＝ x0 － ， 2 x02 ＋ 4 ＋ 4 4 0 0 4 x ＋ 4 4 x0 ＋4 x0＋ 4 0 1 22 1 2 2 1 1 21x x ＋4 4 ＋ 2 0 0 0 x ＋ 4 0 4 4 2 x ＋ 4 2 2 1 2 2 1 x02 ＋ 4 0 4 2 1 4 4 x ＋ 4 ＋ 2 x ＋ 4 ＋ 2 1 2 0 2 1 0＋4＋ 0 x 2 所以 d d＝ ＝ 22 ＝ ≥2. 2. 所以 ＝ ≥ 2 2 2 0 2 2 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 ＋ x ＋ 4 ＋ 0 2 所以 d ＝ ＝ ≥ 2. x ＋ 4 0 2 ＋ 4 所以 d＝ 2 x ＝ 2 ≥ 0 2x 2. 0 0 x ＋ 4 x00 ＋ 4 ＋ 4 2 0 0 0 2 x ＋ 4 x ＋ 4 2 x ＋ 4 0 x04 ＋4 0 x0＋ 当x x00 ＝0 0 时取等号，所以 时取等号，所以 O O 点到 点到 ll l 距离的最小值为 距离的最小值为 2. 2. 当 ＝ 0 0 当 x ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. x0 ＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 当当 x0＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 2.
§2.6.1 曲线与方程
第1页
错误！链接无效。 错误！链接无效。
【练习 2】 BP57T 5 【例 3】在平面直角坐标系中画出方程 ( y 1) x 1 0 所表示的曲线.
组.
y 1 3 与 y 1 3x ; x
1 与 xy 1 ; x
(4) y log 2 x2 与 y 2log 2 x
8.已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 分别是直线 l 上的点和直线 l 外的点,若直线 l 的方程为 f ( x, y ) 0 , 则方程 f ( x, y) f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 表示的图 形与直线 l 的位置关系是 .
9. 已知点 A(1,0), B(1,0) , 动点 P 满足条件 | PA | | PB | 2 的轨迹方程 是 .
第4页
三.典型例题 【例 1】判断点 (2,2 3 ), (3,1) 是否在圆 x 2 y 2 16 上. 【练习 1】 BP57T 2,3 【例 2】判断下列命题是否正确。 (1)如图,以原点为圆心, 1 为半径的半圆 ACB 的方程是 x2 y 2 1 ;
y 1; x 1 (3)已知点 A(0,0), B(2, 4) ,则线段 AB 的方程为 y 2 x ;
二.今日作业 3.下面每个图形和所给的方程对应关系正确的有
.
y x2 y 2 1
O
y 1
O
y 2x 1
x
(2)
曲线与方程、圆锥曲线的共同特征
主备人：审核：包科领导：使用时间：§4.1曲线与方程§4.2圆锥曲线的共同特征导学案【学习目标】 1.了解曲线与方程的对应关系。
2.了解圆锥曲线的共同特征。
【学习重点】会求曲线的方程。
【学习难点】圆锥曲线的共同特征【使用说明与学法指导】1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。
3.带*号的为选做题。
【自主探究】一．曲线与方程1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：那么，这条曲线叫作，这个方程叫作。
2．求曲线的方程的步骤：二．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条直线的距离之比为定值e,当0<e<1时，圆锥曲线是；当e>1时，圆锥曲线是；当e=1时，圆锥曲线是。
【合作探究】1.判断下列命题是否正确：并说明理由。
（1）设点A（10,0）、B（0,10），则线段AB的方程是0x；+y10=-（2） 到原点的距离等于5的动点的轨迹是225x y -=；（3） 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是022=-y x ；2.已知两点A(0,1), B(1,0), 且｜M A ｜= 2｜MB ｜.求点M 的轨迹方程。
3. 点P 与定点F （2,0）的距离和它到定直线l :2-=x 的距离的比是1,求点P 的轨迹方程，说明轨迹是什么图形？并画出图形。
4. 点P 与定点F （2,0）的距离和它到定直线l :8=x 的距离的比是1:2,求点P 的轨迹方程，说明轨迹是什么图形？并画出图形。
5. 点P 与定点F （5,0）的距离和它到定直线l :516=x 的距离的比是5:4,求点P 的轨迹方程，说明轨迹是什么图形？并画出图形。
【巩固提高】1. 通过【合作探究】中3.4.5题总结圆锥曲线统一定义中的区别及联系。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
曲线与方程课件
例2，RtΔABC中A，、B为两定点,| AB | 2a(a 0)
以AB所 在直线为x轴，AB的垂直 平分线为y轴建立如图所示的坐标
y
系.求直角顶点C的轨迹方程。 C（x，y）
分析:求轨迹方程时，要
充分挖掘图形的几何性
A
质，寻找形成曲线的条
件所包含的等量关系．
B
0
x
解： 设点C（x，y）
由题意知A（-a，0），B（a，0），
数方程的过程. (因此求曲线方程时要注意 挖掘题中形成曲线的等量关系); ❖ 求曲线方程时,这五个步骤不一定要全部 实施.如第二步、第五步。
❖ 注意:(1)建标要适当；
(2)化简变形要考查等价与否(即考 察曲线的完备性和纯粹性).
课后探究：
设长为r的线段的两个端点A、B分别在直角坐标 系xoy的两边上移动。
❖ “数缺形时少直观,形缺数时难入微.”
-------华罗庚
求曲线方程
一.复习引入
1.曲线的方程、方程的曲线的定义：
在直角坐标系中，某曲线C上的所有点与一 个二元方程 f (x, y) 0 实数解建立如下关 系： ❖ （1）曲线上点的坐标都是方程的解 ❖ （2）方程的解为坐标的点都在曲线上
则这个方程就叫做曲线的方程， 这条曲线就叫做方程的曲线 .
2.解析几何有两类问题: 一是利用曲线求方程; 二是利用方程研究曲线的性质.
其中最基本的方法是坐标法.
二．新课: 1. 如何求曲线(点的轨迹)方程？
点M
按某中规律运动 曲线C
几何意义
坐标系 下
坐标(x, y) x, y的制约条件 方程f (x, y) 0
代数意义
❖ 求曲线方程的实质是将产生曲线的几何条件 逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程.
第八章 第八节 曲线与方程(理)
保持例题条件不变，若λ＝－2，过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交
于A、B两点，求△AOB的面积的最大值．
解：由例1(2)知，当λ＝－2时，轨迹C为椭圆，其方程为x2＋
y2 2
＝
1(x≠±1)．
由题意知，l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程中整理得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0(*)
[做一题] [例2] 如图，已知定点F(－1,0)、N(1,0)，以 线段FN为对角线作周长是4 2的平行四边形
uuur MNEF.平面上的动点G满足|OG |＝2(O为坐标 原点)． 求点E、M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程．
[自主解答] 因为四边形MNEF为周长为4 2 的平行四边形，所以 点E到点F、N的距离之和是2 2， 又|NF|＝2<2 2， 由椭圆的定义知，曲线C1为椭圆，a＝ 2，c＝1，b＝1. 故椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.
x2 a2
＋
y2 b2
＝1的
左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上 uuuur uuur
的点，满足 AM ·BM ＝－2，求点M的轨迹方程．
[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)
[错解] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
(k24＋k22)2＋k2＋4 2
＝ 2· (kk22＋＋21)2＝ 2·
(k2＋1)＋1k2＋1 1＋2≤ 22，
当且仅当 k＝0，上式取等号.
∴当
k＝0
时，△OAB
的面积取最大值为
2 2.
空间中曲线与曲面方程
空间中曲线与曲面方程在三维空间中，曲线和曲面是几何学中重要的概念，在数学和物理学等领域有广泛的应用。
曲线是指在空间中表示为一系列点的集合，而曲面是在空间中表示为一系列点的集合的一个二维面。
本文将就空间中曲线与曲面方程进行探讨。
一、空间曲线的方程在三维空间中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是指将曲线的坐标用参数表示，例如(x(t), y(t), z(t))。
每个参数t对应曲线上的一个点。
一般方程则是通过给出曲线上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程的优势在于可以轻松描述曲线的形状，通常直接从曲线的定义出发，选择合适的参数方程。
而一般方程则更适合用于描述曲线的性质和特征。
二、空间曲面的方程空间中的曲面可以用参数方程、一般方程或者隐函数方程来表示。
参数方程类似于曲线的参数方程，将曲面上的点用参数表示，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
每个参数对应曲面上的一个点。
一般方程则通过给出曲面上的点满足的关系式来表示，例如F(x, y, z) = 0。
隐函数方程则将曲面的方程化简为一个关于x、y、z的方程，例如F(x, y, z) = 0。
选择曲面的方程格式取决于具体的问题和需求。
参数方程可以直观地描述曲面的形状，适用于绘制和计算曲面上的点。
一般方程和隐函数方程更适合用于分析曲面的性质和特征。
三、曲线和曲面的方程求解对于空间中的曲线和曲面方程，求解其解析式是数学中一个重要的问题。
有时可以通过直接求解得到解析式，有时需要借助计算机和数值方法进行求解。
对于一些简单的曲线和曲面方程，可以通过代数运算得到解析式。
例如对于一条直线，可以通过给出直线上两点的坐标，然后通过两点间的直线方程求解出直线的解析式。
对于一些复杂的曲线和曲面方程，可以通过数值方法进行求解，如迭代法、线性插值等，以获得近似解。
四、曲线和曲面方程的应用曲线和曲面方程在数学和物理学中有广泛的应用。
2.1.1曲线与方程的概念
曲线和方程(一)
在高一,我们认识了直线和圆的方程. 1.经过点 P (0, b ) 和斜率为 k 的直线 l 的方
y kx b 程为______________________.
2.圆心为 C ( a , b ) ,半径为 r 的圆 C 的方程 为_______________________.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x 0 , y 0 ) 在方程的曲线 C 上点 P ( x 0 , y 0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x , y ) 0 的解.
即如果曲线 C 的方程是 f ( x , y ) 0 , 那么点 P ( x 0 , y 0 ) 在曲线 C 上的充要条件是方 程 f ( x 0 , y 0 ) =0.
y
1
y
1
y
1
-1
0
x 1
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
课堂练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的 哪一个？
① x - y =0
Y
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 Y
1
O 1 X
1
O 1 X -1 O
1
1 X O -1 1 X
-1
A
B
C
D
①表示 B
②表示 C
(x a) ( y b) r
2 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
龙文教育个性化辅导授课案 教师: 刘 娇 学生: 日期: 星期: 时段: 课 题 曲线与方程 学情分析
教学目标与 考点分析
1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．利用直接法或定义法求轨迹方程． 3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．
教学重点 难点
正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，
用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。
教学过程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0. (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 四个步骤 对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： ①设点：即设出弦的两端点坐标； ②代入：即代入圆锥曲线方程； ③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数； (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． 答案 C 2．(2012·泉州质检)方程x2＋xy＝x的曲线是( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析 方程变为x(x＋y－1)＝0∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案 C 3．(2012·合肥月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案 D 4．(2012·福州模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案 D 5．(2011·北京)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2. 其中，所有正确结论的序号是________． 解析 设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为x＋12＋y2·x－12＋y2＝a2， ∵a＞1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x、y，其方程
不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1||PF2|＝12a2，即面积
不大于12a2，所以③正确． 答案 ②③
考点一 直接法求轨迹方程 【例1】►已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，如图所示．由动点P向⊙O和
⊙O′所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．
[审题视点] 由已知条件找出等量关系，直接写出P点坐标满足的等式化简即得轨迹方程． 解 设P(x，y)，由圆O′的方程为(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，则|OP|2－2＝|O′P|2－6. ∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6， ∴x＝32，故动点P的轨迹方程是x＝32. 直接法求曲线方程的一般步骤： (1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y)； (2)列出几何等量关系式； (3)用坐标条件变为方程f(x，y)＝0； (4)变方程为最简方程； (5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性． 【训练1】 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中
点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x，y)， ∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∴PA→＝(2x－2，－4)，PB→＝(－2,2y－4)． 由已知PA→·PB→＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0. ∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0. 考向二 定义法求轨迹方程 【例2】►一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，
并说明它是什么曲线． [审题视点] 由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程． 解 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2.①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.② 将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|， ∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)， 长轴长等于12的椭圆．∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，
∴圆心轨迹方程为x236＋y227＝1，轨迹为椭圆． 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围． 【训练2】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆
圆心M的轨迹方程． 解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2，且小于|C1C2|＝6. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a
＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)． 考向三 参数法、相关点法求轨迹方程 【例3】►已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于
M点，求点M的轨迹方程
．
[审题视点] 设出m点的坐标(x，y)后，直接找x，y的关系式不好求，故寻求其他变量建立x，y之间的联系．
解 设M(x，y)，直线AB方程为y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－xy.
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝b2k2. 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.所以y1y2＝4pbk.由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2， 所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k(x－4p)． 把k＝－xy代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．即M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)． 在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝x(t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．