第3章 中国古代数学

第3章中世纪的中国数学

课时：2课时

教学目标：了解中国数学发展的几个主要时期和主要数学家及其贡献，理解中国数学的特点及其意义。

教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结

主题：

中国数学成就与特点

知识理解：

问题导读

1 中国传统数学的主要特征是什么（并注意后来的数学贡献的应征），几次发展高潮是哪几个时期？

2《周髀（bi）算经》有哪些主要贡献，谈谈赵爽的勾股定理的证法。

3《九章算术》有哪些突出贡献及重要意义？

4 刘徽有哪些主要数学贡献及其意义？

5 祖冲之父子的主要数学贡献及其意义？

6隋唐时期中国数学有哪些发展？

7 宋元“四大家”的主要贡献有哪些及其重要意义？

8 概述中国传统数学在高次方程数值求解的发展。

9 概述中国传统数学在方程方向的发展。

10 中国传统数学落后的原因有哪些？

主要内容：

希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪湮没不彰，中世纪数学的主角是中国、印度和阿拉伯数学。

东方数学表现出强烈的算法精神，而不讲究命题形式的推导，即只重算法不重算理。这里的算法是为了解决一类实际和科学问题而概括出来的、具有一般性的计算方法。

中国数学，从公元前后至公元14世纪，先后经历那三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，其中宋元达到那顶峰。

两汉时期（西汉：前206－23，东汉：25－220）：

古代背景：殷商时期甲骨文出现完整十进制记数，春秋战国（前475－前221时期，出现严格的十进位值制的筹算记数，商周时期还出现那早期的几何学应用，在战

国时期出现了与希腊雅典时期的学派林立相当的社会背景，有了理论数学的萌芽，从哲学的角度，讨论了某些逻辑法则，提出了一些抽象概念。比如《墨经》和《庄子》等著作。秦朝统一中国后，结束了百家争鸣的局面，到东汉独尊儒术，数学论证的思想失去了进一步成长的机会，两汉时期的数学主要沿着实用与算法的方向发展。

《周髀算经》：公元前2世纪之前，是我国最早的一部数学著作，涉及数学和天文学，数学知识主要有分数运算、勾股定理及其在天文学上的运用，其中突出的论述是勾股定理。中国最早证明勾股定理是公元3世纪三国时期的赵爽，运用面积出入相补原理证明。

《九章算术》：中国古典数学最重要的数学著作，成书在公元前1世纪之前。据考证，《九章算术》是从先秦至西汉中期，经过众多学者编纂、修改二成的一部数学著作。

全书以问题的形式编排，共246个问题，分为九章，分别为“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”、“勾股”，包含丰富的数学内容，包含算术、代数和几何方面（给出了所有直线形的面、体积公式，将几何问题代数化）。（有哪些具体内容？）其中方程术、负数的引进、开方运算等代数方面的成就是具有世界意义的。

魏晋南北朝时期（220－581）：

背景：是中国历史上动荡时期，同时也是思想上最活跃的时期，学术思辩之风再起，数学上也兴起论证的趋势，多以研究《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质就是研寻求一些重要结论的数学证明。其中最杰出的代表有刘徽和祖冲之父子。

刘徽，3C ，魏晋人，《九章算术注》，其中包含许多独立的创造，最著名的是“割圆术”和体积理论。

割圆术：作为计算周长、面积以及圆周率的基础，割圆术的要旨在于用圆内接正多边形去逼近圆（注：“割圆术”与希腊的“穷竭法”相似）。徽率)50157(

。刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。

刘徽致力于面积和体积公式的推证，其基本原理就是“出入相补”原理，它的含义如下：一个几何图形（平面和立体的）被分割成若干个部分后，面积或体积的总和保持不变。

运用这一原理他在平面上的面积公式取得了很大的成就，但是在立体图形时遇到了很大的困难，原因在于：与平面不同，不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补相等，古代数学家没有明确地意识到这一问题（直到20世纪才解决，希尔

伯特问题3，见P273），但都借助于无限小的方法来解决这一问题。刘徽使用了两种无限小的方法：极限方法与不可分量法。其中代表例子就是“阳马术”，即解决三棱锥的求法。

球体积：刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并指出了一条推算球体积公式的正确途径，即他所创用的特殊形式的不可分量方法成为后来祖冲之父子在球体积问题上取得突破的先导。

祖冲之父子：重要贡献是球的体积的推导和圆周率计算，《缀术》。

圆周率：精确到6位有效数字，获得了小数点后的七位的上下限。约率)722(

，密率)113

355(。 球体积：祖氏原理（西方称卡瓦列尼原理）。

他们的工作反映了魏晋南北朝时代中国古典数学中出现的论证倾向，到中国古典数学的下一个高潮宋元数学是创造算法的时代。

隋唐时期：主要是数学教育制度的确立和数学典籍的整理。

算经十书：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱肩算经》、《夏侯阳算经》、《五曹算经》、《五经算经》、《缀术》、《辑古算经》。

《孙子算经》：其中关于“物不知数”问题是关于一次同余组一般解法剩余定理的特殊形式，这个问题引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。

《张邱建算经》：讨论不定方程问题。

《辑古算经》：最早讨论三次方程组代数解法。

宋元时期（960－1386）：

宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。

高次方程数值解是宋元数学的突出成就之一。贾宪三角（帕斯卡三角1654）和增乘开方法（霍纳算法1819）；

秦九韶（约1202－1261），四川安岳人。高次方程数值求解集大成者。

《数书九章》，1247年写成，18卷，81题，分九大类（大衍，天时，田域，测望，赋役，钱谷，营建，军旅，市易）。“正负开方术”是求高次代数方程的完整算法。“大衍总数术”，是一次同余式的一般解法，明确系统叙述了求解一次同余方程组的一般解法，这个解法后来被称着中国剩余定理。

朱世杰（1300前后）：是一位平民数学家和数学教育家。