热力学知识点总结及习题
1.热力学第零定理：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，他们彼此也必然处于热平衡
2.热力学第一定律：能量可以从一种形式转变为另一种形式，但在转化过程中能量的总量保持不变
3.热力学第二定理：实质：自然界中一切与热现象有关的实际过程都是不可逆过程，他们有一定的自发进行的方向
开式：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化 克式：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化
热力学第三（绝对零度定理）：不可能通过有限步骤是一个物体冷却到热力学温度的零度
4.孤立系统：与外界无物质、无能量交换 dQ=0 dW=0
5.封闭系统：与外界无物质交换、有能量交换 dQ ≠0 dW=0
6.准静态过程：是一个进行得无限缓慢以致系统连续不断的经历着一些列平衡态的过程。
只有系统内部各部分之间及系统与外界之间始终同时满足力学、热学、化学平衡条件的过程才是准静态过程（准静态过程是一个理想过程）
7.熵增加原理：系统经可逆绝热过程熵不变，经不可逆绝热过程熵增加，在绝热条件下，熵减少过程是不可能实现的。
8.广延量：与系统大小成正比的热力学量（如质量M 、体积V 、内能U 等） 强度量：不随系统大小变化的热力学量（如系统的P 、T 、ρ等）
9.获得低温的方法：节流过程、节流过程与绝热膨胀相结合、绝热去磁制冷、激光制冷、核绝热去磁
10.特性函数的定义：在适当选择独立变量条件下，只要知道系统的一个热力学函数，就可以用只求偏导数的方法求出系统的其他基本热力学函数，从而完全确定均匀系统的平衡性质，这个热力学函数就称为特性函数。
11.一级相变：在相变点两点的化学势连续，但化学势的一阶偏导数存在突变 12.二级相变：在相变点两点的化学势及一阶导数连续，但二阶导数存在突变 13.单元复相系平衡条件：一个单元两个系统（ɑ相和β相）组成一孤立系统，其总内能总体积和总物质的量恒定。
14.中肯半径：在一定的蒸气压下，于正其达到平衡的液滴半径称为中肯半径 15.能量均分定理：对于外在温度为T 的平衡状态的经典系统，例子的能量中每一个平方项的平均值等于（1/2）KT
16.微观粒子全同性原理：微观粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。
17.等概率原理：对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的 18.经典极限条件：）（对所有l 1a l
l
在所有能量级，粒子数都远远小于量子态
数。
19.能态方程：就是给出温度与状态参量之间的函数
20.卡诺定理：（可逆机）在相同的高温热源与相同的低温热源之间工作的一切可逆机，不论用什么工作物质，效率相等。 （不可逆机）在相同的高温热源与相同的低温热源之间工作的一切不可逆机的效率小于可逆机的效率
2.7 实验发现，一气体的压强
p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即
(),().pV f T U U T ==
试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式. 解：根据题设，气体具有下述特性：
(),pV f T = （1） ().U U T = （2）
由式（2.2.7）和式（2），有
0.T V
U p T p V T ??????
=-= ? ??????? （3）
而由式（1）可得
.V p T df T T V dT ???
= ?
??? （4）
将式（4）代入式（3），有
.df dT f T = （5）
积分得
ln ln ln ,f T C =+
或 ,pV CT = 式中C 是常量.
3.8 在三相点附近，固态氨的蒸气压（单位为Pa ）方程为
3754
ln 27.92.p T =-
液态氨的蒸气压力方程为
3063
ln 24.38.p T =-
试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热. 解：固态氨的蒸气压方程是固相与气相的两相平衡曲线，液态氨的蒸气压方程是液相与气想的两相平衡曲线. 三相点的温度
t T 可由两条相平衡曲线的交点确定：
37543063
27.9224.38,t t T T -
=- （1）
由此解出
195.2.t T K =
将
t T 代入所给蒸气压方程，可得
5934Pa.t p =
将所给蒸气压方程与式（3.4.8）
In L
p A RT =-
+ （2）
比较，可以求得
443.12010J,2.54710J.
L L =?=?升汽
氨在三相点的熔解热
L 溶
等于
40.57310J.
L L L =-=?溶升汽
1.17 温度为0C
的1kg 水与温度为100C
的恒温热源接触后，水温达到100C
。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何
使水温从0C 升至100C
？已知水的比热容为
114.18J g K .--?? 解：设有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0C 与100C
之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C
升至100C
。在这可逆过程中,水的熵变为
373
31273
373373
ln
10 4.18ln 1304.6J k .273273p p mc dT S mc T
-?===??=??
水 （1）
水从0C
升温至100C
所吸收的总热量Q 为
3510 4.18100 4.1810J.
p Q mc T =?=??=?
为求热源的熵变，可令热源向温度为100C
的另一热源放出热量Q 。在这可逆过程中，热源的熵变为
514.18101120.6J K .
373S -??=-=-?热源
（2）
由于热源的变化相同，式（2）给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个
系统的总熵变为
1184J K .
S S S -?=?+?=?总水热源 （3）
373
1273
1304.6J K .
p mc dT S T
-?=-=-??
热源 （4）
参与过程的整个系统的总熵变为
0.
S S S ?=?+?= 总水热源 （5）
3.12 蒸气与液相达到平衡. 以m
dV dT 表示在维持两相平衡的条件下，蒸气体积随温度的变
化率. 试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为
111.
m m dV L V dT T RT ??
=- ???
解：蒸气的两相平衡膨胀系数为
11.m m m p m m T dV V V dp V dT V T p dT ??
??????=+??
? ??????????? （1）
将蒸气看作理想气体，
m pV RT =，则有
11
,11
.m p m m m T V V T T V V p p
???= ?
??????=- ?
???在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积，因而
2.m dp L Lp
dT TV RT ==（3）
将式（2）和式（3）代入式（1），即有
111.
m m dV L V dT T RT ??
=- ??? （4）
4.7实验测得碳燃烧为二氧化碳和一氧化碳燃烧为二氧化碳的燃烧热Q H =-?，其数值分别如下：
522CO C O 0,
3.951810J;H --=?=-?
5221
CO CO O 0,
2.828810J.
2
H --=?=-?
试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热. 解：本题给出了两个实验数据，在291K 和
1n p 下，有
522CO C O 0,
3.951810J;H --=?=-? （1）
5221
CO CO O 0,
2.828810J.
2
H --=?=-? （2）
式（1）的含义是，1m o l 的C 与1mol 的2O 燃烧为1m o l 的
2CO ，放出燃烧热
5
3.951810J.Q =? 由于等压过程中系统吸收的热量等于焓的增量，所以燃烧热为
11.Q H =-?
式（2）的含义是，1mol 的CO 与1
mol
2的2O 燃烧为1mol 的
2CO ，放出燃烧热 52222.828810J,.
Q Q H =?=-?
焓是态函数，在初态和终态给定后，焓的变化H ?就有确定值，与中间经历的过程无关. 将式（1）减去式（2），得
5221
CO CO O 0,
1.123010J.
2
H --=?=-? （3）
式中312.H H H ?=?-? 式（3）意味着，1mol 的C 与1mol
2的2O 燃烧为1mol 的CO 将
放出燃烧热
5
1.123010J.C ?燃烧为CO 的燃烧热是不能直接测量的. 上面的计算表明，它可由C 燃烧为CO2和CO 燃烧为CO2的燃烧热计算出来. 这是应用赫斯定律的一个例子.
7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率
m υ和方均根速率s .υ
解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质
分子的速度分布和速率分布. 速度分布为
()222e d d .2x y m υυkT x y m υυkT π-+ （1）
速率分布为
222e d .2m
υkT
m υυkT ππ- （2）
平均速率为
2
220
e
d m υkT
m
υυυ
kT
-
+∞
=
?
=
（3）
速率平方的平均值为
22
320e d 2.m υkT
m υυυkT
kT m -+∞==? 因此方均根速率为
s υ==
（4）
最概然速率
m υ条件
2
2d e 0d m υkT υυ-??= ? ???
确定. 由此可得
m υ=
（5）
值得注意，上述
,,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体
中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和2
4d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.
7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
()22
221,2x y z p p p ax bx m ε=
++++
其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.
解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2
ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2
ax 项而得
出
21
2ax kT
=
的结论. 要通过配方将ε表达为
()2
2222
1.224x y z b b p p p a x m a a ε??=++++- ??? （1） 在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知
()2
2222
124x y z b b p p p a x m a a ε??=++++-
??
?
22.
4b kT a =- （2）
证明：
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p V -图中两条绝热线交于C 点，如图所示。设想一等温线与
两条绝热线分别交于A 点和B 点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA 中，系统在等温过程AB 中从外界吸取热量Q ，而在循环过程中对外做功W ，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有
W Q =。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。
1.21 物体的初温1T ，高于热源的温度2T ，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体
的温度降低到
2T 为止，若热机从物体吸取的热量为Q ，试根据熵增加原理证明，此热机所
能输出的最大功为
max 212()W Q T S S =--
其中
12S S -是物体的熵减少量。
解：以
,a b S S ??和c S ?分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，
整个系统的熵变为
.a b c S S S S ?=?+?+?
由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求
0.a b c S S S S ?=?+?+?≥ （1）
以
12,S S 分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为
21.a S S S ?=- （2）
热机经历的是循环过程，经循环回到初始状态，熵变为零，即
0.b S ?= （3）
以Q 表示热机从物体吸取的热量，Q '
表示热机在热源放出的热量，W 表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有
,Q Q W '=+
所以热源的熵变为
22.c Q Q W S T T '-?=
= （4） 将式（2）—（4）代入式（1），即有
212
0.Q W
S S T --+
≥ （5）
上式取等号时，热机输出的功最大，故
()max 212.
W Q T S S =-- （6）
式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。 1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量
n C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多
方指数
n p
n V C C n C C -=
-。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有
??.dU Q W =+ （1）
对于准静态过程有
?,W pdV =-
对理想气体有
,V dU C dT =
气体在过程中吸收的热量为
?,n Q C dT =
因此式（1）可表为
().n V C C dT pdV -= （2）
用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,
p V C C vR -=可得
()
().n V p V dT dV
C C C C T V -=- （3）
将理想气体的物态方程全式求微分，有
.dp dV dT p V T += （4） 式（3）与式（4）联立，消去dT
T ，有
()
()0.n V n p dp dV C C C C p V -+-= （5）
令
n p
n V C C n C C -=
-，可将式（5）表为
0.dp dV n p V += （6）
如果
,p V
C C 和
n C 都是常量，将上式积分即得
n pV C =（常量）。 （7）
式（7）表明，过程是多方过程。
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T =
试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T = （1）故有
().V
p f V T ???= ???? （2）
但根据式（2.2.7），有
,T V
U p T p V T ??????
=- ? ??????? （3）所以
()0.T
U Tf V p V ???=-= ????
这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.8 证明
2222,,p V T V
p T
C C p V T T V T p T ???????
?????
==- ? ? ? ?????????????
并由此导出
0020
2202,
.
V
V V
V V
p
p p
p p
p C C T dV T p C C T dp T ??
?=+ ??????
?=- ??????
根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数. 解：式（2.2.5）给出
.
V V S C T T ???= ???? （1）
以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有
2222,V T V C S S S T T T V V T T V
T ??????
??????
===
? ? ? ??????????????? （2）
其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态
方程
pV nRT =
知，在V 不变时，
p 是T 的线性函数，即
220.V p T ??
?= ????
所以 0.V T
C V ???
= ????
这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得
0202.
V
V V
V V
p C C T dV T ??
?=+ ????? （3）
式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根
据物态方程计算出来. 同理，式（2.2.8）给出
.
p p S C T T ???= ???? （4）
以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有
2222.
p p T
C S S S T T T p p T T p T ?????????
???===- ? ? ? ??????????????? （5）
其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方
程
pV nRT =
知，在
p 不变时V 是T 的线性函数，即
220.p
V T ??
?= ????
所以
0.p T C p ???= ????
这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得
020
2.
p
p p
p p
V C C T dp T ???=+ ?????
式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根
据物态方程计算出来.
3.16 证明爱伦费斯特公式：
()
(2)(1)
(2)(1)
(2)(1)(2)(1),.p p dp dT C C dp dT TV αακκαα-=--=-
解：根据爱氏对相变的分类，二级相变在相变点的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变. 因此，二级相变没有相变潜热和体积突变，在相变点两相的比熵和比体积相等. 在邻近的两个相变点(),T p 和(),T dT p dp ++，两相的比熵和比体积的
变化也相等，即 (1)(2)v v ,d d = （1）
(1)(2).ds ds = （2）
但
v v v v .
p T
d υdT dp T p dT dp ακ??????
=+ ? ?
??????=-
由于在相变点(1)(2)
v v =，所以式（1）给出
(1)(1)(2)(2),dT dp dT dp ακακ-=-
即
(2)(1)
(2)(1)
.dp dT αακκ-=- （3）
同理，有
v .
p T p p
p s s ds dT dp T p C υdT dp T T C dT dp T
α??????
=+ ? ?
?????????=- ????=-
所以式（2）给出
(1)(2)
(1)(1)
(2)(2)v v ,
p
p
C C dT dp dT dp T
T
αα-=
-
即
()
(2)(1)(2)(1),v p p C C dp dT T αα-=- （4）
式中(2)
(1)v v
v ==. 式（3）和式（4）给出二级相变点压强随温度变化的斜率，称为爱伦
费斯特方程
3.10 试证明，相变潜热随温度的变化率为
.m m p p m m p p V V dL L L C C dT T T T V V βαβα
βα????????=-+--?? ? ???-????????
如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为
.p p dL C C dT β
α=-
解: 物质在平衡相变中由α相转变为β相时，相变潜热L 等于两相摩尔焓之差：
.m m L H H βα
=- （1）
相变潜热随温度的变化率为
.m
m m m p T p T H H H H dL dp dp dT T p dT T p dT
ββαα
????????????=+-- ? ? ? ????????????? （2）
式（2.2.8）和（2.2.10）给出
,
,p p
p T
H C T H V V T p T ???= ??????????
=- ? ??????? （3） 所以
().m m p p m m p p V V dL dp dp C C V V T dT dT T T dT βαβαβα????????=-+---?? ? ???????????
将式中的dp
dT 用克拉珀龙方程（3.4.6）代入，可得
,m m p p m m p p V V dL L L C C dT T T T V V βαβα
βα????????=-+--?? ? ???-???????? （4）
这是相变潜热随温度变化的公式.
如果β相是气相，α相是凝聚相，略去m V α和m p V T α??? ????，并利用
m pV RT β=，可将式（4）简化为
.p p dL C C dT β
α=- （5）
6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
()()1
32232d 2d .
V
D m h πεεεε=
解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到
d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
3d d d .x y z V
p p p h （1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在
p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为
2
34πd .V p p h （2）
上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而
得到的状态数.
自由粒子的能量动量关系为
2
.
2p m ε=
因此
d .p p p md ε==
将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
()13
2232π()d 2d .
V
D m h εεεε= （3）
6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为
()1
2
2d d .2L m D h εεεε??=
???
解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为
d d .x
x p h
在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
2d .L p h （1）
将能量动量关系
2
2p m ε=
代入，即得
()12
2d d .2L m D h εεεε??=
??? （2）
6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2
L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子
态数为
()2
22π.
L D d md h εεε=
解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在
μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为
21
d d d d .x y x y p p h （1）
用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p
的关系为
cos ,sin .
x y p p p p θθ==
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
d d .p p θ
在面积2
L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒
子可能的状态数为
22d d .L p p h θ
（2）
对d θ积分，从0积分到2π，有
20
d 2π.
π
θ=?
可得在面积2
L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的
状态数为
2
2
2πd .L p p h （3）
将能量动量关系
2
2p m ε=
代入，即有
()2
22πd d .
L D m h εεε= （4）
化工热力学习题集附答案
模拟题一 1. T 温度下的纯物质,当压力低于该温度下的饱与蒸汽压时,则气体的状态为( ) A. 饱与蒸汽 B. 超临界流体 C. 过热蒸汽 2. T 温度下的过冷纯液体的压力P ( ) A. >()T P s B. <()T P s C. =()T P s 3. T 温度下的过热纯蒸汽的压力P ( ) A. >()T P s B. <()T P s C. =()T P s 4. 纯物质的第二virial 系数B ( ) A 仅就是T 的函数 B 就是T 与P 的函数 C 就是T 与V 的函数 D 就是任何两强度性质的函数 5. 能表达流体在临界点的P-V 等温线的正确趋势的virial 方程,必须至少用到( ) A. 第三virial 系数 B. 第二virial 系数 C. 无穷项 D. 只需要理想气体方程 6. 液化石油气的主要成分就是( ) A. 丙烷、丁烷与少量的戊烷 B. 甲烷、乙烷 C. 正己烷 7. 立方型状态方程计算V 时如果出现三个根,则最大的根表示( ) A. 饱与液摩尔体积 B. 饱与汽摩尔体积 C. 无物理意义 8. 偏心因子的定义式( ) A. 0.7lg()1 s r Tr P ω==-- B. 0.8lg()1 s r Tr P ω==-- C. 1.0lg()s r Tr P ω==- 9. 设Z 为x,y 的连续函数,,根据欧拉连锁式,有( ) A 、 1x y z Z Z x x y y ???? ?????=- ? ? ?????????? B 、 1y x Z Z x y x y Z ????????? =- ? ? ?????????? C 、 1y x Z Z x y x y Z ????????? = ? ? ?????????? D 、 1y Z x Z y y x x Z ????????? =- ? ? ?????????? 10. 关于偏离函数M R ,理想性质M *,下列公式正确的就是( ) A 、 *R M M M =+ B 、 *2R M M M =- C 、 *R M M M =- D 、 *R M M M =+ 11. 下面的说法中不正确的就是 ( ) (A)纯物质无偏摩尔量 。 (B)任何偏摩尔性质都就是T,P 的函数。 (C)偏摩尔性质就是强度性质。(D)强度性质无偏摩尔量 。 12. 关于逸度的下列说法中不正确的就是 ( ) (A)逸度可称为“校正压力” 。 (B)逸度可称为“有效压力” 。
热力学复习知识点汇总
概 念 部 分 汇 总 复 习 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝热过程中内能U 是一个态函数： A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形 式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分 形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公式一比较 即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程： const =γpV ；const =γ TV ； const 1 =-γ γT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率2 11T T - =η，逆循环 为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -= η （只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 17、无摩擦的准静态过程是可逆过程。 18、卡诺定理：所有工作于两个一定温度T 1与T 2之间的热机，以可逆机的效率为最高。并且所有的可逆机 的效率η都相等21 1T T - =η ，与工作物质无关，只与热源温度有关。 19、热机的效率：1 21Q Q -=η，Q 1为热机从高温热源吸收的热量，Q 2 为热机在低温热源放出的热量。 20、克劳修斯等式与不等式：02 211≤+T Q T Q 。 21、可逆热力学过程0=?T dQ ，不可逆热力学过程0
初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案
. A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .
. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．
集合的简单练习题 并集合的知识点归纳
必修1 集合复习 知识框架： 1.1.1 集合的含义与表示 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______． 13．方程组?? ???=+=+=+321x z z y y x 的解集为______． 14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 15．用描述法表示下列各集合：
化工热力学复习题(附答案)
化工热力学复习题 一、选择题 1. T 温度下的纯物质，当压力低于该温度下的饱和蒸汽压时，则气体的状态为（ C ） A. 饱和蒸汽 超临界流体 过热蒸汽 2. 纯物质的第二virial 系数B （ A ） A 仅是T 的函数 B 是T 和P 的函数 C 是T 和V 的函数 D 是任何两强度性质的函数 3. 设Z 为x ，y 的连续函数，，根据欧拉连锁式，有（ B ） A. 1x y z Z Z x x y y ?????????=- ? ? ?????????? B. 1y x Z Z x y x y Z ?????????=- ? ? ?????????? C. 1y x Z Z x y x y Z ?????????= ? ? ?????????? D. 1y Z x Z y y x x Z ?????????=- ? ? ?????????? 4. 关于偏离函数M R ，理想性质M *，下列公式正确的是（ C ） " A. *R M M M =+ B. *2R M M M =- C. *R M M M =- D. *R M M M =+ 5. 下面的说法中不正确的是 ( B ) （A ）纯物质无偏摩尔量 。 （B ）任何偏摩尔性质都是T ，P 的函数。 （C ）偏摩尔性质是强度性质。 （D ）强度性质无偏摩尔量 。 6. 关于逸度的下列说法中不正确的是 ( D ) （A ）逸度可称为“校正压力” 。 （B ）逸度可称为“有效压力” 。 （C ）逸度表达了真实气体对理想气体的偏差 。 （D ）逸度可代替压力，使真实气体的状态方程变为fv=nRT 。 （E ）逸度就是物质从系统中逃逸趋势的量度。 7. 二元溶液，T, P 一定时,Gibbs —Duhem 方程的正确形式是 ( C ). a. X 1dlnγ1/dX 1+ X 2dlnγ2/dX 2 = 0 b. X 1dlnγ1/dX 2+ X 2 dlnγ2/dX 1 = 0 ` c. X 1dlnγ1/dX 1+ X 2dlnγ2/dX 1 = 0 d. X 1dlnγ1/dX 1– X 2 dlnγ2/dX 1 = 0 8. 关于化学势的下列说法中不正确的是( A ) A. 系统的偏摩尔量就是化学势 B. 化学势是系统的强度性质 C. 系统中的任一物质都有化学势 D. 化学势大小决定物质迁移的方向 9．关于活度和活度系数的下列说法中不正确的是 ( E ) （A ）活度是相对逸度，校正浓度,有效浓度；(B) 理想溶液活度等于其浓度。 （C ）活度系数表示实际溶液与理想溶液的偏差。（D ）任何纯物质的活度均为1。 （E ）r i 是G E /RT 的偏摩尔量。 10．等温等压下，在A 和B 组成的均相体系中，若A 的偏摩尔体积随浓度的改变而增加，则B 的偏摩尔体积将（B ） A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不一定 " 11．下列各式中，化学位的定义式是 ( A ) 12．混合物中组分i 的逸度的完整定义式是（ A ）。 A. d G ___i =RTdln f ^i , 0lim →p [f ^i /(Y i P)]=1 B. d G ___i =RTdln f ^i , 0lim →p [f ^ i /P]=1 C. dG i =RTdln f ^i , 0lim →p f i =1 ； D. d G ___i =RTdln f ^i , 0lim →p f ^ i =1 j j j j n nS T i i n T P i i n nS nV i i n nS P i i n nU d n nA c n nG b n nH a ,,,,,,,,])([.])([.])([.])([.??≡??≡??≡??≡μμμμ
工程热力学知识点总结
工程热力学大总结 '
… 第一章基本概念 1.基本概念 热力系统：用界面将所要研究的对象与周围环境分隔开来，这种人为分隔的研究对象，称为热力系统，简称系统。 边界：分隔系统与外界的分界面，称为边界。 外界：边界以外与系统相互作用的物体，称为外界或环境。 闭口系统：没有物质穿过边界的系统称为闭口系统，也称控制质量。 ) 开口系统：有物质流穿过边界的系统称为开口系统，又称控制体积，简称控制体，其界面称为控制界面。 绝热系统：系统与外界之间没有热量传递，称为绝热系统。 孤立系统：系统与外界之间不发生任何能量传递和物质交换，称为孤立系统。 单相系：系统中工质的物理、化学性质都均匀一致的系统称为单相系。 复相系：由两个相以上组成的系统称为复相系，如固、液、气组成的三相系统。 单元系：由一种化学成分组成的系统称为单元系。 多元系：由两种以上不同化学成分组成的系统称为多元系。 } 均匀系：成分和相在整个系统空间呈均匀分布的为均匀系。 非均匀系：成分和相在整个系统空间呈非均匀分布，称非均匀系。 热力状态：系统中某瞬间表现的工质热力性质的总状况，称为工质的热力状态，简称为状态。 平衡状态：系统在不受外界影响的条件下，如果宏观热力性质不随时间而变化，系统内外同时建立了热的和力的平衡，这时系统的状态称为热力平衡状态，简称为平衡状态。 状态参数：描述工质状态特性的各种物理量称为工质的状态参数。如温度（T）、压力（P）、比容（υ）或密度（ρ）、内能（u）、焓（h）、熵（s）、自由能（f）、自由焓（g）等。 基本状态参数：在工质的状态参数中，其中温度、压力、比容或密度可以直接或间接地用仪表测量出来，称为基本状态参数。
复习专题一般将来时-知识点归纳与练习
复习专题一般将来时-知识点归纳与练习 一、初中英语一般将来时 1．—Tom wants to know if you ________ a picnic next Sunday. —Yes. But if it ________， we'll visit the museum instead. A. will have; will rain B. have; rains C. have; will rain D. will have; rains 【答案】D 【解析】【分析】句意：汤姆想知道下周日你们是否去野炊。是的，但是如果下雨的话，我们将改去参观博物馆。if引导宾语从句时，意为“是否”，句子时态根据句意选用，if 作为“假如”时，引导的是条件状语从句，主句用一般将来时，从句用一般现在时表示将来，故选D 【点评】此考点也是中考最喜欢出现的考点，if除了可以引导条件状语从句外，还可以引导宾语从句，翻译成“是否”。引导宾语从句时没有“主将从现”的说法。除了if外，还有when, as soon as也一样要注意“主将从现”。 2．— Excuse me. Could you tell me ? — It will leave at 4:00 p.m. A. how will you go to Shanghai B. how you will go to Shanghai C. when the bus would leave for Shanghai D. when the bus will leave for Shanghai 【答案】 D 【解析】【分析】这是一道根据回答写出问句所缺成分的题目，阅题时要仔细分析回答的句子。 句意：打扰一下，你能告诉我这辆公交车什么时候动身前往上海吗？它将会在下午4点的时候离开。据回答知问句问的是时间，故排除A和B。由题知，句子是一般将来时，故问句中也要用一般将来时态。故选D。 【点评】本题需要考生根据回答反推问题，在阅题时要仔细审题。 3．Susan and her sister ________ some photos in the park the day after tomorrow. A. take B. took C. will take 【答案】 C 【解析】【分析】句意：Susan和她的妹妹后天会在公园照一些照片。根据时间状语the day after tomorrow，可知句子时态是一般将来时，一般将来时结构will+do，故选C。 【点评】此题考查一般将来时。根据时间状语确定句子时态。 4．In the near future, there ________ self-driving cars in our city. A. is B. was C. are D. will be
高考集合知识点总结与典型例题
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
化工热力学习题标准答案-第一至五、第七章
化工热力学习题答案-第一至五、第七章
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
第一章 绪论 一、选择题(共3小题，3分) 1、(1分)关于化工热力学用途的下列说法中不正确的是（ ） A.可以判断新工艺、新方法的可行性。 B.优化工艺过程。 C.预测反应的速率。 D.通过热力学模型，用易测得数据推算难测数据；用少量实验数据推算大量有用数据。 E.相平衡数据是分离技术及分离设备开发、设计的理论基础。 2、(1分)关于化工热力学研究特点的下列说法中不正确的是（ ） （A ）研究体系为实际状态。 （B ）解释微观本质及其产生某种现象的内部原因。 （C ）处理方法为以理想态为标准态加上校正。 （D ）获取数据的方法为少量实验数据加半经验模型。 （E ）应用领域是解决工厂中的能量利用和平衡问题。 3、(1分)关于化工热力学研究内容，下列说法中不正确的是（ ） A.判断新工艺的可行性。 B.化工过程能量分析。 C.反应速率预测。 D.相平衡研究 参考答案 一、选择题(共3小题，3分) 1、(1分)C 2、(1分)B 3、(1分)C 第二章 流体的PVT 关系 一、选择题(共17小题，17分) 1、(1分)纯流体在一定温度下，如压力低于该温度下的饱和蒸汽压，则此物质的状态为（ ）。 A ．饱和蒸汽 B.饱和液体 C ．过冷液体 D.过热蒸汽 2、(1分)超临界流体是下列 条件下存在的物质。 A.高于T c 和高于P c B.临界温度和临界压力下 C.低于T c 和高于P c D.高于T c 和低于P c 3、(1分)对单原子气体和甲烷，其偏心因子ω，近似等于 。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4、(1分)0.1Mpa ,400K 的2N 1kmol 体积约为__________ A 3326L B 332.6L C 3.326L D 33.263 m 5、(1分)下列气体通用常数R 的数值和单位，正确的是__________ A K kmol m Pa ???/10314.83 3 B 1.987cal/kmol K
知识点热力学与料热力学部分
知识点热力学与料热力学部分
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
热力学与材料热力学部分 热力学：用能量转化和守恒的观点来研究物质热运动的客观规律；以实验事实为基础，总结研究系统状态变化过程中的功能转化和热力学过程的方向性问题。 热力学研究能(energy)和能的转变(transformations)规律 材料研究的每个过程离不开热力学 1、材料服役性能 2、材料制备 3、材料微观组织 材料热力学是热力学基本原理在材料设计、制备与使用过程中的应用。 材料热力学是材料科学的重要基础之一。 材料学的核心问题是求得材料成分－组织结构－各种性能之间的关系。问题的前半部分，即材料成分－组织结构的关系要服从一个基本的科学规则，这个基本规则就是材料热力学。在材料的研究逐渐由“尝试法”走向“定量设计”的今天，材料热力学的学习尤其显得重要。 材料热力学是经典热力学和统计热力学理论在材料研究方面的应用，其目的在与揭示材料中的相和组织的形成规律。固态材料中的熔化与凝固以及各类固态相变、相平衡关系和相平衡成分的确定、结构上的物理和化学有序性以及各类晶体缺陷的形成条件等是其主要研究对象。 现代材料科学发展的主要特征之一是对材料的微观层次认识不断进步。利用场离子显微镜和高分辨电子显微镜把这一认识推进到了纳米和小于纳米的层次，已经可以直接观察到从位错形态直至原子实际排列的微观形态。这些成就可能给人们造成一种误解，以为只有在微观尺度上对材料的直接分析才是深刻把握材料组织结构形成规律的最主要内容和最主要途径；以为对那些熵、焓、自有能、活度等抽象概念不再需要更多的加以注意。其实不然，不仅热力学的主要长处在于它的抽象性和演绎性，而且现代材料科学的每一次进步和发展都一直受到经典热力学和统计热力学的支撑和帮助。材料热力学的形成和发展正是材料科学走向成熟的标志之一。工业技术的进步在拉动材料热力学的发展，而材料热力学的发展又在为下一个技术进步准备基础和条件。 材料热力学是热力学理论在材料研究、材料生产活动中的应用。因此这是一门与实践关系十分密切的科学。学习这门课程，不能满足于理解书中的内容，而应当多进行一些对实际材料问题的分析与计算，开始可以是一些简单的、甚至是别人已经解决的问题，然后由易渐难，循序渐进。通过不断的实际分析与计算，增进对热力学理论的理解，加深对热力学的兴趣，进而有自己的心得和成绩。 热力学最基本概念： 1、焓变 enthalpy
圆的知识点总结及典型例题.
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2
集合知识点+练习题
第一章集合 §1．1集合 基础知识点： ⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合， 也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 5.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大 发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性； 而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元 素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解； ⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人； ⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 （2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.
化工热力学习题答案第六章
欢迎大家来到共享 资源 第六章 蒸汽动力循环和制冷循环 ―――― 会员：newsusan 一、选择题(共43小题，43分) 1、(1分)对同一朗肯循环装置,如果提高蒸汽的过热度，则其热效率( A. 有所提高，乏气干度下降B. 不变，乏气干度增加 C. 有所提高，乏气干度增加D. 热效率和干度都不变 2、(1分)节流效应T-P 图上转化曲线是表示的轨迹。 B. μ<0A. μ=0 C. μ>0 3、(1分)对同一朗肯循环装置,如果提高蒸汽的过热度，则其热效率( A. 有所提高，乏气干度下降B. 不变，乏气干度增加 C. 有所提高，乏气干度增加D. 热效率和干度都不变 4、(1分)14.节流效应T-P 图上转化曲线是表示的轨迹。 A. μ=0 C. μ>0 5、(1分)理想的Rankine 循环工质是在汽轮机中作_____膨胀 A ） A ） 等温 等温 B) 等压 B) 等压 B ）降低 C ）等焓 C ）等焓 C ）不变 D ）等熵 D ）等熵 6、(1分)节流膨胀的过程是不计流体位差等速度变化，可近似看作______过程 7、(1分)流体作节能膨胀时，当μ＞0，节流后温度 A ）升高 B. μ<0 ). ). 8、(1分)气体经过稳流绝热过程，对外作功，如忽略动能和位能变化，无摩擦损失，则此过程 气体焓值（） A. 增加B ． 减少 C ．不变D. 不能确定 9、(1分)Rankine 循环是由锅炉、过热器、汽轮机、冷凝器和水泵组成 A ） A ） A ） 正确 正确 正确 B) 错误 B) 错误 B) 错误 10、(1分)吸收式制冷将热由低温物体向高温物体，冷凝器置于低温空间 11、(1分)蒸汽压缩制冷中蒸发器置于高温空间，冷凝器置于低温空间 12、(1分)单级蒸汽压缩制冷是由冷凝器、节流阀、蒸发器、过热器组成 A ） 正确B ) 错误 13、(1分)在相同的温度区间工作的制冷循环，制冷系数以卡诺循环为最大 A ） 正确 B) 错误 14、(1分)吸收式制冷采用吸收器、解吸器、溶液泵和换热器，替代蒸汽压缩制冷装置中的压缩 机构成 A ） 正确 B) 错误 15、(1分)热泵的工作目的是供热，有效的利用低品味的能量，因此热泵的工作原理循环过程不 同于制冷装置。 Thank you for your support ! 会员：newsusan for berg
传热学知识点总结
Φ-=B A c t t R 1211k R h h δλ=++传热学与工程热力学的关系： a 工程热力学研究平衡态下热能的性质、热能与机械能及其他形式能量之间相互转换的规律， 传热学研究过程和非平衡态热量传递规律。 b 热力不考虑热量传递过程的时间，而传热学时间是重要参数。 c 传热学以热力学第一定律和第二定律为基础。 传热学研究内容 传热学是研究温差引起的热量传递规律的学科，研究热量传递的机理、规律、计算和测试方法。 热传导 a 必须有温差 b 直接接触 c 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量，不发生宏观的相对位移 d 没有能量形式的转化 热对流 a 必须有流体的宏观运动，必须有温差； b 对流换热既有对流，也有导热； c 流体与壁面必须直接接触； d 没有热量形式之间的转化。 热辐射： a 不需要物体直接接触，且在真空中辐射能的传递最有效。 b 在辐射换热过程中，不仅有能量的转换，而且伴随有能量形式的转化。 c ．只要温度大于零就有．．．．．．．．．能量．．辐射。．．． d ．物体的．．．辐射能力与其温度性质．．．．．．．．．．有关。．．． 传热热阻与欧姆定律 在一个串联的热量传递的过程中，如果通过各个环节的热流量相同，则各串联环节的的总热阻等于各串联环节热阻之和（I 总=I1+I2，则R 总=R1+R2） 第二章 温度场：描述了各个时刻．．．．物体内所有各点．．．．的温度分布。 稳态温度场：：稳态工作条件下的温度场，此时物体中个点的温度不随时间而变 非稳态温度场：工作条件变动的温度场，温度分布随时间而变。 等温面：温度场中同一瞬间相同各点连成的面 等温线：在任何一个二维的截面上等温面表现为 肋效率：肋片的实际散热量ф与假设整个肋表面．．．处于肋基温度．．．．时的理想散热量ф0 之比 接触热阻 Rc :壁与壁之间真正完全接触，增加了附加的传递阻力 三类边界条件 第一类：规定了边界上的温度值 第二类：规定了边界上的热流密度值 第三类：规定了边界上物体与周围流体间的表面．．传热系数．．．．h 及周围．．流体的温度．．．．． 。 导热微分方程所依据的基本定理 傅里叶定律和能量守恒定律 傅里叶定律及导热微分方程的适用范围 适用于：热流密度不是很高，过程作用时间足够长，过程发生的空间尺度范围足够大 不适用的：a 当导热物体温度接近0k 时b 当过程作用时间极短时c 当过成发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均自由程相接近时
集合知识点总结及习题培训资料
集合知识点总结及习 题
集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示
代数式的概念知识点总结及习题.
第12讲 代数式 【知识要点】 1、 代数式 代数式的概念：指用运算符号连接而不是用等号或不等号连接成的式子。 如：3 ,),(2,,),1(),1(34a t s n m ab b a x x x x +++++-+等等。 代数式的书写：（1）省略乘号，数字在前； （2）除法变分数； （3）单位前加括号； （4）带分数化成假分数。 2、代数式求值的方法步骤：（1）代入：用具体数值代替代数式中的字母； （2）计算：按照代数式指明的运算计算出结果。 【典型例题】 【例1】（用字母表示数量关系）若a ，b 表示两个数，则a 的相反数的2倍与b 的倒数的和是什么？ 【例2】（用字母表示图形面积）如下图，求阴影部分面积。
【例3】下列各式中哪些是代数式？哪些不是代数式？ （1）123+x ；（2）2=a ；（3）π；（4）2R S π=；（5）2 7 ；（6）5332>。 【例4】在式子15.0+xy ，x ÷2，)(21y x +，3a ，bc a 2 4 38-中，符合代数式书写 要求的有 。 【例5】某超市中水果糖价格为12元/千克，奶糖价格为22元/千克，若买a 千克水果糖和b 千克奶糖，应付多少钱？ 【例6】当a=2，b=-1，c=-3时，求下列各代数式的值： （1） b 2-4ac ；（2）a 2+ b 2+ c 2+2ab+2bc+2ac ；（3）（a+b+c ）2。 【课堂练习】 一、填空 三、a kg 商品售价为p 元，则6 kg 商品的售价为 元； 四、温度由30℃下降t ℃后是 ℃； 五、某长方形的长是宽的2 3 倍，且长是a cm ，则该长方形的周长是 cm ； 六、棱长是a cm 的正方体的体积是 cm 3 ； 七、产量由m kg 增长10%，就达到 kg ； 八、学校购买了一批图书，共a 箱，每箱有b 册，将这批图书的一半捐给社区，
化工热力学习题集锦
第一章绪论 一、选择题（共3小题，3分） 1、（1分）关于化工热力学用途的下列说法中不正确的是（ A. 可以判断新工艺、新方法的可行性。 B. 优化工艺过程。 C. 预测反应的速率。 D. 通过热力学模型，用易测得数据推算难测数据；用少量实验数据推算大量有用数据。 E. 相平衡数据是分离技术及分离设备开发、设计的理论基础。 2、（1分）关于化工热力学研究特点的下列说法中不正确的是（ 获取数据的方法为少量实验数据加半经验模型。 5、（1分）下列气体通用常数R 的数值和单位，正确的是 3 3 A 8.314 10 Pa m /kmol K B 1.987cal/kmol K 1、（1 分）D 2、（1 分）A 3、（1 分）A 4、（1 分）D 5、（1 分）A 6、 （1分）超临界流体是下列 _____ 条件下存在的物质。 A 咼于T C 和咼于P c B .咼于T C 和低于P c C .低于T C 和高于P c D . T C 和P C 7、 （1分）理想气体从同一初态 V 1作等温可逆膨胀或绝热可逆膨胀到达相同的终态压力，则等温可逆膨胀后体 积 (A ) 研究体系为实际状态。 (B ) 解释微观本质及其产生某种现象的内部原因。 (C ) 处理方法为以理想态为标准态加上校正。 (E ) 应用领域是解决工厂中的能量利用和平衡问题。 3、（1分）关于化工热力学研究内容，下列说法中不正确的是（ A.判断新工艺的可行性。 B.化工过程能量分析。 C.反应速率预测。 D.相平衡研究 参考答案 一、选择题（共3小题，3分） 1、 （1 分）C 2、 （1 分）B 3、 （1 分）C 第二章流体的PVT 关系 一、选择题（共17小题，17分） D )。 A .饱和蒸汽 B.饱和液体 C .过冷液体 2、（1分）超临界流体是下列 A.咼于T C 和咼于P c 3、（1分）对单原子气体和甲烷，其偏心因子 D.过热蒸汽 _ 条件下存在的物质。 B.临界温度和临界压力下 D.高于T c 和低于P c 3,近似等于 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4、(1 分)0.1Mpa ,400K 的 N 21kmol 体积约为 3326L B 332.6L C 3.326L 3 D 33.26 m 3 C 82.05 cm atm/K D 8.314 J/kmol K V 2与绝热