定比分点的向量公式及应用

定比分点的向量公式及应用

定比分点的向量公式及应用

浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙

定比分点的向量公式：在平面上任取一点

O ，设=1

，OP =2

，若2

1

PP P λ=，则b a OP λ

λ

λ+++=111。 特别地，当1=λ时，即P 为线段2

1P P 的中点，

则有b a OP 2

121+=。 用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。

一、求定比λ的值：

例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分的比λ。

解：设),(y x P ，则由PB AP λ=，得

)11,131()1,3(1)1,2(11),(λ

λ

λλλλλ+-++=-+++=

y x ，

又∵P 点在直线l 上，

∴51)

31(411-++=+-λ

λλλ， ∴3

1=λ。 例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且DC k BD =，E 为AD 上的一点，且EA l DE =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段CA 所成的

比λ。 解：∵

λ=，∴

λ

λλ+++=111，

又

l =，

∴

l

l

l +++=

111，

而k

k k +==1， ∴l

l

k l k ++++=1)1)(

1(， ∵B 、E 、F 共线，∴设

t =，而

BA t

BC t BF t λ

λλ+++=11 ∴BA t

BC t BA l l BC k l k λ

λλ+++=++++111)1)(

1( ∴

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=+++=+l

l t k l k t 11)1)(1(1λλλ，解得k k l )

1(+=λ。

二、求直线上点的坐标

例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且BC AC 5-=，求C 点的坐标。

分析：先求出C 点分AB 的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。

解：∵5-=，∴5==λ，

F

E

D

C

B

A

利用定比分点的坐标公式有

)

4,2

3()5,2(65)1,1(616561=+--=+=。

∴C 点的坐标为)4,2

3(。 例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 3

1=，3=，求点C ，D 的坐标。

分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。

解：设),(1

1

y x C ，),(2

2

y x D ，

∵AB AC 3

1=，∴2

1

1

=

=

CB

λ

，

∴根据定比分点的向量公式有

OB OA OC 2

11111

λλλ+++=

，

∴

)

311

,1()5,1(31)3,2(32)5,1(2

1121

)3,2(2111),(11=-⨯+⨯=-⨯++⨯+=y x

同理由3=得2

3

2

-

==

DB

λ

，

∴根据定比分点的向量公式有

2

11111

λλλ+++=

，

∴

)

9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(2

3123

)3,2(2311

),(22-=-⨯+⨯-=-⨯+-

+⨯-=y x

∴点C 的坐标为)311,1(，D 点的坐标为)9,7(-。 三、证明三点共线

例5：已知点),(c b a A +，),(a c b B +，),(b a c C +，求证：A 、B 、C 三点共线。

证明：设),(/

y c C 在上，/

C 分的比为λ，则

),(1),(11111/a c b c b a OC +++++=+++=

λ

λ

λλλλ

)1,1(λ

λλλλ++++++=c c b a b a

∴

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++=++=λλλλλ11c c b a y b a c ，解得

⎪⎩⎪⎨⎧

+=--=

b

a y

b

c c a λ

∴),(/

y c C 与),(b a c C +重合， 由题设知C 在AB 上， ∴A 、B 、C 三点共线。 四、求字母系数范围

例6：已知点)3,3(A ，)5,1(-B ，一次函数1+=kx y 的图象与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。

解：设),(y x P 为一次函数图象与线段AB 的交点，把P 看作的定比分点，其定比为λ，则有

0≥λ，

由定比分点公式有

)153,13()5,1(1)3,3(11111λ

λ

λλλλλλλλ+++-=-+++=+++=

，