高中不等式的证明方法

高中不等式的证明方法
高中不等式的证明方法

不等式的证明方法

不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 22

2

≥+的变式应用。常用2

222b a b a +≥

+ (其中+

∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。

一、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证:

a

c c b b a c b a ++

+++≥++1

11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴

0)

(4)(44)()(14141)(2

≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理

0)(41

4141)(2

≥+=

+-+-c b bc c b c b c b ,0)

(414141)(2

≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得

01

11212121≥+-+-+-++a

c c b b a c b a ∴a

c c b b a c b a ++

+++≥++111212121 二、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证:

31222≥

++c b a

证:2

222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴

2222)()(3c b a c b a ++-++0

)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca

bc ab c b a

3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4

4

4

c b a abc c b a ++>++

:

2

2442b a b a >+

2

2442c b c b >+

2

2442a c a c >+∴

222222444a c c b b a c b a ++>++

∵ c ab c b b a c b b a 2

2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+

)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,cR ∈,求证:

)(22

2

2

2

2

2

c b a a c

c b

b a

++≥++

++

+

证明:∵

)

(2

2

2

2

2

2

22)(22b a b a b a b

a a

b ab +≥++≥+∴≥+

2

)

(2

2

2

b a b a

+≥

+,两边开平方得

)(2

2222

2

b a b a b a

+≥+≥

+ 同理可得

)(2

2

2

2

c b c b

+≥

+)(2

2

2

2

a c a c

+≥

+三式相加,得 )(22

2

2

2

2

2

c b a a c

c b

b a

++≥+++++

5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ,证:9

)1

1)(11(≥++y x 。

证:

)1)(1()11)(11(y y x x y x y x ++++=++)

(25)2)(2(y x

x y y x x y ++=++=9225=?+≥ 6、已知.9

111111,,≥??? ??+??? ??

+

=+∈+

b a b a R b a 求证: 策略:由于的背后隐含说明1,,4121

,,2

=+∈≤???

??????

??+≤=+∈++b a R b a ab b a ab b a R b a .41 ≤ab 着一个不等式 证

:

4

1

1,,≤

∴=+∈+ab b a R b a 。

.91111.

981211111111111 ≥??

? ??+??? ??+∴=+≥+=+++=+++=??

?

??+??? ??+b a ab ab ab b a ab b a b a 而

三、分析法

分析法的思路是“执果索因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式。

7、已知a 、b 、c 为正数,求证:

)3(3)2(

23

abc c b a ab b a -++≤-+

证:要证:

)3(3)2(

23

abc c b a ab b a -++≤-+只需证:332abc c ab -≤-

即:3

32abc ab c ≥+∵ 3333abc ab ab c ab ab c =≥++成立∴ 原不等式成立

8、),0(∞+∈c b a 、、且1=++c b a ,求证3≤++c b a 。

证:

3≤++c b a 3)(2

≤++?c b a 即:2222≤++ac bc ab

∵b a ab +≤2 c b bc +≤2 c a ac +≤2即2)()()(222=+++++≤++c a c b b a ac bc ab ∴原命题成立 四、换元法

换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的。 9、

1

1

)1)(1(22≤--+b a ab 。

证明:令αsin =a 2π

πα+

≠k Z ∈k βsin =b

πβ+

≠k Z ∈k

β

αβαβαβαcos cos sin sin cos cos sin sin ±=?+=

1

)cos(≤±=βα∴

1

)1)(1(22≤--+b a ab

10、

12

2=+y x ,求证:22≤+≤-y x 证:由12

2=+y x 设αcos =x ,αsin =y ∴ ]

2,2[)4

sin(2sin cos -∈+

=+=+π

αααy x

∴ 22≤+≤-

y x

11、已知a>b>c,求证:

.4

11c

a c

b b a -≥-+- 证明:∵a -b>0, b-c>0, a-c>0 ∴可设a-b =x, b -c=y (x, y>0) 则a-c= x +

y, 原不等式转化为证明

y x y x +≥+411即证4)11)((≥++y

x y x ,即证42≥++x y y x ∵2≥+x y y x ∴原不等

式成立(当仅x=y 当“=”成立) 12、已知1≤x 2

+y 2

≤2,求证:

2

1≤x2-xy +y 2

≤3. 证明:∵1≤x 2

+y 2

≤2,∴可设x = r cos θ,y = rsi nθ,其中1≤r 2

≤2,0≤θ<π2.

∴x 2

-x y+y 2

= r 2

-r2

si nθ2= r 2

(1-

21sin θ2),∵21≤1-21s inθ2≤23,∴21r2≤r2(1-2

1sin θ2)≤23r2,而21r 2≥21,23r 2≤3∴ 2

1≤x 2-xy +y 2

≤3.

13、已知x 2-2xy +y 2

≤2,求证:| x+y |≤10.

证明:∵x2-2xy+y 2= (x-y)2+y2

,∴可设x -y = rc os θ,y = r sin θ,其中0≤r ≤2,0

≤θ<π2.

∴| x +y | =| x-y+2y | = | rco sθ+2rsin θ| = r|5s in(θ+ractan

2

1

)|≤r 5≤10.

14、解不等式15+-

-x x >

2

1 解:因为2

2)1()5(++-x x =6,故可令 x -5 =6 sin θ,1+x =6 co sθ,θ∈[0,

2

π] 则原不等式化为 6 sin θ-6 co sθ >

21所以6 sin θ >2

1

+6 cos θ 由θ∈[0,

2

π]知21+6 cos θ>0,将上式两边平方并整理,得48 cos 2

θ+46 cos θ-23<0

解得0≤cos θ<

24

6282-所以x =6co s2

θ-1<124724-,且x ≥-1,故原不等式的解集是{x|-1≤

x<

12

47

24-} .

15、-1≤21x --x ≤2.

证明:∵1-x2

≥0,∴-1≤x ≤1,故可设x = cos θ,其中0≤θ≤π. 则21x --x =θ2cos 1--cos θ= sin θ-co sθ=2sin(θ-4π),∵-4π≤θ-4

π≤43π,

∴-1≤2sin(θ-

4

π

)≤2,即-1≤21x --x ≤2. 五、增量代换法

在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c)的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简. 16、已知a ,b ∈R ,且a +b = 1,求证:(a+2)2

+(b+2)2

2

25. 证明:∵a,b∈R,且a +b = 1,∴设a =

21+t ,b=2

1

-t , (t ∈R) 则(a +2)2+(b+2)2= (21+t +2)2+(21-t+2)2= (t +25)2+(t-25)2= 2t 2

+225≥225.

∴(a+2)2+(b +2)2

≥2

25.

六、利用“1”的代换型

17、.

91

11 ,1 ,,,≥++=++∈+c b a c b a R c b a 求证:且已知策略:做“1”的代换。

证明: c c b a b c b a a c b a c b a +++

+++++=++1119

22233=+++≥??? ??++??? ??++??? ??++=c b b c c a a c b a a b .

七、反证法

反证法的思路是“假设→矛盾→肯定”,采用反证法时,应从与结论相反的假设出发,推出矛盾的过程中,每一步推理必须是正确的。

18、若p >0,q>0,p 3

+q 3

= 2,求证:p+q ≤2.证明:反证法

假设p+q>2,则(p+q )3

>8,即p 3

+q 3

+3p q (p+q)>8,∵p 3

+q3

= 2,∴p q (p +q)>2.

故pq (p+q)>2 = p3+q 3= (p+q)( p 2-pq+q 2),又p >0,q>0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq+q 2,即(p-q)2 <0,矛盾.故假设p +q>2不成立,∴p+q≤2.

19、已知a 、b 、∈c (0,1),求证:b a )1(-,c b )1(-,a c )1(-,不能均大于41

证明:假设b a ?-)1(,c b ?-)1(,a c ?-)1(均大于41

∵ )1(a -,b 均为正 ∴

21

41)1(2)1(=>?-≥+-b a b a

同理

2141)1(2)1(=>?-≥+-c b c

b 21

2)1(>+-a c ∴

21

21212)1(2)1(2)1(++>+-++-++-a c c b b a

23

23>不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 20、已知a,b,c ∈(0,1),求证:(1-a)b , (1-b )c, (1-c )a 不能同时大于

4

1

。 证明:假设三式同时大于

4

1∵00 ∴

2

141)1(2)1(=>

-≥+-b a b

a 21、a 、

b 、R

c ∈,0>++c b a ,0>++ca bc ab ,0>??c b a ,求证:a 、b 、c 均为正数。

证明:反证法:假设a 、b 、c 不均为正数 又 ∵ 0>??c b a a 、b 、c 两负一正 不妨设0c 又 ∵ 0>++c b a ∴ 0)(>+->b a c 同乘以)(b a + ∴

2)()(b a b a c +-<+即0)(22<++-<++b ab a ab bc ac ,与已知0>++ca bc ab 矛盾

∴ 假设不成立 ∴ a 、b 、c 均为正数

八、放缩法

放缩时常用的方法有:1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 22、已知a 、b、c 、d 都是正数,求证:1<

c b a b +++

d c b c +++a d c d +++b

a d a ++<2.

证明:∵

d c b a b +++

c b a c +++<

d c b c ++

+,

d c b a d +++<a d c d ++<d c d +,d c b a a +++

a a

+,

将上述四个同向不等式两边分别相加,得:1<

c b a b +++

d c b c +++a d c d +++b

a d a ++<2.

23、

*

N n ∈,求证:

1

213

12

11)11(2-<+

++

+

<-+n n

n 。

证明:∵ )

1(21

2

21

--=-+<

+=k k k k k

k k

)

1(21

221k k k k k

k k

-+=++>

+=

)1(2)23(2)12(211211--++-+-+<+++

n n n

12-=n

)

1(2)23(2)12(212

11n n n

-+++-+->+++

)11(2-+=n

判别式法

24、A 、B 、C 为ABC ?的内角,x 、y 、z 为任意实数,求证:A yz z y x cos 2222≥++C xy B xz cos 2cos 2++。

证明:构造函数,判别式法令

)cos 2cos 2cos 2()(2

22C xy B xz A yz z y x x f ++-++=

)cos 2()cos cos (22

22A yz z y C y B z x x -+++?-=为开口向上的抛物线 )cos 2(4)cos cos (4222A yz z y C y B z -+-+=? )cos 2cos cos 2sin sin (42222A yz C B yz C y B z ++--=

)]sin sin cos (cos 2cos cos 2sin sin [42

222C B C B yz C B yz C y B z -+-+-= ]sin sin 2sin sin [42222C B yz C y B z -+-= 0)cos sin (42≤--=C y B z

无论y 、z 为何值,0≤? ∴ R x ∈ 0)(≥x f ∴ 命题真 九、构造函数法

构造函数法证明不等式24 设0≤a 、b 、c ≤2,求证:4a+b2

+c 2

+abc ≥2a b+2bc+2c a.

证明:视a为自变量,构造一次函数)(a f = 4a +b 2

+c 2

+ab c-2a b-2b c-2c a = (bc -2b-2c +4)a +(b 2

+c 2

-2bc),由0≤a ≤2,知)(a f 表示一条线段.又)0(f = b2

+c 2

-2bc = (b-c)2

≥0,)2(f = b 2

+c 2

-4b-4c+8 = (b -2)2

+(c-2)2

≥0,

可见上述线段在横轴及其上方,∴)(a f ≥0,即4a+b 2

+c2

+abc ≥2a b+2bc+2c a.

构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构,将其转化为向量形式,利用向量数量积及不等式关系→m ·→n ≤|→m |·|→

n |,就能避免复杂的凑配技巧,使解题过程简化.应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式,思路清晰,易于掌握.

25、 设a 、b ∈R+,且a+b =1,求证:(a+2)2+(b+2)2

2

25. 证明:构造向量→

m = (a+2,b+2),→

n = (1,1).设→m 和→

n 的夹角为α,其中0≤α≤π. ∵|→

m | =22)2()2(+++b a ,|→

n | =

2,∴→m ·→n = |→m |·|→

n |c os α=

22)2()2(+++b a ·

2·cos α;

另一方面,→

m ·→

n = (a+2)·1+(b +2)·1 = a+b+4 = 5,而0≤|co sα|≤1,

所以22)2()2(+++b a ·

2≥5,从而(a +2)2+(b+2)2≥

2

25. 构造解析几何模型证明不等式

如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系,则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,利用数学模型的直观性,将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.

26、设a>0,b>0,a+b = 1,求证:12+a +12+b ≤22.

证明:所证不等式变形为:2

1

212+++b a ≤2.这可认为是点A(12+a 12+b )到直线 x +y

= 0的距离.

但因(12+a )2+(12+b )2

= 4,故点A在圆x 2+y 2

= 4 (x>0,y>0)上.如图所示,AD ⊥B C,半径AO

>AD,即有:

2

1

212+++b a ≤2,所以12+a +12+b ≤22.

1.实数绝对值的定义:

|a|= 这是去掉绝对值符号的依据,是解含绝对值符号的不等式的基础。

2.最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时,则 |x|a x<-a或x>a 。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 ? 3.常用的同解变形 |f(x)|g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x ); |f(x)|<|g (x)| f 2(x)<g2(x)。 ? 4.三角形不等式: ||a |-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 ?

y

x

x +y = 0

2

A

B

D C O

高中数学 《基本不等式的证明》教案 苏教版必修

第 11 课时:§3.4.1 基本不等式的证明(2) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.进一步掌握基本不等式; 2.学会推导并掌握均值不等式定理; 3.会运用基本不等式求某些函数的最值,求最值时注意一正二定三相等。 4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。 二、过程与方法 2 a b +,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 三、情感、态度与价值观 引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点与难点】: 重点:均值不等式定理的证明及应用。 难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 【学法与教学用具】: 1. 学法: 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 1.重要不等式:如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2.基本不等式:如果a ,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2 为+的算术平均数,称b a ab ,为的几何平均数,ab b a a b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的:前者 只要求a ,b 都是实数,而后者要求a ,b 都是正数。 二、研探新知 最值定理:已知y x ,都是正数, ①如果积xy 是定值p ,那么当y x =时,和y x +有最小值p 2;②如果和y x +是定值s ,那么当y x =时,积xy 有最大值 241s . 证明:∵+∈R y x ,, ∴xy y x ≥+2 ,

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

关于用微积分理论证明不等式的方法

关于用微积分理论证明不等式的方法 学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法 学院: 专业: 学号: 姓名: 指导教师: 年 5月 13日 填写说明 一、毕业论文(设计)须用70克A4纸计算机双面打印,具体打印格式参见教务处主页《山西财经大学普通全日制本科毕业论文(设计)写作指南》。 二、毕业论文(设计)必须按规定的要求进行装订。 1、装订顺序

封面 学术承诺 目录 中文摘要、关键词 英文摘要、英文关键词 正文 参考文献 附录(可选) 致谢 山西财经大学本科毕业论文(设计)指导教师评定表 山西财经大学本科毕业论文(设计)答辩成绩与总成绩评定表 2、装订。由学生自主装订。装订线在左侧。 3、理工科毕业设计的软件要以光盘的形式附在论文的后面(装入小袋,封口),不要单独保存,不能丢失。 4、如果毕业论文(设计)因专业特殊,无法打印的部分可以手写或手绘,但需保持页面整洁,布局合理。 毕业论文(设计)学术承诺 本人郑重承诺:所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不存在抄袭情况,论文中不包含其他人已经发表的研究成果,也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。 作者签名:日期:

毕业论文(设计)使用授权的说明 本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。 即:学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名:指导教师签名: 日期:日期: 目录 中文摘要Ⅰ 英文摘要Ⅱ 第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1 第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1 第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2 第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3 第四节用柯西中值定理证明不等式法 4 第五节上述几种方法小结 6 第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7 第一节用导数定义证明不等式法7 第二节用函数的凹凸性证明不等式8 第三节用泰勒公式证明不等式法9 第四节用幂级数展开式证明不等式法10

高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结(供参考)

1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=,若54)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=,222121n x x x +++=,求证:n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2.利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥; )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立,证明2n a e <(无理数 2.71828 e ≈) 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足:.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+

高二数学下6.3 不等式的证明4教案

课 题:不等式的证明(4) 教学目的: 1. 掌握换元法法证明不等式; 2.理解换元法实质; 3.提高证明不等式证法灵活性 教学重点:三角换元和代数换元 教学难点: 三角换元 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.重要不等式: 如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2.定理:如果a,b 是正数,那么).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3:ab ≤222b a +,ab ≤(2 b a +)2 4. b a a b +≥2(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号; 5.定理:如果+∈R c b a ,,,那么abc c b a 3333≥++(当且仅当c b a ==时 取“=”) 6.推论:如果+∈R c b a ,,,那么 33abc c b a ≥++ (当且仅当c b a ==时取“=”) 7.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论 8.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是:12n A B B B B ????? 综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法 分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式

成立的条件,把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法叫做分析法 用分析法证明不等式的逻辑关系是:12n B B B B A ??? ?? 分析法的思维特点是:执果索因 分析法的书写格式: 要证明命题B 为真, 只需要证明命题1B 为真,从而有…… 这只需要证明命题2B 为真,从而又有…… …… 这只需要证明命题A 为真 而已知A 为真,故命题B 必为真 二、讲解新课: 1 若0≤x ≤1,则可令x = sin θ (20π≤ θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ,则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20) 若12 2=-y x ,则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20) 若x ≥1,则可令x = sec θ (2 0π< θ≤) 若x ∈R ,则可令x = t a n θ (22π<θ<π-) 2 “整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法 三、讲解范例: 例1 求证:2 11212≤-≤-x x 证一:(综合法) ∵212)1()1(1|||1|2222222=?? ????-+≤-=-=-x x x x x x x x 即 21|1|2≤-x x ∴2 11212≤-≤-x x 证二:(换元法) ∵11≤≤-x ∴令 x = cos θ , θ∈[0, π]

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式 一、比较法 所谓比较法,就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号(范围)确定a 与b 大小关系的方法,即通过“0a b ->,0a b -=,0a b -<;或1a b >,1a b =,1a b <”来确定a ,b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈,求证:224224x y x y ++≥+. 证明: 224224x y x y ++-- =2221441x x y y -++-+ =22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥, 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知:a >b >c >0, 求证:222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++??. 证明:222a b c b c a c b c a b c a b c +++????=222a b c b a c c b c a b c ------?? >222a b c b a c c b c c c c ------??

=0c =1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??>1 ∴222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明: 960+>> 5456<成立运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈,1a b +=,求证:221125()()2 a b a b +++≥ 证明:∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

教案7——不等式证明(教师)

教案7 不等式证明 一、课前检测 1.若0>x ,则x x 432+ +的最小值是_________.342+ 2. 已知1>x ,1>y ,且4lg lg =+y x ,则y x lg lg 的最大值为( B ) A .4 B .2 C .1 D .41 3. 设a 、b 是正实数,则下列不等式中不成立的是( D ) (A)221≥++ab b a (B)4)11)((≥++b a b a (C)b a ab b a +≥+2 2 (D)ab b a ab ≥+2 4. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为( B ) (A ) 6 (B )9 (C )12 (D )15 二、知识梳理 1. .比较法是证明不等式的一个最基本的方法,分_______________两种形式.比差、比商 (1)作差比较法,它的依据是________________: ?? ????>-b a b a b a b a b a b a 000 它的基本步骤:___________________,差的变形的主要方法有配方法,分解因式法,分子有理化等. 作差——变形——判断

(2) 作商比较法,它的依据是:____________________________ 若a >0,b >0,则 ???? ???>b a b a b a b a b a b a 111 它的基本步骤是:作商——变形——判断商与1的大小.它在证明幂、指数不等式中经常用到. 2.综合法:综合法证题的指导思想是___________(“由因导果”),即从已知条件或基本不等式出发,利用不等式的性质,推出要证明的结论. 3.分析法:分析法证题的指导思想是_____________(“由果索因”),即从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够确定这些充分条件都已具备,那么就可以判定所要证的不等式成立。 三、典型例题分析 例1. 已知0,0>>b a ,求证: b a a b b a +≥+ 证法1: )(b a a b b a +-+ = ab ab b a b a )()()(33+-+ = ab b ab a b a ])(2))[((22+-+ =ab b a b a 2 ))((-+ ∵b a +>0,ab >0,0)(2≥-b a ∴ 0)(≥+-+b a a b b a 即 b a a b b a +≥+ 证法2:ab ab b a ab b a b a b a a b b a -+=++=++)()()(3 3 =1+1)(2 ≥-ab b a

高中基本不等式及其延伸不等式总结及其证明

1、22 2a b ab +≥。 证明:()2 22220 202a b a b ab a b ab -≥∴+-≥∴+≥ 基本变形: a b +≥ 2 a b +≤,用来去根号很好 2a ≤ 22222a b a b ++??≥ ??? )a b ≥ +,用来去根号很好。 2a b b a +≥ 2 2b a b a +≥ ()22 a b ab +≤ 推论1: 222a b c ab bc ac ++≥++ 证明: ()()()() 2222222220 22()a b a c b c a b c ab ac bc a b c ab bc ac -+-+-≥∴++≥++∴++≥++ 推论的变形: ()22223 a b c a b c ++++≥ 推论2:

a b c ++≥推论的变形: 3 a b c ++≥3 3a b c abc ++??≤ ??? ,当遇到三个因子相乘时用很好。比如 ()()()()3827 a b c a c b c a b +++++≤ 推论3: 123n a a a a +++≥ 柯西不等式: ()()()2 22222222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++ 证明:构造函数 ()()()()()2222112233n n f x a x b a x b a x b a x b =-+-+-++- 即 ()()()()2222222221231122331232n n n n f x a a a a x a b a b a b a b x b b b b =++++-+++++++++ 易知0?≤ 所以()()()22212n a a + + 推论: ()()()2 222212121122a a b b a b a b ++≥+ 调和平均数和平方平均数: 0,22a b ze ab a b a b a b <≤+≤≤≤≤≤+

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

数学分析中不等式证明方法论文

数学分析中不等式证明方法论文 毕业论文(设计)开题报告 题目:数学分析中不等式证明方法 1 目录 摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((3 英文摘要((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((4 第1章不等式的定义及研究背景(((((((((((((((((((((((((5 1.1不等式的定义((((((((((((((((((((((((((((((((((((5 1.2不等式的研究背景(((((((((((((((((((((((((((((((((5 第2章数学分析中不等式的证明方法与举例(((((((((((((((6 2.1?构造变上限积分函数(((((((((((((((((((((((((((((((6 2.2?利用拉格朗日中值定理进行证明(((((((((((((((((((((((((7 2.3?利用微分中值定理证明积分不等式((((((((((((((((((((((((8 2.4?积分中值定理解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((((9 2.5?利用泰勒公式证明不等式((((((((((((((((((((((((((((((((10 2.6?用函数的极值进行证明(((((((((((((((((((((((((((((((((12 2.7?用函数凹凸性进行不等式的证明((((((((((((((((((((((((((13 2.8利用函数单调性解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((13 2.9利用条件极值求解不等式((((((((((((((((((((((((((((((((14 2.10利用两边夹法则证明不等式(((((((((((((((((((((((((((((15 第3章不等式证明方法的归纳总结(((((((((((((((((((((17 第4章论文的结论与展望(((((((((((((((((((((((((((((((18 致谢

分式不等式的证明与方法

分式 摘要:分式不等式的证明是高中数学中的难点之一,本文主要通过作差法,利用基本不等式法,利用非负实数的性质,利用放缩法,环元法,构造法,类比法,局部不等式法来分析与 证明分式不等式,从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词:分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二.利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 : 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)((2,1,,=∈+i R y x i i )证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ,则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时, ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=,s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-,所以有:)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时,

)1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上,由(1)(2)知原不等式成立。 排序不等式即,适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数,求证: 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明:不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得: ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由(1)+(2)得 2( b a c a c b c b a +++++)3≥,所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4.设βα,都是锐角,求证:且βα,取什么值时成立? 证明:1cos sin 2 2=+βα,不等式左边拆项得: ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等

证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标:1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质,熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点:综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点:综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程: 一、复习引入: 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤? 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课: 1、综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是:例1、已知a,b,c是不全相等的正数,求证: . 分析:观察题目,不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以创设运用基本不等式:a2+b2≥2ab;还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右边有三正数a,b,c的“积”,我们可以创设运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生,完成证明) 解:∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4,得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数,所以以上三式不能全取“=”号,从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论,①,②,③三式相加得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评:(1)综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想,浮想联翩,思潮如涌。 (2)在利用综合法进行不等式证明时,要善于直接运用或创设条件运用基本不等式,其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练:已知a,b,c是不全相等的正数,求证:例2、已知且,求证:分析:观察要证明的结论,左边是个因式的乘积,右边是2的次方,再结合,发现如果能将左边转化为的乘积,问题就能得到解决。 2、分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是:②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,这只需要证明命题B1为真,从而有……这只需要证明命题B2为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故B必真。 例3.求证:分析:观察结构特点,可以利用分析法。 点评:①分析法的思维特点是:执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

数学论文【不等式的证明方法】(汉)

不等式的证明方法 麦盖提县库尔玛乡中学 买合木提·买买提 2012年12月30日

2 不等式的证明方法 不等式的证明方是中学数学的难点和重点,证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形,经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如:比较法,综合法,分析法。其他方法:如反证法,放缩法,数学归纳法,涣元法,构造法和判别式法等。 1.证明不等式的基本方法 1.1比较法 比较法是证明不等式的方法之一,比较法除了比差法之外,还有比商法,它们的解题依据及步具步骤如下: 比差法。主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。即 , 0,0,0a b a b a b a b a b a b ->?>- 欲证a b >只需证 1a b > 欲证a b <只需证1a b < 基本解题步骤是:作商——变形——判断。(与1的大小) 例1. 求证: 222(2)5a b a b +≥-- 2 2 2 2 4254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥ 2 2 (44)(21)0a a b b -++++≥

3 2,1a b ==-时等号成立。 所以222(2)5a b a b +≥--成立。 例2. 已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥ 证: ,a b R +∈ 又 ()a b a b b a a b a a b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b -≥?≥ (1)当a b >时, 1a b >,0a b ->所以()1a b a b -> (2)当a b <时01,a a b o b < <-<所以()1a b a b -> (3)当a b =时不等式取等号。 所以(1),(2),(3)知,不等式a b b a a b a b ≥成立。 1.2.综合法 综合法就是从已知式已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推出,欲证的不等式,通过一系列已确定的命题(包含不等式的性质,已掌握的重要不等式)逐步推演,从而得到所要求证的不等式成立,这种方法叫做综合法。 几个重要不等式:2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数) /2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥ >>+≥同号) /3a b c ++≥a b c ==成立) 例3.已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证: 3322 a b a b ab +>+

《-基本不等式的证明》教学设计

《基本不等式的证明》教学设计 【教材分析】 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等观念,处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。而基本不等式是本章重要的一个单元,它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据,在解决数学问题和实际问题中应用广泛。基本不等式是高中数学的重要内容之一,在高考说明中等级要求为C级。在不同的章节中都有应用,是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。 【学情分析】 学生对函数中求最值,在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题,因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。在两个数的算术平均数和几何平均上,我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。这样对两个数据形式上就不会陌生,在初步了解大小关系后在给出概念。但由于学生的基础薄弱,可以预见在探索基本不等式时,寻找不等关系也有一定的困难。 【教学目标】 知识目标:1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平 均数和几何平均数。 2、理解基本不等式的证明过程。 技能目标:1、掌握基本不等式的取等条件,并能用此方法求函数最大值。

2、通过对基本不等式证明的理解,体会三种证明方法,能准确用三种 证明中简单的方法证明其它不等式问题。 3、体会类比的数学思想方法,培养其观察分析问题的能力和总结概括 的能力 情感目标:通过不等式基本性质的探究过程,培养学生合作交流的思维品质,渗透不等式中的数学美,激发学生学习兴趣,陶冶学生的数学情操。 【教学重点】 1、如果a,b是正书,则为a、b的算术平均数;为a、b的几何平均,且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。即定理, ()(当且仅当时取) 2、上面公式中“当且仅当的含义是:当时取等号,即 ; 仅当时取等号,即,综合起来就是的 充要条件。 【教学难点】 1、不等式求函数最值时的取等条件 2、对于公式的变形可求的最大值

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

不等式的证明方法论文

不等式的证明方法 摘要 不等式的形式与结构多种多样,其证明方法繁多,技巧性强,也没有通法,所以研究范围极广,难度极大.目前国内外研究者已给出很多不等式的证明方法,已有文献分别就不等式的性质、各种证明方法及应用作了论述.论文以现有研究成果为基础,整理和归纳了常用的不等式证明方法,包括构造几何图形、构造复数、构造定比分点、构造主元、构造概率模型、构造方差模型、构造数列、构造向量、构造函数、代数换元、三角换元、放缩法、数学归纳法,让每一种方法兼具理论与实践性.旨在使学生对不等式证明问题有一个较为深入的了解,进而在解决相关不等式证明问题时能融会贯通、举一反三,达到事半功倍的效果,同时为从事教育的工作者提供参考. 关键词:不等式;证明;方法

Methods for Proving Inequality Abstract:The form of structure of inequality is diversity, and the proving methods of it are various which requires lots of skills, and there is no common way, so it is a extremely difficult study. Researchers have been given a lot of inequality proof methods at home and abroad, the existing literature, respectively, the nature of inequality, certificate of various methods and application are discussed. The paper on the basis of existing research results and summarizes the commonly used methods of inequality proof, including structural geometry, structure complex, the score point, tectonic principal component, structure, tectonic sequence probability model, structure of variance model, vector construction, constructor, algebra in yuan, triangle in yuan, zoom method, mathematical induction, making every kind of method with both theory and practice. The aim is to make the student have a more thorough understanding on the inequality problems , and in solving the problem of relative inequality proof can digest the lines, to achieve twice the result with half the effort, at the same time provide a reference for engaged in education workers. Key words: inequality; proof; method

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