3.1空间向量及其运算测试题(答案)

新课标高二数学同步测试（2－1第三章）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填

在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，

11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）

A ．c b a ++-2121

B ．c b a ++2

1

21

C ．c b a +-2121

D ．c b a +--2

1

21

2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （）

A ．OC O

B OA OM --=2 B ．O

C OB OA OM 2

1

3151++=

C ．=++MC MB MA 0

D ．=+++OC OB OA OM 0

3．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，

]

''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）

A ．85

B ．85

C ．52

D ．50

4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31

，1，1） B ．（－1，－3，2）

C ．（－21，2

3

，－1） D ．（2，－3，－22）

5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）

A ．0

B ．

2

π

C ．π

D ．

32

π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，

a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．c

b a 21

3221+-

B ．c b a 21

2132++-

C ．c b a 212121-+

D ．c b a 2

13232-+

！

7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=?=?=?AD AB ，AD AC ，

AC AB ，则BCD 是（）

图

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，

OA = （ ）

A ．

2

1

B ．

2

2 C ．

2

1 D ．0

9．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则?ABC 的面积为（）

A ．3

B ．32

C ．6

D ．

2

6

10．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）

A ．

5

5 B ．

5

55 C ．

5

5

3 D ．

5

11 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．

|

12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段

MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}

OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．

13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．

15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，

且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；

（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值

17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．

18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，

AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积；

19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；

O'

N M

D'C'B'

A'

C B A

D

z

y x 、

（3）求证：A 1B ⊥C 1M .

20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°. ~

（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=2

3，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD

—β的平面角的余弦值；（3）当

1

CC CD

的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给出证明.

参考答案

一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++

=+==c +21（－b a +）=－21a +2

1

b +

c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，

与向量的加法.考查学生的空间想象能力.

2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．

3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2

||C A C A '=

'．

4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即

b a b a b λ=?≠//,0． 5．C ；解析：|

|||cos b a b a ?=

θ，计算结果为－1．

6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 3

2

)(21-+=

-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．

8．D ；解析：建立一组基向量,,，再来处理?的值．

>

9．D ；解析：应用向量的运算，显然>=

|||,cos ，

从而得><=S ,sin ||||2

1

． 10．C ； 二、

11．56；解析：72

,cos -=>=

=<，可得结果．

12．31

3161++；

解析：

13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：2

1

9132|

|||,cos 2

-=+=

??>=

三、 /

15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．

由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2

a

，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，

所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，3

4

a ，a ）．

根据空间两点距离公式，可得22236

||()()()242424

a a a a a MN a a =-+-+-=

． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=

23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2

121=. ∴D 点坐标为（0，－23,

21

），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－2

3,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,2

1

,23{

=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},2

3

,1,23{=-=--

=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则

cos θ=

2

22222020)2

3()1()23(0

23

2)1(023||||++?+-+-?+?-+?-

=?BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2

1

21r r +，

321r ，)(2131r r +，22

1

r ，由条件EH=GH=MN 得： 《

展开得313221r r r r r r ?=?=?

∴0)(231=-?r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．

18．（1）证明：∵AB AP ?=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ?=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .

∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=

1053

416161428|

|||=+?++-=??AD AB AD AB

V =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=16141105

9

110532=++?-? '

（3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.

猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.

评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.

19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz .

（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.

（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5 ∴cos<1BA ，1CB >=

3010

1

||||1111=??CB BA CB BA .

~

（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,

21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={2

1

,21，0}.∴B A 1·M C 1=－

2

1

21++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M .

图

评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .

（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=

CD BC CO （a +b ），2

1

11=-=CC CO O C （a +b ）－c ∴CO ·211=

O C （a +b ）·［2

1

（a +b ）－c ］ =

41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －2

1

b ·

c =

41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－2

1

·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =3

3||||11=

??O C CO O C CO （3）解：设

1

CC CD

=x ，CD =2，则CC 1=x 2.

∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11?=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，

∴D C C A 11?=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=

x

x 2

42+－6， 令6－

242x

x -=0，得x =1或x =－32

（舍去）.

评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及

待定值的探求等问题.