2014年初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第四讲 二次根式的运算(基础篇,适合八年级使用,无答案)
同类二次根式及分母有理化-初中数学专项复习
二次根式之同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
【热点题型】1．下列二次根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．解：A、＝2，不符合题意；B、＝3，符合题意；C、＝3，不符合题意；D、＝4，不符合题意．答案：B．2．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝5．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8＝17﹣2a，解得：a＝5．答案：5．3．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．解：∵×＝a﹣b，∴二次根式的有理化因式是：．答案：C．4．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．B．﹣1C．D．解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）﹣＝1，故本选项不合题意；C．（+1）与2无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．答案：C．5．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（）A．5+3B．5+C．5﹣D．5﹣3解：设x＝﹣，且＞，∴x＜0，∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，∴x2＝12﹣2×3＝6，∴x＝，∵＝5﹣2，∴原式＝5﹣2﹣＝5﹣3，答案：D．6．计算的结果是+1．解：原式＝＝＝+1．答案：+1．7．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝2﹣；第4个等式：a4＝＝﹣2；按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n＝＝﹣；（2）a1+a2+a3+…+a n＝﹣1．解：（1）∵第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝﹣，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，∴第n个等式：a n＝＝﹣；（2）a1+a2+a3+…+a n＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）＝﹣1．答案：＝﹣；﹣1。
九年级数学知识点重点总结
九年级数学知识点重点总结九年级数学知识点重点总结一、二次根式1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式。
(2)是一个重要的非负数，即;≥0。
2、积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
3、二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小。
(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小。
(3)分别平方，然后比大小。
4、商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
5、二次根式的除法法则：(1)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。
6、最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
①被开方数的因数是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。
(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。
(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。
(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。
7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8、二次根式的混合运算：(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。
(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等。
二、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c;其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少。
二次根式的乘除法则公式二次根式混合运算解题步骤二次根式化简方法
一、二次根式的乘除法法则1、积的算数平方根的性质，列如：√ab=√a·√b(a≥0，b≥0)2、乘法法则，列如：√a·√b=√ab(a≥0，b≥0)，二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3、除法法则，√a÷√b=√a÷b(a≥0，b>0)，二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
4、有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
二、二次根式混合运算解题步骤1、确定运算顺序。
2、灵活运用运算定律。
3、正确使用乘法公式。
4、大多数分母有理化要及时。
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化。
6、字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
7、提公因式时可以考虑提带根号的公因式。
三、二次根式化简方法二次根式是中学代数的重要内容之一，而二次根式的化简是二次根式运算的基础，学好二次根式的化简是学好二次根式的关键。
下面给同学们归纳总结了几种方法，帮助大家学好二次根。
1、乘法公式法2、因式分解法3、整体代换法4、巧构常值代入法1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的'积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
方法归纳：两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得得结果相乘。
4.除法逆用：(a≥0，b>0)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
专题02 二次根式运算及运用(解析版)
专题02 二次根式运算及运用二次根式运算及运用是本章节考试必考考点，也是为学习后面内容打下扎实基础。
主要在解答题中的计算题或者材料阅读题为主。
这个专题难度不大，但很重要，需要反复练习巩固。
【考点刨析】考点1：分母有理化分母有理化：分母中的根号化去，叫做分母有理化有理化因式：如果两个二次根式相乘的积不含二次根式，那么这两个二次根式为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项分母：利用665666565a a a =⨯⨯==⋅来确定，如：.②两项分母：利用平方差公式()()ba b -=-+a ba 如：()()()25352325352323235235-=--=-+-=+考点2：二次根式的混合运算考点3：二次根式的大小比较方法1：公式法 ： 将括号外的因数移到根号内，比较被开方数的大小平方法： 将二次根式平方，去掉根号，再比较大小方法2：倒数法：下把元二次根式写出他的倒数，通过比较两者间倒数的大小，倒数的则原二次根式反而小。
考点4：二次根式的化简求值【典例分析】【考点1：分母有理化】【典例1】（2022秋•丰城市校级期末）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可将其进一步简化：＝；（一）＝＝；（二）＝＝＝；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：＝＝＝；（四）（1）化简＝ ＝ （2）请用不同的方法化简．①参照（三）式得＝ ②步骤（四）式得＝ （3）化简：+++…+．【解答】解：（1）＝＝，＝＝．故答案为：，；（2）①原式＝＝﹣．故答案为：﹣；②原式＝＝＝﹣．故答案为：﹣；（3）原式＝+++…+＝＝．【变式1-1】（2022春•西宁期末）【观察】；﹣1；【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中与+1与﹣1相乘的积都不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式．【运用】（1）的有理化因式是 ；﹣2的有理化因式是 ；（2）将下列各式分母有理化：①；②．【解答】解：（1）的有理化因式是；﹣2的有理化因式是，故答案为：；；（2）①＝＝＝；②＝＝＝﹣．【典例1-2】（2021秋•渭滨区期末）（一）阅读下面内容：＝＝；＝＝﹣；＝＝﹣2．（二）计算：（1）；（2）（n为正整数）．（3）+++…+．【解答】解：（二）（1）原式＝﹣；（2）﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝9．【典例1-3】（2022春•浏阳市期中）阅读下列运算过程：①＝＝，②＝＝＝数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．模仿上述运算过程，完成下列各题：（1）（2）+++…+．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣﹣1＝9．【考点2：二次根式的混合运算】【典例2】（2022秋•丰泽区校级期末）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3﹣（2+2+1）+3﹣1＝3﹣3﹣2+3﹣1＝﹣1；（2）原式＝+6x•﹣x2•＝+2x﹣x2•＝+2x﹣＝3x．【变式2-1】（2022秋•渠县校级期末）计算：（1）﹣（2+）2．（2）3﹣﹣．【解答】解：（1）原式＝4﹣（4+2+4）＝4﹣6﹣4＝﹣6；（2）原式＝6﹣3﹣＝．【变式2-2】（2022秋•二道区校级期末）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝2+2﹣3+＝3﹣；（2）原式＝﹣+＝2﹣+4＝+4．【变式2-3】（2022秋•通川区校级期末）计算：（1）（﹣）（+）+；（2）．【解答】解：（1）（﹣）（+）+＝5﹣7+＝﹣2+；（2）＝3﹣2+2﹣（1﹣2+2）＝5﹣2﹣3+2＝2．【变式2-4】（2022秋•邯山区期末）计算：（1）（+1）（﹣1）+﹣（）0；（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．【解答】解：（1）原式＝3﹣1+2﹣1＝2+1；（2）原式＝﹣+2﹣﹣2＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3．【考点3：二次根式的大小比较】【典例3】（2021秋•岳麓区校级月考）比较二次根式的大小：﹣4 ﹣3（填“＜”、“＝”、“＞”）．【答案】＜【解答】解：＝48，＝36，∵48＞36，∴﹣4＜﹣3．故答案为：＜．【变式3-1】（2020秋•昌平区期末）比较大小：（1） 5；（2） ．【答案】（1）＜（2）＞【解答】解：（1）＝24，52＝25，∵24＜25，∴＜5．（2）＝13+2，＝13+2，∵13+2＞13+2，∴＞．故答案为：＜、＞．【变式3-2】（2021秋•市北区期末）比较大小： ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【答案】＞【解答】解：2＝，即2＞，故答案为：＞．【典例4】比较与的大小，并说明理由；【解答】﹣＜﹣【解答】﹣＜﹣．理由如下：∵＝+，＝+，而+＞+，∵＞，∴﹣＜﹣；13-的大小.【变式4-1】比较1617-与12【答案】1617-＜1213-【解答】1617-＜1213-12131617121311617116171617121312131161716171----∴-++=-+=-＜则＞＞而，∵【变式4-2】请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大．①﹣与﹣；②+与+；【答案】① ﹣＜﹣ ②+＜+【解答】①＝，＝，而＞，即＞，∴﹣＜﹣；②∵＝+，＝+，而+＞+，即＞，∴﹣＜﹣，∴+＜+；【考点4： 二次根式的化简求值】【典例5】（2022春•湖北期末）求值：（1）已知x ＝﹣1，求x 2+5x ﹣6的值．（2）先化简，再求值：，其中m ＝．【解答】解：（1）∵x ＝﹣1，∴x2+5x﹣6＝（﹣1）2+5×（﹣1）﹣6＝5﹣2+1+5﹣5﹣6＝﹣5+3；（2）＝[﹣]÷＝（﹣）•＝•＝•＝，当m＝时，原式＝＝．【变式5-1】（2022春•长顺县月考）先化简，再求值．（6x+）﹣（4y+），其中x＝，y＝3．【解答】解：原式＝6+3﹣4﹣6＝﹣，当x＝，y＝3时，原式＝﹣＝﹣．【变式5-2】（2022春•汝南县月考）先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．【解答】解：原式＝2x+﹣x+5＝x+6，当x＝，y＝4时，原式＝+6＝+6＝．【变式5-3】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中．【解答】解：∵a＝+＝+，∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），＝a2﹣3﹣a2+6a，＝6a﹣3，＝6×（+）﹣3，＝3．【夯实基础】1．（2012春•仁寿县校级期中）比较二次根式的大小：2 3．【答案】＜【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．2．（2021秋•大丰区期末）比较大小：4 7．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】＜【解答】解：（4）2＝48，72＝49，∴，故答案为：＜．3．（2021秋•浦东新区校级月考）比较大小： ．（填“＞”“＝”“＜”）【答案】＜【解答】解：＝＝﹣，＝＝﹣，∵﹣＞﹣，∴＜．故答案为：＜．4．（2022秋•仓山区校级期末）计算：（1）．（2）．【解答】解：（1）＝（﹣）÷＝（﹣）÷＝﹣＝2﹣；（2））＝2﹣2+1＝2﹣1．5．（2022秋•宣汉县校级期末）计算．（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝3×﹣（1+3﹣2）＝3×﹣4+2＝2﹣4+2＝4﹣4；（2）原式＝4﹣1+2﹣+3＝5+2．6．（2022秋•青浦区校级期末）计算：．【解答】解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．7．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣2）×．【解答】解：（﹣2）×＝×﹣2×＝3﹣6．8．（2022秋•沙坪坝区期末）计算：（1）（x+2）2﹣x（x+4）；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4﹣（x2+4x）＝x2+4x+4﹣x2﹣4x＝4；（2）原式＝×﹣4×﹣6×＝3﹣12﹣3＝﹣12．9．（2022秋•北碚区校级期末）计算：．【解答】解：原式＝3﹣4﹣（2﹣2+1）＝3﹣4﹣3+2＝﹣4+2．10．（2022秋•临湘市期末）计算：（1）﹣22+﹣2×；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣2×3＝﹣4+4﹣6＝﹣6；（2）原式＝+3+2﹣2﹣（+）＝+3+2﹣2﹣﹣＝5﹣3．11．（2022秋•朝阳区校级期末）计算：．【解答】解：原式＝+﹣4×＝+﹣＝3+﹣＝．12．（2022秋•中宁县期末）化简计算：（1）﹣2；（2）．【解答】解：（1）﹣2＝+2﹣6＝﹣3；（2）＝（）2﹣（）2＝5﹣3＝2．13．（2020•罗湖区校级一模）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝3，b＝2﹣．【答案】【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝3，b＝2﹣时，原式＝＝＝．14．先化简，再求值：（1）﹣，其中x＝﹣；（2）÷（1﹣），其中a＝2+，b＝2﹣．【答案】（1）（2）【解答】解：（1）原式＝＝＝，当x＝﹣时，原式＝＝；（2）原式＝﹣•＝﹣，当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝﹣＝．15．（2022•东平县校级开学）化简计算（1）先化简，再求值：，其中．【解答】解：＝•＝，当时，原式＝＝1+【能力提升】16．（2022•杭州模拟）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．也可以用如下方法化简：．（1）请用两种不同的方法化简；（2）选择合适的方法化简（n为正整数）；（3）求的值．【解答】解：（1），；（2）＝＝＝＝﹣；（3）∵，∴＝＝＝10﹣1＝9．。
八年级数学二次根式易错点与难点突破
1、算术平方根、平方根的联系
2、已知 是整数，则满足条件的最小正整数n是。
3、若最简二次根式 和 是同类二次根式，则x＋y＝。
4、计算
（1） （2）
知识点 二次根式的概念、性质与四则运算
【知识梳理】
1、二次根式的性质：（1）( )2＝(______)；（2） ＝ ＝ 。
2、一般地，二次根式的乘法法则是 ＝（a，b）。
7、一列数 、 、 、……，其中 ， （n为不小于2的整数），则 ＝。
8、已知 ，则 ＝。6
9、若 ，则 ＝。1
10、已知 （0＜a＜1），则 ＝。
11、若实数x、y、z满足 ，则 的平方根是。±5
12、计算：
（1） （2） （3）
13、（1）若x、y是实数，且 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值。
① ；② ；③ ；④ ；……
（1）根据以上线索，请你写出第8个等式：；
（2）请根据你找到的规律，写出第n个等式：。（n为正整数）
【课堂练习三】
1、先观察下列等式，再回答问题。
① ＝1＋ ＝ ；② ＝1＋ ＝ ；③ ＝1＋ ＝ 。请你根据上面提供的信息，猜想 的结果为；根据你找到的规律，写出第n个等式：。（n为正整数）
据此回答下列问题：（1）直接写出表示AP、DP的式子：、；
（2）求AP＋DP的最小值；（3）运用以上方法求 的最小值。（0＜x＜4）
推广：（1） ＝（a，b，c）；
（2） ＝（a，b）。
3、积的算术平方根的性质： ＝（a，b）。
4、一般地，二次根式的除法法则是 ＝（a，b）。
推广： ＝（a，b）。
6、最简二次根式的概念：一般地，把被开方数不含和能的因数或因式的二次根式叫作最简二次根式。
初中数学——二次根式的化简
初中数学——二次根式的化简概述：在初中数学中，二次根式的化简是一个重要且常见的知识点。
在解题中，需要将二次根式化简为最简形式，便于后续的求解和计算。
本文将详细介绍二次根式的化简方法，并提供20道以上的练习题，带参考答案。
知识点详解：一、定义二次根式指形如√a（a≥0）的式子，其中a称为被开方数。
在初中数学中，二次根式主要涉及两个方面——二次根式的加减乘除和化简。
二、化简方法对于二次根式的化简，我们需要掌握以下方法：1. 同底数化简法——将不同的二次根式的底数化为相同，再进行加减运算。
例如：√2+√8，我们可以将√8化为2√2，即√2+2√2，再合并同类项得到3√2。
2. 分解质因数化简法——先将被开方数分解为质因数，再化简为最简形式。
例如：√48，我们将48分解质因数为2×2×2×2×3，即√(2^4×3)，再运用指数运算法则，即√(2^4)×√3=4√3。
3. 有理化分母法——通过有理数乘以一个恰当的分式，将分母中的二次根式变为有理数，从而达到化简的目的。
例如：1/√2，我们乘以分式√2/√2，即(1×√2)/(√2×√2)=√2/2。
4. 公式化简法——对于常见的二次根式，可以运用公式进行化简。
例如：√(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)。
二次根式的化简需要我们熟练掌握以上方法并根据具体情况选择合适的方法进行化简。
三、练习题1. 将√12化简为最简形式。
参考答案：2√32. 化简(√5-√3)/(√5+√3)。
参考答案：(2-√15)/23. 化简√(3+2√2)。
参考答案：1+√24. 化简4√2-2√6+√18。
参考答案：4√2-2√6+3√25. 化简2√6+4√24。
参考答案：8√2+2√66. 化简√12-3√3。
参考答案：2√37. 化简√5+√20。
参考答案：3√58. 化简√(1+√2)。
参考答案：√(2+√2)9. 化简1/(√3+√2)。
2025年浙教版八年级下册数学期末复习专题二 二次根式的运算
1.计算：
（1）(2 48 − 3 27) ÷ 3；
【解】原式= (8 3 − 9 3) ÷ 3 = − 3 ÷ 3 = −1.
（2） ( 3 − 2)2 + (3 − 2 3) ÷ 3.
原式= 2 − 3 + 3 − 2 = 0.
针对训练
2.
化简：已知0 < < 2，化简
2 − 4 + 4 + | − 3|，并赋予一个你喜欢的值，求出结果.
1
若 =
，求22 − 12 − 1的值.
3+2 2
1
，求
2−1
【解】∵ =
1
3+2 2
=
3−2 2
(3+2 2)(3−2 2)
= 3 − 2 2，
∴ − 3 = −2 2.∴ ( − 3)2 = 8.
∴ 2 − 6 + 9 = 8. ∴ 2 − 6 = −1.
∴ 22 − 12 = −2. ∴ 22 − 12 − 1 = −3.
∴ = ( 7 + 2)( 7 − 2) = 7 − 4 = 3.
针对训练
13
（2）2 + 2 − 3的值为____；
【点拨】∵ = 7 + 2, = 7 − 2, = 3，
∴ 2 + 2 − 3= 2 + 2 − 2 −
= ( − )2 −
第1章 二次根式
专题二 二次根式的运算
类型1 二次根式的计算
例1 [2024·义乌月考] 计算：
（1） 27 − 12 −
【解】 27 − 12 −
=3 3−2 3−
=
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初中数学二次根式(讲义及答案)及解析
一、选择题1．下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5D ．=2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D3．已知5x =-，则2101x x -+的值为（ ）A ．-B ．C ．2-D ．04．x 的取值范围是（ ）A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 2020 5．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 26．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠2 7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-8．给出下列化简①（）2=2=2=12=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④ 9．下列运算一定正确的是( )A a =B =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n a m=≥10．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上 二、填空题11．化简322+=___________． 12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．13．已知120654010144152118+++可写成235a b c ++的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.14．计算()623÷+=________________ .15．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得112()a b +的值也是整数，则称（a ，b ）是112()a b +的一个“理想数对”，如（1，4）使得112()a b+=3，所以（1，4）是112()a b +的一个“理想数对”．请写出112()a b +其他所有的“理想数对”： __________．16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+⋅--=+--+--，则p =__________．17．计算：11882--=_____________． 18．已知x ，y 为实数，y =22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 19．已知x ＝51-，y ＝51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 20．观察分析下列数据：0，3-，6，-3，23，15-，32，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一3533333==⨯；(二)2231)=31 31(31)(31)-=-++-（；(三)22231(3)1(31)(31)=31 31313131--+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3：①参照(二)式化简25+3＝__________.②参照(三)式化简5+3＝_____________(2)化简：++++315+37+599+97+.【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.【详解】解:(1)①;②;(2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．2722322312-310【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．23．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．24．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.25．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答．【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．26．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．27．先化简，再求值：221()a b a b a b b a -÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】 先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案．【详解】 解：原式1()()a b a b a a b a b b a b b --=⨯-⨯+-+ ()()a b a b a b b a b -=--++ ()b b b a =-+ 1a b=-+，当a =2b = 原式12==-． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．28．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB3=，故本选项符合题意；C、5=-，故本选项不符合题意；D、=-，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．2．D解析：D【分析】最简二次根式的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，其中小数要转化为分数，分数中分母不可以是二次根式，注意这几点即可得出答案．【详解】ABC，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；2D故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，本题属于基础题型．3．D解析：D【分析】把x 的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．A解析：A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x ≥2020；故选：A ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．5．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．7．D解析：D【分析】进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设x=<x<，∴0∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=∵5=-，∴原式5=-5=-故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.9．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．10．D解析：D【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．【详解】=-∴x、y异号，且y>0，∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．∴那么点(),x y在第二象限或坐标轴上．故选：D．【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．二、填空题11．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.14．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为15．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a =1，要使或12时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”， 当a =412，要使+或12时，分别为3和2， 得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”， 当a =913，要使16时，=1， 得出（9，36）是的“理想数对”， 当a =1614，要使14时，=1， 得出（16，16）是的“理想数对”， 当a =3616，要使13时，=1， 得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.解析：2【解析】【详解】22.故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.18．-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16 解析：-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-16）=-15-1=-16. 故答案为：-16.点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解. 19．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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二次根式的运算
【知识梳理】
1、 当0a时，称a为二次根式，显然0a。
2、 二次根式具有如下性质：
（1）02aaa；
（2）时；，当时，，当002aaaaaa
（3）00babaab，；
（4）00bababa，。
3、二次根式的运算法则如下：
（1）0ccbacbca；
（2）0aaann。
4、设Qmdcba，，，，，且m不是完全平方数，则当且仅当dbca，时，
mdcmba
。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相
约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根
式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式
（1）一个根式经过化简后满足：
被开方数的指数与根指数互质；
被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；
被开方数不含分母。
适合上述这些条件的根式叫做最简根式。
（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式
叫做同类根式。
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【例题精讲】
【例1】已知254245222xxxxy，则22yx___________________。
【巩固一】若yx，为有理数，且42112yxx，则xy的值为___________。
【巩固二】已知200911xxy，则yx _______________________。
【拓展】若m适合关系式
yxyxmyxmyx19919932253
，求m的值。
【例2】当ba2时，化简二次根式abababaa22442。
【巩固】
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3
1、化简2232144xxx的结果是__________________。
2、已知0a，则22aa等于（ ）
A.a B.a C.a3 D.a3
3、已知cab0，化简2222cbbaaca。
【例3】多重二次根式的化简：
（1）324324； （2）223810。
【巩固】化简：（1）21027______________________；
（2）526425________________________；
（3）4156110xxxx______________________；
【拓展】化简111119911993199419951996。
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4
【例4】计算：
（1）233623346； （2）2115141021151410。
【巩固】计算：
（1）75235213515； （2）4266777647511。
【拓展】设200820071321211M，
200820074321N
，则21MN的值是__________________________。