2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（理工农医类）

参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。 11．22(1)(1)2xy

12．5π6 13．16 14．（1）[1)，（2）92 15．21n，32

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

解：（I）由题设知1π()[1cos(2)]26fxx

因为0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，所以0π26xπk， 即0 π2π6xk（kZ）。 所以0011π()1sin21sin(π)226gxxk 当k为偶数时，01π13()1sin12644gx， 当k为奇数时，01π15()1sin12644gx （II）1π1()()()1cos21sin2262hxfxgxxx 1π31313cos2sin2cos2sin22622222xxxx









1π3sin2232x



当πππ2π22π232kxk≤≤，即5ππππ1212kxk≤≤（kZ）时，

函数1π3()sin2232hxx是增函数， 故函数()hx的单调递增区间是5ππππ1212kk，（kZ）

17．（本小题满分12分） 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且()0.6PA，()0.75PB．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

1()()()0.40.250.1PPABPAPB 所以该人参加过培训的概率是21110.10.9PP 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

3()()0.60.250.40.750.45PPABPAB 该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45PPAB 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9PPP （II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布(30.9)B，，33()0.90.1kkkPkC，0123k，，，，即的分布列是

 0 1 2 3

P 0.001 0.027 0. 243 0.729

的期望是10.02720.24330.7292.7E

（或的期望是30.92.7E）

18．（本小题满分12分） 解：解法一：（Ｉ）因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，ADAB⊥，AD平面ABCD，所以AD⊥平面1GAB，又AD平面12GADG，

所以平面1GAB⊥平面12GADG

（II）过点B作1BHAG⊥于点H，连结2GH 由（I）的结论可知，BH⊥平面12GADG， 所以2BGH是2BG和平面12GADG所成的角 因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，1GEAB⊥，

1GE平面1GAB，所以1GE⊥平面ABCD，故1GEEF⊥

因为12GGAD，ADEF，所以可在EF上取一点O，使12EOGG，又因为12GGADEO∥∥，所以四边形12GEOG是矩形

由题设12AB，25BC，8EG，则17GF所以218GOGE，217GF， 2217815OF

，1210GGEO

因为AD⊥平面1GAB，12GGAD∥，所以12GG⊥平面1GAB，从而121GGGB⊥ 故222222221126810200BGBEEGGG，2102BG 又2216810AG，由11BHAGGEAB得81248105BH

故22481122sin525102BHBGHBG 即直线2BG与平面12GADG所成的角是122arcsin25 解法二： （I）因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，1GEAB⊥， 1GE平面1GAB，所以1GE⊥平面ABCD，从而1GEAD⊥．又ABAD⊥，所

以AD⊥平面1GAB．因为AD平面12GADG，所以平面1GAB⊥平面12GADG．

（II）由（I）可知，1GE⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线1EBEFEG，， 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

由题设12AB，25BC，8EG，则6EB， 25EF，18EG，相关各点的坐标分别是(600)A，，，

(6250)D，，，1(008)G，，，(600)B，， 所以(0250)AD，，，1(608)AG，， 设()nxyz，，是平面12GADG的一个法向量，

由100nADnAG，.得250680yxz，故可取(403)n，， 过点2G作2GO⊥平面ABCD于点O，因为22GCGD，所以OCOD，于是点O在y轴上

因为12GGAD∥，所以12GGEF∥，218GOGE 设2(08)Gm，， （025m），由222178(25)m，解得10m， 所以2(0108)(600)(6108)BG，，，，，， 设2BG和平面12GADG所成的角是，则

2222222

|2424|122sin25610843BGnBGn





故直线2BG与平面12GADG所成的角是122arcsin25 19．（本小题满分12分） 解：（I）如图， PH⊥，HB，PBAB⊥，

由三垂线定理逆定理知，ABHB⊥，所以PBH是 山坡与所成二面角的平面角，则PBH，

1sinPHPB 设(km)BDx，01.5x≤≤．则 2221PDxPBx[12]，

记总造价为1()fx万元，

据题设有2211111()(1)(3)224fxPDADAOaxxa 2143

3416xaa



当14x，即1(km)4BD时，总造价1()fx最小

（II）设(km)AEy，504y≤≤，总造价为2()fy万元，根据题设有 222

131()13224fyPDyya





2433216yyaa



则22123yfyay，由2()0fy，得1y 当(01)y，时，2()0fy，2()fy在(01)，内是减函数； 当514y，时，2()0fy，2()fy在514，内是增函数

故当1y，即1AE（km）时总造价2()fy最小，且最小总造价为6716a万元 （III）解法一：不存在这样的点D，E 事实上，在AB上任取不同的两点D，E为使总造价最小，E显然不能位于D 与 B之间，故可设E位于D与A之间，且BD=1(km)x，1(km)AEy，

12302xy≤≤，总造价为S万元，则221111113224xySxya．类似于（I）、

（II）讨论知，2111216xx≥，2113322yy≥，当且仅当114x，11y同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD，1(km)AE，S取得最小值6716a，点DE，分别与点DE，重合，所以不存在这样的点 DE，，使沿折线PDEO修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

2211

11

113224xySxya



22211111

11433334416xayyyyaa



221111

14323(3)(3)416yyyyaa≥

6716a

当且仅当114x且2211113(3)(3)yyyy，即11114xy，同时成立时，S取得最小值6716a，以上同解法一。

20．（本小题满分12分） 解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，． 解法一： （I）设()Mxy，，则则1(2)FMxy，，111(2)FAxy，，

1221(2)(20)FBxyFO，，，，由1111FMFAFBFO得

1212

26xxxyyy，

即12124xxxyyy，