二次插补

二次插补算法及其目的和应用
插补：
数控车床的运动控制中，工作台（刀具）X、Y、Z轴的最小移动单位是一
个脉冲当量。因此，刀具的运动轨迹是具有极小台阶所组成的折线（数据点
密化）。例如，用数控车床加工直线OA、曲线OB，刀具是沿X轴移动一步或
几步（一个或几个脉冲当量Dx），再沿Y轴方向移动一步或几步（一个或几个
脉冲当量Dy），直至到达目标点。从而合成所需的运动轨迹（直线或曲线）。
数控系统根据给定的直线、圆弧（曲线）函数，在理想的轨迹上的已知点之
间，进行数据点密化，确定一些中间点的方法，称为插补。
二次插补法：
二次插补算法是指插补分粗插补和精插补两部份，粗插补由软件实现，
精插补由硬件完成。该方法可应用于步进开环数控系统和脉冲式全数字交流
伺服系统，大大提高了系统的性能指标，即实时性和可靠性。这种算法主要
应用于多轴联动、机械手、机器人等运动控制的设计。
插补运算的完成采用类似上、下位机的形式。粗插补部分由上位计算机
来完成，在每个插朴运算周期里输出的不是单个脉冲，而是一个直线段(位置
增量坐标值)，粗插补采用完全离线进行；精插补部分由硬件智能运动控制器
来实时完成，主要完成各控制轴的轨迹规划和精确定位运动。这样，粗插补
完全离线进行，而精插补采用实时控制，一方面系统的实时性较好，另一方
面可把上位计算机解放出来去完成更重要的工作。
二次插补算法中的粗插补算法：
我们知道，物体运行的轨迹不管是空间的还是平面的，最终都可以离散成两种最
基本的单元：空间直线和空间圆弧，可用大量成熟的软件来完成这部分，从宏观
轨迹离散成微观两种最基本单元的工作，如Unigraph、Pro／ENGINEER、Cimatron、
Mastercam等等，在通常的控制系统中读入的轨迹代码就是这两种最基本的单元。
下面仅就这两种基本单元来设计它们的算法。
空间直线的粗插补算法:
空间直线离散成微直线段，得到微直线段实际上是要得到在某个数值范围内
的位置增量坐标值ΔX、ΔY、ΔZ。
设空间直线AB的起点为A(坐标为Xa、Ya、Za)，终点为B(Xb、Yb、Zb)，
此处各坐标值用步数来表示，参见图1所示。
空间直线的粗插补实际上是要得到空间直线
在各个坐标轴上的投影直线段ΔX、ΔY、ΔZ。这些投影值的绝对值代表运
动的步数，正负代表运动的方向。当然这些投影直线段还必须在一定的数值范围
内。这个数值实际就是下一阶段精插补所允许输入的最大步数，如超出了这个数
值范围，还必须将空间直线离散成更小的直线段。

图1 空间直线插补
则直线AB在三个坐标轴上的投影为：
ΔX=Xb-Xa；
ΔY=Yb-Ya；
ΔZ=Zb-Za；
设下一阶段精插补所允许的最大步数为S，则
a)如
[ΔX]则输出ΔX，ΔY，ΔZ给下一阶段的精插补，直线粗插补的工作就算完成了。
b)如(1)式不成立，则说明直线AB在各个坐标轴上的投影的绝对值超出了下
一阶段精插补所允许的数值范围。必须将直线AB离散成更小的直线段，下面是
其离散算法：
1)比较并求出[ΔX]、lΔY]、[ΔZ ]中的最大者。现假设[ΔX]最大。
2)完成如下的运算：
如ΔX>0，则ΔX1=S；
如ΔX<0，则ΔX=S；
X1：ΔY：ΔZ=ΔX：ΔY：ΔZ；
得出ΔX、ΔY、ΔZ的值。
3)输出一次ΔX、ΔY、ΔZ给下一阶段的精插补。并令
ΔX-ΔX1→ΔX；
ΔY-ΔY1→△y；
ΔZ-ΔZ1→△Z；
接着再重复a)的步骤，直到(1)式成立为止。
微直线段的轨迹参数规划：
对得到的一系列微直线段，即位置增量坐标值X、Y、Z，二次插朴算法中的
粗插补还要要完成对这些微直线段的轨迹参数规划，即使三个轴以一定比例关系
的速度运行相应的步数时，能按规定的轨迹运行，对相应的参数我们要预先进行
规划：各轴的运行方向、各轴的运行步数、各轴的运行速度。其算法如下：
a)各轴的运行方向
位置增量坐标值ΔX、ΔY、ΔZ的正负就代表运行的方向(如值为正就表示此
轴运动的方向为正，如其值为负就表示此轴运动的方向为负)。
b)各轴的运行步数
取位置增量坐标值ΔX、ΔY、ΔZ的绝对值就得到了各轴的运动步数X、Y、
Z。
c)各轴的运行速度
各轴的运行速度的设定实际上是根据各个轴的运行步数得到各个轴的速度
参数的设定。下面研究其算法：
设各个轴的运动步数为X、Y、Z，假设也得到了各个轴的速度参数的设定：
Xs、Ys、Zs，则下式一定成立：
Xs、Ys、Zs =X、Y、Z
且 Xs 其中T为某一常量，即各个轴的速度参数的设定不能超出某一数值范围。
从(2)可以看出，要得到Xs、Ys、Zs，只须X、Y、Z分别乘以某个常数M，
即 Xs=X×M；
Ys=y×M；
Zs=Z×M；
下面确定常数M：
从(2)可以看出，在某一微直线段各轴是匀速运行的，且M值为常量。但是
在下一微直线段内，由于各轴的运行步数的比例关系可能发生变化，各轴的运行
速度可能变了，但是在此微直线段内各轴仍是匀速运行。为了保证宏观上运行的
平稳
性，我们必须使各个微直线段内的最大运行速度相一致。由于各轴在每个微直线
段内运行步数的变化，那么M的值在不同的微直线段内是变化的。在我们设计的
这个系统中，各轴的轨迹控制由硬件(如智能运动控制器)完成，因此结合智能运
动控制器来确定求M的值的算法。
1)求出步数X、Y、Z中的最大值step[max]
2)M=F/step[max]×C
其中F代表此次运行各轴速度中最大的速度；
C是与智能运动控制器相关的一个常数。
从空间直线的轨迹参数规划可以看出，可把它推而广之到四轴、五轴甚至更
多轴的联动。
圆弧的粗插补算法:
圆弧粗插补的实质是在保证一定精度的前提下，用弦进给去代替弧进给，即用直
线来代替圆弧。粗插朴的结果是要得到一系列离散的直线段。本算法可实现圆弧
的直接跨象限插补，而且粗插补精度达到一个脉冲当量。其粗插补算法如下。
设有圆弧AC，其起点为A。起点坐标为Xa、Ya、Za，终点为C，终点坐标为Xc、
Yc、Zc，圆弧的半径为R。并假设圆弧粗插补为顺时针方向。如图2所示。

图2 圆弧粗插补示意图
a）确定圆弧AC相对于X轴正向的起始角a。
b)确定圆弧AC的离散角度Δa，可根据实际需要确定Δa的大小，Δa越大则
圆弧的轨迹精度就越低，Δa越小则圆弧的轨迹精度就越高。如是
顺时针方向插补则Δa取正值，反之如实逆时针方向，粗插补则Δa取负值。可以
输出一个直线段AB到上一节的空间直线的粗插补，这样就得到了圆弧粗插补的第
一个点。
c)假设从A点开始．沿圆弧顺时针方向粗插补的第一点为日点，OA和OB的夹
角为Δa，下面求其坐标Xb、Yb、Zb，其算法如下：
Xb=R*cos（a-k*Δa） （3）
Yb=R*sin（a-k*Δa） （4）
可以输出一个直线段AB到上一节的空间直线的粗插补，这样就得到了圆弧粗
插补的第一个点。
d)下面判断是否插补到圆弧终点C，实际就是求出BC直线段的长度L，并判断
其是否小于某一给定的插补逼近精度值P，其算法如下：
L=(（Xc-Xb）^2+(Yb-Yc)^2)^0.5 （5）
假设P=1个脉冲当量(P的值可根据插补逼近精度来确定)
如L如L>P，则k+1→k，再重复运行c)、d)的步骤，直到判断到圆弧粗插补结
束。
e)在d中判断是否插补到终点有一个例外的情况，那就是作整圆插补时。起
点和终点重合，那么只经过一次插补，(5)式就判断插补到终点了，实际插补才
刚开始。为了避免这一情况，我们可以让步骤3先进行10次后，再进行是否插
补到终点的判断，这是因为我们需要插朴的圆弧一般都不止20个脉冲当量长。
虽然上面的插补算法是沿顺时针方向插补，但是可以类推出，当沿圆弧逆时针方
向粗插朴时，只须把式(3)、(4)中括号内的减号(一)改为加号(+)
就可以达到要求了。从上面的粗插补算法还可以看出，按照此种插补算法，圆弧
插补可以直接过象限，即不论圆弧AC是在第一象限、第二象限、第三象限、第
四象限或是圆弧AC横跨几个象限都可直接实现圆弧的粗插补。
上面列举了XOY平面内的圆弧插补，可以很顺利地类推出在XOZ、YOZ等另
外两个平面内的圆弧插补。
二次插补算法中的精插补：
通过二次插补中的粗插补，得到一系列微直线段的轨迹规划，下面我们要完
成这一系列轨迹的运行，即二次插补算法中的精插补。精插补必须解决在相同的
时间片内，各个联动轴能同时以恰当的速率完成相应步数的运行，如此微段内，
x轴运行10步，y轴运行5步，z轴运行3步，那么此次时间片结束时，这三个
轴必须以相应的速率同时到达相应位置。这实际就是数字积分法中的直线插补法。
精插补在我们的这个设计中是由硬件来完成的。把通过离线粗插补得到的各
轴的运行参数(运行方向、运行步数、运行速度)写到运动控制器上相应的参数寄
存器，然后启动运动控制器开始作精插补工作，在完成一段微直线段的精插补后，
让智能运动控制器发出一个中断信号，通知主程序刷新参数寄存器的值(写入下
一个微直线段的运行参数)，启动下一个微直线段的精插补。这样一直运行到所
有微直线段的精插补结束。
这种算法主要应用于多轴联动、机械手、机器人等运动控制的设计。