山西省山西大学附属中学2016届高三数学上学期12月月考试题文
山西省农大附中2016届九年级数学12月月考试题(含解析)新人教版
山西省农大附中2016届九年级数学12月月考试题一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0C．k＜D．k≥且k≠02．“a是实数，|a|≥0”这一事件是（）A．必然事件 B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件3．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）A．1 B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）A．6 B．4 C．3 D．35．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．6．如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°7．如图，半径为5cm的圆中，圆心到弦AB的距离OE的长为4cm，则弦AB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm8．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π9．函数y=a（x+2）和y=a（x2+1），它们在同一坐标系内图象的示意图是（）A． B．C．D．10．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．12．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是有．13．已知两个圆相切，圆心距为8cm，其中一个圆的半径为12cm，则另一个圆的半径为．14．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P（偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为P（奇数），指针落在线上时记右边区域，则P（偶数）P（奇数）（填“＞”“＜”或“=”）．15．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=度．16．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．三、解答题（共72分）17．解方程：（1）2x2+x﹣6=0（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．18．如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）19．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？20．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．21．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率．22．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，且CD=，已知AC=8cm，BC=6cm，求线段DD′的长．23．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．24．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．2015-2016学年山西农大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0C．k＜D．k≥且k≠0【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，∴k＞且k≠0．故选B．2．“a是实数，|a|≥0”这一事件是（）A．必然事件 B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．【解答】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，因为a是实数，所以|a|≥0．故选：A．3．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）A．1 B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出全部正面朝上的情况数，即可求出所求的概率．则掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率为．故选D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）A．6 B．4 C．3 D．3【考点】旋转的性质．【分析】利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，∴AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠CAA′=∠A′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．故选：A．5．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．【考点】生活中的旋转现象．【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．6．如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】欲求∠DBC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵⊙O的直径BD⊥AC，∴；（垂径定理）∴∠DBC=∠AOD=30°；（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）故选A．7．如图，半径为5cm的圆中，圆心到弦AB的距离OE的长为4cm，则弦AB的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】如图，连接OB，证明AE=BE；根据勾股定理求出BE的长度问题即可解决．【解答】解：如图，连接OB；∵OE⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：BE2=52﹣42=9，∴BE=3，AB=2BE=6，故选D．8．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π【考点】圆锥的计算．【分析】首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S侧=•2πr•l=πrl，代入数进行计算即可．【解答】解：∵底面半径为1，高为2，∴母线长==3．底面圆的周长为：2π×1=2π．∴圆锥的侧面积为：S侧=•r•l=×2π×3=3π．故选B．9．函数y=a（x+2）和y=a（x2+1），它们在同一坐标系内图象的示意图是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】首先把两个函数变形成一般式，再分两种情况进行讨论：a＞0，a＜0，然后从选项中选出答案．【解答】解：y=a（x+2）=ax+2a，y=a（x2+1）=ax2+a，当a＞0时，二次函数y=a（x2+1）开口向上，与y轴交于（0，a），（0，a）在y正半轴，一次函数y=a（x+2）的图象经过第一、二、三象限，当a＜0时，二次函数y=a（x2+1）开口向下，与y轴交于（0，a），（0，a）在y负半轴，一次函数y=a（x+2）的图象经过第二、三、四象限，由此可知C正确．故选：C．10．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．【解答】解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=12﹣4m=0，然后解一元一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=12﹣4m=0，解得m=．故答案为．12．一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．其中说法正确的是有②③④．【考点】几何变换的类型．【分析】掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．【解答】解：平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．故答案为：②③④．13．已知两个圆相切，圆心距为8cm，其中一个圆的半径为12cm，则另一个圆的半径为4cm 或20cm ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】两圆相切，有两种可能：外切，内切；根据外切和内切时，两圆半径与圆心距的数量关系，分别求解．【解答】解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切，但12＞8，故不可能外切，内切时，当12是大圆的半径，另一圆的半径=12﹣8=4cm，当12是小圆的半径，另一圆的半径为12+8=20cm．故答案为4cm或20cm．14．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P（偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为P（奇数），指针落在线上时记右边区域，则P（偶数）＜P（奇数）（填“＞”“＜”或“=”）．【考点】概率公式．【分析】根据题意分别求出奇数和偶数在整个圆形转盘中所占的比例，再进行比较即可．【解答】解：∵一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，有2个偶数区，3个奇数区，∴有p（偶数）=，p（奇数）=，所以p（偶数）＜p（奇数）．故答案为：＜．15．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=60 度．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD=90°；②∠D=∠B=30°；在Rt△ACD 中，已知了∠D的度数，即可求出∠CAD的度数．【解答】解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°；∵∠CDA=∠ABC=30°，（同弧所对的圆周角相等）∴∠CAD=90°﹣∠CDA=60°．16．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==2．故答案为：直线x=2．三、解答题（共72分）17．解方程：（1）2x2+x﹣6=0（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法把方程化为2x﹣3=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为x﹣2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）（2x﹣3）（x+2）=0，2x﹣3=0或x+2=0，所以x1=，x2=﹣2；（2）（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．18．如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）根据平移的性质得出对应点坐标即可得出答案；（2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而利用弧长公式求出即可．【解答】解：（1）如图所示：△O1A1B1，即为所求；（2）如图所示：△OA2B2，即为所求，∵AO==，∴点A旋转到A2所经过的路径长为： =π．19．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．【解答】解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．20．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠BAC，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BC是⊙O切线；（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，∵∠BAC=30°，∴∠BOD=2∠A=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OB=BD=OD=2，∴BM=DM=1，由勾股定理得：OM=，∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．21．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率．【考点】列表法与树状图法；根的判别式．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵x2+px+q=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=p2﹣4q≥0，∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是： =．22．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，D，D′分别是AB，A′B′的中点，且CD=，已知AC=8cm，BC=6cm，求线段DD′的长．【考点】旋转的性质；勾股定理．【分析】由旋转性质可知CD=CD′、∠B′CD′+∠DCB′=90°，求DD′的长，只需求CD的长，显然CD=AB，由勾股定理可求得AB得长即可．【解答】解：连接CD′∵∠ACB=90°，∴AB===10，∵D是AB的中点，∴CD=AB=5，∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，∴∠B′CD′=∠BCD，∵∠BCD+∠DCB′=90°，∴∠B′CD′+∠DCB′=90°，又CD=CD′（旋转后是对应边），∴△CDD′是等腰直角三角形，∴DD′=CD=5cm．23．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由．【考点】切线的判定．【分析】（1）先判断BC所在直线与小圆，过O点作OE⊥BC，垂足为E，根据题干条件证明△CAO≌△COE，证得∠OAC=∠OEC，（2）由AC和BC都是小圆的切线，可知AC=CE，BE=AD，然后得到结论．【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切．理由如下：过O点作OE⊥BC，垂足为E，∵CO平分∠ACB，∴∠ACO=∠ECO，CO=CO，∠CAO=∠CEO=90°，∴△CAO≌△CEO，∴OA=OE，∴BC所在直线与小圆相切．（2）AC+AD=BC．理由如下：∵AC和BC都是小圆的切线，∴AC=CE，连接OD，在Rt△OBE和Rt△ODA中，，∴Rt△OBE≌Rt△ODA（HL），∴BE=AD，∴AC+AD=EC+BE=BC．24．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线的对称性求出顶点P的坐标为（2，4），再求出点M的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+4，把点M的坐标代入计算即可得解；（2）把点D的横坐标抛物线解析式表示出n，然后根据矩形的周长公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）根据平行四边形的对边相等，分①OM是平行四边形的边时，先求出点F的横坐标，然后代入抛物线解析式计算即可得解；②OM是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可得点F与顶点P重合．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，∴顶点P的横坐标为4÷2=2，M的坐标为（4，0），∵顶点P到x轴的距离是4，∴顶点P的纵坐标为4，∴顶点P的坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+4，则a（4﹣2）2+4=0，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4，即y=﹣x2+4x；（2）∵D（m，n）在抛物线上，∴n=﹣m2+4m，BC=4﹣2m，∴矩形ABCD的周长为l=2（4﹣2m+n），=2（4﹣2m﹣m2+4m），=﹣2（m2﹣2m+1）+10，=﹣2（m﹣1）2+10，即l=﹣2（m﹣1）2+10，∴当m=1时，周长l有最大值10；（3）①OM是平行四边形的边时，点F的横坐标为2﹣4=﹣2，纵坐标为：﹣（﹣2）2+4×（﹣2）=﹣4﹣8=﹣12，此时，点F（﹣2，﹣12），或点F的横坐标为2+4=6，纵坐标为：﹣62+4×6=﹣36+24=12，此时，点F（6，﹣12），②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，∴EF都在抛物线的对称轴上，∴点F与点P重合，此时，点F（2，4），综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．。
山西大学附属中学高一上学期第三次月考(12月)数学试题
山西大学附中2017~2018学年高一第一学期12月（总第三次）月考数学试题考试时间：100分钟 满分：100分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1．设集合{}43,1，=A ，集合{}5,4,2,1=B ，则集合B A ＝( ) A ．{}5,3,2， B ．{}4,1 C ．{}5,4,3,2,1 D ．{}45,32，， 2．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）.A ．()211x f x x -=-与()1g x x =+ B ．()f x =()g x x =C ．()f x x =与()2log 2xg x = D ．()2lg f x x =与()2lg g x x =3.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且()1,b a a b N +-=∈，则a b +=（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．若偶函数()f x 在区间[]1,4上是增函数，则函数()f x 在区间[]4,1--上是（ ）. A ．减函数且最大值是()4f - B ．增函数且最小值是()1f - C ．增函数且最大值是()1f - D ．减函数且最小值是()4f - 5．已知函数()21f x ax x a=-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．11,,22⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭6．函数()f x 是定义在()2,2-上的奇函数，当[)0,2x ∈时，()31x f x b =++，则31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3B 1C ．1-D ．3-7.执行如图所示的程序框图，输出的k 值是A. 5B. 4C. 6D.7 8．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()()()g x ff x =的图象可能是（ ）A. B. C. D .9．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a的取值范围为（ ）A ．(],2-∞B ．4(,2]3-C ．(],1-∞D ．4(,1]3-10.某市乘坐出租车的收费办法如下：⑴不超过4千米的里程收费12元;⑵超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）A. 12[]42y x =++ B. 12[]52y x =++ C. 12[]42y x =-+ D. 12[]52y x =-+ 11．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数()()22x f x log t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ()0,1C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12.函数()(0,0)||bf x a b x a=>>-的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”. 下列命题：①“囧函数”的值域为R ；②“囧函数”在(0,)+∞上单调递增；③“囧函数”的图象关于y 轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线(0)y kx m k =+≠至少有一个交点. 正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分,共12分.） 13.二进制数）（21010100转化为十进制数等于 . 14. 已知22)(2++-=a ax x x f 函数，的两个零点分别位于区间））和（（3,22,1内,则a 的取值范围为___________.15．已知函数()f x 满足()()()2f x f x x R -=∈，且对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-成立，则当()()2222224f a a f a a ++<-+时，实数a 的取值范围为____________.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x-+≤≤=+<≤⎧⎪⎨⎪⎩，()1g x ax =+，对任意[]12,0x ∈-，存在[]22,1x ∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）设全集U R =，集合{}28371|24,|22x x A x x B x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭. （1）求B A C U )(（2）若集合{}02>+=a x x C ，且C C B = ，求a 的取值范围.18．（本小题满分10分）已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. （1） 求)0(f 的值，并证明函数()f x 为奇函数； （2）如果时0<x ，0)(>x f 且1(1)2f =-，试求()f x 在区间[2,6]-上的最大值和最小值.19．（本小题满分10分）经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足函数()802t g t =-（件），而且销售价格近似满足于115(0t 10)2(t)125(10t 20)2t f t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间(0t 20)t ≤≤的函数表达式； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．20．（本小题满分10分）已知函数2()(1)4f x x m x =-++.（1）当(0,1]x ∈时，若0m >，求函数()()()1F x f x m x =--的最小值；（2）若函数()()2f x G x =的图象与直线1y =恰有两个不同的交点12(,1),(,1)A x B x 12(03)x x ≤<≤，求实数m 的取值范围.21.（本题满分12分）对于在[],a b 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意的[,,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是接近的，否则称()f x 与()g x 在[],a b 上是非接近的．现在有两个函数()log (3)t f x x t =-与1()log ()(01)t g x t t x t=>≠-且，现给定区间[2,3]t t ++． （1）若12t =，判断()f x 与()g x 是否在给定区间上接近； （2）若()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上都有意义，求t 的取值范围； （3）讨论()f x 与()g x 在给定区间[2,3]t t ++上是否是接近的．。
山西省山西大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)
高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]--2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3- D ．34. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+B.243π+ C.43π+ D.43π+5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）6.oooosin 20cos10cos160sin10-=( )A ． B. C.12 D.12-7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（ ） A. 9 B. 32C.34D.528.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ） A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC=，则这个球的表面积为（ ）A.254πB.4πC. 16πD. 8π 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99Sa D ．1010S a 12.已知函数l n (1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x af x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .15.从圆422=+y x 内任取一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于2的概率____. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a CbB 2si n si n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a(Ⅰ)求n a ； （Ⅱ）设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ．ADOCPBE18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形， //AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．19（本小题满分12分）为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(（Ⅱ）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；（Ⅲ）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+． (Ⅰ)若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．高三第一学期11月（总第五次）模块诊断数学试题文科参考答案：1-5 C B C D B 6-10 C B D A C 11-12 C A 2-94 24ππ+ 1一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则AB =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D.(2,1)(1,2]--【命题意图】本题主要考查集合的交集运算以及一元二次不等式与一次不等式的解法，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C2.已知复数满足(1)5i z i -=+，则（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D.32i -【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】B【解析】（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+. 所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B.3.若1||,3||==b a 且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.3-B.31- C ．3-D 【命题意图】本题主要考查同角三角函数关系式，诱导公式，平面向量的坐标运算、向量的数量积的基本运算等，考查基本的运算能力，是容易题. 【答案】C4. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【命题意图】本题主要考查三视图的识别、组合体的结构特征及其体积的求解等，考查空间想象能力和逻辑推理能力以及基本的运算能力等，是中档题.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱（所在圆柱1OO ）与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上（如图所示），且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径1r =，高2h =， 故其体积221111222V r h πππ==⨯⨯=； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且1PO r ==. 故其体积2211421333ABCD V S PO =⨯=⨯⨯=正方形.故该几何体的体积1243V V V π=+=+.5. 函数1()sin(ln)1x f x x -=+的图象大致为（ ）【命题意图】本题主要考查函数图象的识别以及根据函数解析式研究函数性质，考查基本的逻辑推理能力，是中档题.【答案】B文6.o o o osin20cos10cos160sin10-=( )A．B. C.12D.1 2 -【答案】C【解析】原式=o o o osin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.7.已知,x y满足2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y=+的最大值为m，若正数,a b满足a b m+=，则14a b+的最小值为（）A. 9B.32 C.34 D.52【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题. 【答案】B【解析】如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值. 由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ；所以的最大值为2306⨯+=，即6m =. 所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b aa b=，即2=4b a =时等号成立. 8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为 （ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【命题意图】本题考查抛物线、二次方程和圆的方程，结合数形结合思想和方程思想考查圆的方程. 【答案】D9. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.必要条件 B. 充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 答案 A解答 便宜没好货⟺如果便宜，那么不是好货。
山西大学附中2015-2016学年高三上学期10月月考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年山西大学附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一。
选择题（每小题3分，满分36分,每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1．设U=A∪B=｛x∈N｜0≤x≤10}，A∩∁U B={1，2，3,5,7，9｝，则B的非空真子集的个数为（）A．5 B．30 C．31 D．322．已知角α的终边经过点(3a﹣9，a+2）,且cosα≤0，sinα＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣2,3） B． D．3．已知等比数列{a n｝中，各项都是正数,且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣24．下列命题中的说法正确的是( ）A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．命题“∃x0∈R，使得”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”D．“a≠5且b≠﹣5"是“a+b≠0”的充分不必要条件5．设a，b∈R，则“a＞b"是“a｜a|＞b｜b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B．C．2 D．37．设a，b，c为三角形ABC三边，a≠1,b＜c，若log c+b a+log c﹣b a=2log c+b alog c﹣b a，则三角形ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定8．Rt△ABC的角A，B,C所对的边分别是a,b，c（其中c为斜边）,分别以a,b,c边所在的直线为旋转轴，将△ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是V1，V2，V3，则（）A．V1+V2=V3B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（)A．4 B．9 C．7 D．510．已知,是平面内互不相等的两个非零向量,且｜|=1，﹣与的夹角为150°，则||的取值范围是（）A．(0,] B． C．（0,2］D．11．已知点P为双曲线=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2｜=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）A．B． C．D．12．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时,f(x）=,若关于x的方程52﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R），有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是（)A．0＜a＜1或a=B．0≤a≤1或a=C．0＜a≤1或a=D．1＜a≤或a=0二.填空题(每题4分，满分16分)13．设i是虚数单位，是复数Z的共轭复数，若,则= ．14．已知函数满足条件：y=f（x）是R上的单调函数且f(a）=﹣f(b)=4，则f(﹣1）的值为．15．已知点A（﹣），在抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线上，点M，N在抛物线C上,且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若=3，则点A到动直线MN的最大距离为．16．函数y=（)｜x﹣1|+4cos2x﹣2（﹣3≤x≤5），则此函数的所有零点之和等于．三。
山西省太原市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析(打印版)
2015-2016学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．(5分)(2014•重庆)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(5分)(2015秋•太原期末)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y=x2+1B．y=2x﹣1C．y=sinxD．y=cosx3．(5分)(2015秋•太原期末)若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．(5分)(2016•陕西校级一模)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A．B．C．1D．25．(5分)(2014•济南一模)执行如图的程序框图输出的T的值为()A．4B．6C．8D．106．(5分)(2016•萍乡二模)已知sinα=﹣，且α∈(π，)，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣7．(5分)(2015秋•太原期末)从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，则log a2b=1的概率为()A．B．C．D．8．(5分)(2015秋•太原期末)设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为()A．0B．1C．2D．39．(5分)(2015秋•太原期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16﹣πB．8+πC．16+πD．8﹣π10．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=x2﹣ax+b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为()A．7B．8C．9D．1011．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，若f(α)=3，α∈(，)，则sinα的值为()A．B．C．D．12．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，若f(x)＜f′(x)恒成立，且f(0)=2，则不等式f(x)＞2e x的解集是()A．(2，+∞)B．(0，+∞)C．(﹣∞，0)D．(﹣∞，2)二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．(5分)(2016•大兴区一模)已知函数f(x)=4x+(x＞0，a＞0)在x=2时取得最小值，则实数a=．14．(5分)(2015秋•太原期末)若向量=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，则+与的夹角为．15．(5分)(2015秋•太原期末)若a＞b＞1，且a+b+c=0，则的取值范围是．16．(5分)(2015秋•太原期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(12分)(2015秋•太原期末)某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表:课程人数数学英语物理化学100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××表中“√”表示参加，“×”表示未参加．(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由．18．(12分)(2015秋•太原期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．(1)求边长c；(2)若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．19．(12分)(2015秋•太原期末)已知等差数列{a n}的前3项和为﹣6，前8项的和为24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(a n+6)q n(q≠0)，求数列{b n}的前n项和S n．20．(12分)(2015秋•太原期末)已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示:(1)求证:AB⊥CD；(2)求棱锥A﹣BCD的表面积．21．(12分)(2015秋•太原期末)函数f(x)=ax n(1﹣x)(x＞0，n∈N*)，当n=﹣2时，f(x)的极大值为．(1)求a的值；(2)若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，求m的取值范围．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意:只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1:几何证明选讲]22．(10分)(2015秋•太原期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．(1)求证:BE•EF=CE•BF；(2)求证:FE=FG．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．(2015秋•太原期末)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．(1)求A，B两点的极坐标；(2)设P为曲线C2上动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．[选修4-5:不等式选讲]24．(2016•新余校级一模)设函数f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|．(1)求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．(5分)(2014•重庆)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi(a，b∈R)的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解:∵复数Z=i(1﹣2i)=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi(a，b∈R)的形式，是解答本题的关键．2．(5分)(2015秋•太原期末)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y=x2+1B．y=2x﹣1C．y=sinxD．y=cosx【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义进行判断即可．【解答】解:A．∵y=x2+1≥1，∴函数y=x2+1没有零点，不满足条件．B．y=2x﹣1为增函数，不是偶函数，不满足条件．C．y=sinx是奇函数，不满足条件．D．y=cosx是偶函数，且函数存在零点，满足条件．故选:D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点的应用，比较基础．3．(5分)(2015秋•太原期末)若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”⇒“m⊥n”．【解答】解:∵m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，∴“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”⇒“m⊥n”，∴“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件．故选:B．【点评】本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．(5分)(2016•陕西校级一模)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为()A．B．C．1D．2【分析】如图所示，由于=+，可得:PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．即可得出．【解答】解:如图所示，∵=+，∴PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D．∴=1．故选:C．【点评】本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，考查了推理能力，属于基础题．5．(5分)(2014•济南一模)执行如图的程序框图输出的T的值为()A．4B．6C．8D．10【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．【解答】解:由程序框图知:第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，故选:B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．(5分)(2016•萍乡二模)已知sinα=﹣，且α∈(π，)，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用查同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解:∵sinα=﹣，且α∈(π，)，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan2α===，故选:A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．7．(5分)(2015秋•太原期末)从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，则log a2b=1的概率为()A．B．C．D．【分析】所有的数对(a，b)共有6×3=18个，而满足log a2b=1的数对用列举法求得有3个，由此求得所求事件的概率．【解答】解:从集合{1，2，3，4，5，6}中随机抽取一个数a，从集合{1，2，3}中随机收取一个数b，共有6×3=18种，∵log a2b=1，∴a=2b，则有(2，1)，(4，2)，(6，3)，共3种，故log a2b=1的概率为=，故选:B．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．8．(5分)(2015秋•太原期末)设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为()A．0B．1C．2D．3【分析】满足条件的点(x，y)构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C(1+a，a)时，z取得最大值为5，即2(1+a)﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解:设点M(a，a)则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点(x，y)构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示:令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C(1+a，a)时，z取得最大值为5，即2(1+a)﹣a=5，解得a=3．故选:D．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、简单的线性规划问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．(5分)(2015秋•太原期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16﹣πB．8+πC．16+πD．8﹣π【分析】由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，故可使用作差法求体积．【解答】解:由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的，正方体的棱长为2，圆柱的高为2，底面半径为1．所以几何体的体积V=23﹣=8﹣π．故选D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题．10．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=x2﹣ax+b(a＞0，b＞0)有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为()A．7B．8C．9D．10【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．【解答】解:由题意可得:m+n=a，mn=b，∵a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得:m=4，n=1；解②得:m=1，n=4．∴a=5，b=4，则a+b=9．故选:C．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．11．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，若f(α)=3，α∈(，)，则sinα的值为()A．B．C．D．【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式，最后求得cos(α+)的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解．【解答】解:∵函数f(x)的最大值为5，最小值为﹣5，∴A=5，又∵函数的周期T=2()=2π，∴ω===1，∴函数图象经过点(，5)，即:5sin(+φ)=5，∴解得:+φ=+2kπ，k∈Z，可得:φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=．∴函数的表达式为:f(x)=5sin(x+)，∵f(α)=5sin(α+)=3，解得:sin(α+)=，又∵α∈(，)，可得:α+∈(，π)，∴cos(α+)=﹣=﹣，∴sinα=sin(α+﹣)=sin(α+)cos﹣cos(α+)sin=×﹣(﹣)×=．故选:A．【点评】本题给出函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的知识，属于中档题．12．(5分)(2015秋•太原期末)已知函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，若f(x)＜f′(x)恒成立，且f(0)=2，则不等式f(x)＞2e x的解集是()A．(2，+∞)B．(0，+∞)C．(﹣∞，0)D．(﹣∞，2)【分析】造函数g(x)=，利用导数可判断g(x)的单调性，再根据f(0)=2，求得g(0)=2，继而求出答案．【解答】解:∵∀x∈R，都有f′(x)＞f(x)成立，∴f′(x)﹣f(x)＞0，于是有()′＞0，令g(x)=，则有g(x)在R上单调递增，∵f(0)=2，∴g(0)=2，∵不等式f(x)＞2e x，∴g(x)＞2=g(0)，∴x＞0，故选:B．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．(5分)(2016•大兴区一模)已知函数f(x)=4x+(x＞0，a＞0)在x=2时取得最小值，则实数a=16．【分析】由基本不等式等号成立的条件和题意可得a的方程，解方程可得．【解答】解:∵x＞0，a＞0，∴f(x)=4x+≥2=4，当且仅当4x=即x=时取等号，又∵f(x)在x=2时取得最小值，∴=2，解得a=16，故答案为:16．【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．14．(5分)(2015秋•太原期末)若向量=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，则+与的夹角为30°．【分析】利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案．【解答】解:∵=(cos15°，sin15°)，=(cos75°，sin75°)，=1，∴＜＞=60°，以为邻边的平行四边形为菱形，∴平分＜＞．∴+与的夹角为30°．故答案为:30°．【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法，属于基础题．15．(5分)(2015秋•太原期末)若a＞b＞1，且a+b+c=0，则的取值范围是(﹣2，﹣1)．【分析】根据a＞b＞1，求出的范围，根据a+b+c=0，得到=﹣1﹣，从而求出其范围即可．【解答】解:∵a＞b＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∴﹣2＜﹣1﹣＜﹣1，由a+b+c=0，得:c=﹣a﹣b，∴=﹣1﹣，∴﹣2＜＜﹣1，故答案为:(﹣2，﹣1)．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查转化思想，求出的范围是解题的关键，本题是一道基础题．16．(5分)(2015秋•太原期末)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=336．【分析】由f(x+6)=f(x)知函数的周期为6，求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值．【解答】解:∵f(x+6)=f(x)，∴T=6，∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f(x)=﹣(x+2)2，当﹣1≤x＜3时．f(x)=x，∴f(1)=1，f(2)=2f(3)=f(﹣3)=﹣1，f(4)=f(﹣2)=0，f(5)=f(﹣1)=﹣1，f(6)=f(0)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1；f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=335×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=336故答案为:336．【点评】本题考查函数的周期性，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(12分)(2015秋•太原期末)某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据，研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表:课程人数数学英语物理化学100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××表中“√”表示参加，“×”表示未参加．(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可能性最大？说明理由．【分析】(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率．(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有300人，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率．(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【解答】解:(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，∴估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率p1==0.2．(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有:100+200=300人，∴估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率p2==0.3．(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．理由如下:参加数学培训的学生有100+200+300+85=685人，学生参加了数学培训，该生同时参加英语培训的学生有200人，学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有100+200=300人，学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有100人，∴该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．(12分)(2015秋•太原期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且ccosA=5，asinC=4．(1)求边长c；(2)若△ABC的面积S=16．求△ABC的周长．【分析】(1)由正弦定理可得asinC=csinA，可得sinA=，由ccosA=5，可得:cosA=，由sin2A+cos2A=+=1，即可解得c的值．(2)利用三角形面积公式可得S=absinC=16，asinC=4．解得b，利用余弦定理即可解得a的值，从而可求△ABC的周长．【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵由正弦定理可得:，可得:asinC=csinA，∵asinC=4，可得:csinA=4，即得:sinA=，由ccosA=5，可得:cosA=，∴可得:sin2A+cos2A=+=1，∴解得:c=．(2)∵△ABC的面积S=absinC=16，asinC=4．解得:b=8，∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=64+41﹣2××8×=25，解得a=5，或﹣5(舍去)，∴△ABC的周长=a+b+c=5+8+=13+．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．(12分)(2015秋•太原期末)已知等差数列{a n}的前3项和为﹣6，前8项的和为24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=(a n+6)q n(q≠0)，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】(1)利用等差数列的前n项和公式、通项公式即可得出；(2)利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n．∵S3=﹣6，S8=24．∴，解得，∴a n=﹣4+2(n﹣1)=2n﹣6．(2)b n=(a n+6)q n=2nq n，∴数列{b n}的前n项和S n=2(q+2q2+3q3+…+nq n)，当q=1时，S n=2(1+2+3+…+n)==n2+n．当q≠1，0时，qS n=2(q2+2q3+3q4+…+nq n+1)，∴﹣S n=2(q+q2+q3+…+q n﹣nq n+1)=2，∴S n=+2nq n+1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．(12分)(2015秋•太原期末)已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示:(1)求证:AB⊥CD；(2)求棱锥A﹣BCD的表面积．【分析】(1)由已知条件求出∠ADB=45°，从而得到AB⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，由此能够证明AB⊥DC．(Ⅱ)利用侧面积加底面积可得棱锥A﹣BCD的表面积．【解答】(1)证明:在△ABD中，∵AB=1，BD=1，且∠A=45°∴∠ADB=45°，∴AB⊥BD，∴平面ABD⊥平面BCD，面ABD∩面BDC=BD，∴AB⊥面BDC，∴AB⊥DC；(2)解:由(1)可知，AB⊥BC，AD⊥CD，∴棱锥A﹣BCD的表面积=×2+=+1．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查棱锥A﹣BCD的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．21．(12分)(2015秋•太原期末)函数f(x)=ax n(1﹣x)(x＞0，n∈N*)，当n=﹣2时，f(x)的极大值为．(1)求a的值；(2)若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，求m的取值范围．【分析】(1)求出函数的对数，根据n=2时，f(x)的极大值为，得到f()=a•×=，解出即可；(2)求出f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出f(x)的值域，从而求出m的范围．【解答】解:(1)n=2时，f(x)=ax2(1﹣x)，∴f′(x)=ax(2﹣3x)，令f′(x)=0得:x=0或x=，∵n=2时，f(x)的极大值为，故a＞0，且f()=a•×=，解得:a=1；(2)∵f(x)=x n(1﹣x)，∴f′(x)=nx n﹣1﹣(n+1)x n=(n+1)x n﹣1(﹣x)，显然，f(x)在x=处取得最大值，f()=，∴f(x)的值域是(0，)，若方程f(x)﹣m=0有两个正实根，只需0＜m＜即可．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意:只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1:几何证明选讲]22．(10分)(2015秋•太原期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．(1)求证:BE•EF=CE•BF；(2)求证:FE=FG．【分析】(1)圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．(2)根据CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得FC2=FB•FC，从而证得结论成立．【解答】证明:(1)∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．(2)∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题．[选修4-4:坐标系与参数方程]23．(2015秋•太原期末)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A且点A关于原点的对称点为B，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．(1)求A，B两点的极坐标；(2)设P为曲线C2上动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．【分析】(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A(3，﹣)，点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标．(2)曲线C2的极坐标方程为ρ=，利用化为直角坐标方程=1．设P，θ∈[0，2π)，则|PA|2+|PB|2=4sin2θ+32，即可得出．【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(t为参数)，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A(3，﹣)，点A关于原点的对称点为B，利用即可得出极坐标:A，B．(2)曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为3x2+2y2=12，即=1．设P，θ∈[0，2π)，则|PA|2+|PB|2=+(2cosθ+3)2+=4sin2θ+32≤36，∴|PA|2+|PB|2的最大值是36．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长问题、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]24．(2016•新余校级一模)设函数f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|．(1)求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．【分析】(1)通过讨论x的范围，将f(x)写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f(x)的最大值即可；(2)问题转化为，解出即可．【解答】解:(1)∵f(x)=|x﹣2|﹣2|x+1|=，如图示:，∴f(x)的最大值是3；(2)若f(x)≤mx+3+m恒成立，则，解得:﹣3≤m≤1．【点评】本题考查了绝对值不等式，考查函数恒成立问题，是一道中档题．。
2016届人大附中12月月考试题数学理科试题(含答案)
66
A
B
比值为 1 ， 5
（14）记 anan1an2...a1a0 m a0 a1 m ... an1 mn1 an mn ，其中 n≤m，m、n 均为正整数，
ak {0,1, 2,..., m 1}(k 0,1, 2,..., n) 且 an 0 ；
2
（1）计算 2016 ________________；699 7
C(x)= k (0 x 10), 3x 5
若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。
中国人民大学附属中学 2016 届 12 月月考
数 学 试题（理科）
一、选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个 是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂抹在“答题纸”第 1—8 题的相应位置上．）
（1）定积分 1 x2dx （ B ） 1
22
22
2
2
………7 分
sin(x ) 1 ， 62
……………………9 分
∵ A ∴ B (0, 2)
3
3
∴ B 5
6
66
（没讨论，扣 1 分）
…………10 分
∴当 B ，即 B 时， f (B) 有最大值是 3 ．
62
3
2
…………11 分
又∵ A ， 3
∴C 3
（A）0
（B） 2 3
（C）1
（D）2
（2）已知全集U R ，集合 M={y|y= 4 x2 ,x R} ， N {x 2x1 1, x R}，则
M (ðU N) （ B ）
（A）[2, 2]
山西大学附中高一上学期12月月考试题数学解析版
山大附中2019-2020学年第一学期12月月考高一年级数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分）1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4,6}A =，{4,5}B =，则B A C U U )(=（ ） A ．{4}B ．{5}C ．{3,5}D ．{3,4,5}2．函数()(1)f x ln x =-的定义域为( ) A ．1(,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1]3D ．1(,1]33．与函数1y x =-表示同一个函数的是( ) A ．2log (1)2x y -=B ．211x y x -=+C ．yD ．2y =4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13-B ．13C ．12-D ．125．已知0x 是函数1()(0)f x lnx x x=->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞则( )A ．1()0f x <，2()0f x >B ．1()0f x >，2()0f x <C ．1()0f x <，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >6．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为( ) A ．(1,2) B ．3(,1)[log 6,2)-∞⋃ C ．(,2)-∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞7．某同学用二分法求方程260lnx x +-=的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程260lnx x +-=的近似解，那么该近似解的精确度应该为( ) A ．0.1B ．0.01C ．0.001D ．0.00018．已知函数2()|log |f x x =，()()()0,01,112,12x g x f x g x x x <⎧⎪=-=⎨-->⎪⎩则方程…的实根个数为( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．已知函数()()22log 1,11x 2,1x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨->⎪⎩（） , 若()f x a =有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<. 则()121234x x x x x x +++的取值范围( ).A ．()09，B ．()34，C ．()2,3D ．()01，10．如果函数)(x f 在其定义域内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“可拆分函数”，若12lg )(+=x ax f 为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]3,+∞二．填空题（共5小题，每题4分） 11．设25a b m ==，且112a b+=，m = ． 12．若函数2log (2)a y x ax =-+在区间(-∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是 ． 13．已知2233(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围 ．14．某商品在最近100天内的单价(t)f 与时间t 的函数关系是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<≤+=),10040(,522),400(,224)(N t t t N t t tt f ，日销售量)(t g 与时间t 的函数关系是),1000(311231)(N t t t t g ∈≤≤+-=．则该商品的日销售额S(t)的最大值是（日销售额＝日销售量×单价）．15．已知函数22||,1()(),1x a x f x x a a x -⎧=⎨--+>⎩…，若关于x 的方程()0f x =恰有三个实根，则实数a 的取值范围为 ．三．解答题（共4题，共40分）16．（Ⅰ）求值：21102432413(2)(9.6)(3)(1.5)[(5)]48-----++-；（Ⅱ）已知2log 3a =，3log 7b =，试用a ，b 表示14log 56．17．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足1)2(=f ，当04≤<-x 时，有()4ax b f x x +=+． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； （3）解关于m 的不等式(1)(2)0m m f e f e -++->．18．已知函数()3log 3mx f x x -=+（0m >且1m ≠）. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若0)(> πf ，是否存在βα<<0，使)(x f 在],[βα的值域为]log 1,log 1[αβm m ++？若存在，求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由.19．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24xxf x a =++，121()log 1axg x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合； （3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围高一年级第一学期12月数学考试答案一．选择题（共10小题）1．已知全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1A =，2，4，6}，{4B =，5}，则()(U A B =U ð)A ．{4}B ．{5}C ．{3，5}D ．{3，4，5}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算 【分析】进行并集和补集的运算即可．【解答】解：{1U =Q ，2，3，4，5，6}，{1A =，2，4，6}，{4B =，5}， {3U A ∴=ð，5}，(){3U A B =U ð，4，5}． 故选：D ．2．函数()(1)f x ln x =-的定义域为( ) A ．1(3，1)B ．1[3，1)C ．1[3，1]D ．1(3，1]【考点】33：函数的定义域及其求法【分析】可看出，要使得()f x 有意义，则需满足31010x x -⎧⎨->⎩…，解出x 的范围即可．【解答】解：要使()f x 有意义，则31010x x -⎧⎨->⎩…，解得113x <…，()f x ∴的定义域为1[,1)3．故选：B ．3．与函数1y x =-表示同一个函数的是( ) A ．2log (1)2x y -=B ．211x y x -=+C ．yD ．2y =【考点】32：判断两个函数是否为同一函数【分析】分别判断函数的定义域是否是R ，以及对应法则是否和1y x =-相同即可． 【解答】解：A 函数的定义域为(1,)+∞，与1y x =-的定义域不相同，不是同一函数．21.11x B y x x -==-+，函数的定义域为{|1}x x ≠-，与1y x =-的定义域不相同，不是同一函数．.1C y x =-，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．2.1D y x ==-，函数的定义域为[1，)+∞，两个函数的定义域不相同，不是同一函数． 故选：C ．4．已知2()f x ax bx =+是定义在[1a -，2]a 上的偶函数，那么a b +的值是( ) A ．13-B ．13C ．12-D ．12【考点】3I ：奇函数、偶函数【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，()()f x f x -=，且定义域关于原点对称，12a a -=-．【解答】解：依题意得：()()f x f x -=，0b ∴=，又12a a -=-，13a ∴=， 13a b ∴+=． 故选：B ．5．已知0x 是函数1()(0)f x lnx x x=->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞则()A ．1()0f x <，2()0f x >B ．1()0f x >，2()0f x <C ．1()0f x <，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >【考点】53：函数的零点与方程根的关系【分析】本题利用()f x '的正负确定()f x 的单调性，从而求解． 【解答】解：1()(0)f x lnx x x =->Q ，22111()x f x x x x+∴'=+=， 0x >Q ，()0f x ∴'>，()f x ∴单调递增．Q 已知0x 是函数1()(0)f x lnx x x =->的一个零点，若10(0,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，1()0f x ∴<，2()0f x >．故选：A ．6．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为( ) A ．(1,2) B ．3(,1)[log 6-∞U ，2) C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞【考点】3N ：奇偶性与单调性的综合【分析】由偶函数的性质可知，f （3）(3)0f =-=，结合()f x 在[0，)+∞上是增函数，可知距离对称轴越远，函数值越大，可求． 【解答】解：()f x Q 为定义在实数集上的偶函数， f ∴（3）(3)0f =-=，又()f x Q 在[0，)+∞上是增函数， 则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<， 解可得，12x <<， 故选：A ．7．某同学用二分法求方程260lnx x +-=的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程260lnx x +-=的近似解，那么该近似解的精确度应该为( ) A ．0.1B ．0.01C ．0.001D ．0.0001【考点】55：二分法的定义与应用【分析】根据题意，由二分法的定义，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的12，据此求出第6次和第7次使用二分法时区间的长度，进而可得该近似解的精确度应该在1(64，1)128之间，分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，区间的长度为1，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的12， 则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为611264=，不能确定方程的近似解， 当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为7112128=，确定了方程的近似解， 则该近似解的精确度应该在1(64，1)128之间， 分析选项：B 在区间1(64，1)128内； 故选：B ．8．已知函数2()|log |f x x =，()()()0,01,112,12x g x f x g x x x <⎧⎪=-=⎨-->⎪⎩则方程…的实根个数为( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点】53：函数的零点与方程根的关系【分析】方程|()()|1()()1f x g x f x g x -=⇔=±，1,01()11|2|,12x y g x x x <⎧⎪=+=⎨-+>⎪⎩…，1,01()13|2|,12x y g x x x -<⎧⎪=-=⎨-->⎪⎩…．分别画出()y f x =，()1y g x =±的图象．利用交点个数即可得出方程的实数根的个数．【解答】解：方程|()()|1()()1f x g x f x g x -=⇔=±，1,01()11|2|,12x y g x x x <⎧⎪=+=⎨-+>⎪⎩…，1,01()13|2|,12x y g x x x -<⎧⎪=-=⎨-->⎪⎩…． （1）分别画出()y f x =，()1y g x =+的图象．由图象可得：01x <…时，两图象有一个交点；12x <…时，两图象有一个交点；2x >时，两图象有一个交点．（2）分别画出()y f x =，()1y g x =-的图象． 由图象可知：72x >时，两图象有一个交点． 综上可知：方程|()()|1f x g x -=实数根的个数为4． 故选：C ．9．B 【解析】 【分析】作出函数f （x ）的图象，根据方程()f x a =有四个互不相等的实数根，得到1x 与2x 、3x 与4x 的关系，代入所求，将所求用a 表示，然后计算即可得到结论． 【详解】作出()()22log 1,11x 2,1x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨->⎪⎩（）的图像如图：若()f x a =有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<，则0＜a ＜1，且34x x 、是2x 2a -=（）的两个根，34x x ∴+=4，34x x =4-a ，且()21log 1x +=()22log 1x +，即-21log (1x +)=22 log (1x +)， ∴1(1x +)2(1x +)=1，∴1212x x x x ++=0， ∴所求()121234x x x x x x +++=34x x =4-a 34∈（，）， 故选B. 【点睛】本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题. 10．B 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解的问题即可得解．【详解】解：()21x af x lg=+Q ,0x R a ∴∈>Q 函数()21x af x lg=+为“可拆分函数”， ∴存在实数0x ，使00021321213(21)x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，∴方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解，即000113(21)331222121x x x a +++==+++g 在0x R ∈上有解， 0x R ∈Q ，∴011(0,1)21x +∈+，3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫⎪⎝⎭． 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．二．填空题（共5小题）11．设25a b m ==，且112a b+=，m【考点】4H ：对数的运算性质；4Q ：指数函数与对数函数的关系【分析】先解出a ，b ，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m 的等式，求m ．【解答】解：25a b m ==Q ，2log a m ∴=，5log b m =，由换底公式得 11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，210m ∴=，0m >Q ，∴m12．若函数2log (2)a y x ax =-+在区间(-∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是 [2，3) ． 【考点】4T ：对数函数图象与性质的综合应用【分析】先根据复合函数的单调性确定函数2()2g x x ax =-+的单调性，进而分1a >和01a <<两种情况讨论：①当1a >时，考虑函数的图象与性质，得到其对称轴在1x =的右侧，当1x =时的函数值为正；②当01a <<时，其对称轴已在直线1x =的右侧，欲使得()(g x -∞，1]上增函数．最后取这两种情形的并集即可． 【解答】解：令2()2(0,1)g x x ax a a =-+>≠， ①当1a >时，()g x 在(-∞，1]上为减函数， ∴21232120aa a ⎧⎪∴<⎨⎪-+>⎩……；②当01a <<时，()g x 在(-∞，1]上为减函数，此时不成立． 综上所述：23a <…． 故答案为：[2，3)． 13．已知2233(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围 2(,4)3．【考点】4X ：幂函数的性质【分析】考察幂函数a y x =当23a =-时，函数为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，在(,0)-∞上是增函数，即可求得a 的范围．【解答】解：幂函数a y x =当23a =-时为偶函数，在(0,)+∞上是减函数，在(,0)-∞上是增函数， 所以有|1||32|a a +>- 解得243a <<， 故答案为：2(,4)314.某商品在最近100天内的单价f（t）与时间t的函数关系是f（t）＝，日销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N）．求该商品的日销售额S（t）的最大值．（日销售额＝日销售量×单价）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由已知中销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数f（t），及销售量g（t）与时间t（t∈N）的函数g（t），结合销售额为S（t）＝f（t）g（t），我们可以求出销售额为S（t）的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函数的最大值，即可得到商品日销售额S（t）的最大值．【解答】解：由已知销售价f（t）＝，销售量g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N），∴日销售额为S（t）＝f（t）g（t），即当0≤t＜40时，S（t）＝（t+22）（﹣t+）＝﹣t2+2t+，此函数的对称轴为x＝12，又t∈N，最大值为S（12）＝；当40≤t≤100时，S（t）＝（﹣t+52）（﹣t+）＝t2﹣36t+，此时函数的对称轴为t＝108＞100，最大值为S（40）＝768．由768＜，可得这种商品日销售额S（t）的最大值为，此时t＝12．【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，其中根据日销售额为S（t）＝f（t）g（t），得到销售额为S（t）的函数解析式，是解答本题的关键．15．已知函数22||,1()(),1x a x f x x a a x -⎧=⎨--+>⎩…，当1a =时，不等式()f x x >的解集是 1(,)3-∞- ；若关于x 的方程()0f x =恰有三个实根，则实数a 的取值范围为 ．【考点】57：函数与方程的综合运用【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：当1a =时，222||,12||11()(),1(1)11x a x x x f x x a a x x x --⎧⎧==⎨⎨--+>--+>⎩⎩剟， 当1x …时，由()f x x >得2||1x x ->，当01x 剟，不等式等价为21x x ->，即1x >此时不等式不成立， 当0x <时，不等式等价为21x x -->，得13x <-，当1x >时，由由()f x x >得2(1)1x x --+>，得20x x -<，得01x <<，此时无解， 综上不等式()f x x >的解集1(,)3-∞-，当1x …时，()2||f x x a =-的最小值为(0)f a =-，在(0，1]上的最大值为f （1）2a =-， 当1x >时，函数()f x 是开口向下的抛物线对称轴为x a =，顶点为(,)a a ， 当1x …时，()2||f x x a =-最多有两个零点， 当1x >时，2()()f x x a a =--+最多有两个零点， 则要使()0f x =恰有三个实根，则当1x …时，有两个零点，1x >时有一个零点， 或当1x …时，有一个零点，1x >时有两个零点，①若当1x …时，有两个零点，则(0)0(1)20f a f a =-<⎧⎨=-⎩…，得02a a >⎧⎨⎩…，即02a <…，此时当1x >时只能有一个零点，若对称轴a 满足12a <…，此时当x a …时，必有一个零点，则只需要当1x a <…时，f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-…，即2310a a -+…， 得3535a-+剟，此时12a <…， 若对称轴a 满足01a <…，此时()f x 在(1,)+∞上为增函数，要使()f x 此时只有一个零点，则f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-… 即2310a a -+…，得3535a-+剟，此时01a <…， ②若当1x …时，有一个零点，此时f （1）20a =-<， 即2a >时，此时当1x >时，函数的对称轴2a >，要使1x >时有两个零点，则f （1）22(1)310a a a a =--+=-+-< 即2310a a -+>，得35a -<舍或35a +>，此时35a +>， 综上实数a 的取值范围是35a +>或02a <…， 故答案为：1(,)3-∞-，35a +>或02a <…．三．解答题（共5小题）16．（1）求值：21102432413(2)(9.6)(3)(1.5)[(5)]48-----++-；【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得； 【解答】解：（1）原式212329272()1()()5483-=--++213()232334()1()5229⨯-⨯=--++ 34415299=--++ 112=； （2）已知2log 3a =，3log 7b =，试用a ，b 表示14log 56． 【考点】4I ：换底公式的应用；【分析】（2）利用对数的诱导公式变形，化为含有2log 3，3log 7的代数式得答案． 【解答】解：（Ⅱ）222142225678log 561472log log log log log log +==+． 223log 7log 3log 7ab ==Q g ．143log 561ab ab +∴=+． 17．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足f （2）1=，当40x -<…时，有()4ax bf x x +=+． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； （3）解关于m 的不等式(1)(2)0m m f e f e -++->．【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；3E ：函数单调性的性质与判断【分析】（1）根据()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数及40x -<…时的()f x 解析式即可得出0b =，并可求出(2)1f -=-，从而可得出2(2)12af --==-，求出1a =； （2）根据上面知，(4,0)x ∈-时，()4xf x x =+，从而可设(0,4)x ∈，从而得出()()4x f x f x x -=--=--+，从而得出(0,4)x ∈时，()4xf x x=-，然后根据函数单调性的定义即可判断()f x 在(0,4)上的单调性：设任意的1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，然后作差，通分，提取公因式，然后判断1()f x 与2()f x 的大小关系即可得出()f x 在(0,4)上的单调性．【解答】（1）3a =，0b =（2）3()4xf x x =--（3）(0,3)ln 解：（1）Q 函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数， (0)0f ∴=，即04b=，0b ∴=， 又因为f （2）1=，所以(2)f f -=-（2）1=-， 即212a-=-，所以1a =， 综上可知1a =，0b =，（2）由（1）可知当(4,0)x ∈-时，()4xf x x =+， 当(0,4)x ∈时，(4,0)x -∈-，且函数()f x 是奇函数，∴()()44x xf x f x x x -=--=-=-+-+， ∴当(0,4)x ∈时，函数()f x 的解析式为()4xf x x =-+， 任取1x ，2(0,4)x ∈，且12x x <，则12121212124()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x --=-=-+-+--，1x Q ，2(0,4)x ∈，且12x x <，140x ∴->，240x ->，120x x -<，于是12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 故()4xf x x =-+在区间(0,4)上是单调增函数； （3）()f x Q 是定义在(4,4)-上的奇函数，且(1)(2)0m m f e f e -++->，(1)(2)m m f e f e -∴+>，且()f x 在(0,4)上是增函数， ∴142412m m m m e e e e --⎧+<⎪<⎨⎪+>⎩，解得03m ln <<， ∴原不等式的解集为(0,3)ln ．18．（1）奇函数；证明见解析；（2）存在，30,3⎛- ⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数()y f x =的奇偶性； （2）由()0fπ>，可得出01m <<，利用复合函数可分析出函数()y f x =在区间[],αβ上为减函数，由题意得()()1log 1log m m f f ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，于是得出关于x 的方程33x mx x -=+在区间()3,+∞上有两解，即关于x 的方程()23130mx m x +-+=在()3,+∞上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）函数()y f x =是奇函数；证明如下：由303x x ->+解得3x <-或3x >，所以，函数()y f x =的定义域为()(),33,-∞-+∞U ，关于原点对称．()()333log log log 333mm m x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+Q ，因此，函数()y f x =为奇函数； （2）由题意知，()3log log 103m m f πππ-=>=+，且3013ππ-<<+，01m ∴<<. 令()36361333x x u x x x +--===-+++在()3,+∞上为增函数， 而函数log m y u =为减函数，所以，函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 假设存在3βα>>，使得题意成立，则函数()y f x =在[],αβ上为减函数，则有()()1log 1log m m f f ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即()()3log log 33log log 3m m m m m m αααβββ-⎧=⎪+⎪⎨-⎪=+⎪⎩，3333m m αααβββ-⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪=+⎪⎩所以α、β是方程33x mx x -=+的两正根， 整理得()23130mx m x +-+=在()3,+∞有2个不等根α和β，由韦达定理得39m αβ=>，则103m <<. 令()()2313h x mx m x =+-+，则函数()y h x =在()3,+∞有2个零点，则()()21033112013323180m m m m mh m ⎧<<⎪⎪⎪∆=-->⎨-⎪>⎪⎪=>⎩，解得0m <<.因此，实数m的取值范围是⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.19．1．（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数121()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424xxxa --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax axx x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：121()log 1xg x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， 5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22x x x xa -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立 ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅-设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t =-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥．易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大。
山西省山西大学附属中学2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷答案
12月月考答案1．解：3-=k ，所以πα32=．故选C 2．解：圆心为AB 的中点，为(1,2)-C。
直径为||=AB=r ，所以所求的圆的方程是22(1)(2)13++-=x y 。
故选A 。
3．解：由椭圆方程知2100,10a a =∴=，236,6b b =∴=，那么22236,6c a b c =-=∴=，可得椭圆离心率为45c e a ==.故选B 4．解：因为M 是AB 的中点，所以122OM AB ==，所以M 是以O 为圆心，2为半径的圆，方程为422=+y x 故选B 5．解：选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．设双曲线的标准方程为y 2m －x2n＝1(m >0，n >0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2.6．解：求22n m +的最小值，即求点),(n m P 与点()0,0的距离的最小值，也就是点()0,0到直线052=++y x 的距离，所以22n m +的最小值=d ，故A 正确.考点：点到直线的距离、动点问题.7．解：圆221:4C x y +=圆心为()0,0，半径为12r =，圆222:68160C x y x y +-++=变形为()()22349x y -++=，圆心为()3,4-，半径为23r =，因此圆心距为125d r r ==+，所以两圆相外切，共有3条公切线，故选C8． D9．解：因为点(,),(0)P a b ab ≠是已知圆内一点，所以222a b r +<，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线1l 与直线OP 垂直，所以11l OP ak k b=-=-，而2l b k a =，所以221l l a bk k b a ⨯=-⨯=-，所以12l l ⊥，圆心O 到直线2l2r r r >=，从而直线2l 与圆O 相离，所以选D.10．解：画出可行域，如图．联立8,24,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得4,4.x y =⎧⎨=⎩即A 点坐标为(4,4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16， z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24.故选C ． 11．解：由题意知满足1210PF PF +=的点在以)0,3(),0,3(21F F -为焦点，210a =的椭圆上，所以椭圆方程为2212516x y +=；曲线145=+y x 表示的图形是以()()()()5,00,45,00,4A B C D --、、、为顶点的菱形，而菱形除了四个顶点外都在椭圆内部，因此，曲线145=+y x上任意一点，必定满足1021≤+PF PF ，故选B ．法二 14||5||162522=+≤+y x y x ,必定满足1021≤+PF PF ，故选B ． 12．解一：设椭圆上的点00(,)P x y ，可知1020,PF a ex PF a ex =-=+，因为212F F PO =P ⋅P ，则有22222000a e x x y -=+222002(1)x x b a =+-，解得0x =，因此满足条件的有四个点，故选C ．解二 2212||||a PF PF b ≤≤,222||a PO b ≤≤,a PO b ≤≤||,因此满足条件的有四个点，故选C ．13．解：当两直线垂直时，有12120A A B B +=，即()()()11230a a a a -+-+=，解得a 的值为1或3- 14. 2815．解：设M 点坐标(),x y 、P 点坐标为()00,x yM 为PQ 中点∴042x x += 024x x =-，032y y += 023y y =- P 在圆上∴()220014x y ++=从而 ()()22241234x y -++-= 则M 点轨迹方程()()2223234x y -+-=, 1)23()23(22=-+-y x 16．解一：如图：∵1sin 2AOBS OA OB AOB ∠＝11sin 22AOB ∠≤＝， 当2AOB π∠＝时，AOBS面积最大．此时O 到AB的距离d .设AB方程为()0(y k x k <＝－，即0kx y －－＝.由d得k 解二 ：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y＝(k x ， 则点O 到l的距离d =.又S △AOB ＝12|AB |·d＝22111222d d d -+⨯=≤=， 当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.17 解（1）当斜率存在时，设切线方程为)2(32-=-x k y , 即0322=+--k y kx 2分2=d ,21|322|2=++-k k , 3分得33=k , 4分 043=+-y x , 5分（2）当斜率不存在时，切线方程为 2=x 7分总之 切线方程为043=+-y x 和 2=x18 解：∵椭圆+y 2=1左焦点是F 1，∴F 1（﹣1，0）∴直线CD 方程为y=﹣3x ﹣3， 1分由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=123322y x x y 得19x 2+36x+16=0，而0>∆， 2分 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+191619362121x x x x （3分）∴9220]19644)1936)[(91()()(||2221221=⨯--+=-+-=y y x x CD （5分） 又F 2到直线DC 的距离106=d ， 6分故2CDF ∆的面积S=|CD|•d=19512 （8分）解法二 ∵ 椭圆+y 2=1左焦点是F 1（﹣1，0）∴直线CD 方程为y=﹣3x ﹣3， 1分联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=123322y x x y 消去x 得：096192=-+y y ,而0>∆ 2分 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+1991962121y y y y 3分∴ 195121936)196(4)(||22122121=+-=-+=-y y y y y y 5分 又2||21=F F 6分 ∴2CDF ∆的面积S=|21F F |•||21y y -=19512 8分19．解：（1）04222=+--+m y x y xD=-2，E=-4，F=m ,由F E D 422-+=20-m 40> 得5<m 4分 （2）联立⎩⎨⎧=+--+=-+04204222m y x y x y x消去y 得：081652=++-m y y ， 5分∴ 0820-162>+=∆）（m ,得524<m 6分 且51621=+y y ，5821my y += 7分∵OM ⊥ON ∴ 即02121=+y y x x 8分 又x 1x 2=（4﹣2y 1）（4﹣2y 2）=16﹣8（y 1+y 2）+4y 1y 2， 9分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m 符合条件 10 分 方法二：消去y 得到x 的一元二次方程类似给分20 解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 2又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. 4(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，∴ Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34，且2214116k k x x +=+, 2214112kx x += 5 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1. 6所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 7设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0， 9所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 10。
【配套K12】山西省太原市2016届高三数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．106．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．21．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合与它的补集关系，利用并集与交集的定义，即可求出结果．【解答】解：∵全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴|z|=1．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【考点】特称命题；全称命题．【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可．【解答】解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较；运用诱导公式化简求值．【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=cos＜0，∴a＞b＞c．故选：D．5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，故选：B．6．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象即可．【解答】解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选：B．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】绝对值三角不等式．【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解：设点M（a，a）则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点（x，y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．故选：D．8．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．【解答】解：由题意可得：m+n=a，mn=b，∵a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：m=4，n=1；解②得：m=1，n=4．∴a=5，b=4，则a+b=9．故选：C．10．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量共线定理，将用表示出来，再用，将表示出来，进而根据题干信息推出A，B，P三点共线的充要条件．【解答】解：∵A，B，P三点共线，∴存在一个数m，满足∵∴即m（）=∴∵A，B，O三点不共线∴m﹣μ=0，m+λ=0 即λ=﹣μ=﹣m∴A，B，P三点共线的充要条件为λ=﹣μ∴A，B，P三点共线的必要不充分条件为|λ|=|μ|故选：B11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠C DA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．【解答】解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM==1，DN==．由余弦定理得MN==．∴四边形DMON的外接圆的半径OD==．故球O的半径R=．故选：D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．【解答】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞，∴g（x）＞1，∵f（ln4）=2，∴g（ln4）=1，∴x＞ln4=2ln2，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式T r+1=（﹣1）r•，令x的次数为0即可．【解答】解：∵T r+1=（﹣1）r•，∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是（﹣3，﹣）．【考点】不等式的基本性质．【分析】先将a+2b+c=0变形为b=﹣（a﹣c），代入不等式a＞b，b＞c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系．【解答】解：∵a+2b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴b=﹣（a+c），且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴a＞﹣（a+c），即c＞﹣3a，解得＞﹣3，将b=﹣（a+c ）代入b ＞c ，得﹣（a+c ）＞c ，即a ＜﹣3c ，解得＜﹣，∴﹣3＜＜﹣．故答案为：（﹣3，﹣）．15．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ）．当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f=f （x ）知函数的周期为6，求出f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）的值． 【解答】解：∵f （x+6）=f （x ）， ∴T=6，∵当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ， ∴f （1）=1， f （2）=2f （3）=f （﹣3）=﹣1， f （4）=f （﹣2）=0， f （5）=f （﹣1）=﹣1， f （6）=f （0）=0，∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）=1；f （1）+f （2）+f （3）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）=336 故答案为：336．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f（）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）=；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x ∈[0，π]），f （x ）+f （π﹣x ）=4，因此对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4，故正确；③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确． 故答案为：①②．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1=3，a 2+a 3=36． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }对任意的正整数n 都有+++…+=2n+1，求b 1+b 2+b 3+…+b 2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ＞0，由于a 1=3，a 2+a 3=36．根据等比数列的通项公式即可得出a n ．（2）由于数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，当n=1时， =3，解得b1．当n≥2时，可得=2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=3，a2+a3=36．∴3（q+q2）=36，解得q=3．∴a n=3n．（2）∵数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，∴当n=1时， =3，解得b1=9．当n≥2时， +++…+=2n﹣1，∴=2，∴b n=2a n=2×3n．∴b n=．∴b1+b2+b3+...+b2015=9+2（32+33+ (32015)=3+=32016．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函数基本关系式即可得解的值；（2）利用等差数列的性质可得2tanB=tanA+tanC，设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，解得tanB=3x，由tanB=﹣tan（A+C），可得3x=，解得tanA的值，由题设可知，A为锐角，可求cosA，利用余弦定理即可得解的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c•cosA﹣acosC=b．∴由正弦定理可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB=sin（A+C）=（sinAcosC+cosAsinC）， (3)分∴整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，∴==…6分（2）∵tanA，tanB，tanC成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，若设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，可得：tanB=3x，∵tanB=﹣tan（A+C），∴3x=，解得x=，即tanA=，…10分由题设可知，A最小，一定为锐角，∴cosA=，∴=﹣2cosA=﹣…12分19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，∴AB⊥面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．解：（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，），，面ABM的法向量为=（1，0，0），设平面BMC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），cos＜＞===，观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角，故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．21．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为，得到f（）=a•×=，解出即可；（2）问题转化为证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明：＜，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=ax2（1﹣x），∴f′（x）=ax（2﹣3x），令f′（x）=0得：x=0或x=，∵n=2时，f（x）的极大值为，故a＞0，且f（）=a•×=，解得：a=1；（2）要证f（x）+lnx≤0，即证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，定义域是（0，+∞），则g′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证；（3）∵f（x）=x n（1﹣x），∴f′（x）=nx n﹣1﹣（n+1）x n=（n+1）x n﹣1（﹣x），显然，f（x）在x=处取得最大值，f（）=，因此只需证：＜，即证：＜，两边取对数，原式ln＜﹣，设t=（0＜t＜1），则n=， =1﹣t，因此只需证：lnt＜t﹣1即可，令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，∴ω′（t）=﹣1＞0，ω（t）在（0，1）递增，故ω（t）＜ω（1）=0成立，即lnt＜t﹣1，结论成立．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．（2）根据 CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FB•FC，从而证得结论成立．【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．（2）∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣，则A（3，﹣），B（﹣3，），它们的极坐标为A（2，），B（2，）．（2）曲线C2的极坐标方程为．平方得ρ2==，即3ρ2+ρ2sin2θ=12，即3x2+3y2+y2=12，即3x2+4y2=12，即=1．设P（2cosθ， sinθ），则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（sinθ+）2+（2cosθ+3）2+（sinθ﹣）2=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，即|PA|2+|PB|2的最大值是32．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；（2）问题转化为，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|=，如图示：，∴f（x）的最大值是3；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，则，解得：﹣3≤m≤1．。
2016届山西省高三高考适应性演练(三)数学(文)试题
2016届山西省高三高考适应性演练（三）数学（文）试题文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}51|{2x x x A ≤<=，}22|{<<-=x x B ，则=B A （ ） A ．)2,1( B ．)2,2(- C ．)5,1(- D ．)5,2(-2.复数ii ++-31014的共轭复数为（ ） A ．i +5 B ．i -5 C ．i +-5 D ．i --53.如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[),50,40[，则成绩在)90,70[内的频数为（ ）A ．27B ．30C ．32D ．364. ),(11y x P 、),(22y x Q 分别为抛物线x y 42=上不同的两点，F 为焦点，若||2||PF QF =，则（ ） A ．1212+=x x B ．122x x = C ．1212+=y y D ．122y y = 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A ．21 B ．53 C ．65 D ．766.将函数)33cos(π+=x y 的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）7.函数x e x f x-=)(在区间]1,1[-上的值域为（ ）A ．]1,1[-eB ．]1,11[-+e eC ．]2,11[+eD ．]1,0[-e 8.已知n S 为等差数列数列}{n a 的前n 项和.给出下列两个命题： 命题p ：若93,S S 都大于9，则6S 大于11.命题q ：若6S 不小于12，则93,S S 中至少有1个不小于9. 那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．q ⌝B ．∧⌝)(p )(q ⌝C ．∧p qD ．p )(q ⌝∧9.在矩形ABCD 中，||||,5||,3||21AD e AB e AC AB ====若21e y e x AC +=，则y x +的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．710.设0>a ，且y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≤-+≤--000164093y a x y x y ax ，且y x z +=的最大值为7，则3+x y 的最大值为（ ）A ．813 B ．815 C ．817 D ．7311.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π8316+ B ．π8332+ C ．π816+ D ．π16316+12.记},min{b a 表示b a ,中较小的数，比如1}1,3min{-=-.设函数)0(|}log ,min{|)(1612>=x x x x f ，若)()()(321x f x f x f ==（321,,x x x 互不相等），则321x x x 的取值范围为（ ） A ．)21(0, B ．)21,41( C ．)41(0, D ．),21(+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 只蜜蜂.14. 已知函数⎩⎨⎧<+≥+=0,3)(0),1(log )(23x x x g x x x f 为奇函数，则=-)2(g .15.若双曲线)1(122-<=+m y mx 的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则=m . 16.长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3=CE ，935cos =∠ACE ，且四边形11A ABB 为正方形，则球O 的直径为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,， 60=C ，b c 32=.（1）求角B A ,的大小；（2）若D 为边D 上一点，且4=a ，BCD ∆的面积为3，求BD 的长. 18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设y x ,分别表示数学成绩与地理成绩.例如：表中地理成绩为A 等级的共有64104014=++人，数学成绩为B 级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是07.0.（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是%30，求b a ,的值；（2）已知6,8≥≥b a ，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.19.如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥⊥11,BB D B AC 底面ABCD ，E 为线段AD 上的任意一点（不包括D A ,两点），平面1CEC 与平面D BB 1交于FG . （1）证明：BD AC ⊥； （2）证明：//FG 平面B B AA 11.20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，且椭圆C 与圆M ：4)3(22=-+y x 的公共弦长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆5822=+y x 相切并交椭圆C 于另一点B ，求B O OA ⋅的值.21.已知函数))(ln )(ln ()(2R a x x x ax x f ∈--=.（1）当6=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在⊙O 的直径AB 的延长线上取点P ，作⊙O 的切线PN ，N 为切点，在AB 上找一点M ，使PM PN =，连接NM 并延长交⊙O 于点C .（1）求证：AB OC ⊥；（2）若⊙O 的半径为32，MP OM =，求MN 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点，O 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为)1cos (sin 2ρθθρ++=.（1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，求矩形OAPB 的面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式xa x x x a 2|21||11|5+<--+<-对),0(+∞∈x 恒成立. （1）求实数a 的取值范围；（2）不等式a x x ≤++-|1||1|的解集为A ，不等式824≤≤x 的解集为B ，试判断B A 是否一定为空集？请证明你的结论.文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．7776； 14．4； 15．734--； 16．4或51 三、解答题：本大题共6个题，共70分．（2）由BCD ∆的面积为232sin 213⨯=⨯⨯=CD B CD a 得1=CD ， 所以13212222=⨯⨯-+=CD BC CD BC BD ，所以13=BD . 18．解：（1）20007.014=⇒=n n ，所以3.02002814=++a ，故18=a而2003410836402814=++++++++b a ，所以12=b（2）30=+b a 且8≥a ，6≥b ，由34102814++>++b a 得2+>b a .),(b a 的所有可能结果为)6,24(,),19,11(),20,10(),21,9(),22,8( ，共有17组，其中2+>b a 的共有8组，则所求概率为178=P . 19．（1）证明：因为⊥1BB 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以1BB AC ⊥.又D B AC 1⊥，所以⊥AC 平面D BB 1，而⊂BD 平面D BB 1，所以BD AC ⊥.（2）在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//CC BB ，⊂1BB 平面D BB 1，⊄1CC 平面D BB 1，所以//1CC 平面D BB 1，又⊂1CC 平面1CEC ，平面1CEC 与平面D BB 1交于FG ，所以FG CC //1，因为11//CC BB ，所以FG BB //1，而⊂1BB 平面B B AA 11，⊄FG 平面B B AA 11，所以//FG 平面B B AA 11.20．解：（1）∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点)3,2(±，∴19422=+b a ，又21=a c ，222c b a +=，解得12,1622==b a ，∴椭圆C 的方程为1121622=+y x . （2）右顶点)0,4(A ，设直线l 的方程为)4(-=x k y ，∵直线l 与圆5822=+y x 相切，581|4|2=+kk ，∴192=k ，∴31±=k .联立)4(31-±=x y 与1121622=+y x 消去y ，得036832312=--x x ，设),(00y x B ，则由韦达定理得3136840-=x ，∴3136840-==⋅x OB OA . 21．解：（1）当6=a 时，)11)(ln 6()ln )(112()('2xx x x x x x x f --+--=，∴11)1('=f ，∴曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(116-=-x y 即511-=x y . （2）设)0(,ln )(>-=x x x x g ，则xx x x g 111)('-=-=，当10<<x 时，0)('<x g ，函数)(x g 递减；当1>x 时，0)('>x g ，函数)(x g 递增，所以当0>x 时，01)1()(>=≥g x g . 若0)(>x f 恒成立，则0ln 2>-x ax 恒成立，∴max 2)ln (xxa >. 设)0(ln )(2>=x x x x h ，则2ln 21)('x xx h -=，当210e x <<时，0)('>x h ，函数)(x h 递增；当21e x >时，0)('<x h ，函数)(x g 递减，所以当0>x 时，e e h x h 21)()(21max ==，∴.ea 21>. 请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：连接ON ，则PN ON ⊥，且OCN ∆为等腰三角形，则ONC OCN ∠=∠，∵PM PN =, ∴PNM PMN ∠=∠,∵ 90=∠+∠=∠+∠PNM ONC OMC OCM ,∴ 90=∠COM ，∴AB OC ⊥.（2）在ONP Rt ∆中，由于MP OM =，∴222ON PN OP +=，∴222)32()2(+=PN PM ， ∴12422+=PN PN ，∴2=PN ，从而4)32(222=+=OP ，∴232,232,2+=+=-=-==OM OA AM OM OB BM OM ，由相交弦定理可得AM BM CM MN ⋅=⋅，又423222=+=）（CM ，∴24)232)(232(=+-=⋅=CM AM BM MN .23.解：（1）由）ρθθρ1cos (sin 2++=得）1cos sin (22++=θρθρρ，所以22222++=+y x y x ，即4)1()1(22=-+-y x . 故曲线C 的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 21cos 21y x （θ为参数）.（2）由（1）可设点P 的坐标为)20[,sin 21cos 21πθθθ，），（∈++，则矩形OAPB 的面积为|cos sin 4cos 2sin 21||sin 21)(cos 21|））（θθθθθθ+++=++=S 令]2,2[)4sin(2cos sin -∈+=+=πθθθt ，θθcos sin 212+=t ，|23)21(2||2221|22-+=-++=t t t S ，故当2=t 时，223max +=S .24．（1）不等式xa x x x a 2|21||11|5+<--+<-对),0(+∞∈x 恒成立等价于 不等式2|2||1|5+<--+<-a x x a 对),0(+∞∈x 恒成立. 设⎩⎨⎧≥<<-=--+=2,320,12|2||1|)(x x x x x x f ，则]3,1()(-∈x f .∴15,32-≤->+a a ，∴41≤<a .（2）设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=++-=1,211,21,2|1||1|)(x x x x x x x x g ，由)(x g 的图象及41≤<a 知，当4=a 时，满足不等式a x x ≤++-|1||1|的x 的最大可能取值为2. 又]3,2[=B ，故当4=a 时，∅≠=}2{B A ，当41<<a 时，∅=B A . 即B A 不一定为空集.。
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山西大学附中2015—2016学年高三第一学期12月月考
数学试题（文）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）
1．若biiai1)21(，其中Rba,，i是虚数单位，则||bia（ ）
A.i21 B.5 C.52 D.54
2．已知2Ryyx，22R2xxy，则（ ）
A．1,1,1,1 B．1 C．0,1 D．0,2
3．下列说法中正确的是（ ）
A．“00f”是“函数fx是奇函数”的充要条件
B．若:p0Rx，20010xx，则:pRx，210xx
C．若pq为假命题，则p，q均为假命题
D．“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2
4．若0,2，且
2
3
coscos2tan210，则
（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．执行如图所示的程序框图，输出20152016s，那么判断框内应填
（ ）
A．2015?k B．2016?k
C．2015?k D．2016?k
6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．32 B．6262
C．12 D．3262
7 . 已知变量,xy满足240220xyxxy，则32xyx的取值范围是
（ ）
2
（A）52,2 （B）55,42 （C）45,52 （D）5,24
8.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
根据上表，利用
最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5yxa，则a的值等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．已知函数()fx是定义在1,2aa上的偶函数，且当0x时，()fx单调递增，
则关于x的不等式(1)()fxfa的解集为（ ）
A．45[,)33 B．]35,34()32,31[ C．)32,31[]31,32( D．随a的值而变化
10．三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，1ACBC，3PA ，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．5 B．2 C．20 D．4
11. 如图，1F、2F是双曲线22221xyab（0a，0b）的左、
右焦点，过1F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点、．若
2
F
为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．7 C．233 D．3
12．等差数列na的前n项和为*()nSnN，且满足150S，160S，
则11Sa，22Sa，... ，1515Sa中最大的项为（ ）
A．66Sa B．77Sa C．99Sa D．88Sa
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．等比数列na的前n项和=2+2nnSaa，则a=_______.
14.记集合22,|16Axyxy，集合,|40,,BxyxyxyA表示的平面
区域分别为12,．若在区域1内任取一点,Pxy，则点P落在区域2中的概率为_ __
15．已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E，F分别在边BC、DC上，
3BCBE，DCDF
．若1,AEAF，则的值为
3
16．已知函数fx（Rx）满足11f，且fx的导数12fx，则不等式
2
2
122x
fx
的解集为
三.解答题(本大题共6小题,共70分.)
17．（本小题满分12分）已知函数()2cos3cossin222xxxfx．
（1）设ππ22，，且()31f，求的值；
（2）在△ABC中，AB=1，()31fC，且△ABC的面积为32，求sinA+sinB的值．
18．如图，直四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=0120，11AAAB，
点1OO、分别是上下底菱形对角线的交点．
（1）求证：1AO∥平面11CBD；
（2）求点O到平面11CBD的距离．
19.(本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每
隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数
据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的
产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两
件样品重量之差不超过2克的概率．
A
B
C
D
1
A
1
B
1
C
1
D
O
1
O
（第18题图）
4
20．（本小题满分12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别
为1F和2F，且122FF，点31,2在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过1F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△2AFB的面积为1227，求以2F 为
圆心且与直线l相切圆的方程．
21．（本小题满分12分设函数22lnfxxxax
（1）当2a时，求函数fx在点1,1f处切的切线方程；
（2）若函数fx存在两个极值点1212xxxx、，①求实数a的范围；
②证明：123ln22fxx
请考生在第22、23二题中任选一题作答(在答题卡相应位置填涂)，如果多做，则按所做
的第一题记分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为1cossinxy（为参数，0），以
O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是(sin3cos)53，射线OM：3与半圆C的
交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
23．（本题小满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()212fxxxa，()3gxx．
5
（Ⅰ）当2a时，求不等式()()fxgx的解集；
（Ⅱ）设1a，且当1[,)22ax时，()()fxgx，求a的取值范围．