6.3(5)函数y=Asinωx+φ的图象及应用
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用-高考数学复习
2
π
0,|｜＜
2
的部f （ x ）的最小正周期为 T ，根据题图可知， ＝ ，所以 T
2
2
＝π，故ω＝2.
目录
高中总复习·数学
1. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ k 图象平移的规律：“左加右减，上加
下减”.
2. 在函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0）中，若其最大值、
（1）由 T 可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升
（或下降）的“零点”横坐标 x 0，则令ω x 0＋φ＝0（或ω x 0＋φ
＝π），即可求出φ；
（2）代入图象中已知点的坐标，利用已知点的坐标或零点、最高
点、最低点代入解析式，再结合图象解出ω和φ，若对 A ，ω
的符号或对φ的取值范围有要求，则可用诱导公式变换使其
2
3
4
考点 分类突破
微专题 7
课时 跟踪检测
知识 逐点夯实
PART
1
知识 逐点夯实
课前自修
必备知识 系统梳理 基础重落实
目录
高中总复习·数学
1. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的有关概念
y ＝ A sin
振幅
周期
频率
相位
初相
（ω x ＋φ）
（ A ＞0，
A
ω x ＋φ
φ
ω＞0）
目录
π
3＋
5
π
的图象上所有的点向右平移
15
个单位长度，故选D.
目录
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2. （2024·黄冈一模）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似
2021版高考文科数学一轮复习第四章 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第5讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 常用结论1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标．二、教材衍化1．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案：A2．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765与相应月份之间的函数关系为 ． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)搞不清ω的值对图象变换的影响； (2)确定不了函数解析式中φ的值．1．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝ ．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．(2020·陕西太原市模拟考试)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )＝ ．解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题图可知，T 2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|＜π2，故φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6五点法作图及图象变换(典例迁移)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ，其最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．【解】 (1)f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2， 所以a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表： x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 12－21【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移 个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 答案：π6【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变 换法由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”多少值．1．(2020·广州市调研测试)由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π12 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 解析：选A.由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6的图象向左平移π3个单位长度，可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋2π－π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象，故所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6，选A. 2．(2020·河南模拟改编)已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则所得函数的最小正周期为 ，g ⎝⎛⎭⎫－3π4的值为 ． 解析：由题知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 将y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－π3＝2sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度得到函数y ＝g (x )＝2sin 2x ＋1的图象， 则T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫－3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－3π2＋1＝3. 答案：π 3由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 C ．g (x )＝sin 2xD ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 【解析】 根据题图有A ＝1，34T ＝5π6－π12＝3π4⇒T ＝π＝2πω⇒ω＝2(T 为f (x )的最小正周期)，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z .因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3 ＝sin 2x .故选C. 【答案】 C确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2 的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，则f (x )＝ ．解析：因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．(2020·江西上饶模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝ ．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 3三角函数模型的简单应用(师生共研)(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置A 0⎝⎛⎭⎫cos π3，sin π3开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B 0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动．记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2.(1)求t ＝π4时，A ，B 两点间的距离；(2)若y ＝y 1＋y 2，求y 关于时间t (t ＞0)的函数关系式，并求当t ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y 的取值范围．【解】 (1)连接AB ，OA ，OB ，当t ＝π4时，∠xOA ＝π2＋π3＝5π6，∠xOB ＝π2，所以∠AOB＝2π3. 又OA ＝1，OB ＝2，所以AB 2＝12＋22－2×1×2cos 2π3＝7，即A ，B 两点间的距离为7.(2)依题意，y 1＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，y 2＝－2sin 2t ， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3－2sin 2t ＝32cos 2t －32sin 2t ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3， 即函数关系式为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3(t ＞0)， 当t ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，2t ＋π3∈⎝⎛⎦⎤π3，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3∈⎣⎡⎭⎫－1，12，故当t ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ∈⎣⎡⎭⎫－3，32.三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为 ℃. 解析：因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24， 所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 答案：4思想方法系列7 数形结合思想在三角函数中的应用(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)【解析】 关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4. 令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4＜t ≤9π4的图象，如图所示，由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12＜22，故0≤m ＜2.故选A. 【答案】 A本题是将方程根的问题转化为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4与y ＝m －12的图象的交点，利用数形结合进行求解，可提升学生的直观想象能力．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 的交点个数，如图，函数y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.令x ＝π6，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3 B.33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝3C ．ω＝π3D ．ω＝3π解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g (x )＝A 2cos ωx ，即A2＝1，A ＝2.过原点的图象对应函数f (x )＝A sin ωx .由f (x )的图象可知，T ＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.4．(2020·江西七校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度解析：选B.因为y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2， y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2，所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．故选B. 5．(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2D ． 2解析：选C.因为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f (x )＝A sin 2x ，得g (x )＝A sin x ．又g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，故f (x )＝2sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin 3π4＝2，故选C. 6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ．解析：y ＝sin x ――→向右平移π10个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 7．已知函数f (x )＝2sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f (x )的递增区间为 ．解析：由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点对应法得2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2k π，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .答案：2 ⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 8．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝ ．解析：依题意，当x ＝π6＋π32＝π4时，f (x )有最小值，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，所以π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 所以ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：1439．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)． 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3， 所以M (4，3)．又P (8，0)， 所以|MP |＝（－4）2＋32＝5.即M ，P 两点相距5 km.10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，设函数h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数h (x )的递增区间； (2)若g ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13，求h (α)的值． 解：(1)由已知可得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 则h (x )＝sin 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以函数h (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)由g ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π3＝ sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝13， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－13，即h (α)＝－13. [综合题组练]1．(2020·陕西延安模拟考试)已知P (1，2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝34，则f (x )图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0) C.⎝⎛⎭⎫32，0D ．⎝⎛⎭⎫52，0解析：选D.如图，连接BC ，设BC 的中点为D ，E ，F 为与点P 最近的函数f (x )的图象与x 轴的交点，即函数f (x )图象的两个对称中心，连接PD ，则由题意知|PD |＝4，∠BPD ＝∠CPD ＝θ2，PD ⊥BC ，所以tan ∠BPD ＝tan θ2＝|BD ||PD |＝|BD |4＝34，所以|BD |＝3.由函数f (x )图象的对称性知x E ＝1－32＝－12，x F ＝1＋32＝52，所以E ⎝⎛⎭⎫－12，0，F ⎝⎛⎭⎫52，0，所以函数f (x )图象的对称中心可以是⎝⎛⎭⎫52，0，故选D.2．(2020·沈阳市质量监测(一))设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号) ①函数y ＝f (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )； ②函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到；③函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π8；④若x ∈⎣⎡⎦⎤7π24，π2，则f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，1. 解析：对于①，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，①正确；对于②，y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，②错误；对于③，令2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋3π8，k ∈Z ，当k ＝－1时，x＝－π8，当k ＝0时，x ＝3π8，③错误；对于④，若x ∈⎣⎡⎦⎤7π24，π2，则2x －π4∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，1，④正确．答案：①④3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的递减区间．解：(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12 的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )是减少的．因此g (x )的减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破
专题25函数y＝Asin(w＋)的图象及应用（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (4)【考点1】函数y＝Asin(w＋)的图象及变换 (4)【考点2】由图象确定函数y＝Asin（w＋）的解析式 (5)【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 (8)【分层检测】 (10)【基础篇】 (10)【能力篇】 (12)【培优篇】 (14)考试要求：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2.了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin (ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为⎡⎢⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度4．（2022·全国·高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．125．（2021·全国·高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点1】函数y ＝Asin(ωx ＋)的图象及变换一、单选题1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变2．（2024·四川·模拟预测）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，给出下列三个结论：①()02f =；②函数()f x 在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；③将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得到()f x 的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、多选题3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12minπ2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2024·云南·一模）为得到函数π6sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6sin2y x =的图象（）A ．向左平行移动π6个单位B ．向左平行移动π3个单位C ．向右平行移动5π6个单位D ．向右平行移动11π6个单位三、填空题5．（2007·安徽·高考真题）函数f (x )＝3sin (2)3x π-的图象为C ，则以下结论中正确的是．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12π对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称；③函数f (x )在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．6．（2024·浙江·二模）将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为.反思提升：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【考点2】由图象确定函数y ＝Asin （ωx ＋）的解析式一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数()f x 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数()()πsin 0,0,2g x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）A ．()π3sin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π3sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π3sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（）A ．()92cos 28x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos 28g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin2g x x =D ．()2cos2g x x=二、多选题3．（2024·浙江金华·三模）已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．π6ϕ=B ．2ω=C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点D 、E 、F ，且DEF 的面积为π4，则（）A ．点D 的纵坐标为1B ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x的图象可由y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将图象向左平移π6个单位得到三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的()20m m>，纵坐标不变，得到()g x 的图象，若()g x 在区间()0,π上恰有两个极大值点，则实数m 的取值范围是．6．（2023·广西·模拟预测）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．将函数()f x 图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则π3g ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．反思提升：由f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0（ωx 0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【考点3】三角函数图象、性质的综合应用一、单选题1．（2024·山东泰安·二模）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A ．()π2sin 24x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()g x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()g x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣2．（2024·浙江丽水·二模）将函数()cos2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A ．2ω=B ．()g x 的图象关于直线π3x =-对称C ．()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()2f π=-，则()g x 在区间[]0,π4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C ．()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称三、填空题5．（2022·四川广安·二模）函数()sin 2y x ϕ=+（π2ϕ<）的图象向右平移π6后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=．6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数()sin 221f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()h x g x =，下列结论正确的是.①函数()h x 值域为[]0,3；②函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈；③函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点的横坐标之和是10π；④函数()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎣⎦是增加的.反思提升：（1）研究y ＝A sin （ωx ＋φ）的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【基础篇】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度2．（2024·山东潍坊·二模）将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，则()g x =（）A ．sin 2xB ．sin2xC ．sin2x -D ．cos 2x3．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A ．5π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3π13π,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3π13π,412⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2024·四川南充·二模）将函数()π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则曲线()y g x =与直线y =）A ．π6B ．π3C ．π2D ．π二、多选题5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度6．（2024·安徽合肥·三模）已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 的最小正周期为π三、填空题8．（2021·全国·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4π，且3x π=-是一个极小值点.若把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x π=对称，则实数t 的最小值为.9．（2023·湖北·一模）函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 是偶函数，则tan ϕ=．10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为.四、解答题11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数()sin(),0,0,||2πf x A x x R A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12．（2021·浙江·三模）函数()223sin cos sin cos 22222x x x x f x ⎫=--⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西汉中·二模）函数π()2sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象如图所示，,P Q 为图象上两点，对于向量π(1,0),4a a PQ =⋅=uu ur r r ，为了得到()2sin 4g x x =的图象，需要将()f x 图象上所有点的坐标（）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π4个单位B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π16个单位C ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π4个单位D ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π16个单位二、多选题2．（2024·安徽·模拟预测）已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上递减C ．将()f x 图象向左平移π8个单位可得到3sin2y x =的图象D ．若()02f x =，则01sin49x =三、填空题3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()30,2f x g x x π⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称.四、解答题4．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数()()2π12cos 0,22x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫⎛⎫=++->< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π2.(1)求()f x 的解析式与单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求方程()()2230g x x -=的所有根的和.【培优篇】一、单选题1．（2020·陕西·模拟预测）如图是函数(x)Asin(x )f ωϕ=+0002A pw j >><<(，， )的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数2()12g x sin x =-﹣的图象（）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度二、多选题2．（2022·海南·模拟预测）已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎝⎭，满足()23f x f x π⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，当ω取最小值时，则下列错误的是（）A ．()f x 图像的对称轴方程为,123k x k ππ=+∈ZB ．()f x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎤⎦C ．将函数2sin 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减三、填空题3．（2024·辽宁抚顺·一模）已知12,x x 是函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎫=+><⎪⎭的两个零点，且12minπ6x x -=，若将函数()f x 的图象向左平移π3个单位后得到的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在π,6θ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为．。
人教B版(2019)数学必修第三册期末复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
B.
5
,0
12
)
为f(x)图象的一个对称中心 √
5
C．直线x＝－ 为函数g(x)图象的一条对称轴 √
12
π
令2x＋ ＝kπ ＋ (k∈Z)，得x＝ ＋ (k∈Z)，
3
2
2
12
令k＝－1，则可知选项C正确．
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移 个单位长度，
6
令k＝1，则可知选项B正确；
12
(k∈Z)，
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移 个单位长度，
6
1
然后将其上各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
①
②
6
向左平移 个单位长度
y＝sin x
f(x)＝sin 2
+
6
y＝sin x
函数函数y=Asin(ωx+φ)的图象的图像 课件
[例 2] 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的 偶函数，其图像关于点 M(34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单 调函数，求 φ 和 ω 的值．
[自主解答] 由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)， 即函数 f(x)的图像关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值．即 sin φ＝1 或－1. 依题设 0≤φ≤π，∴φ＝π2.
[例 1] 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|<π2， ω>0，A>0)的图像的一部分如图所示．
(1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程． [自主解答] (1)观察图像可知： A＝2 且点(0,1)在图像上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，
即 sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.
解：(1)由 2x＋23π＝kπ，得函数的对称轴方程是 x＝－π3＋k2π，k∈Z. 所以函数的图像离 y 轴距离最近的那条对称轴方程为 x＝π6.
(2)将函数 y＝2cos2x＋23π的图像向右平移 φ 个单位长度后，得 到函数图像的解析式是 y＝2cos2x＋23π－2φ. 因为 y＝2cos2x＋23π－2φ的图像关于原点对称，所以23π－2φ＝π2 ＋kπ.所以 φ＝1π2－k2π，k∈Z. 所以 φ 的最小正值是1π2.
又∵1112π 是函数的一个零点，且是图像上升时穿过 x 轴形 成的零点，∴1112πω＋π6＝2π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin2x＋π6. (2)设 2x＋π6＝A，则函数 y＝2sin A 的对称轴方程为 A＝π2＋kπ，k∈Z，即 2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z， 解得 x＝k2π＋π6，k∈Z， ∴f(x)＝2sin2x＋π6的对称轴方程为 x＝k2π＋π6，k∈Z.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
的图象；再将函数 f(2x)＝sin 2x 的图象上各点沿 x 轴向左平 移π6个单位长度，得 f2x＋π6＝sin 2(x＋π6)的图象，即函数 y＝sin2x＋π3的图象．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把 y＝sin(ωx＋φ) 图象上所有点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 (当 0<A<1
时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到，函数 y＝Asin x 的 值域为 [－A，A] ，最大值为 A ，最小值为 －A .
探究点一 φ 对 y＝sin(x＋φ)，x∈R 的图象的影响 ①利用五点法作出函数 y＝sin x 的图象，通常选取的五个 点依次是 (0,0) ， π2，1 ， (π，0) ，32π，－1 ， (2π，0)． ②为作出函数 y＝sinx＋π3在一个周期上的图象，请先完成 下表，并回答相应的问题：
2．ω(ω>0)对 y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数 y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把 y＝sin(x＋φ)的 图象上所有点的横坐标 缩短 (当 ω>1 时)或 伸长 (当
1 0<ω<1 时)到原来的 ω 倍(纵坐标 不变 )而得到．
3．A(A>0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
先将 y＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1 倍(纵坐
标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|ωφ|个 单位长度，得 y＝sin(ωx＋φ)的图象．
试叙述，由函数 y＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数 y＝sin2x＋π3的图象？
答 方法一：(先相位变换，再周期变换)先将 y＝sin x 的图象 向左平移π3个单位长度，得函数 y＝sinx＋π3的图象；再将函 数 y＝sinx＋3π的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来 的12倍，得 y＝sin(2x＋π3)的图象．
函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用
[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ， ＝4，故T＝ ＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故 ＋φ＝ ＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝ ， 2 4
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R (1)定义域：____.
－A，A] ． (2)值域：[ _________ π 2kπ＋2－φ 当π x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝ ω 2kπ－2－φ __________( k∈Z)时，y取最小值－A. ω
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)； ， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)． ， ω ω
3π π 5π 当2xຫໍສະໝຸດ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最 小值－1.
(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的 最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数 在x∈[－6,0]上的值域．
高中数学总复习：函数y=A sin (ωx+φ)的图象及应用
2
＋
；
2
2π
（2）求ω，确定函数的周期 T ，则ω＝ ；
（3）求φ，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间
还是下降区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 如图，函数 y ＝ 3 tan
π
2＋
6
的部分图象与坐标轴分别交于点
D ， E ， F ，则△ DEF 的面积为（
8
8
4
3π
φ｜＜π，得φ＝－ ，所以 f （ x ）＝2
4
3 sin
π
3π
（ x － ）.
8
4
目录
高中总复习·数学（提升版）
函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ k 图象平移的规律：“左加右减，上加
下减”.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2022·浙江高考6题）为了得到函数 y ＝2 sin 3 x 的图象，只要把函
C. π
）
D. 2π
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析：
在 y ＝ 3 tan
π
2＋
6
中，令 x ＝0，可得 y ＝1，所以 D
π
π
（0，1）；令 y ＝0，解得 x ＝ − （ k ∈Z），故 E
2
12
F
5π
，0
12
1
5π
π
.所以△ DEF 的面积为 ×
＋
2
12
12
π
− ，0
12
π
×1＝ .
1
如图， A ， B 是直线 y ＝ 与曲线 y ＝ f （ x ）的两个交点，若｜
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-高考数学复习
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 因为 y＝2sin3x＋π5＝2sin3x＋1π5，所以要得到函数 y＝2sin 3x 的图象，只要把函数 y＝2sin3x＋π5的图象上所有的点向右平移1π5个单 位长度．故选 D．
第四章 三角函数、解三角形
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函数y＝As·互动探究 名师讲坛·素养提升 提能训练 练案[27]
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知识梳理 · 双基自测
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知识梳理 知识点一 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用 五 点 法 画 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 一 个 周 期 内 的 简 图 时 ， 要 找 五 个 关 键 点，如下表所示．
第四章 三角函数、解三角形
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4．(必修 1P241T4 改编)函数 y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是 ( A)
第四章 三角函数、解三角形
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[解析] 令 x＝0 得 y＝sin－π3＝－ 23，排除 B，D；由 x＝－π3时，y ＝0，x＝π6时，y＝0，排除 C．故选 A．
第四章 三角函数、解三角形
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2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2. 3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 确定； 对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 确定其横坐标．
第四章 三角函数、解三角形
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知识点二 函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的 步骤如下
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1 各点的横坐标缩短到原来的 ，就得到函数 y＝sin4x 的图象． 2 答案：y＝sin4x
4．若动直线 x＝a 与函数 f(x)＝sinx 和 g(x)＝cosx 的图象 分别交于 M、N 两点，则|MN|的最大值为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
解析：|MN|＝|sinα－cosα|＝| ∴|MN|max＝ 2，故选 B. 答案：B
3 1 2 1 (2)由(1)知 f(x)＝ sin2x＋ cos x－ 4 2 4 3 1 ＝ sin2x＋ cos2x 4 4 π 1 ＝ sin2x＋6. 2 1 将 f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，得函数 y＝ 2 g(x)的图象．
π 1 ∴g(x)＝ sin4x＋6. 2 π π π 7 ∵0≤x≤4，∴6≤4x＋6≤6π. π π 1 因此当 4x＋ ＝ 时，g(x)有最大值 ； 6 2 2 π 7 1 当 4x＋ ＝ π 时，g(x)有最小值－ . 6 6 4 1 1 故 g(x)的最大、最小值分别为2与－4.
π (3)把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到 y π π ＝sinx＋3的图象， 再把 y＝sinx＋3的图象上的点的横坐标缩 π 1 短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋3的图象，最后 2 π 把 y＝sin2x＋3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 π 不变)，即可得到 y＝2sin2x＋3的图象．
解析：(1)过 O 作地面平行线 ON，过点 B 作 ON 的垂线 π π BM 交 ON 于 M 点(如图)，当 θ＞2，∠BOM＝θ－2， h＝|OA|＋|BM|＋0.8 π ＝5.6＋4.8 sinθ－2. π 当 0≤θ≤2时，上式也成立．
π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 ， 30 π 所以 t 秒转过的弧度数为 t， 30 π π ∴h＝5.6＋4.8sin30t－2，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 米， π π π π π 即 sin 30t－2 ＝1，30t－2＝2， 即 t＝30 秒时，缆车到达最高点．
题型二 由图象确定解析式 例 2 如图为 y＝Asin(ωx＋φ), A>0, ω>0 图象的 一段，求其解析式．
题型三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 1 1 π 2 例 3 已知函数 f(x)＝ sin2xsinφ＋cos xcosφ－ sin2＋φ 2 2 π 1 (0＜φ＜π)，其图象过点6，2. (1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 π g(x)在0，4上的最大值和最小值．
2π π 周期 T＝ 2 ＝π，初相 φ＝3. (2)列表：
x π 2x＋3
πபைடு நூலகம் y＝2sin2x＋3
π 解析：(1)y＝2sin2x＋3的振幅
A＝2，
π －6 0 0
π 12 π 2 2
π 3 π 0
7π 12 3π 2 －2
5π 6 2π 0
描点连线得函数图象：
题型四 函数 y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用 例 4 如图为一个观光缆车示意图， 该缆 车半径为 4.8 米，圆上最低点与地面距离 为 0.8 米，每 60 秒转动一圈，图中 OA θ 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 角到 OB，设 B 点与地面的距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式； (2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒后到达 OB，求 h 与 t 之间 的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第六章 三角比
考点自测 1.已知函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区 间[0,2π]的图象如下： 那么 ω＝( A．1 ) B．2 1 C. 2 1 D. 3
y＝sin2x 的图象(
)
π ∴向右平移6个单位．故选 A. 答案：A
3．把函数
π π y＝sin 2x＋4 的图象向右平移8个单位，再把所得图象
1 上各点的横坐标缩短到原来的2，则所得图象的解析式为______．
π π 解析：将 y＝sin 2x＋4 的图象向右平移8个单位，得：y＝ π π sin2 x－8＋4 ，即 y＝sin2x 的图象，再将 y＝sin2x 的图象上
π 1 解析：(1)∵f(x)的图象过点6，2， 1 1 π 1 π 2π ∴ ＝ sin sinφ＋cos cosφ－ sin2＋φ. 2 2 3 6 2 π 3 1 化简 sinφ＋ cosφ＝1，即 sinφ＋6＝1. 2 2
π π 7π π ∵0＜φ＜π，∴ ＜φ＋ ＜ ，因此 φ＝ . 6 6 6 3
2π 解析：由图象可知，函数周期 T＝π，ω＝ ＝2，故选 B. T 答案：B
2．要得到函数
π π A．向右平移6个单位 B．向左平移6个单位 π π C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位 3 3
π π 解析：∵y＝sin2x－3＝sin2x－6
π y＝sin2x－3的图象，只需将
π 2sina－4|，
题型探究 题型一 作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 π 例 1 已知函数 y＝2sin2x＋3， (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y＝2sin2x＋3的图象可由 y＝sinx 的图象经过 怎样的变换而得到．