第七章 表面展开
7章-表面化学与胶体化学
dA =-SdT –pdV +σdAs+Σidni
dG =-SdT +Vdp +σdAs+Σidni
G A s
U A T , p ,ni s
H A S ,V ,ni s
A A S , p ,ni s
T ,V ,ni
GT,p =σAs+Σini ，G’T,p =Σini σ =（GT,p - G’T,p）/As = Gs/As Gs：(比)表面过剩Gibbs自由能，表面过剩自由能
恒T，p下的表面过程有：
dGT,p = dGs =σdAs+ Asdσ≤0
自动
自动 平衡
体系中各相组成（ni）恒定，σ确定，则：
dGs = σdAs ≤0，表面积减小为自动过程；微物
平衡
表面积不能改变时， dGs = Asdσ ≤0，
平衡
自动
σ减小为自动过程，吸附，润湿等表面过程。
要点： 1） 表面分子所受到不对称力场 ——表面张力 2） 一切减小 σ，As 的过程为自动过程 提问：表面Gibbs自由能、比表面Gibbs自由能、
★ 物质要小到一定程度，表面效应才显著 ★ 微小物质的饱和蒸气压 pr 增大， 其化学势增高
▲ 微小物质的熔点低（凸面）
微小物质的饱和蒸气压＞大块物质饱和蒸气压
微小物质化学势
r,B RT ln
pr,B p
pB B RT ln 大块物质化学势 p r,B＞ B ，熔融时， B B(l) 则： r,B ＞B(l) r,B B(l) 微物熔融应满足：
J·m-2 = N·m·m-2 = N·m-1
材料科学基础：第七章 表 面 与 界 面
大角晶界模型：
晶界力求与重合点阵 密排面重合，即使有偏 离，晶界会台阶化，使 大部分面积分段与密排 面重合，中间以小台阶 相连。
如图，AB、CD与重合 点阵密排面重合，中间 BC小台阶相连。
3． 小角度晶界：
对称倾侧晶界、不对称倾侧晶界、扭转晶界
3．小角度晶界—
对称倾侧晶界
由相隔一定距离刃 型位置垂直排列组成
如Cu-1Sn%合金，：Sn的偏析，Sn的原子半径比Cu大9%，发生严重点阵畸变。 当Sn处于晶界时畸变能明显降低
7.晶界偏聚---平衡偏聚：
B. 平衡偏聚公式 Cg=Co exp（dEs/RT）
Cg：晶界上溶质原子浓度，Co晶内溶质原子浓度， dEs晶界、晶内能量差
C. 平衡偏聚特点
a. 由公式可见一定溶质浓度在一定温度下对应一 定偏聚量
EC为位错中心能量,金属晶界能与晶粒位向差θ的 关系
晶界能---实线测量值、虚线计算值 小于15-
200 两者符合很好。EB在小角时与位向敏感，大 角度时为常数
晶界能---三个晶界平衡时有 E1/sinφ1=E2/sinφ2=E3/sinφ3
6.晶界能应用---少量第二相形状
A. A、第二相基体晶粒内
持……
化学工业：胶水，涂料，油漆，洗涤剂….. 写字，作画：纸张与墨水…. 食物消化：消化液与食物…… 建筑：砌砖，混疑土….. 烹调：灰面炸鸡……
7.晶界偏聚---平衡偏聚及非平衡偏聚
A. 平衡偏聚
平衡条件下由于溶质与溶剂原子尺寸相差很大，溶质原子在晶内、晶界的畸变能差很界--- 每个晶粒中直径10-100μm的晶块（亚晶粒）
之的界面
亚晶界---溶质原子优先聚集和第二相优先析
出的地方可阻碍位错运动，影响材料力学性能
第七章表面现象
h
h 2 cos gr
由于接触角为钝角，所以h是负值，表 示管内的液面比管外低。
第7章 液体的表面性质
7.1 表面张力
1.表面张力: 就是存在于液体表面内、沿着与表面 相切方向、且垂直于表面内任意假想的直线的拉力。
f L
Ｌ——液面内直线段的长度；
f f
——表面张力系数。
单位为牛顿／米（N/m）
（1）表面张力系数与液体性质有关。
对于密度小、越易挥发的液体， 值越小。
3.表面张力的微观本质
液体表层内分子力的对称性被破坏，使表层分子 表现为受到一个垂直于液面指向内部的合引力F.
液体内部的分子要进入到
液体表面层，要克服这种
R
指向内部的合引力做功，
增加了分子的势能，即液
F
体表层内的分子比液体内
部的分子有更大的势能，
这就是表面能产生的根源.
例
。
求半径r的小油滴聚合成半径为R的大油滴所释放的
（2）表面张力系数与温度有关。一般来说温度 越高，表面张力系数越小。
（3）表面张力系数与相邻物质的化学性质有关。
2.表面能 外力拉动液膜做功 匀速拉动液膜 F = f
f 2L
dA F dx 2Ldx dS
外力做的功全部用于增加液体的表面能
dA dE dS
E---液体的表面能
2
R2
由于液面很薄，有 R1 R2 R
p1
p3
4
R
小液泡越来越小，大液泡会越来越大。
7.3 毛细现象
7.3.1 润湿与不润湿
接触角:
在液体和固体接触处液体表面的切面与
固体表面的切面之间的夹角
化工制图第七章
在生产中,当机件的结构形状比较复杂时,仅用前 面介绍的三视图,很难把机件的内外形状和结构 准确、完整、清晰地表达出来。
第一节 视 图 根据有关标准和规定,用正投影法所绘制出的物 体的图形,称为视图。
一、基本视图
物体向基本投影面投影所得的视图,称为基本视图。 二、向视图
在实际制图时,由于考虑各视图在图样中的合理布置问题,如 不能按图7-2配置视图或各视图不画在同一张图样上时,应在 视图的上方用大写拉丁字母标出视图的名称,如标“A”。
1.剖视图
图7-6 剖视图的形成 a)立体图 b)正确 c)错误
图7-7 通用剖面线的画法(一)
图7-8 通用剖面线的画法(二)
表7-1 剖面符号
表7-1 剖面符号
2.绘制剖视图应注意的问题 3.剖视图的标注 为便于看图,剖视图应按国标的规定标注。 4.剖视图的简易画法
二、剖视图的分类
按机件被剖开的范围,剖视图分为全剖视图、半剖视图和局 部剖视图三种。 1.全剖视图 用剖切面完全剖开机件所得的剖视图,称为全剖视图。
2.半剖视图
当机件具有对称平面时,向垂直于对称平面的投影面上投射 所得到的图形,可以以对称中心线为界,一半画成剖视图,一半 画成视图,这种组合的图形称为半剖视图。
图7-11 半剖视图
3.局部剖视图 用剖切面局部地剖开机件所得的剖视图,称为局部剖视图。
图7-12 局部剖视图
三、剖切面
生产中的机件,由于内部结构形状各不相同,剖切时常需采用 不同位置和不同数量的剖切面。 1.单一剖切面
横向剖切这些结构时,则应画出剖面符号(图7-24c)。
图7-24 肋、轮辐、孔等结构剖切时简化画法
2.相同结构要素的简化画法
7_肋骨型线图和外板展开图解析
主尺度
总长 90.00m 86.54m 83.33m 14.00m 6.35m 5.50m 0.60m 水线长 垂线间长 型 宽 型 深 设计吃水 肋 距
8
ST-5
50
ST
B 8 B
ST ST
B B B B 8 B B B
8
L90×56×8 8×300×300 S
ST-4 s S 10×350 12×150 s ST-4 s 10×350 12×150
返回
返回
它是某些同一类构件上特定点的假想连接线在投影面上的投影。如舭肘 板顶线即是舭肘板与外板交线顶端各点连线的投影。又如肋板边线即是肋板 与外板型表面交线顶端各点连接线的投影。假想连线表示了某些构件距基线 高度沿船长方向的变化。肋骨型线图中的各种线条分别用不同的图线来表示， 以区别它们的含义。常用的图线型式及其含义见下表。 图线型式 图线的含义 基线、水线、纵剖线、肋骨型线，边接缝线，端接缝线， 舷墙顶线、外板顶线等。 船底纵骨线、舷侧纵骨线等。 甲板边线、平台线、内底板边线，旁底桁线等。 舭龙骨线等。 折角线等。
10
Ex F
二甲板边线
3000WL
20
ExF
Bx
4000WL
130
E
首部平台边线
舷侧纵桁
4000WL
Ex F
3000WL
A
xB
2000WL
舭肘板顶线
AxE
2000WL
120
CxE
30
DxE BxE AxE
舭肘板顶线
BxE
1000WL 500WL BL
DxE
内底板边线
1000WL 500WL
70
A xB
第七章 液体的表面性质
附着层-----液体与固体接触处厚度等
于液体分子作用半径的一薄层液体.
固
· B
附着层
体
10-9m
附着力 >内聚力 液体润湿固体
返回
在固体和液体的接触处,液体表面的 切面（线）和液体内部固体表面间的
夹角 称为接触角.
当液体能润湿固体时, 0 ° ＜ ＜90° 当 =0°时,液体完全润湿固体.
F2
2
F2
sin
d
2
d
F2
2 F2
d
2
F2d
返回
F2与 F1平衡,即 F2 F1
F2d 2 Rd F2 2 R
设环被拉长了L ，有
L 2 R L
则应力与应变为
F2 2R L 2 R L
SS
L
L
返回
E
2R E 2 R L
S
L
则
ER (2 R L)
2RL
水和酒精完全润湿玻璃. 返回
固
附着层
液
· B
体
体
10-9m
附着力 <内聚力 液体不润湿固体
返回
当液体不能润湿固体时, 90 ° ＜ ＜180° 当 =180°时,液体完全不润湿固体.
返回
7.3.2 毛细现象（capillarity)
h
返回
R
•
A
•
BB r
h P0
•
C
pA p0 pB pC
1 · ·2
解：
p1
p2
2
R
p1 p0
由以上两式得
p2
p0
2
R
1.013105
2 0.072 5 106
第七章 表面现象
第七章 习题参考答案1. 解：∵ n = V 1/V 2=932311034/34＝ππr r A 2 = 109×4πr 2∴ A 2/A 1=109×4πr 12/4πr 22=103dG=σdA=72.88×10-3×(109×4πr 22-4πr 12)=4π×72.88×10-3×[(109×(10-6)2-(10-3)2)=9.154×10-4Jw = -dG= -9.154×10-4J2. 解：3631m 10134－＝π⨯=r V r 1=0.6205×10-2mn=V 1/V 2=1×10-6/113663103885.2)10(34/1034⨯--＝π＝πr dG=σdA=62×10-3×(1011×2.3885×4πr 22-4πr 12) ≈62×10-3×1011×2.3885×4πr 22＝0.1860J w = -dG= -0.1860JdG*=σdA=42×10-3×1011×2.3885×4πr 22＝0.1260J△G ＝dG-dG*＝0.060J3. 解：t=10℃ σ＝7.564×10-2-1.4×10-4t ＝7.424×10-2W ＝-σdA ＝-7.424×10-2×10-4＝-7.424×10-6J △G ＝7.424×10-6J 据Maxwell 公式△S ＝1.4×10-4×10-4＝1.4×10-8 J .K -1△H ＝TdS + VdP +σdA +∑μB dn B ＝TdS +σdA＝283×1.4×10-8 + 7.424×10-6＝1.140×10-5J 据：△U ＝Q －W d V =0Q ＝△U ＋W ＝TdS －PdV ＋σdA －σdA ＝TdS ＝283×1.4×10-8＝3.962×10-6J4. 证明略（从吉布斯自由能即表明能角度来考虑）5. (1) a 管中的液体向左移动，直至两侧管内半径相等。
华师大版数学七年级上册《4.3 立体图形的表面展开图》教学设计
华师大版数学七年级上册《4.3 立体图形的表面展开图》教学设计一. 教材分析《4.3 立体图形的表面展开图》是华师大版数学七年级上册的一个重要内容。
这部分内容主要让学生了解并掌握常见立体图形的表面展开图，培养学生空间想象能力，为后续学习几何体的体积和表面积打下基础。
本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生学习兴趣，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和几何知识，但对于立体图形的表面展开图，学生还较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从实际生活中发现立体图形，激发学生学习兴趣，培养学生空间想象能力。
同时，要关注学生在学习过程中的个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解并掌握常见立体图形的表面展开图，培养学生空间想象能力。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，让学生体会立体图形与表面展开图之间的联系，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握常见立体图形的表面展开图。
2.难点：培养学生空间想象能力，以及运用数学解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实际情境，引导学生发现立体图形，激发学生学习兴趣。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生团队合作精神。
3.操作实践法：让学生动手操作，实际操作中感受立体图形与表面展开图之间的联系。
4.引导发现法：教师引导学生发现立体图形的特点，培养学生独立思考能力。
六. 教学准备1.教具准备：立体模型、展开图卡片、黑板、粉笔等。
2.学具准备：学生每人准备一个立体图形模型，展开图卡片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的立体图形，如魔方、牙膏盒等，引导学生关注立体图形。
提问：你们能说出这些立体图形的名称吗？它们在我们的生活中有哪些应用？从而激发学生学习兴趣。
第七章 纤维的表面
对浸润前进后退角的测量，可采用插入法 的缓慢插入测θa；缓慢拔出测θb。也可采 用注入法测得。
⑵浸润力的测量 竖直拔出法 F=FP+Gf-Fb 式中，F为纤维拔出力；FP为浸润力；Gf为 纤维重力；Fb为纤维浸润段的浮力
㈡纤维的铺展浸润
对于铺展过程，即非平衡浸润，在理论上 已转化为氢键或化学键作用的吸附过程， 故Young-Dupré方程已不再适用。 液体在固体表面仍以某种速度VS扩展，克 服液体内聚能WLL,使液体表面积扩大。因 此铺展的必要条件是，WSL≥WLL恒成立。 特征是液滴在固体表面上的展开成膜，原 有的固-气界面消失，而留下二层固-液界面 和气-液界面。
1.铺展系数P 为固-液的粘着功与液体内聚功的差异： P=WSL-WLL 物理含义：反映在此压力或张力作用下， 液体分子不只是克服自身的内聚能作用而 展开增加表面积，而且是液体分子在固体 表面的快速扩散。
2.铺展速度Vs 当液体与固体接触时，即使无外力作用， 在表面吸附功WSL对液体内聚能WLL的作用 下，满足前述铺展系数P≥0时，就会产生 气、液、固三相交界线的快速移动。 如用一运动长丝束观察这种浸润的过程， 三种情况：
当纤维可浸润时，θ＜∏／2，越粗糙越易浸润； 而∏／2 ＜θ＜∏，越粗糙越不易浸润。
组分的影响（不同组分的表面浸润）
在不同组分区域尺寸较大时，接触角值也会产生 跳动。当不同组分的区域趋向于微观化时，A、B 两组份所形成的θA与θB的差异趋向一个稳态值 θAB。 已知A、B组分的面积分数为fA和fB，则 cosθm= fAcosθA+ fBcosθB 多孔材料或纤维集合体： cosθfa=ffcosθf-fv≈（1+cosθf）Vf-1
第七章表面现象习题
第七章表⾯现象习题第七章表⾯现象习题⼀、是⾮题下列各题中的叙述是否正确？正确的选“√”，错误的选“×”。
√ × 1．垂直插⼊⽔槽中⼀⽀⼲净的玻璃⽑细管，当在管中上升平衡液⾯处加热时，⽔柱会上升。
√ × 2．⽔在⼲净的玻璃⽑细管中呈凹液⾯，因附加压⼒p < 0，所以表⾯张⼒< 0 。
√ × 3．通常物理吸附的速率较⼩，⽽化学吸附的速率较⼤。
√ × 4．兰缪尔定温吸附理论只适⽤于单分⼦层吸附。
⼆、选择题选择正确答案的编号:1．附加压⼒产⽣的原因是:（A）由于存在表⾯；（B）由于在表⾯上存在表⾯张⼒；（C）由于表⾯张⼒的存在，在弯曲表⾯两边压⼒不同（D）难于确定。
2．在⽔平放置的玻璃⽑细管中注⼊少许⽔（⽔润湿玻璃），在⽑细管中⽔平⽔柱的两端呈凹液⾯，当在右端⽔凹⾯处加热，⽑细管中的⽔向何端移动:（A）向左移动；（B）向右移动；（C）不动；3．今有⼀球形肥皂泡，半径为r，肥皂⽔溶液的表⾯张⼒为，则肥皂泡内附加压⼒是:（A）；（B）；（C）。
（D）以上答案均不正确4．接触⾓是指：（A）ｇ／ｌ界⾯经过液体⾄ｌ／ｓ界⾯间的夹⾓；（B）ｌ／ｇ界⾯经过⽓相⾄ｇ／ｓ界⾯间的夹⾓；（C）ｇ／ｓ界⾯经过固相⾄ｓ／ｌ界⾯间的夹⾓；（D）ｌ／ｇ界⾯经过⽓相和固相⾄ｓ／ｌ界⾯间的夹⾓；5．⾼分散度固体表⾯吸附⽓体后，可使固体表⾯的吉布斯函数:（A）降低；（B）增加；（C）不改变（Ｄ）以上答案均不正确6．⾼分散度固体表⾯吸附⽓体后，可使固体表⾯的吉布斯函数:（A）降低；（B）增加；（C）不改变（Ｄ）以上答案均不正确7.兰谬尔吸附定温式适⽤于：(A)化学吸附；(B)物理吸附；(C)单分⼦吸附；(D)多分⼦吸附(E)以上答案均不正确8将待测乳浊液中加⼊⾼锰酸钾，振荡均匀后取⼀滴于显微镜下观察，若判定结果为“O/W”型，则显微镜视野中必须有如下现象，即（B ）（A）不连续的亮点被成⽚红⾊所包围，分散相为“W”，分散介质为“O”（B）不连续的亮点被成⽚红⾊所包围，分散相为“O”，分散介质为“W”（C）不连续的红斑点被成⽚清亮液包围，分散相为“W”，分散介质为“O”（D）不连续的红斑点被成⽚清亮液包围，分散相为“O”，分散介质为“W”9⽐表⾯能是( C )（A）单位体积物质的表⾯能（B）⼀摩尔物质的表⾯能（C）单位⾯积的表⾯能(D) 表⾯张⼒10恒温恒压条件下的润湿过程是：( A )（A）表⾯Gibbs⾃由能降低的过程（B）表⾯Gibbs⾃由能增加的过程（C）表⾯Gibbs⾃由能不变的过程（D）表⾯积缩⼩的过程11. 丁达尔效应是由于下列哪种原因造成的（）A．光的反射B．光的散射C．光的折射D．光的透射12. ⽓体在固体表⾯的物理吸附是指（）（A）⽓体分⼦存在于固体表⾯,且渗透到固体表⾯以下（B）⽓体分⼦与固体表⾯分⼦之间在范德华⼒作⽤下在固体表⾯上的吸附（C）⽓体分⼦与固体表⾯分⼦之间为化学健⼒作⽤（D）⽓体分⼦与固体表⾯的化学反应三、填空题在以下各⼩题中的1．定温下溶液的表⾯张⼒随浓度增⼤⽽减⼩，则单位表⾯吸附量。
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第七章表面展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版2
章节目录第一节第二节第三节
平面立体的表面展开曲面立体的表面展开过渡面的展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版3学习内容及学习重点
学习内容：展开图的概念棱柱表面的展开棱锥表面的展开学习重点：展开图的画法
§7—1 平面立体的展开第一节平面立体的展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版4一、展开图的概念
1、基本概念将立体表面按其真实形状和大小，依次连续地摊平在一个平面上，称为立体表面的展开。由展开所得的图形，称为立体表面展开图，简称展开图。展开图是下料的主要依据。
§7—1 平面立体的展开
2、平面立体展开图的实质平面立体的表面都是平面多边形，求平面立体的展开图，就是求作组成平面立体的各个棱面的实形。高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版5
二、棱柱表面的展开§7—1 平面立体的展开1、直棱柱展开图各个棱面均为长方形，所以只要棱柱的高度和底面实形，就能做出它的展开图。
底面顶面
(展开图)(投影图)高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版6
作图要点：1）在侧面投影位置先作出完整三棱柱的各棱面的展开图；2）有1、2、3点确定截切后各棱线的高度，从而确定截切后各棱面大小；3）根据底边的实长和截交线各边的实长，画出底面和截断面的实形。
[例题]已知三棱柱截切体的两面投影，完成其展开图的绘制。
已知条件
§7—1 平面立体的展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版7§7—1 平面立体的展开
2、斜棱柱展开图——滚转法。其作图原理是投影变换
中旋转法（绕平行线的旋转法）。
二、棱柱表面的展开
[例题]：已知斜三棱柱侧棱平行于V面，上下底面平行于H面。求其展开图。作图思路：取侧棱AC为旋转轴，把棱面ABCD旋转，直到平行于V面，从而求出棱面ABCD的实形。用同样方法求出另外两个棱面的实形。
棱面上一点N移到展开图上的方法
提问：当棱柱侧棱不平行于任何投影面时怎么办？先用换面法使其平行
于新投影面体系，然后再用滚转法。高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版8
§7—1 平面立体的展开二、棱柱表面的展开
3、同坡屋顶展开图采用旋转法，即把各个屋面以其水平屋檐旋转，直到平行于水平面。
作图要点：1）以DE为轴旋转，求出屋面DEC的实形dec1；2）以AD为轴旋转，求出屋面ABCD的实形ab2c2d。高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版9
§7—1 平面立体的展开三、棱锥表面的展开
棱锥各棱面均为三角形，所以作棱锥的展开图，实际上就是求各三角形的实形。因此，这种方法通常叫做“三角形法”。为作出各棱面的实形，需要求出各棱线的实长。通常采用旋转法或直角三角形法。
直角三角形法求棱台的展开图高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版10
§7—1 平面立体的展开[例题] 已知三棱锥的正面投影和水平投影，
求作三棱锥及被正垂面P所截截交线的展开图
解题思路：由投影可知，底面△ABC的水平投影
△abc反映实形，棱线SA的正面投影s’a’反映实长。因此，只要求出棱线SB、SC的实长就可连续作出三棱锥各个棱面的实形。作图要点：1）将SB、SC旋转成正平线，求出实长s’b’、s’c’。2）根据各棱线的实长即可画出展开图。3）根据点在线上的定比定理，可分别求出1、2、3点在实长上的位置旋转法高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版11
学习内容及学习重点
学习内容：根据可展与否，可将曲面分为可展曲面和不可
展曲面。本节将分别讨论：
可展曲面的表面展开不可展曲面的表面展开学习重点：展开图的求解原理计画法
§7-2 曲面立体的表面展开第二节曲面立体的表面展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版12一、可展曲面的展开
（一）.柱面和锥面的展开展开原理：柱面可以看作是底边为无限多的内接棱柱的极限；锥面可以看作是底边为无限多的内接棱锥的极限。展开方法：先做一个内接的相应的棱柱或棱锥，其底面的边数至少应不少于8或12，然后展开之。
§7-2 曲面立体的表面展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版13
一、可展曲面的展开斜柱面的展开方法：作一个内接的底面为正八边形的斜棱柱，再用§7-1提到的求解棱柱展开图的方法——滚转法将斜棱柱展开。
§7-2 曲面立体的表面展开
由于所求展开图是对称的，只画出了所求展开图的一半高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版14
一、可展曲面的展开斜锥面的展开方法：作一个内接的底面为正十二边形的斜棱锥，再用§7-1提到的棱锥展开图的方法——三角形法将斜棱锥展开。
§7-2 曲面立体的表面展开
由于所求展开图是对称的，只画出了所求展开图的一半高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版15
一、可展曲面的展开（二）正圆柱和正圆锥的展开1、正圆柱1）正圆柱侧面的展开正圆柱的侧面展开图是一个长方形：高=圆柱的高h；宽=圆柱底圆的周长πD，如图所示。
§7-2 曲面立体的表面展开高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版16
一、可展曲面的展开§7-2 曲面立体的表面展开
注意：当带有斜截面时，仍需要用内接棱柱的方法展开。
2）带有椭圆截切线的正圆柱展开图的画法高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版17
一、可展曲面的展开§7-2 曲面立体的表面展开3）圆柱形弯头展开图的画法画法分析：如图所示的两节弯头A节和B节，如果把A节伸长一些，使伸长的B′节等于B节，就可以得到弯头的展开图高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版18
一、可展曲面的展开2、正圆锥1）正圆锥侧面的展开正圆锥的侧面展开图是一个扇形：半径=圆锥母线的长度l；弧长=圆锥底圆的周长πD；圆心角=180°×D/l。如图所示。
§7-2 曲面立体的表面展开l高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版19一、可展曲面的展开§7-2 曲面立体的表面展开
2）带有椭圆截切线的正圆锥展开图的画法
注意：当带有斜截面时，仍需要用内接棱锥的方法展开。高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院中国建筑工业出版社出版20
一、可展曲面的展开§7-2 曲面立体的表面展开3）圆锥形弯头展开图的画法画法分析：如图所示的两节弯头A节和B节，如果把A节伸长一个B′，使得B′等于B节，就可以得到弯头的展开图了。
注意：延伸A节使得B′等于B节是有条件的，即A节和B节必须有相同的锥度。
验证方法：以两圆锥轴线的交点为圆心，以圆锥B的锥顶到所设圆心的距离为半径画弧，如圆弧通过圆锥A的锥顶，就表示锥度相同；否则就表示锥度不相同。