高考数学复习直线与圆测试题

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【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题9_直线和圆_理(2000-2006)

【2006高考试题】一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。

2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A．1) B．11) C．(11) D．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

4．（广东卷）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--，（1）当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2）当54≤≤s时可行域x +y是△OA C '此时，8max =z ，故选D.5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。

若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．46．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππ D.[0,]2π7．（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36 B. 18 C. 26 D. 25 解析：圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到直线014=-+y x 的2522，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C.8．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0 解析：直线ax+by=022(1)(3)1x y -+=与相切|3|12a b -=，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则（ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。

高考数学备考复习易错题十：直线与圆的方程

高考数学备考复习易错题十：直线与圆的方程一.单选题（共13题；共26分）1.直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有公共点，则过点(m,n)的直线与椭圆的交点的个数是（）A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个2.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by-4=0对称，则a2+b2的最小值是（）A. 2B.C.D. 13.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A. B. k<0或 C. D. 或4.已知圆C:（x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C 的切线方程是（）A. y=x+2-B. y=x+1-C. y=x-2+D. y=x+1-5.（2015·湖南）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96.（2015·安徽）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或127.（2015全国统考II）已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为（）A. B. C. D.8.若原点到直线3ax＋5by＋15＝0的距离为1，则的取值范围为（）A. [ 3，4]B. [3，5]C. [1，8]D. (3，5]9.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A. ﹣或﹣B. ﹣或﹣C. ﹣或﹣D. ﹣或﹣10.（2016•全国）圆的圆心到直线的距离为1，则a=( )A. B. C. D. 211.已知点P（1，2）和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是（）A. k∈RB. k＜C. ﹣＜k＜0D. ﹣＜k＜12.直线L圆x2+（y﹣2）2=2相切，且直线L在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线L的条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 413.平行于直线2x﹣y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 2x﹣y+5=0B. x2﹣y﹣5=0C. 2x+y+5=0或2x+y﹣5=0D. 2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0二.填空题（共4题；共4分）14.已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是________15.（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．16.（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为________．17.一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是________．三.综合题（共2题；共20分）18.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．(1)求过点A且平行于l的直线的方程；(2)若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案解析部分一.单选题1.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】直线与圆没有公共点，，在圆内部，在椭圆内部，所以过的直线与椭圆有两个交点【分析】判断直线与椭圆的交点个数，需判断直线过的定点与椭圆的位置关系，求解本题利用到了数形结合法，此法在一些选择填空题目中经常用到，可使计算简化，难度适中2.【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，圆的一般方程，直线与圆的位置关系【解析】【解答】因为圆：关于直线对称，所以直线过圆心（－1,2)，所以－2a+2b－4=0,a=b－2,=2,的最小值是2，故选A。

【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习苏教版

【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习苏教版【A 组】一、填空题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：在圆外2．(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －02＋y －32＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －83．(2011·高考某某卷)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：10 24．(2011·高考某某卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值X 围是________．解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m1＋1－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．答案：(－33，0)∪(0，33) 5．(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝06．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a,0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2012·高考某某卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．解析：如图所示：解Rt △ACO ，|OC |为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离， |OC |＝|0＋3×0－2|12＋32＝1， |OA |＝r ＝2，|AC |＝|OA |2－|OC |2＝22－12＝3， |AB |＝2|AC |＝2 3 答案：2 3 二、解答题8．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10，因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2－2－a 2＋－5－b 2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1得P ′(3，4ts ＋1)．同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0，又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．【B 组】一、填空题1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：12．(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)．答案：(－13,13)4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝05．(2013·某某模拟)从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)， ∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案：356．直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则m 的值为________．解析：当OA ⊥OB 时，圆心(0,0)到直线2x －y ＋m ＝0的距离等于22r ， ∴|m |5＝22· 5. ∴m ＝±5210.答案：±51027．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案：7 二、解答题8．(2013·某某模拟)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1,23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，则圆心到直线m 的距离恰为1，由于直线m 经过原点，圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线，即y 轴，所以直线方程为x ＝0.方法二：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1，k 无解．直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立．所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33，所求直线为y －23＝33(x －1)，即3x －3y ＋53＝0，斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或3x －3y ＋53＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0，过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.9．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值X 围．解：(1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)．如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5，即a 的取值X 围是[1,5]．。

2021高考数学复习专题直线与圆、圆与圆的位置关系(文精练)

专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13B ．5C ．－5D ．－133．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π65．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB→＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2D.26．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定【答案】A【解析】直线kx －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，且0＋⎝⎛⎭⎫12－12＜1，所以点⎝⎛⎭⎫0，12在圆内，故直线和圆恒相交，故选A. 2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13 B ．5 C ．－5 D ．－13【答案】B【解析】圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9－a .其圆心坐标为(3,0)，半径r ＝9－a (a ＜9)．由直线x ＝5和圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则圆的半径r ＝5－3＝2，即9－a ＝2.解得a ＝5，故选B.3．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A【解析】两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6 【答案】A【解析】由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2 D.2【答案】B【解析】圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设OA →与OB →的夹角为θ，则 2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝12，θ＝π3，△圆心到直线l 的距离为2cos π6＝3，可得|－3|1＋k 2＝3，解得k ＝± 2. 6．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】由题意知a 2＋b 2＞1，圆心O (0,0)到直线ax ＋by －1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，因此直线和圆相交，故选B.7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【答案】A【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14【答案】B【解析】圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.9．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .【答案】22【解析】由题意知圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．【答案】－53【解析】因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .【答案】4或8【解析】由△MPN ＝π3可得△MCN ＝2△MPN ＝2π3，在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，△CMN ＝△CNM ＝π6.则圆心C (3，－3)到直线l 的距离d ＝2sin π6＝1，即|3－3×(－3)－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【解析】(1)x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.(2)设直线PQ ：y ＝－x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，y ＝－x ＋b ，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12.又OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，将x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12代入上式得b 2－2b ＋1＝0，所以b ＝1，所以直线PQ 的方程为y ＝－x ＋1.14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．【解析】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，△点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，△该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】(1)不能出现AC △BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC △BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，由题意得Δ＝(1＋a )2－4a ＝(a －1)2＝0，解得a ＝1，故所求圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－y ＋1＝0. (2)令y ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，即(x －1)(x －a )＝0，所以M (1,0)，N (a,0)．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 2＋y 2＝4，得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 21＋k 2，x 1x 2＝k 2－41＋k 2.因为△ANM ＝△BNM ，所以y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0. 因为y 1x 1－a ＋y 2x 2－a第 11 页共 11 页＝k [(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )](x 1－a )(x 2－a )，而(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )＝2x 1x 2－(a ＋1)(x 2＋x 1)＋2a ＝2·k 2－41＋k 2－(a ＋1)·2k 21＋k 2＋2a ＝2a －81＋k 2，所以2a －81＋k 2＝0，解得a ＝4. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在实数a ＝4，使得△ANM ＝△BNM .。

高考数学二轮复习考点十五《直线与圆、椭圆》课件

答案 2x－y＝0
解析由题意可得△ABC 的欧拉线过原点且与直线 x＋2y＝1 垂直，斜率为 2，所以△ABC 的欧拉线方程为 2x－y＝0.
10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQ⊥OP. 若|FQ|＝6，则 C 的准线方程为________．
|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a.因为|OF2|＝c，|OP|＝b，所以∠OPF2
＝
π 2
，
所
以
cos
∠
OF2P
＝
a c
.
在
△F1F2P
中， cos
∠ F1F2P ＝
a2＋（2c）2－（3a）2
2a·2c
＝cos
∠OF2P＝ac，化简得 c＝
3a，所以 C 的离心率
7．(2021·海南第五次模拟)已知圆 O1：x2＋y2－2x－3＝0 和圆 O2：x2＋ y2－2y－1＝0 的交点为 A，B，则( )
A．圆 O1 和圆 O2 有两条公切线 B．直线 AB 的方程为 x－y＋1＝0 C．圆 O2 上存在两点 P 和 Q 使得|PQ|＞|AB| D．圆 O1 上的点到直线 AB 的最大距离为 2＋ 2
解析因为方程m2x－2 2＋m2y＋2 2＝1 表示的曲线是双曲线，所以(m2－ 2)(m2＋2)＜0，解得－ 2＜m＜ 2，故 A 正确；将m2x－2 2＋m2y＋2 2＝1 化为m2y＋2 2 －2－x2m2＝1，得焦点在 y 轴上，故 B 错误；因为 2≤m2＋2＜4，所以 e2＝m24＋2 ∈(1，2]，故 C 正确；因为双曲线的渐近线斜率的平方 k2＝m2－2＋m22≥1，故 D 错误．故选 AC.

(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练

9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆(全国通用)

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（全国通用）考向一求圆的方程【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【试题解析】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的一般方程的形式；（2）解方程组；（3）一般式转化为标准式. 考向二直线与圆的位置关系【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】22(1)(1)5x y -++=【试题解析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ， 2222(3)(12)(2)-+-=+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离；（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系. 真题汇总及解析一、单选题1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.2．（2022·四川乐山·高一期末）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（） A ．22(3)16x y -+= B ．22(3)9x y +-= C ．22(3)16x y +-= D ．22(3)9x y -+= 【答案】D 【解析】【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3 设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ，则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0) 则该圆的方程为22(3)9x y -+=，故选：D ．3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线410mx y m 与圆2225x y +=相交，所得弦长为整数，这样的直线有（）条 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】【分析】求出过定点(4,1)32(5,6)，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】直线410mx y m 过定点(4,1)，圆半径为5，最短弦长为2251732(5,6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；最长的弦长为直径10，也恰有1条；弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，故选：C ．4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =k ＝（） A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B 【解析】【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k-=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解方程即可求出答案. 【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k -=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解得：43k =. 故选：B.5．（2022·全国·模拟预测）直线:3410l x y +-=被圆22:2440C x y x y +---=所截得的弦长为（） A ．25B ．4 C ．3D ．22【答案】A 【解析】【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可. 【详解】由题意圆心()1,2C ，圆C 的半径为3，故C 到:3410l x y +-=22381234+-=+，故所求弦长为2223225-=故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）若圆()()()22140x a y a -+-=>与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为（） A 3B ．2 C ．2D ．23【答案】C 【解析】【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距12d r r =+. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切22121a +=+，结合0a >解得22a =故选：C.7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A （2，0），B （0，﹣1），点P 是圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点，则PAB △ 面积最大值为（） A ．2 B ．45C ．51D ．52【答案】D 【解析】【分析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求PAB △面积的最大值.【详解】由已知=5AB要使PAB △的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大．由于AB 的方程为21x y+=-1，即x ﹣2y ﹣2＝0，圆心（0，1）到直线AB 的距离为d 022455--==，故P 到直线AB 451，所以PAB △面积的最大值为()114551=522AB d ⎫⨯⨯+⎪⎪⎝⎭故选：D ．8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB 周长最小时点M 的坐标即可求解作答. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r =，点C 到直线l 的距离22221(1)d ==+-依题意，CA AM ⊥，四边形CAMB 周长2222||2||42424CA AM CM CA d +=+-+-242(22)48=+-=，当且仅当CM l ⊥时取“=”，此时直线:80CM x y +-=，由8080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)222(1)(7)2-+-=x y .故选：D9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C的面积为（） A ．115πB ．265πC 130πD ．1045π【答案】B【解析】【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离()2232311512d --⨯+==+-，故公共弦长为22262655⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故圆C 265C 的面积为265π故选：B10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆:C 22(1)4x y -+=与抛物线2(0)y ax a =>的准线相切，则=a （） A ．18B ．14C ．4D ．8【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得124a-=，求解即可．【详解】因为圆:C 22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =抛物线2(0)y ax a =>的准线为14y a=-，所以124a -=，即18a =，故选：A.二、填空题11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知ABC 中，()30A -,，()3,0B ，点C 在直线3yx 上，ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，则直线EC 的方程为______．【答案】344y x =+ 【解析】【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解. 【详解】因为ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，所以ABC 22345+=，即ABC 的外接圆方程为()22425x y +-=．联立()223425y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得47x y =⎧⎨=⎩，或30x y =-⎧⎨=⎩，所以()4,7C 或()3,0C -（与A 点重合），舍，所以直线EC 的方程为747440y x --=--，即344y x =+．故答案为：344y x =+.12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________． 34【解析】【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m()()224030225-+--=-m ，解得16m = 所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为2243211-=+d 2C 的半径为R 则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为22129342-=-R d 故答案为： 3413．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________.【答案】1 【解析】【分析】求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1），因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内. 当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1m =，故答案为：1.14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．【答案】22154x y -=【解析】【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中,,a b c 三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=.由圆C 的方程为()2234x y -+=，得圆心为()3,0C ，半径为2r =.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为3,0.3c =又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，22302b a a b ⨯±⨯=+22c=，解得2b =.所以222945a c b =-=-=,所以该双曲线的标准方程为22154x y -=.故答案为：22154x y -=.15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()22x xe ef x e -=（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy 中，所有满足()()0f a f b +>的点(),a b 都不在圆C 上，则圆C 的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．【答案】221x y +=（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到()(2)0f x f x +-=，且关于点(1,0)中心对称，得到2a b +>，进而化简得到2x y +≤，即可得到答案. 【详解】由题意，函数222e e ()e e ex x x xf x --==-在R 上单调递增，且()(2)0f x f x +-=，所以曲线()y f x =关于点(1,0)中心对称，所以()()0f a f b +>，即2a b +>，在平面直角坐标系xOy 中所有满足()()0f a f b +>，即2a b +>的点(,)a b 都不在圆C 上，所以圆C 上的点都满足2x y +≤，即圆C 在2x y +≤表示的半平面内，故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C 的方程可以为221x y +=. 故答案为：221x y +=（答案不唯一）.三、解答题16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点(),M x y 是曲线C 上任一点，动点M 到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，圆M 的方程为()2221x y +-=．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)设1A 、2A 、3A 是C 上的三个点，直线12A A 、13A A 均与圆M 相切，判断直线23A A 与圆M 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切，理由见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；（2）分析可知直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，其中1x 、2x 、3x 两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C 上任意到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，因此，曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为2x y =.(2)解：若直线23A A 的斜率不存在，则直线23A A 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，则1x 、2x 、3x 两两互不相等，则1222121212A Ax x k x x x x -==+-，同理1313A A k x x =+，2323A A k x x =+，所以直线12A A 方程为()()21121y x x x x x -=+-，整理得()12120x x x y x x +--=，同理可知直线13A A 的方程为()13130x x x y x x +--=，因为直线12A A 与圆M ()12212211x x x x +=++，整理可得()222121211230x x x x x -++-=，同理可得()222131311230x x x x x -++-=，所以2x 、3x 为方程()2221111230x x x x x -++-=的两根，则11x ≠±，所以，1232121x x x x +=--，21232131x x x x -=-，圆心M 到直线23A A ()2211221231222123122111321211112111x x x x x x x x x x x x +-+-+-===+++⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，所以直线23A A 与圆M 相切. 综上，若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P 为曲线C 上任意一点，直线l ：x ＝－4，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点()1,0F -，且2PQ PF =． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上的点()()000,1M x y x ≥作圆()2211x y ++=的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，求△MAB 面积的取值范围．【答案】(1)22143x y +=(2)212S ⎡∈⎢⎣ 【解析】【分析】（1）设点(),P x y ，通过2PQ PF =得到等式关系，化简求得曲线方程；（2）设切线方程()00y y k x x -=-，通过点到切线的距离，化简成k 的一元二次方程，再韦达定理得出12,k k 与00,x y 的等式关系，再求出||AB 弦长，消去12,k k ，再求面积即可．(1)设(),P x y ，由2PQ PF =，得()2241x x y +=++22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；(2)设点()00,M x y 的切线方程为()00y y k x x -=-（斜率必存在），圆心为()1,0F -，r ＝1所以()1,0F -到()00y y k x x -=-的距离为：00211k y kx d k-+-==+平方化为()()2220000022110x x k x y k y +-++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k则()0012200212x y k k x x ++=+，201220012y k k x x -=+ 因为P A ：()010y y k x x -=-，令x ＝0有010A y y k x =-，同理020B y y k x =-所以()()()()222200000201212120414214A B x y x x y AB y y x k k x k k k k +-+-=-=-=+-=又因为22004123y x =-代入上式化简为0062x AB x +=+ 所以3200000006611122222MABx x x S x AB x x x ++=⋅⋅=⋅=++△[]01,2x ∈ 令()3262x x f x x +=+，[]1,2x ∈，求导知()f x 在[]1,2x ∈为增函数，所以2126S ∈⎢⎣．18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】(1)3y =或34120x y +-=(2)120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程；（2）设点(),M x y ，由已知可得()2214x y ++=，分析可知圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，可得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.(1)解：联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，所以，圆C 的方程为()()22321x y -+-=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x =，此时直线0x =与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 23111+=+k k ，整理可得2430k k +=，解得0k =或34-.故所求切线方程为3y =或334y x =-+，即3y =或34120x y +-=.(2)解：设圆心C 的坐标为(),24a a -，则圆C 的方程为()()22241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，设点(),M x y ，由2=MA MO 可得()222232x y x y +-+整理可得()2214x y ++=，由题意可知，圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，所以，()221233a a ≤+-，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤.所以，圆心C 的横坐标a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2020年高考数学(文科)一轮复习小题必刷卷十一直线与圆

小题必刷卷十一直线与圆考查范围:第44讲~第47讲题组一刷真题角度1 圆的标准方程与一般方程1.[2018·天津卷] 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .2.[2016·浙江卷] 已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .3.[2016·天津卷] 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 .4.[2014·全国卷Ⅰ改编] 已知点P (2,2),圆 C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,则M 的轨迹方程为 . 角度2 直线与圆、圆与圆的位置关系5.[2018·全国卷Ⅲ] 直线x+y+2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x-2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[√2,3√2]D .[2√2,3√2]6.[2016·全国卷Ⅱ] 圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A .-43 B .-34C.√3D.27.[2014·全国卷Ⅱ]设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A. [-1,1]B. [-12,1 2 ]C. [-√2,√2]D. [-√22,√2 2]8.[2016·山东卷]已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离9.[2015·安徽卷]直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或1210.[2015·四川卷]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)11.[2014·浙江卷]已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是()A.-2B.-4C.-6D.-812.[2014·安徽卷]过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A .(0,π6]B .(0,π3] C .[0,π6] D .[0,π3]13.[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y=x+2a 与圆C :x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 .14.[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l :x-√3y+6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD|= .15.[2014·湖南卷] 若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0外切,则m= ( ) A .21 B .19 C .9 D .-1116.[2015·湖南卷] 若直线3x-4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2(r>0)相交于A ,B 两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r= .17.[2015·山东卷] 过点P (1,√3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = .题组二刷模拟18.[2018·广东佛山模拟] 已知圆O 1的方程为x 2+y 2=1,圆O 2的方程为(x+a )2+y 2=4,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么实数a 的所有取值构成的集合是 ( )A .{1,-1,3,-3}B .{5,-5,3,-3}C .{1,-1}D .{3,-3}19.[2018·贵州贵阳一中月考] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,直线l 恒过点(1,√3),则“直线l 的斜率为√33”是“直线l 与圆O 相切”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.[2018·南充三诊]直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于两点,且这两个点关于直线x+y=0对称,则a+b=()A.5B.4C.3D.221.[2018·北京东城区期末]直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=√2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22.[2019·四川广安华蓥调研]若过点(2,0)有两条直线与圆x2+y2-2x+2y+m+1=0相切,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)23.[2018·吉林梅河口五中二模]已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M 上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,点Q的横坐标为()A.2-√22B.2±√22C.3-√22D.3±√2224.[2018·山东淄博模拟]直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则k的取值范围是()A.[-34,0]B.[-√33,√33]C.[-√3,√3]D.[-23,0]25.[2018·北京朝阳区期末]阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为√2,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是()A.2√2B.√2C.2√23D.√2326.[2018·北京丰台区3月模拟]圆心为(1,0),且与直线y=x+1相切的圆的方程是.27.[2018·天津一中月考]已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的标准方程为.28.[2018·湖南长郡中学一模]若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.29.[2018·河南安阳一模]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是.。

新教材高考数学第二章直线和圆的方程5-2圆与圆的位置关系练习含解析新人教A版选择性必修第一册

圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组两圆的公共点个数 2个 1个 0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.( √ )一、两圆位置关系的判断例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案 4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条．二、两圆的公共弦问题例2 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. ∴|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝－4－02＋0－22＝2 5.即公共弦长为2 5.反思感悟两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2 (1)两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦的长为( ) A ．5 B ．5 2 C ．10 2 D ．10 答案 D(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22，设圆C 3的半径为r ，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.圆系方程的应用典例 (1)求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－x －1，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为3－32＋[3－－1]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.(2)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程．解设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)，|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5<r 1＋r 2，又r 2－r 1<5，所以两圆相交．2．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定答案 C解析圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2. 依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析设圆C 的半径为r ，圆心距为d ＝4－02＋－3－02＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4，当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a＝22－32＝1，所以a ＝1.1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦．2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离答案 C解析由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2，所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞121 C ．1≤m ≤121 D ．1＜m ＜121答案 C解析圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ；圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2，即|m －6|≤－3－02＋4－02≤m ＋6，∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r >0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切答案 CD解析两圆的圆心距为d ＝1－02＋－3－02＝10，两圆的半径之和为r ＋4，因为10<r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 C解析圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8， ∴|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13，∴r －R ＜|O 1O 2|＜R ＋r ， ∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是_____________．答案 a 2＋b 2>3＋2 2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a ，0)，2和(0，b )，1. 因为两圆外离，所以a 2＋b 2>2＋1，即a 2＋b 2>3＋2 2.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是_______．答案 x ＋3y ＝0解析圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10. 又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案 4解析连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt△OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.15．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是____________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1，所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t≤3.所以，实数t的取值范围是[]－3＋23，3.。

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高考数学复习直线与圆测试题 1.（北师大版必修2 第93 页A组第1题）已知点)33,1(),3,1(BA，求直线AB的斜率.

变式1：已知点)33,1(),3,1(BA，则直线AB的倾斜角是（） A.3 B.6 C.32 D.65

解：∵311333ABk，∴3tan，∵0，∴323，故选（C）. 变式2：（2006年北京卷）若三点)0)(,0(),0,(),2,2(abbCaBA共线，则ba11的值等于 .

解：∵A、B、C三点共线，∴ACABkk，∴202220ba，∴)(2baab，∴2111ba. 变式3：已知点)2,5(),1,1(BA，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线l的斜率. 解：设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，依题意有4315)1(22tan，∴

43tan1tan22



，∴03tan8tan32，∴31tan或3tan.由0018020，得

00900

，∴0tan，∴31tan，∴直线l的斜率为31.

2.（人教A版必修2 第111页A组第9题）求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式1：直线0632yx在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（） A.2,3ba B.2,3ba C.2,3ba D.2,3ba 解：令0x得2y，∴直线在y轴上的截距为2b；令0y得3x，∴直线在x轴上的截距为3a，故选（B）. 变式2：过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .

解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23xy或xy23，即01yx或023yx. 变式3：直线l经过点)3,2(P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程. 解：依题意，直线l的斜率为±1，∴直线l的方程为23xy或)2(3xy，即01yx或05yx.

3.（人教A版必修2 第124页A组第3题）求直线01052yx与坐标轴围成的三角形的面积. 变式1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .

解：设所求直线方程为)5(4xky，依题意有5)45)(54(21kk，

∴01630252kk（无解）或01650252kk，解得52k或58k. ∴直线的方程是01052yx或02058yx. 变式2：（2006年上海春季卷）已知直线l过点)1,2(P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 . 解：设直线AB的方程为)0()2(1kxky，

则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21kkkkkkkkSOAB，当且仅当kk14即21k时取等号，∴当21k时，OABS有最小值4. 变式3：已知射线)0(4:xxyl和点)4,6(M，在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小. 解：设)1)(4,(000xxxN，则直线MN的方程为0)4)(6()6)(44(00yxxx.令0y得

1500xxx，∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000xxxxxxxxxS

40]211)1(2[1000xx，当且仅当11100xx即20x时取等号，∴当N为（2，8）时，三角形面积S最小. 4.（北师大版必修2 第117页A组第10题）求过点)4,1(A，且与直线0532yx平行的直线的方程. 变式1：（2005年全国卷）已知过点),2(mA和)4,(mB的直线与直线012yx平行，则m的值为（） A.0 B.-8 C.2 D.10

解：依题意有224mm，解得8m，故选（B）.

变式2：与直线0532yx平行，且距离等于13的直线方程是 . 解：设所求直线方程为032myx，则1332522m，解得18m或8m，∴直线方程为01832yx或0832yx. 变式3：已知三条直线0,0134,0532ymxyxyx不能构成三角形，求实数m的取值集合. 解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角

形，故23m或34m或1m，∴实数m的取值集合是24,,133.

5.（北师大版必修2 第117页A组第7题）若直线062yax和直线0)1()1(2ayaax垂直，求a的值.

变式1：（1987年上海卷）若直线062:1yaxl与直线0)1()1(:22ayaxl平行但不重合，则a等于（） A.-1或2 B.-1 C.2 D.32

解：∵21//ll，∴21kk且21bb，∴112aa且1132aa，解得1a，故选（B）. 变式2：（2005年北京春季卷）“21m”是“直线013)2(myxm与直线03)2()2(ymxm相互垂直”的（）

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解：由20)2(3)2)(2(0212121mmmmmBBAAll或21m，知由

21m可推出21ll，但由21ll推不出21m，故21m是21ll的充分不必要条件，故选（B）.

变式3：设直线062yax与圆04222yxyx相交于点P、Q两点，O为坐标原点，且OQOP，求m的值. 解：∵圆04222yxyx经过原点O，且OQOP，∴PQ是圆的直径，∴圆心（1，-2）在直线062yax上，∴2m.

6.（人教A版必修2 第110页A组第3题）已知)4,7(A，)6,5(B，求线段AB的垂直平分线的方程.

变式1：已知)4,7(A关于直线l的对称点为)6,5(B，则直线l的方程是（） A.01165yx B.0156yx C.01156yx D.0165yx

解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.∵65ABk，∴561ABlkk，∵AB的中点为（1，1），∴直线l的方程是)1(561xy即0156yx，故选（B）. 变式2：已知圆16)4()7(22yx与圆16)6()5(22yx关于直线l对称，则直线l的方程是 . 解：依题意得，两圆的圆心)4,7(A与)6,5(B关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分

线，由变式1可得直线l的方程为0156yx. 变式3：求点)4,7(A关于直线0156:yxl的对称点B的坐标.

解：设),(yxB.由lAB，且AB的中点在直线l上，得0124527615674yxxy，解得

65yx

，∴)6,5(B.

7.（北师大版必修2 第118页B组第2题）光线自点)3,2(M射到点)0,1(N后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程.

变式1：一条光线从点)3,2(P射出，经x轴反射，与圆1)2()3(22yx相切，则反射光线所在直线的方程是 . 解：依题意得，点P关于x轴的对称点)3,2('P在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为)2(3xky，即032kykx.由反射光线与圆相切得11552kk，解得34k或43k，∴反射光线所在直线的方程是)2(343xy或)2(433xy，即0134yx或0643yx. 变式2：（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点)0,0(A、)0,2(B、)1,2(C和)1,0(D，一质点从AB的中点0P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角）.设4P的坐标为)0,(4x.若204x，则tan的取值范围是（） A.)1,31( B.)32,31( C.)21,52( D.)32,52(

解：用特例法，取14x，则1P、2P、3P、4P分别为BC、CD、DA、AB的中点，此时21tan.依题意，包含21tan的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）. 变式3：已知点)15,2(),5,3(BA，在直线0443:yxl上求一点P，使PBPA最小. 解：由题意知，点A、B在直线l的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点'A，然后连结BA'，则直线BA'与l的交点P为所求.事实上，设点'P是l上异于P的点，则

PBPABABPAPBPAP''''''.

设),('yxA，则0425423314335yxxy，解得33yx，∴)3,3('A，∴直线BA'的

方程为05118yx.由051180443yxyx，解得338yx，∴)3,38(P. 8.（人教A版必修2第144页A组 3）求以)3,1(N为圆心，并且与直线0743yx相切的圆的方程.

变式1：（2006年重庆卷）过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为（）