第25章 准地转Q矢量

1 第25章 准地转Q矢量 所谓准地转近似，是指水平速度用地转风代替，但保留偏差风项。 §25.1 准地转Q矢量数学表达式的几种形式 自从HoskinS(1978)提出准地转Q矢量以后，Q矢量的概念不断得到发展和应用，HoskinS在准地转Q矢量提出的前提下导出了以准地转Q矢量散度为唯一强迫项的方程，适应于大尺度系统和中尺度系统的诊断分析，Q矢量也因此曾被Durran(1987)誉为计算垂直速度的最好工具。 1. 热成风平衡方程 在准地转Q矢量的推导过程中，要用到热成风平衡方程：

yTRpufgln0 (25.1.1)

xTRpvfgln0 (25.1.2) (见：吕美仲、彭永清《动力气象学教程》p103)。 2. 形式I 可以将Q矢量定义如下：

jViVjiQˆ)ln(ˆ)ln(ˆˆ00ggggyxupfvpfQQ (25.1.3)

亦即：

yvpvfxupufQggggxlnln00 (25.1.4)

yvpvfxupufQggggylnln00 (25.1.5) 3. 形式II TxRQgxV (25.1.6) 2

TyRQgyV (25.1.7)

亦即： yTxvRxTxuRQggx (25.1.8)

yTyvRxTyuRQggy (25.1.9)

4. 形式III(详见：孔玉寿、章东华《现代天气预报技术》p86)。 jQiQQyxˆˆ

jTyVpRiTxVpRggˆ)(ˆ)( (25.1.10)

亦即： yTxvpRxTxupRQggx (25.1.11)

yTyvpRxTyupRQggy (25.1.12)

5. 三种形式的等价性 将式(25.1.1)与(25.1.5)代入式(25.1.8)得：

xvpufxupvfQggggxlnln00 (25.1.13) 考虑到0yvxugg，亦即有：

yvxugg (25.1.14)

用式(25.1.14)代换掉式(25.1.13)右端第1项的xug得：

xvpufyvpvfQggggxlnln00 (25.1.15) 将式(25.1.1)与(25.1.2)代入式(25.1.9)得：

puyvfpvyufQggggyln)ln(00 (25.1.16)

用式(25.1.14)代换掉(25.1.16)右端yvg得： 3

xupufyupvfQggggylnln00 (25.1.17) 从以上推导看出，Q矢量数学表达式的形式I与形式II是完全相同的。另外不难看出，形式III与形式II(以及形式I)仅仅相差一个系数)1(p——对于某一个等压面而言，这个系数是一个常量。 §25.2 准地转方程 在介绍Q矢量之前，往往先介绍准地转方程。这可能是由于准地转方程在实际应用中存在两个问题：第一，进行计算需要多层资料；第二，准地转方程中两项强迫项往往是相互抵消的。而根据运动中要维持热成风平衡(与Q矢量有关)的观点，重新推导出另一种形式的方程，则不存在上述两个问题。 1. 准地转位势倾向方程 如果称t(即t')为位势倾向，则天气尺度准地转方程组可写为：

pffftgg2002)()(V (25.2.1)

sgptp)()(V (25.2.2) 这里已用到了关系式20)1(fg。 (详见：吕美仲、彭永清《动力气象学教程》p344)。 2. 准地转方程 将式(25.2.1)对p微商一次，对式(25.2.2)取水平拉普拉斯，再将以上运算的结果相减，消去t，得：

)(22202pfs

)]([1)]([20pfpfgsggsVV (25.2.3) 式(25.2.3)称为准地转方程，它是铅直速度的诊断方程。式(25.2.3)表明，的空间分布完全由瞬时位势场确定。其存在的两个问题如上述所述。 4

§25.3 Q矢量在大气运动中的作用 1. 讨论该问题时用到的四个方程式

pvfQpufdtddtudygln)ln(ˆ'200 (25.3.1)

pufQpvfdtddtvdxgln)ln(ˆ'200 (25.3.2)

yRSQyTRdtddtdupyT)( (25.3.3)

xRSQxTRdtddtdvpxT)( (25.3.4)

2. 从上述四个方程式看出的结果 (i) 将以上四个方程式对照起来看，便可发现，Q矢量是造成流场热成风和温度场热成风在运动中同时发生变化的唯一因子； (ii) 将以上四个方程对比还发现，Q矢量将造成流场热成风和温度场热成风发生大小相等、符号相反的变化，因而它总是起着破坏热成风平衡的作用； (iii) 将以上四个方程对比还发现，二级环流(由,,''vu组成的环流)总是与非热成风相伴随，起着补偿(或调整)作用。 (iv) 将以上四个方程式对比还发现，要维持热成风平衡，则要求：

dtdudtudTˆ， dtdvdtvdT

ˆ

因此，以上四式看出，应有(四公式中对应式相减为零)： xpQpufxRS2ln'20

 (25.3.5)

ypQpvfyRS2ln'20

 (25.3.6)

§25.4 Q矢量为强迫项的准地转方程 1. 预备知识 5

① AyxA)(22222 (25.4.1) ② 0''pyvxu (25.4.2) ③ pppln (25.4.3) 2. 推导过程 将本章式(25.3.6)对x微商，将式(25.3.7)对y微商，则得：

xpQxxuppfxRS2)('202

2 (25.4.4)

ypQyyvppfyRS2)('202

2 (25.4.5)

将式(25.4.4)与(25.4.5)相应项相加得： QyvxuppfRSp2)(''202 (25.4.6)

考虑到pyvxu)(''，则式(25.4.6)可改变为： QppfRSp22

2202

 (25.4.7)

或写成： Qppfss1)(2

2202 (25.4.8)

其中pSRps。 式(25.4.8)是另一种形式的准地转方程，或称以Q矢量为强迫的准地转方程。 3. Q的导出 人们常常认为可表示为： 6

)sin()2sin()2sin(00ppyLxLyx (25.4.9) 由式(25.4.9)可得： ])2()2[(222yxLL (25.4.10)

202

2)(pp

 (25.4.11)

将式(25.4.10)与(25.4.11)代入式(25.4.8)得： QppfLLssyx1})(])2()2{[(202022 (25.4.12)

由于式(25.4.12)左端项与成正比，于是有： Q (25.4.13)

4. 由Q得出的推论 根据式(25.4.13)可得出推论：Q矢量辐散区0Q，0，有下沉运动；Q矢量辐合区0Q，0，有上升运动。

5. 以Q矢量为强迫项之方程的优点(与原准地转方程(25.1.3)相比) 式(25.4.10)的优点是强迫项只有一项，没有抵消项；另外，根据Q矢量的定义(参见式(25.2.4)、(25.2.5)以及式(25.2.8)、(25.2.9))，Q矢量散度仅与位势场和温度场有关，只要给某一层次资料，就可计算出Q，从而可确定场。正因为如此，Q矢量已广泛用于天气诊断分析之中。