4函数的极值与最大小值23页
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
第五节-函数的极值与最大值最小值
第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义 设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，如果对于去心邻域()0U x 内有定义，如果对于去心邻域()0U x 内的任一x ，有()()0f x f x <（或()()0f x f x >），那么就称()0f x 是函数()f x 的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点．定理1 （必要条件）设函数()f x 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，则()0f x '0.= 定理2（第一充分条件）设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域()0,U x δ内可导．（1）若当()00,x x x δ∈-时，()0f x '>，而当()00,x x x δ∈+时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值；（2）若当()00,x x x δ∈-时，()0f x '<，而当()00,x x x δ∈+时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；（3）若当()0,x U x δ∈时，()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 处不取得极值．例1 求函数()(4f x x =-解 ()f x 在(),-∞+∞内可导，除1x =-外处处可导，且 ()51x f x -'=．解方程()0f x '=得函数的驻点1x =．易知1x =-为函数的不可导点．在(),1-∞-内，()0f x '>；在()1,1-，()0f x '<，故1x =-是函数的一个极大值点．又因在()1,+∞内，()0f x '>，故1x =是函数的一个极小值点．极大值为()10f -=，极小值为()1f =-定理2（第二充分条件） 设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且()()000,0f x f x '''=≠，则 （1）当()00f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值； （2）当()00f x ''>时，函数()f x 在0x 处取得极小值． 例2 求函数()()3211f x x =-+的极值． 解 ()()2261.f x x x '=-解方程()0f x '=，得驻点1231,0, 1.x x x =-==()()()226151.f x x x ''=--因()060f ''=>，故()f x 在0x =处取得极小值()00.f = 因()()110f f ''''-==，故用定理3无法判别．当x 取1-左侧邻近的值时，()0f x '<；当x 取1-右侧邻近的值时，()0f x '<，函数()f x 在1x =-处不取极值．同理，()f x 在1x =处不取极值．二、最大值最小值问题求闭区间[],a b 上连续函数()f x 的最大值最小值的方法如下： （1）求出()f x 在(),a b 内的驻点及不可导点；（2）计算()f x 在上述驻点、不可导点处的函数值及()f a ，()f b ；（3）比较（2）中诸函数值的大小，其中最大的就是()f x 在区间[],a b 上的最大值，最小的就是()f x 在区间[],a b 上的最小值．例3 求函数()232f x x x =-+在[]3,4-上的最大值与最小值．解 ()[][]()2232,312,4,32,1,2.x x x f x x x x ⎧-+∈-⎪=⎨-+-∈⎪⎩()()()()23,3,12,4,23,1,2.x x f x x x ⎧-∈-⎪'=⎨-+∈⎪⎩在()3,4-内，()f x 的驻点为32x =；不可导点为1,2.x =因为()()()()31320,10,,20,4624f f f f f ⎛⎫-===== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[]3,4-上的最大值为()320f -=，最小值为()20.f =例4 铁路上AB 段的距离为100km ．工厂C 距A 处20km ，AC 垂直于AB（如图所示）．为了运输需要，要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路．已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3:5．为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？解 设AD x =km ，则()100DB x =-km ，CD =设铁路上每千米的运费为3k ，公路上每千米为5k （k 为某个正数），从B 点到C 点需要的需要的总运费为y ，则()53100,0100.y k x x =-≤≤该函数的导数为3.y k ⎛⎫'=-⎪⎭方程0y '=的解为15.x =因为015100|400,|380,|500x x x y k y k y ======[]0,100上的最小值为15|380x y k ==．因此当15AD =km 时，总运费最省．习题3-51.求下列函数的极值：（1）3226187y x x x =--+； 解 261218,1212.y x x y x '''=--=-令0y '=得驻点121, 3.x x =-=由1|240x y =-''=-<知1|17x y =-=为极大值，由3|240x y =''=>知3|47x y ==-为极小值． （3）422y x x =-+；解 ()3224441,12 4.y x x x x y x '''=-==--=-+ 令0y '=得驻点1231,1,0.x x x =-==由1|80x y =-''=-<知1|1x y =-=为极大值．由1|8x y =''=-0<知1|1x y ==为极大值．由0|40x y =''=>知0|0x y ==为极小值．（5）y =解()3221255.45x y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'==+ 令0y '=得驻点12.5x = 当125x -∞<<时，0y '>，因此函数在12,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调增加；当125x <<+∞时，0y '<，因此函数在12,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调减少，从而125y ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.求下列函数的最大值、最小值： （1）3223,14y x x x =--≤≤；解 函数的导数为()26661.y x x x x '=-=-令0y '=得驻点120, 1.x x ==比较1014|5,|0,|1,|80x x x x y y y y =-====-==-=，得函数的最大值为4|80x y ==，最小值为1| 5.x y =-=-（2）282,13x x x -+-≤≤；解 函数的导数为()()3416422.y x x x x x '=-=-+ 令0y '=得驻点12x =-（舍去），230, 2.x x ==比较1023|5,|2,|14,|11x x x x y y y y =-====-==-=，得函数的最大值为3|11x y ==，最小值为2|14.x y ==-（3）5 1.y x x =-≤≤解函数的导数为1y '=-=令0y '=，得驻点3.4x =比较53145|5,|,|14x x x y y y =-===-==，得函数的最大值为345|,4x y ==最小值为5| 5.x y =-= 10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 如图，设这间小屋的的宽为x ，长为y ，则小屋的面积为.S xy = 已知220x y +=，即202y x =-，故 ()()2202202,0,10.S x x x x x =-=-∈204, 4.S x S '''=-=-令0S '=，得驻点 5.x =由0S ''<知5x =为极大值点，又驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即当宽为5m ，长为10m 时，这间小屋的面积最大．12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）．截面的面积为52m ．问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解 设截面的周长为l ，已知22xl x y π=++及2522x xy π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即5.8xy x π=-故10,.4x l x x x π⎛=++∈ ⎝2310201,.4l l x x π'''=+-= 令0l '=，得驻点x =32200404x l π''=>⎛⎫ ⎪+⎝⎭知x =点唯一，故极小值点就是最小值点．所以当截面的底宽为x =最小，从而使建造时所用的材料最省．。
微积分 第四章 第四节 函数的极值与最值
此时
h
V
r2
Vr
r3
2r ， 即高与底面直径相等.
9
利用最值证明不等式
例11 设 0 x 1 , p 1 ,证明不等式:
1 2 p1
xp
(1
x)p
1
解 设 f ( x) x p (1 x) p ,则
f ( x) px p1 p(1 x) p1 令 0 ， x 1 .
2
11
8
例10 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计 才能使所用材料最省？
解 即表面积最小. 设底半径为r, 高为h，
则容积
V
r2h
h
V
r
2
，
总的表面积为
h r
S 2 r 2 2 rh 2 r2 2V ，r (0, )
r
S
4
r
2V r2
2 r2
(2
r3
V
)
,
得唯一驻点
r3
V
2
,
导数左负右正，是极小值点，即为最小值点 .
因为
C
1600 x3
0
，所以当
x
400
时,平均成本最低.
此时平均成本和边际成本均为4.
一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.
12
2.最大利润问题
例14 设某产品的需求函数为Q 50 5P ,成本函数 为 C 50 2Q ,求产量为多少时利润最大？
解 P 10 Q , 5
利润函数为 L(Q) PQ C
4
在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述 方法：
设函数 f ( x) 在区间 I (开或闭，可无限)上连续，且在
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的极值与最大值最小值
L
O r
OR
hR O
解 剪去一个圆心角为 的扇形后，剩下的扇形铁皮
的弧长为
L (2 )R
它刚好就是卷折成的圆锥形容器的低圆之周长，所以其
半径
r
L
2
1
2
R
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
r
L
2
1
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
解
即
F 5 g , cos sin
[0, π2]
令 () cos sin
F
则问题转化为求()的最大值问题 .
P
() cos sin
令
解得
1.8
目标函数为
x
arctan1.4 1.8 arctan1.8, x (0, )
x
x
3.2 x2 3.22
1.8 x2 1.82
1.4(x2 5.76) (x2 3.22 )(x2 1.82 )
高数函数的极值与最大最小值
? 1.4(x2 ? 5.76) (x2 ? 3.22 )(x2 ? 1.82 )
令 ? ?? 0, 得驻点 x ? 2.4? (0,? ? )
根据问题的实际意义 , 观察者最佳站位存在 , 驻点又
唯一, 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .
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例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 C(x) ? x3 ? 6x2 ? 15x , 售出该产品 x 千件的收入是R(x) ? 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平 ? 如果存在 , 找出它来 .
内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为 0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极 大值
过 由负变正
为极 小值
(3) 第二充分条件
为极大值 ?
为极小值 ?
(4) 判别法的推广 定理3
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
例如 , 函数 f (x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 3 y
为极大值点 ,
是极大值
2 1
为极小值点 ,
是极小值 O 1 2 x
注意: 1) 函数的极值是函数的 局部性质.
2) 对常见函数 , 极值可能出现在 导数为 0 或
不存在的点 .
y
x1 , x4 为极大值点
x 2 , x5 为极小值点
cos? ? ? sin?
令 ? (? ) ? cos? ? ? sin?
?
?
[
0,
π 2
]
则问题转化为求 ? (? )的最大值问题 .
函数的极值与最大(小)值(解析版)
函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。
本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。
一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。
定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。
其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。
2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。
通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。
3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。
通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。
4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。
这种方法在实际问题中应用较多。
三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。
2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。
3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。
4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。
总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
函数的极值 公开课PPT课件
5.新知演练 形成反馈
例1 求下列函数的极值.
（1）f ( x) 2x3 - 3 x2 - 36 x 5;
（2）
f
(x)
ln
x ;
x
5.新知演练 形成反馈
例题3：设函数f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8,其中aR
(1)若f ( x)在x 3处取得极值，求常数a的值
(2)若f ( x)在(, 0)上为增函数，求a的取值范围
(1)
点
(2)
（1）极大值：在包含 x0的一个区间内 (a, b)，函数y f (x) 在任意一点的函数
值都小于 x0点的函数值，称点 x0为函数y f (x)的极大值点，其函数值 f ( x0 ) 为 函数的极大值。
（2）极小值：在包含 x0的一个区间内 (a, b),函数 y f (x) 在任意一点的函
x (0, x1), f '(x) 0; x (x1, x2 ), f '(x) 0;
x (x2,), f '(x) 0,
x1, x2是f (x)的两个极值点
实数a的取值范围为（4， ）
7.回顾反思 总结提炼
课堂小结:
（1）通过本节课的学习，学生要掌握函数极值得定义以及求函数极值的基本步骤。
当a 1时, x (,1) (a, )，则f (x) 0 所以f (x)在(,1)和(a, )上为增函数， 从而f (x)在(, 0)上也为增函数
综上所述：
若f (x)在(, 0)上为增函数，则a的取值范围为0，+
6.综合提升 高考变形
例题4：已知函数 实数a的取值范围
f
(x)
a
ln
x
1 2
求函数 y f ( x)的极值点的步骤：
函数的极值和最值
21
t 0 令 f
3.3 函数的极值最值 在实际问题中，往往根据问题的实际意义 就可断定函数f(x)必有最大值或最小值．如果函 数在定义区间内有只有一个驻点，x0则不必讨论 f(x0)是不是极值，就可断定函数f(x0)是最大值或 最小值．
22
3.3 函数的极值最值
通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现
接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在
概念引入之前老师提出和描述问题所用时间．讲座 开始时，学生的兴趣激增，但随着时间的延长，学 生的注意力开始分散．分析结果表明，学生掌握概 念的能力由下式给出：
2 G x 0 . 1 x 2 . 6 x 43
x是提出概念所用 其中Gx 是接受能力的一种度量，
f x 6 x 6 ,
f x 3 x 1 x 3 0
x 1 1
x2 3
1 12 0 因为 f ， 所以极大值为 f 1 10
3 12 0 因为 f
3 22 所以极小值为 f ．
9
3.3 函数的极值最值 求 y 1 x 2 的极值.
, 定义域为
2 3
例2
解
2 1 3 y 3 x2
x2
使 y 无意义的点
x
y
, 2
+
2
2 ,
_
y
极大值1
10
3.3 函数的极值最值 例3 解
3 2的极值. 求y x 1 x
f x f x 1 2
f x 在点 x 0 4.如果函数 f x 在点 x 0 处取得极值,则曲线 y
函数的极值与最值
二、最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
三、应用举例
03
例1
解
计算
比较得
点击图片任意处播放\暂停
例2
敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
练 习 题
练习题答案
下命题正确吗？
思考题
思考题解答
不正确． 例
在–1和1之间振荡 故命题不成立．
练 习 题
练习题答案
解
设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为
点击图片任意处播放\暂停 例4
如图,
解
解得
所以F(x)在[0，1] 上最大值为 1。
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
极小值
例1
图形如下
例2. 求函数
的极值 .
解:
1) 求导数
2) 求极值可疑点
令
得
导数不存在的点
3) 列表判别
是极大点，
其极大值为
是极小点，
其极小值为
定理3(第二充分条件)
证
例3
解
图形如下
注意:
设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且： 解： 所以不论 ，还是 均有
解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点