【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第11章 第5讲 空间坐标系
2015届高考数学总复习 第八章 第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算课时精练 理
第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：因为a ∥b ，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.故选C. 答案：C2．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，若k a －b 与b 垂直，k ∈R ，则k ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：k a －b ＝(－k －1，－2，k －3)，∵k a －b 与b 垂直，∴(k a －b )²b ＝0.∴1³(－k －1)＋2³(－2)＋3(k －3)＝0.∴k ＝7.故选C.答案：C3．已知△ABC 的三个顶点分别为A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A.102 B.212 C.232 D.302解析：BC 中点坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，－12，得|AD |＝(2－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－22＝302. 答案：D4．(2013²威海模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为 ( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝1解析：如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12()AB →＋AD →. 答案：C5．a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°解析：(a ＋b )²(a －b )＝|a |2－|b |2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．故选D.答案：D6.如图，在大小为45°的二面角AEFD 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是 ( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2解析：∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →²FE →＋2FE →²ED →＋2BF →²ED →＝1＋1＋1－2＝3－2.∴|BD →|＝3－ 2.故选D.答案：D7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )²(2b )＝－2，则x ＝________.解析：c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)，由(c －a )²(2b )＝－2得(0,0,1－x )²(2,4,2)＝－2，即2(1－x )＝－2，解得x ＝2.答案：28．设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P 坐标为__________．解析：∵点P 在x 轴上，∴设点P 坐标为(x,0,0)． ∵|PP 1|＝2|PP 2|，∴（x －0）2＋（0－2）2＋（0－32)＝2（x －0）2＋（0－1）＋（0＋1）2 .∴x ＝±1.∴点P 为 (1,0,0)或(－1,0,0)．答案：(1,0,0)或(－1,0,0)9．若AB →＝(2,2，－2)，BC →＝(1，y ，z )，BP →＝(x －1，y,1)，且AB →∥BC →，BP ⊥AB ，则实数x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵AB →∥BC →，∴12＝y 2＝－z 2.∴z ＝－1，y ＝1. ∵BP ⊥AB .∴BP →²AB →＝0.∴2(x －1)＋2y －2＝0.∴x ＝1.答案：1,1，－110．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ²b ＝12，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________．解析：向量a 在向量b 的方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |a ²b |a ||b |＝a ²b |b |＝125. 答案：12511．在yOz 平面上，求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)和C (0,5,1)等距离的点．解析：设yOz 平面上点M (0，b ，c )，依题意|AM |＝|BM |＝|CM |，得⎩⎪⎨⎪⎧ （0－3）2＋（b －1）2＋（c －2）2 ＝（0－4）2＋（b ＋2）2＋（c ＋2）2，（0－3）2＋（b －1）2＋（c －2）2 ＝（b －5）2＋（c －1）2，解得b ＝1，c ＝－2，∴所求点为M (0,1，－2)．12．(2013²北京丰台区模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F 、G 分别是线段AE 、BC 的中点．求AD 与GF 所成角的余弦值．解析：以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz ，A (0,2,0)，B (2，0,0)，D (0,0,2)，G (1,0,0)，F (0,2,1)，所以AD →＝(0，－2,2)，GF →＝(－1,2,1)，|AD →|＝22，|GF →|＝6，AD →²GF →＝－2，cos 〈AD →，GF →〉＝AD →²GF →|AD →||GF →|＝－36. 故AD 与GF 所成角的余弦值为36.13．(2013²南京月考)如图，在四棱锥MABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB 、AD 的夹角都是60°，N 是CM 的中点，设a ＝AB →，b ＝AD →，c ＝AM →，试以a ，b ，c 为基向量表示出向量BN →，并求BN 的长．解析：因为BN →＝BC →＋CN →＝AD →＋12CM → ＝AD →＋12()AM →－AC →＝AD →＋12[AM →－(AD →＋AB →)] ＝－12AB →＋12AD →＋12AM →， 所以BN →＝－12a ＋12b ＋12c ， |BN →|2＝BN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c 2＝ 14(a 2＋b 2＋c 2－2a ²b －2a ²c ＋2b ²c )＝174， 所以|BN →|＝172，即BN 的长为172.。
2015高考数学(文)二轮专题复习课件：专题五_第一讲 空间几何体
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主干考 点梳理
考点2
多面体与旋转体的表面积与体积的计算
1．多面体的表面积．
面积之和． 多面体的表面积为各个面的________
2．旋转体的表面积．
(1)圆柱的表面积S＝________ 2πr(r＋L； )
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(2)圆锥的表面积S＝________ (2)πr(r＋； L)
(3)圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′L＋rL)； 4πR2 ． (4)球的表面积S＝________
主干考 点梳理 3．体积公式． Sh (1)柱体的体积V＝________ ． 1 Sh ． (2)锥体的体积V＝________ 3
1 (S′＋ S′ S＋S)h (3)台体的体积V＝________ ． 3
球的半径为 R，球心为 O，正四棱锥底面中心为 E，则 OE 垂直棱锥底面， OE＝ 4－ R，所以 (4－ R)2＋ ( 2)2＝ 81π 9 R2，解得 R＝ ，所以球的表面积 S＝4πR2＝ . 4 4
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主干考 点梳理
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该
几何体的体积是( B )
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考点2
三视图
1．空间几何体的三视图包括___________ 正(主)视图 、 ________ ______． 侧 (左)视图和俯视图 2．在三视图中，正(主)侧(左)一样________ ， 高 长 宽 正(主)俯一样________ ，侧(左)俯一样________ ．
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高考热 点突破 规律方法 (1)解答此类问题，首先由三视图想象出几何 体的形状，并由相关数据得出几何体中的量，进而 求得表面积或体积． (2)掌握三视图是正确解决这类问题的关键，同 时也体现了知识间的内在联系，是高考的新动向．
2015届高考数学总复习 第十章 第三节坐标系课时精练试题 文(含解析)
第三节 坐 标 系1．(2013·安徽卷改编)在极坐标系中，ρ∈R,0≤θ＜2π，则圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为____________．解析：在极坐标系中圆ρ＝2cos θ的图形如图所示，与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈R )，ρcos θ＝22．(2013·茂名二模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(cos θ－sin θ)＝－1的交点的极坐标为____________．解析：两直线的直角坐标方程分别为x ＋y －1＝0，x －y ＋1＝0，它们的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，π23．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为____________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x ，得y ′＝3sin 2x ′.答案：y ′＝3sin 2x ′4．(2013·汕头二模)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 则极点到该直线的距离是________．解析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，得x ＋y －1＝0，极点(0,0)也就是原点到该直线的距离为d ＝|0－0－1|2＝22.答案：225．(2013·梅州二模)在极坐标系中，已知P 为方程ρ(cos θ＋sin θ)＝1所表示的曲线上一动点，Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.则|PQ |的最小值为____________．解析：ρ(cos θ＋sin θ)＝1表示直线，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3化为直角坐标是Q (1，3)，|PQ |的最小值即为点Q 到直线的距离，即|1＋3－1|2＝62.答案：626．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O为极点)的面积为________．答案：3 7. (2013·佛山、江门二模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2sin θ，ρ＝2cos θ，结合图形可得交点的极坐标为A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，化为直角坐标为A (0,0)， B (1,1)，可得线段AB 的垂直平分线的直角坐标方程为x ＋y ＝1，化为极坐标系下的方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1.答案：ρsin θ＋ρcos θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或写成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝228．在极坐标系中，直线θ＝π3(ρ∈R )与圆ρ＝4cos θ＋43sin θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案：89．( 2013·陕西西安五校第三次联考)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3与直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1的两个交点之间的距离为________．解析：曲线ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，该曲线是圆，圆心是(1，3)，半径是2；直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，圆心到该直线的距离为d ＝|1＋3×3－2|2＝1，所以，两交点之间的距离为222－12＝2 3.答案：2 310．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5所表示曲线的直角坐标方程是__________．解析：因为sin2θ2＝1－cos θ2，所以原方程变为2ρ(1－cos θ)＝5，即2ρ－2ρcos θ＝5，将互化公式ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，化简得y 2＝5x ＋254.答案：y 2＝5x ＋25411．(2012·湖南卷) 在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________________.解析：曲线C 1的方程可化为2x ＋y －1＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，曲线C 2的方程可化为x 2＋y 2＝a 2，把交点⎝⎛⎭⎪⎫22，0代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋02＝a 2，又a >0，所以a ＝22.答案：2212．极坐标系内，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，π413．(2013·河南开封第二次质检23改编)已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程：ρ＝4cos θ.若直线l 的斜率为－1，则直线l 与曲线C 交点的极坐标为_______________．解析：因为直线l 的斜率为－1，所以cos α＝－22，sin α＝22，所以直线l 的普通方程为y ＝－x ，①由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，由互化公式得x 2＋y 2＝4x ，②联立①②解得交点坐标为A (0,0)，B (2，－2)，化成极坐标为A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4. 答案：A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π414．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫ θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解析：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径为PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。
【南方新课堂】高考数学总复习 第一章 集合与逻辑用语课时检测
第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系1．(2013年福建)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )A．2个 B．3个C．4个 D．16个2．(2013年广东)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N ＝( )A. {0}B. {0,2}C. {－2,0} D．{－2,0,2}3．(2013年安徽)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2}C．{－2,0,1} D．{0,1}4．(2012年福建)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}5．(2011年广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个6．(2012年新课标)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3个 B．6个C．8个 D．10个7．(2012年广东深圳一模)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y ＝f(x)}，则如图K111中阴影部分表示的集合为( )图K111A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)8．(2012年广东珠海摸底)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，※＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是( ) A．10个 B．15个 C．16个 D．18个9．(2011年安徽合肥一模)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，求A∩B ＝B的概率．10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2013年福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2011年山东)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝33．(2012年广东珠海摸底)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>15．对于任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中是真命题的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．给定两个命题p，q.若綈p是q的充分而不必要条件，则綈q是p的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是____________．8．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中是真命题的序号是________．9．已知p：|x－4|≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，证明a m，a m＋2，a m＋1成等差数列；(2)写出(1)的逆命题，判断它的真假，并给出证明．第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2013年广东肇庆一模)命题“∃x ∈R,2x＜1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x≥1B ．∀x ∈R,2x<1C ．∃x ∈R,2x≥1D ．∃x ∈R,2x<12．(2011年北京)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题3．(2013年广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(2012年山东)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2，命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真6．(2012年福建)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0x e ≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件7．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q: “∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ” 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]8．(2012年广东深圳一模)下面四个命题：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝3sin2x 的图象； ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3；④若f (x )＝sin x cos x ，则存在正实数a ，使得f (x －a )为奇函数，f (x ＋a )为偶函数． 其中所有正确命题的序号为____________．9．设函数f(x)＝x2－2x＋m.(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)若∃x∈[0,3]，f(x)≥0成立，求m的取值范围．10．已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，命题q：函数f(x)＝log13 (x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．习题集部分第一章 集合与逻辑用语第1讲 集合的含义与基本关系1．C 解析：A ∩B ＝{1,3}，共有4个子集．故选C.2．D 解析：M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，M ∪N ＝{0,2，－2}．故选D. 3．A 解析：∵A ＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x ＞－1}， ∴∁R A ＝{x |x ≤－1}，∴(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}． 故选A. 4．D5．C 解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上的所有点组成的集合．集合B 表示直线y ＝x 上的所有点组成的集合．由于直线经过圆内的点O (0,0)，故直线与圆有两个交点．故选C.6．D 解析：要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可以是1,2,3,4；当x ＝4时，y 可以是1,2,3；当x ＝3时，y 可以是1,2；当x ＝2时，y 可以是1.综上共有10个．故选D.7．D 解析：由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y ≤0}，则A ∪B ＝{x |x <1}，A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}，所以∁A ∪B (A ∩B )＝{x |x ≤－1或0<x <1}．8．B9．解：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种， 满足A ∩B ＝B 的情形有：①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅； ②(2,1)，此时B ＝{1}； ③(3,2)，此时B ＝{1,2}．所以P (A ∩B ＝B )＝89.10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2.故所求实数m 的值为2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.因此，实数m 的取值范围是m >5或m <－3. 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．A 解析：当“a ＝3”时，有“A ⊆B ”；当“A ⊆B ”，不一定有“a ＝3”，亦可a ＝2，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．故选A.2．A 解析：由于一个命题的否命题既要否定题设又要否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．3．A 解析：y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π等价于T ＝2π|2a |＝π，∴a＝±1.故选A.4．C 解析：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0，其充分不必要条件应该是集合(－∞，0)的真子集，只有C 符合题意． 5．B 解析：只有②④正确．故选B. 6．A7．－2 2≤a ≤2 2 解析：因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－2 2≤a ≤2 2.8．①②④ 解析：①若k ＞0，则Δ＝4＋4k >0，是真命题．②的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题．③的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．④的否命题为“若xy ≠0，则x ，y 中两个均不为0”，是真命题．9．解：由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． 由|x －4|≤6，得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.10．证明：(1)∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2. 由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m .∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． (2)(1)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列， 则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．设数列{a n }的公比为q ，∴a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2.由题设，知2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，a 1≠0,2S m ＋2＝2(m ＋2)a 1＝(2m ＋4)a 1， S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1， 显然S m ＋S m ＋1≠2S m ＋2，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．逆命题为假． 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．A 解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R,2x ＜1”的否定为：∀x ∈R,2x≥1.2．D 解析：或(∨)一真必真，且(∧)一假必假，非(綈)真假相反．3．D 解析：选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确． 4．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数．5．C 解析：函数y ＝sin2x 的周期为2π2＝π，所以命题p 为假；函数y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，k ∈Z ，所以命题q 为假，所以p ∧q 为假．故选C.6．D 解析：此类题目多选用筛选法，因为e x>0对任意x ∈R 恒成立，所以选项A 错误；因为当x ＝3时，23＝8,32＝9且8<9，所以选项B 错误；因为当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而b a无意义，所以选项C 错误；故选D.7．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥e x max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.8．①③④9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，m ≥－3.10．解：∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立．令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1.∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0.∴－1<a ≤1. 即若命题q 真，则－1<a ≤1.若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.。
《南方新课堂_高考总复习》数学(文科)一轮复习练习：阶段检测(含答案解析)
( 集合、逻辑用语、函数与导数 ) 时间： 50 分钟 满分： 100 分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分，有且只有一个正确答案，请将 答案选项填入题后的括号中．
1．设集合 A ＝ {x|(x ＋ 1)(x －2)<0} ，集合 B ＝{x|1<x<3} ，则 A ∪B ＝ ( )
f(x)
＝
log
2x
－
1 x
的零点，
则 g(x0)＝______. 11．已知函数 f(x) ＝ x 2－m 是定义在区间 [－3－ m，m 2－ m] 上的奇函数，则 f(m) ＝ ______.
三、解答题：本大题共 2 小题，共 34 分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．
12．(14 分 )某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元， 每生产 x 千件需另投入成本为
C． f(x)|g(x)| 是奇函数
D． |f(x)g(x)| 是奇函数
8．已知函数 f(x) ＝ x 3＋ ax2＋ bx＋ c，且 0<f( － 1)＝ f( － 2)＝ f( － 3) ≤３，则 (
)
A． c≤ 3 B ． 3<c ≤６
C． 6<c ≤ 9 D． c>9 二、填空题：本大题共
3 小题，每小题 6 分，共 18 分，把答案填在题中横线上．
C(x)( 单位：万元 )．当年产量不足
80
千件时，
C(x)
＝
1 3
x
2＋
10x
；当年产量不小于
8051x＋
000 x
－
1450.现已知每件商品售价为
0.05 万元．通过市场分析，该厂生产的商
【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题七 平面解析几何
专题七 平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七 平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8， 同理QA 为：y ＝－2x －2， 解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ， 由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。
【课堂新坐标】(安徽专用)2015届高考数学一轮总复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第
【课堂新坐标】（某某专用）2015届高考数学一轮总复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2节课后限时自测理一、选择题1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为( )A．C34·C44B．C38－C34C．2C14·C24＋C34D．C38－C34＋1【解析】从8个点中任选3个点有选法C38种，因为有4点共圆所以减去C34种再加1种，即有圆C38－C34＋1个．【答案】 D2．(2014·某某调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A．120个 B．80个 C．40个 D．20个【解析】分类讨论：若十位数为6时，有A25＝20(个)；若十位数为5时，有A24＝12(个)；若十位数为4时，有A23＝6(个)；若十位数为3时，有A22＝2(个)，因此一共有40个．【答案】 C3．(2013·某某高三第一次质检)将包含甲、乙两队的8支队伍平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有( )A．20种 B．35种 C．40种 D．60种【解析】将8支队伍平均分成2组，每组4支队伍，要使甲、乙分在不同的小组，可从剩下6支队伍中选3支放在其中一组，另外3支队伍在另一组中，即C36＝20，选A.【答案】 A4．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为( )A．8 B．12 C．16 D．24【解析】两名女生站一起有A22种站法，她们与两个男生站一起共有A22A33种站法，老师站在他们的中间有A22A33C12＝24种站法，故应选D.【答案】 D5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( ) A．34种 B．48种 C．96种 D．144种【解析】程序A有A12＝2种排法，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48种，∴由分步计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．【答案】 C二、填空题6．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个．【解析】在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，∴符合条件的三位数共有C23·C12·A33＝36个．【答案】367．(2012·某某高考改编)现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X，从中任取3X，要求这3X卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为________种．【解析】第一类，含有1X红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)．第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．【答案】4728．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．【解析】甲、乙作为元素集团，内部有A22种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A22种排法．将丙、丁插在3个空档中有A23种方法．∴由分步计数原理，共有A22A22A23＝24种排法．【答案】24三、解答题9．四X卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四X卡片可组成不同的四位数有多少个？【解】先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C23种方法，再排另两X卡片有A22种方法．又数字“9”可作“6”用，∴四X卡片组成不同的四位数有2C23A22＝12个．10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？【解】(1)每个盒子放一球，共有A44＝24种不同的放法；(2)法一 先选后排，分三步完成．第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C 24种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A 33种放法．故共有4×C 24A 33＝144种放法．法二 先分组后排列，看作分配问题．第一步：在四个盒子中选三个，有C 34种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C 24(即C 24C 12C 11A 22)种分法； 第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A 33种分法．故共有C 34C 24A 33＝144种分法． B 组 能力提升1．(2014·某某质检)已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36【解析】 (1)若从集合B 中取元素2时，再从C 中任取一个元素，则确定的不同点的个数为C 13A 33.(2)当从集合B 中取元素1，且从C 中取元素1，则确定的不同点有C 13×1＝C 13.(3)当从B 中取元素1，且从C 中取出元素3或4，则确定的不同点有C 12A 33个．∴由分类计数原理，共确定不同的点有C 13A 33＋C 13＋C 12A 33＝33个．【答案】 A2．(2014·某某某某中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)【解析】 先将3,5排列，有A 22种排法；再将4,6插空排列，有2A 22种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C 15种排法．由分步乘法计数原理知，共有A 22·2A 22·C 15＝40种．【答案】 403．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法为几种？(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？【解】 (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A34＝24种．(2)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C27×2＝42种；若分配到3所学校有C37＝35种．∴共有7＋42＋35＝84种方法．法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．。
《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课时作业 第八章 立体几何 Word含解析
第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1．(2016年天津)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图X8-1-1，则该几何体的侧(左)视图为()图X8-1-1A B C D2．(2016年浙江温州十校联考)一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是()A B C D3．如图X8-1-2，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为()图X8-1-2A．6 cm B．8 cmC．(2＋4 2)cm D．(2＋2 3)cm4．(2015年陕西)一个几何体的三视图如图X8-1-3，则该几何体的表面积为()A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4图X8-1-3 图X8-1-45．(2016年天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图X8-1-4(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3. 6．(2017年江西南昌二模)一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，⎝⎛⎭⎫12，1，0，绘制该四面体三视图时， 按照如下图X8-1-5所示的方向画正视图，则得到左视图可以为( )图X8-1-5A B C D7．(2017年浙江)某几何体的三视图如图X8-1-6(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )图X8-1-6A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 8．(2017年广东惠州三模)如图X8-1-7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为( )图X8-1-7A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π9．(2017年山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图X8-1-8，则该几何体的体积为________．图X8-1-810．如图X8-1-9，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．图X8-1-911．如图X8-1-10所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图X8-1-11.X8-1-10(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．X8-1-1112．图X8-1-12为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)如图X8-1-13所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；(2)求四棱锥B-CEPD的体积；(3)求证：BE∥平面PDA.X8-1-12X8-1-13第2讲 空间几何体的表面积和体积1．(2015年山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2 2π3B.4 2π3C ．2 2πD ．4 2π 2．(2015年新课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图X8-2-1.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图X8-2-1A ．1B ．2C ．4D ．83．(2015年新课标Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图X8-2-2，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )图X8-2-2A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛4．(2015年湖南)某工件的三视图如图X8-2-3，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为⎝⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )图X8-2-3A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π5．(2016年四川)已知某三棱锥的三视图如图X8-2-4，则该三棱锥的体积________．图X8-2-46．(2017年天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．7．(2016年浙江)某几何体的三视图如图X8-2-5(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.图X8-2-58．(2015年上海)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比值为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______．9．(2017年广东揭阳一模)已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，三棱锥O -ABC 的体积为40 3，则该球的表面积等于________．10．(2016年新课标Ⅲ)如图X8-2-6，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图X8-2-6A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．8111．(2015年新课标Ⅱ)如图X8-2-7，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图X8-2-712．(2016年新课标Ⅱ)如图X8-2-8，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F 分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)求证AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2，求五棱锥D′ABCFE的体积．图X8-2-8第3讲 点、直线、平面之间的位置关系1．(2015年广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 与l 1，l 2都不相交 2．(2016年浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n3．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点．则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l .m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面 4．(2015年湖北)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 5．如图X8-3-1所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中．图X8-3-1①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°；④CN 与AF 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③ D ．③④ 6．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 7．(2014年大纲)已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33 8．(2017年新课标Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)9．如图X8-3-2，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝2 3，P A ＝2.求： (1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．图X8-3-210．(2016年上海)将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图X8-3-3，AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小．图X8-3-3第4讲直线、平面平行的判定与性质1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α2．(2017年河北唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β3．如图X8-4-1，已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是()图X8-4-1A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C14．(2015年北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，m∥β，则m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n6．如图X8-4-2(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜至如图X8-4-2(2)时，BE·BF是定值．其中正确说法的序号是____________．图X8-4-27．如图X8-4-3，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图X8-4-38．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题．可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．9．(2017年新课标Ⅱ)如图X8-4-4，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD, ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为2 7，求四棱锥P -ABCD 的体积．图X8-4-410．如图X8-4-5，四棱锥P -ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，AC ⊥CD ，且平面PCD ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥PD ；(2)在线段P A 上是否存在点E ，使BE ∥平面PCD ？若存在，求PEP A的值；若不存在，请说明理由．图X8-4-5第5讲 直线、平面垂直的判定与性质1．(2015年浙江)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m 2．(2017年江西南昌二模)已知直线m ，n 与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥α，n ⊂γ，则下列判断一定正确的是( )A ．m ∥γ，α⊥γB ．n ∥β，α⊥γC ．β∥γ，α⊥γD ．m ⊥n ，α⊥γ 3．如图X8-5-1，在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )图X8-5-1A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC 4．如图X8-5-2，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿着AE 和AF 及EF 把正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在四面体A -EFH 中必有( )图X8-5-2A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面 5．如图X8-5-3，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC的距离为( )图X8-5-3A.34 B.32 C.3 34 D. 3 6．如图X8-5-4在三棱锥P -ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是( )图X8-5-4A ．当AE ⊥PB 时，△AEF 一定为直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，△AEF 一定为直角三角形C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定为直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定为直角三角形7．(2017年浙江)如图X8-5-5，已知正四面体D -ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CRRA＝2，分别记二面角D -PR -Q ，D -PQ -R ，D -QR -P 的平面角为α，β，γ，则( )图X8-5-5A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α8．(2016年新课标Ⅱ) α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： (1)如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. (2)如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . (3)如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.(4)如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)9．(2015年山东)如图X8-5-6，三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .图X8-5-610．(2017年广东汕头一模)如图X8-5-7，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，且四边形BB 1C 1C 是菱形，∠BCC 1＝60°.(1)求证：AC 1⊥B 1C ；(2)若AC ⊥AB 1，三棱锥A -BB 1C 的体积为63，求△ABC 的面积．图X8-5-7第6讲 空间坐标系与空间向量1．下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC → B.OM →＝12OA →＋13OB →＋15OC →C.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0D.MA →＋MB →＋MC →＝02．(人教A 版选修2-1P97习题A 组T2改编)如图X8-6-1，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则下列向量与BM →相等的向量是( )图X8-6-1A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD的中点，则EF →·DC →＝( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－34 4．(2015年浙江)如图X8-6-2，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．图X8-6-25．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216aB.66aC.156aD.153a6．(2016年山西太原模拟)如图X8-6-3，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )图X8-6-3A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32 D ．(1,1,2) 7．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 中点，则EF 的长为________． 8．(2016年浙江)如图X8-6-4，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．图X8-6-49．如图X8-6-5，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．图X8-6-510．(2014年新课标Ⅰ)如图X8-6-6，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．图X8-6-6第7讲 空间中角与距离的计算1．如图X8-7-1，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.2 55图X8-7-1 图X8-7-22．(2016年黑龙江哈尔滨六中统测)如图X8-7-2，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，A 1Q ＝3QC .则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为( )A.3913B.21313C.23913D.1313 3．如图X8-7-3，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正切值是( )A.23B.22C.23D.63图X8-7-3 图X8-7-44．若正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.35B.45C.34D.555．已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．6．如图X8-7-4，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为2 2，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为____________．7．(2017年山东)如图X8-7-5，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小．图X8-7-58．(2017年广东深圳一模)如图X8-7-6，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，AB ＝BD ＝2，AE ＝3，∠EAD ＝∠EAB .(1)证明：平面ACFE ⊥平面ABCD ； (2)若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B -EF -D 的余弦值．图X8-7-69．(2016年新课标Ⅱ)如图X8-7-7，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．图X8-7-7第八章 立体几何第1讲 空间几何体的三视图和直观图1．B 解析：截去的是长方体右上方顶点．故选B.2．B 解析：由题意，符合选项A 的几何体是一个直三棱柱，其中底面三角形是底边为1，高为1的等腰三角形，侧棱长为1；符合选项C 的几何体是一个棱长为1的正方体；符合选项D 的几何体是一个棱长为1的正方体去掉半径与母线长都为1的14圆柱．3．B 4．D 解析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是12×2π×1×2＋π×12＋2×2＝3π＋4.故选D.5．2 解析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为13×(2×1)×3＝2.故答案为2. 6．B 解析：满足条件的四面体如图D138(1)，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以左(侧)视方向如图，所以得到左视图效果如图D138(2)，故答案：选B.(2)图D1387．A 解析：V ＝13×3×⎝⎛⎭⎫π×122＋12×2×1＝π2＋1. 8．B 解析：画出满足条件的四棱锥D139，底面是边长为3的正方形，顶点在底面的射影为点B ，高为4.根据垂直关系可得AD ⊥AE ，DC ⊥EC ，DE 为直角三角形△ADE 和△CDE 和△BDE 的公共斜边，所以取DE 中点O ，O 为四棱锥外接圆的圆心，DE 2＝AB 2＋BE 2＋AD 2＝32＋42＋32＝34，DE ＝2R ＝34，那么四棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝34π.故选B.图D1399．2＋π2 解析：该几何体的体积为14π×12×1×2＋2×1×1＝π2＋2.10．1 解析：三棱锥P -ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.11．解：(1)如图D140.(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2)×2＝2843.图D14012．(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D141.图D141(2)解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD . ∵平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∵BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDCE .∵S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )·DC ＝12×3×2＝3，∴四棱锥B -CEPD 的体积为 V B -CEPD ＝13S 梯形PDCE·BC ＝13×3×2＝2. (3)证明：∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ， ∴EC ∥平面PDA .同理，BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC ∩BC ＝C ， ∴平面EBC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面EBC ，∴BE ∥平面PDA .第2讲 空间几何体的表面积和体积1．B 解析：由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为2 2，斜边上的高为2，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以其体积为13π×(2)2×2 2＝4 2π3.故选B.2．B 解析：如图D142，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2.故选B.图D142 3．B 解析：设圆锥底面半径为r ，则14×2×3r ＝8.所以r ＝163.所以米堆的体积为13×14×3×⎝⎛⎭⎫1632×5＝3209.故堆放的米约为3209÷1.62≈22(斛)．故选B. 4．A 解析：欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上．圆锥体积V 1＝13π×12×2 2＝2 23π.作几何体截面图，如图D143，则内接正方体棱长a ＝2 23.图D143∴正方体体积V 2＝a 3＝⎝⎛⎭⎫2 233＝16 227.∴V 2V 1＝16 227×32 2π＝89π.故选A. 5.33 解析：由三视图可知三棱锥的底面积为S ＝12×2 3×1＝3，高为1，所以该三棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×3×1＝33.6.9π2解析：设正方体边长为a ，则6a 2＝18⇒a 2＝3，外接球直径为2R ＝3a ＝3，V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. 7．80 40 解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，S表＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80，V ＝23＋4×4×2＝40.8.π3 解析：由题意，得πrl ∶⎝⎛⎭⎫12h ·2r ＝2π⇒l ＝2h ⇒母线与轴的夹角为π3. 9．400π 解析：依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为12AC ＝5，设三棱锥O -ABC 的高为h ，则由13×12×6×8h ＝40 3，得h ＝5 3.设球O 的半径为R ，则由h 2＋52＝R 2，得R ＝10.故该球的表面积为400π.10．B 解析：由三视图知该几何体是以3×3的正方形为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积S ＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3 5＝54＋18 5.故选B.11．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图D144.图D144(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确. 12．(1)证明：由已知，得AC ⊥BD ，AD ＝CD .又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD .故AC ∥EF .由此，得EF ⊥HD .折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)解：由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD ′2＋OH 2＝(2 2)2＋12＝9＝D ′H 2. 故OD ′⊥OH .由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， 所以AC ⊥平面BHD ′.于是AC ⊥OD ′. 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO ，得EF ＝92.所以五边形ABCFE 的面积 S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′ABCFE 的体积 V ＝13×694×2 2＝23 22.第3讲 点、直线、平面之间的位置关系1．A 解析：考虑反证法：假如l 与l 1，l 2都不相交即都平行，则l 1，l 2平行，与l 1和l 2是异面直线矛盾，所以l 至少与l 1，l 2中的一条相交．故选A.2．C 解析：由题意知α∩β＝l ，∴l ⊂β.∵n ⊥β，∴n ⊥l .故选C.3．B 解析：对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾；对于选项B ，过点P 与l ，m 都垂直的直线，即过P 且与l ，m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C ，过点P 与l ，m 都相交的直线有一条或零条；对于选项D ，过点P 与l ，m 都异面的直线可能有无数条．4．A 解析：若p ：l 1，l 2是异面直线，由异面直线的定义知，l 1，l 2不相交，所以命题q ：l 1，l 2不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：l 1，l 2不相交，则l 1，l 2可能平行，也可能异面，所以不能推出p ：l 1，l 2是异面直线，即p 不是q 的必要条件．故选A.5．D6．C 解析：如图D145，可补成一个正方体．∴AC 1∥BD 1.∴BA 1与AC 1所成的角为∠A 1BD 1.又易知△A 1BD 1为正三角形，∴∠A 1BD 1＝60°.即BA 1与AC 1成60°角．图D1457．B 解析：设AD 的中点为F ，连接EF ，CF ，则EF ∥BD ，所以CE 与EF 所成角就是异面直线CE 与BD 所成角，设正四面体ABCD 棱长为2a ，EF ＝a ，CE ＝CF ＝3a ，由余弦定理可得cos ∠CEF ＝a 2＋3a 2－3a 22a ·3a ＝12 3＝36.8．②③ 解析：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，由AC ⊥a ，AC ⊥b ，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD ∥a ，交底面圆C 于点D .如图D146，连接DE ，则DE ⊥BD .∴DE ∥b .图D146连接AD ，在等腰三角形ABD 中，设AB ＝AD ＝2，当直线AB 与a 成60°角时，∠ABD ＝60°，故BD ＝ 2.又在Rt △BDE 中，BE ＝2，∴DE ＝ 2.如图，过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF ＝DE ＝2， ∴△ABF 为等边三角形．∴∠ABF ＝60°.即AB 与b 成60°角，②正确，①错误； 由最小角定理可知③正确，④错误． 正确的说法为②③. 9．解：(1)S △ABC ＝12×2×2 3＝2 3，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×2 3×2＝4 33.(2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.10．解：(1)如图D147，由题意可知，圆柱的母线长l ＝1，底面半径r ＝1.图D147圆柱的体积V ＝πr 2l ＝π×12×1＝π， 圆柱的侧面积S ＝2πrl ＝2π×1×1＝2π. (2)设过点B 1的母线与下底面交于点B ， 则O 1B 1∥OB .所以∠COB 或其补角为O 1B 1与OC 所成的角．由11A B 长为π3，可知∠AOB ＝∠A 1O 1B 1＝π3.由AC 长为5π6，可知∠AOC ＝5π6，所以∠COB ＝∠AOC －∠AOB ＝π2.所以异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小为π2.第4讲 直线、平面平行的判定与性质1．B 解析：若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m ，n 相交或m ，n 异面，故A 错；若m ⊥α，n ⊂α，由直线和平面垂直的定义知，m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ，α相交或n ⊂α，故D 错．2．D 解析：在A 中，若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α或n ⊂α，故A 错误． 在B 中，若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α与β相交或平行，故B 错误． 在C 中，若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误．在D 中，若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则由线面平行的判定定理得n ∥β，故D 正确． 3．D4．B 解析：若m ∥β，则平面α，β可能相交也可能平行，不能推出α∥β；反过来，若α∥β，m ⊂α，则有m ∥β.故“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．5．C 解析：A 选项中，α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B 选项中，m 可能在α上，也可能与α平行或相交，故B 错误；C 选项中，根据线面垂直的性质，可知C 正确；D 选项中，m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误．故选C.6．①③④ 解析：对于①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC 为棱柱的一条侧棱，故①正确；对于②，当水的部分是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积不等；当水的部分是三棱柱时，水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确；③是正确的；④是正确的，由水的体积的不变性可证得．综上所述，正确命题的序号是①③④.7．M ∈线段HF 解析：如图D148，连接FH ，HN ，FN ，图D148由题意知，HN ∥平面B 1BDD 1， FH ∥平面B 1BDD 1. 且HN ∩FH ＝H .∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1.∴当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥平面B 1BDD 1.8．①③ 解析：由线面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.9．(1)证明：在平面ABCD 内， 因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 故BC ∥平面P AD .(2)解：如图D149，取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD .所以PM ⊥底面ABCD . 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为2 7， 所以12×2x ×142x ＝2 7，解得x ＝－2(舍去)，x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×(2＋4)×22×2 3＝4 3.图D14910．(1)证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ， 又AC ⊥CD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥平面PCD .∵PD ⊂平面PCD ，∴AC ⊥PD .(2)解：线段P A 上存在点E ，使BE ∥平面PCD . ∵BC ＝1，AD ＝3.在△P AD 中，分别取P A ，PD 靠近点P 的三等分点E ，F ，连接EF (如图D150)．图D150∵PE P A ＝PF PD ＝13， ∴EF ∥AD ，EF ＝13AD ＝1.又∵BC ∥AD ，∴BC ∥EF ，且BC ＝EF . ∴四边形BCFE 是平行四边形． ∴BE ∥CF .又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD . ∴BE ∥平面PCD .第5讲 直线、平面垂直的判定与性质1．A 解析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 也可以平行，还可以异面；选项C 中，l ∥β时，α，β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面．故选A.2．D 解析：因为n ⊥α，n ⊂γ，则α⊥γ；同时n ⊥α，m ⊂α，则m ⊥n ，所以选项D 正确；对于选项A 中的直线m 与平面γ的位置关系无法判断，选项B 中的直线n 也可能落在平面β内；选项C 中的平面β与平面γ也可能相交．故选D.3．D 解析：因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确．在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，DF ∥BC ，所以BC ⊥平面P AE ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B ，C 均正确．4．A 解析：∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，又∵B ，C ，D 重合于点H ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .∴AH ⊥平面EFH .5．B 解析：方法一，取BC 中点E ，连接AE ，A 1E ， 过点A 作AF ⊥A 1E ，垂足为F . ∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥BC . ∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC . ∴BC ⊥平面AEA 1.∴BC ⊥AF . 又AF ⊥A 1E ，∴AF ⊥平面A 1BC .∴AF 的长即为所求点A 到平面A 1BC 的距离． ∵AA 1＝1，AB ＝2，∴AE ＝ 3.∴AF ＝32. 方法二，取BC 中点E ，连接AE ，A 1E ， 1-A ABC V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝33.又∵A 1B ＝A 1C ＝5，在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2. ∴1A BC S ＝12×2×2＝2.∴1-A A BC V ＝13×1A BC S ·h ＝23h .∴23h ＝33.∴h ＝32.∴点A 到平面A 1BC 的距离为32. 6．B 解析：P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥BC . 又AB ⊥BC ，则BC ⊥平面P AB .(1)当AE ⊥PB 时，又BC ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，AE ⊥EF ，A 正确．(2)当EF ∥平面ABC 时，又EF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC .则EF ∥BC .故EF ⊥平面P AB ，AE ⊥EF .故C 正确．(3)当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC .AE ⊥EF ，故D 正确．用排除法可知选B.7．B 解析：设O 为三角形ABC 的中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此α<γ<β.故选B.8．②③④ 解析：对于①，m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误； 对于②，因为n ∥α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则n ∥c .因为m ⊥α，所以m ⊥c .所以m ⊥n .故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知③正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知④正确．故正确的有②③④.9．证明：(1)证法一，如图D151，连接DG ，CD .设CD ∩GF ＝M ，连接MH ，在三棱台DEF -ABC 中，AC ＝2DF ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC .所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点．图D151又H是BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二，在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF.所以HBEF为平行四边形．可得BE∥HF.在△ABC中，G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC.因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.10．(1)证明：连接BC1，如图D152.因为AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.因为四边形BB1C1C是菱形，所以B1C⊥BC1.又因为AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1.因为AC1⊂平面ABC1，所以AC1⊥B1C.图D152(2)证明：由AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC ＝BB 1可知AC ＝AB 1. 设菱形BB 1C 1C 的边长为a ，因为∠BCC 1＝60°，所以B 1C 2＝BC 2＋BB 21－2BC ·BB 1·cos 120°＝3a 2. 因为AC ⊥AB 1，所以AC 2＋AB 21＝B 1C 2＝3a 2，所以AC ＝AB 1＝62a . 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AB ⊥BC .所以在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝22a . 因为1-A BB C V ＝131BB C S|AB |＝13×12×a ×a sin 60°×22a ＝63， 解得a ＝2.所以AB ＝22a ＝2，BC ＝a ＝2.所以S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12×2×2＝ 2.第6讲 空间坐标系与空间向量1．D 解析：∵M ，A ，B ，C 四点共面⇔OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，且x ＋y＋z ＝1.∵MA →＋MB →＋MC →＝0⇔MA →＝－MB →－MC →.∴存在x ＝－1，y ＝－1，使MA →＝xMB →＋yMC →.∴MA →，MB →，MC →共面．∵M 为公共点．∴M ，A ，B ，C 四点共面．2．A 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB →1＋B 1M →＝AA →1＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．B 解析：∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点．∴EF ∥BD 且EF ＝12BD ，∴EF →＝12BD →. ∴EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14.4.78解析：如图D153，连接DN ，取DN 中点P ，连接PM ，PC ，则可知∠PMC 为异面直线AN ，CM 所成的角，易得PM ＝12AN ＝2，PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝3，CM ＝AC 2－AM 2＝2 2，∴cos ∠PMC ＝8＋2－32×2 2×2＝78，即异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是78.图D1535．A 解析：MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13()AB →＋AD →＋AA 1→ ＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a .6．A 解析：由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. 所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2， |DP →|＝a ，|AE →|＝(－1)2＋12＋⎝⎛⎭⎫a 22＝2＋a 24＝8＋a 22. 又cos 〈D P →，A E →〉＝33，所以0×(－1)＋0×1＋a22a ·8＋a 22＝33.解得a 2＝4，即a ＝2.所以E (1,1,1)．7.2 解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2 ＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2.∴|EF →|＝ 2.∴EF 的长为 2. 8.66解析：设直线AC 与BD ′所成角为θ.设O 是AC 中点，由已知，得AC ＝ 6.如图D154，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，62，0，B ⎝⎛⎭⎫302，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－62，0.作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306.因此可设D ′⎝⎛⎭⎫306cos α，－63，306sin α，则BD ′→＝⎝⎛⎭⎫306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′→·n |BD ′→||n |＝639－5cos α.所以cos α＝1时，cos θ取最大值66.。
【南方新高考】2015高考历史总复习课时检测：第5单元 从科学社会主义理论到社会主义制度的建立
第五单元从科学社会主义理论到社会主义制度的建立第10讲马克思主义的诞生和俄国十月革命的胜利一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．1825年，在美国的印第安纳州，英国人欧文建立了一个名为“新和谐公社”的社会组织。
这里有工厂、农场和学校，每个成员都参加劳动，人人都享有充分的、平等的民主权利。
“新和谐公社”的出现表明()A．资本主义福利制度得到发展B．无产阶级开始尝试建立政权C．马克思主义促进了国际工人运动的发展D．人们对资本主义制度的不满和对社会制度的新探索2．(2013年广东佛山一模)19世纪的欧洲出现了一种“批判”的“主义”，对资本主义的矛盾和弊端作了广泛深刻的揭露和批判，倡导建立一个符合理性和正义要求的新社会，以宣传和示范方法来实现其主张。
这种“批判”的“主义”是()A．人文主义B．自由主义C．空想社会主义D．科学社会主义3．《共产党宣言》中写道：“代替那存在着阶级和阶级对立的资产阶级旧社会的，将是这样一个联合体，在那里，每个人的自由发展是一切人的自由发展的条件。
”作者在这里主要强调的是()A．阶级斗争学说B．谋求人类解放的目标C．无产阶级政党学说D．社会主义革命的思想4．马克思和恩格斯在撰写《共产党宣言》时，曾预言当时资本主义已走上穷途末路，死期临近。
但是过了近半个世纪，恩格斯在生前最后一篇文章中以科学的实事求是的态度写道，过去的判断“是不对的，19世纪中叶欧洲大陆的社会经济还远没有成熟到可以铲除资本主义生产方式的程度”，资本主义还有很强的“扩展能力”。
下列符合恩格斯这一论断的是()A．巴黎公社失败的根本原因B．欧洲三大工人运动失败的原因C．俄国两个政权并存局面结束，资产阶级掌权D．东欧剧变，苏联解体5．马克思说：“巴黎公社是特殊条件下的一个城市的起义，也是具有自发性、偶然性，并不是生产关系阻碍了生产力发展的结果。
”对这句话理解不正确的是() A．普法战争法国失败引发了巴黎市民起义B．巴黎公社符合马克思关于社会发展的客观规律学说C．法国国内阶级矛盾尖锐也是促使巴黎市民起义的重要原因D．巴黎公社运动是法国人民爱国的自发行为6．(2013年安徽淮南三中高三月考)沈志华的《一个大国的崛起与崩溃：苏联74年兴衰历史》中说：“最主要的是，临时政府没有看清楚二月革命后彼得格勒政治舞台上的真正主角是不再承认任何权威的群众，没有把群众的迫切需要作为稳定政局的问题来解决，在一系列具体问题上拖延不决，结果最终被群众抛弃。
[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第四章 第4讲 定积分及其应用举例[配套课件]
9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线 x＝0，x＝3 围成的封闭图形的面积，故
3
0
2 π·3 9 2 9－x dx＝ 4 ＝4π.
答案：C
(3) 1 |1－x|dx＝________.
2
解析：
2
1
|1 － x|dx ＝
1
1
(1 － x)dx ＋
2
1
(x － 1)dx ＝
1 2 1 1 x2 x 2 5 . x- x 1 2 2 1 2
a b (4) cosxdx＝sinx |b a. a b1 b (5) dx＝lnx (b>a>0)． ax a b x (6) e dx＝ex|b a. a b x ax b (7) a dx＝ (a>0 且 a≠1)． a ln a a
4．定积分的几何意义 (1)直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图 形称为曲边梯形． (2)若函数 f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积 b f ( x)dx a 分_______________ 表示由直线 x＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线
s＝
5
0
v(t)dt＝
5
0
3 25 (15－3t)dt＝ 15t t ＝37.5(米)＝ 2 0
0.0375(千米)． 答：汽车走了 0.0375 千米．
【方法与技巧】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们 可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之 前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．若做变 速直线运动的物体的速度关于时间的函数为 v＝v(t)[v(t)≥0]， 由定积分的物理意义可知，做变速运动物体在[a，b]时间内的 路程 s 是曲边梯形(如图 4-4-3 的阴影部分)的面积，即路程 s＝
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第5讲 空间坐标系
1．在空间直角坐标系中，点P(2,1,3)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－2,1,3) B．(2，－1，－3)
C．(－2，－1,3) D．(－2,1，－3)
2．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|
为( )
A.534 B.532
C.532 D.132
3．△ABC的三个顶点的坐标为A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状
为( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝( )
A．10 B.10 C.38 D．38
5．如图K11-5-1所示的程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P(a，b，c)，
输出相应的点Q(a，b，c)．若P的坐标为(2,3,1)，则P，Q间的距离为( )
(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)
A．0 B.2 C.6 D．2 2
图K11-5-1
6．(2013年北京)如图K11-5-2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等
分点，则P到各顶点的距离的不同取值有( )
图K11-5-2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，则A的坐标为________________．
8．给定两点A(2,3,0)，B(5,1,0)，满足条件|PA|＝|PB|的动点P的轨迹方程为
____________________(即点P的坐标关于x，y，z间的关系式)．
9．在空间直角坐标系中，已知点P(4,3，－5)，求点P到各坐标轴及坐标平面的距离．
10．如图K11-5-3，正方体边长为1，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值；
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，求|PQ|的最小值．
图K11-5-3
第5讲 空间坐标系
1．B 2.C 3.C
4．A 解析：点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点为(2，－3，－5)，再利用两点间的
距离公式．
5．C 解析：程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若P(2,3,1)，则
Q(1,2,3)．
6．B 解析：如图D67，设正方体的棱长为3，计算得PA1＝PC1＝PD＝3，PA＝PC＝
PB1＝6，PB＝3，PD1＝2 3，故P到各顶点的距离的不同取值有4个．
图D67
7．(0,0,0)或(0,2,0) 解析：由题意设A(0，y,0)，则y－12＋4＝5，得y＝0或y＝2.
故点A的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．
8．6x－4y－13＝0 解析：由|PA|＝|PB|，得x－22＋y－32＋z－02＝
x－52＋y－12＋z－02，整理，得6x－4y－13＝0.
9．解：点P到x轴的距离是y2＋z2＝34；
点P到y轴的距离是x2＋z2＝41；
点P到z轴的距离是x2＋y2＝5；
点P到xOy坐标平面的距离是|z|＝5；
点P到yOz坐标平面的距离是|x|＝4；
点P到zOx坐标平面的距离是|y|＝3.
10．解：(1)依题意P12，12，12，设Q(0,1，z)，则
|PQ|＝122＋12－12＋z－122
＝z－122＋12.
∴当z＝12时，|PQ|min＝22，此时Q0，1，12恰为CD中点．
(2)依题意Q0，1，12，设P(x，x，z)，
则|PQ|＝x2＋x－12＋z－122
＝2x－122＋z－122＋12.
∴当x＝z＝12时，|PQ|min＝22，此时点P的坐标为12，12，12，恰为AB中点．