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北师版九年级上期第一章《特殊平行四边形》单元练习题(有答案)

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(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(答案解析)(3)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(答案解析)(3)

一、选择题1．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°2．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②A S=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．A ．全部正确B ．①②正确C ．①②③正确D ．①③正确 4．如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝5，EC ＝3，则长方形的周长为（ ）A．20 B．22 C．24 D．265．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE BC⊥，PQ AB⊥，垂足分别是E，Q，则PE PQ+的值是（）A．32B．3 C．322D．327．在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．210B．27C．33D．198．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等9．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（）A．12 B．16 C．20 D．2410．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（ ）A ．6B ．7C ．3D ．5 12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以二、填空题13．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC 8AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线BD 的长为16，点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，连接EF 并延长与BC 的延长线相交于点G ，则EG 的长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD AD 的中点，连接,,,AF BG CH DE ，得到一个新的四边形,MNPQ 则四边形MNPQ 的面积为 _____________．16．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为______．17．如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形AC C 1D 1，使∠D 1AC=60°；连接AC 1，再以A C 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C ''交AB 于点G ，则GE 的长是_______．19．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．△ABC 是等腰三角形，其中AB ＝BC ，将△ABC 绕顶点B 逆时针旋转50°到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别相交于点E ，F ．（1）求证：△BCF ≌△BA 1D ；（2）当∠C ＝50°时，判断四边形A 1BCE 的形状并说明理由．22．如图，矩形EFGH 的顶点,E G 分别在菱形ABCD 的边,AD BC 上，顶点,F H 在菱形ABCD 的对角线BD 上．（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，5,12FG GH ==，求菱形ABCD 的周长；23．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15，E 是BC 上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H处，且CE ＝45BE ， （1）求AD 的长；（2）求FG 的长24．如图，矩形ABCD 中，EF 垂直平分对角线BD ，垂足为O ，点E 和F 分别在边AD ，BC 上，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若AE ＝OF ，求∠BDC 的度数．25．如图，在ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线//BC MN ，设MN 交BCA ∠的角平分线于点E ，交BCA ∠的外角ACG ∠的平分线于点F ，连接AF ． （1）求证：EO FO =；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？并说明理由．26．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF 是∠DAC 的平分线，∴∠EAF=12∠DAC=36°． ∵由作法可知，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A ．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 2．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．A解析：A【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出△BRP≌△QSP，故④正确．【详解】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点∵AQ＝PQ∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线∴PQ∥AB，故③正确∵Q是AC的中点，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等边三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正确∴全部正确．故选：A．【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．4．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC＝2222-=-=，ED EC534则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22.故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是把握已知，整合已知得出等腰三角形，依据勾股定理求出线段长．5．B解析：B【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；【详解】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，∵点E、F、G、H，分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．6．B解析：B【分析】证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ACB=1∠BCD=45°2∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴四边形PQBE是矩形，∴PQ=BE∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠PCE=45°，又∠PEC=90°∴△PEC是等腰直角三角形∴PE=CE∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．7．B解析：B【分析】连接FG，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE＝AF，BF＝BG，进而可证△AEF是等边三角形及△BFG是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF和FG的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG的长．【详解】解：连接FG，过点B作BH⊥FG于H，如图，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ， ∴AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AFE ＝60°，EF=AF=1∵BF ＝BG ，∴△BFG 是等腰三角形，∴∠GFB ＝1801202-=30°， ∴∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF ＝4﹣1＝3，∴BH=32，==， ∴FG ＝∴EG==故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．8．B解析：B【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分，互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，据此解答．【详解】A 、是菱形的性质，是矩形的性质，故本选项不符合题意；B 、是矩形的性质，不是菱形的性质，故本选项符合题意；C 、是菱形的性质，不是矩形的性质，故本选项不符合题意；D 、矩形、菱形的对角都相等，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，菱形的性质，熟记各自的性质特征是解题的关键．9．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．10．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有2BE EF =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误； 由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =，∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 11．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB ⊥AF ，∴∠FAB=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=BD=1BC=4，2∴∠DAB=∠B，∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B，∵∠AEB=2∠B，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=AD=4，∵EF=7，EF⊥AF，∴AF=()2222-=-=3，AE EF47故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题13．或【分析】AC 作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝ 解析：5或13【分析】AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线所以，AE CD ⊥，CE=DE因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2所以BE=AE-AB=2-1=1又因为DE=CE=2，AE CD ⊥所以，BD=22145BE DE +=+=情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1所以，BE=EF-BF ；因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°所以∠ACD ＝45°所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°又因为,DE AB CF AB ⊥⊥所以四边形DEFC 是矩形所以DE=CF=2，EF=DC ；因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝ 所以，根据勾股定理，CD=4所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3因此，22223213BD DE BE =+=+=故答案为5或13．【点睛】这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．14．12【分析】连接AC 交BD 于点O 先证EF 是△ACD 的中位线得EF ∥AC 再证四边形CAEG 是平行四边形得AC ＝EG 然后由勾股定理求出OA ＝OC ＝6即可解决问题【详解】解：连接AC 交BD 于点O 如图所示：解析：12【分析】连接AC ，交BD 于点O ，先证EF 是△ACD 的中位线，得EF ∥AC ，再证四边形CAEG 是平行四边形，得AC ＝EG ，然后由勾股定理求出OA ＝OC ＝6，即可解决问题．【详解】解：连接AC ，交BD 于点O ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为10，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝10，∵点E 、F 分别是边AD ，CD 的中点，∴EF 是△ACD 的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥EG∴四边形CAEG 是平行四边形，∴AC ＝EG ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，BD ＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC22108=-=6，∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．15．【分析】根据题意采取割补法将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系即可得出结论【详解】解：如图所示过A作AK∥DE交CH的延长线于K过B作B解析：12 5【分析】根据题意，采取割补法，将图中梯形补成与中间的平行四边形一样大小的平行四边形，并找到矩形ABCD与5个小平行四边形的面积关系，即可得出结论．【详解】解：如图所示，过A作AK∥DE，交CH的延长线于K，过B作BR∥AF，交DE的延长线于R，过C作CS∥BG，交AF的延长线于S，过D作DT∥CH，交BG的延长线于T，∵H是AD的中点，∴AH=DH，∵AK∥DP，∴∠K=∠DPH，又∵∠AHK=∠DHP，∴△AKH≌△DPH（AAS），∴S△AKH=S△DPH，同理可得，S△BRE=S△AQE，S△CSF=S△BMF，S△DTG=S△CNG，∵AH∥CF，AH=CF，∴四边形AFCH是平行四边形，同理可得，四边形BGDE是平行四边形，∴QM∥PN，QP∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AK∥QP，AQ∥KP，∴四边形AQPK是平行四边形，又∵E是AB的中点，EQ∥BM，∴Q是AM的中点，∴AQ=MQ，∴S四边形AQPK=S四边形MNPQ，同理可得，S四边形BMQR=S四边形MNPQ，S四边形MNCS=S四边形MNPQ，S四边形DTNP=S四边形MNPQ，∴S四边形BMQR=S四边形MNCS=S四边形DTNP=S四边形AQPK=S四边形MNPQ，∴S四边形MNPQ=15S四边形ABCD=15×3×4=125故答案为：12 5【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是要利用矩形的性质，作出图形中的辅助线构造全等三角形，并找出矩形和平行四边形的面积之间的关系．16．【分析】如图作AF⊥x轴于FCE⊥x轴于E先证明△COE≌△OAF推出CE＝OFOE＝AF由此即可解决问题【详解】解：如图作AF⊥x轴于FCE⊥x轴于E∵四边形ABCO是正方形∴OA＝OC∠AOC＝解析：()3,1-【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COE＝∠OAF，在△COE和△OAF中，CEO AFO COE OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAF ，∴CE ＝OF ，OE ＝AF ，∵A （1，3），∴CE ＝OF ＝1，OE ＝AF ＝3，∴点C 坐标()3,1-， 故答案为：()3,1-．【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得ACAC1AC2的长从而得到规律根据规律求得第n 个菱形的边长【详解】解：连接DB 与AC 交于点M ∵四边形ABCD 是菱形∴AD ＝ABAC ⊥DB ∵∠DAB ＝60°∴△解析：()13n -【分析】根据已知和菱形的性质可分别求得AC ，AC 1，AC 2的长，从而得到规律，根据规律求得第n 个菱形的边长．【详解】解：连接DB ，与AC 交于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ．AC ⊥DB ，∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴DB ＝AD ＝1，∴BM ＝12，∴AM ＝2， ∴AC同理可得AC 1＝2，AC 2AC 1＝3，按此规律所作的第n 个菱形的边长为1n -，故答案为1n -．【点睛】此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力，熟练掌握菱形的性质是关键． 18．【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°AB ＝AD ＝3由折叠的性质得出FC′＝FC ∠C′FE ＝∠CFE ＝60°∠FC′B′＝∠C ＝90°B′E ＝BE ∠B′＝∠B ＝90°求出∠DC′F解析：8-【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC ，∠C′FE ＝∠CFE ＝60°，∠FC′B′＝∠C ＝90°，B′E ＝BE ，∠B′＝∠B ＝90°，求出∠DC′F ＝30°，得出FC′＝FC ＝2DF ，求出DF ＝2，，则C′A ＝，AG ＝6，设EB ＝x ，则GE ＝2x ，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC ，∠C′FE ＝∠CFE ＝60°，∠FC′B′＝∠C ＝90°，B′E ＝BE ，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F ＝30°，∴FC′＝FC ＝2DF ，∵DF ＋CF ＝CD ＝6，∴DF ＋2DF ＝6，解得：DF ＝2，∴∴C′A ＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB ＝E′B=x ，∵∠B′GE ＝∠AGC′＝30°，∴GE ＝2x ，则＋3x ＝6，解得：x ＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 19．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒， 故答案为：56．【点睛】 此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键 ．三、解答题21．（1）见解析；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC ，∠A=∠C ，由旋转的性质得到A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF ≌△BA 1D ； （2）由旋转的性质得到∠A 1=∠A ，根据平角的定义得到∠DEC=180°-50=130º，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50=130º，证得四边形A 1BCE 是平行四边形，由于A 1B=BC ，即可得到四边形A 1BCE 是菱形．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴A 1B=AB=BC ，∠A=∠A 1=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1，在△BCF 与△BA 1D 中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BCF ≌△BA 1D （ASA ）；（2）四边形A 1BCE 是菱形，理由：∵将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转50度到△A 1BC 1的位置，∴∠A 1=∠A ，∵∠ADE=∠A 1DB ，∴∠AED=∠A 1BD=50º，∴∠DEC=180°-50º=130º，∵∠C=50º，∴∠A 1=50º，∴∠A 1BC=360°-∠A 1-∠C-∠A 1EC=180°-50º=130º，∴∠A 1=∠C ，∠A 1BC=∠A 1EC ，∴四边形A 1BCE 是平行四边形，∴A 1B=BC ，∴四边形A 1BCE 是菱形．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．22．（1）见解析；（2）菱形ABCD 的周长52=【分析】（1）根据菱形和矩形的性质可证得BGF DEH △≌△，即可得证；（2）连接EG ，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得AB EG FH ==，利用勾股定理求出FH 的长，即可求解．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是矩形，,//EH FG EH FG ∴=,GFH EHF ∴∠=∠180,180BFG GFH DHE EHF ∠=-∠∠=-∠，,BFG DHE ∴∠=∠四边形ABCD 是菱形，//,AD BC ∴,GBF EDH ∴∠=∠)BGF DEH AAS ∴≌（，;BG DE ∴=（2）解：连接EG ，四边形ABCD 是菱形，,//AD BC AD BC ∴=， E 为AD 中点，AE ED ∴=,BG DE =，,//AE BG AE BG ∴=，∴四边形ABGE 是平行四边形，,AB EG ∴=四边形EFGH 是矩形，,EG FH ∴=,AB FH ∴=5,12,90FG GH FGH ==∠=︒，2312513FH ∴=+=13,AB ∴=∴菱形ABCD 的周长52=．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．（1）AD= 9；（2）FG=7.5【分析】（1）设CE 4x =，则BE 5x =，在Rt △CEG 和Rt △AGD 中，分别求得CG 3x =，()22159x -CG+GD=CD=15，构造方程求得x 的值，即可求解；（1）设HF y =，利用ADG AFG ADF SS S =+，构造方程求得y 的值，即可求解．【详解】 （1）∵CE ＝45BE ， ∴设CE 4x =，则BE 5x =， ∴BC=AD=CE+ BE 9x =，∵△AGE 是由△ABE 翻折得到的，∴GE= BE 5x =，AG=AB=15，在Rt △CEG 中，由勾股定理可知：3x ==，在Rt △AGD 中，由勾股定理可知：=，∵CG+GD=CD=15，∴315x +=，解得：1x =，AD 9=；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，设HF y =，∵△AHF 是由△ADF 翻折得到的，∴HF=DF y =，∵ADG AFG ADF S S S =+，即111222DG AD AG FH DF AD ⨯=⨯+⨯， ∴129159y y ⨯=+，解得： 4.5y =，即DF 4.5=，∴FG=CD-CG-DF=15-3-4.5=7.5．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．24．（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）AE ＝OF ，四边形BFDE 是菱形，BE=BF ，可证△ABF ≌△OBF, ∠ABF=∠OBF, ∠FBO=∠OBF, ∠OBF=30°，即可求解．【详解】证明:(1)∵四边形ABCD 是矩形,∴ AD ∥BC,AD=BC,∴∠EDO=∠OBF,∵EF 垂直平分BD,∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,∴△DEO=△BFO(ASA)∴OE=OF,∴四边形EBFD 是平行四边形,又EF ⊥BD,∴四边形EBFD 是菱形;(2)∵四边形EBFD 是菱形,∴ED=EB又 AE ＝OF ，∠A=∠BOF∴△ABF ≌△OBF∴∠ABF=∠OBF,∵∠FBO=∠OBF,∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,∴ ∠OBF=30°∴∠BDC=60°．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，掌握菱形的性质和判定是解题的关键．25．（1）见解析；（2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，理由见解析；（3）ABC 满足ACB ∠为直角时，四边形AECF 是正方形，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出32∠=∠，13∠=∠，得出EO=CO ，FO=CO ，即可得出结论；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；（3）由//BC MN ，得出AOE ACB ∠=∠，当90ACB ∠=︒时，AC EF ⊥即可．【详解】（1）证明：如图，∵//BC MN ，∴32∠=∠．又∵CF 平分ACG ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴FO CO =，同理，EO CO =，∴EO FO =．（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，证明如下：当点O 运动到AC 的中点时，AO CO =．又∵EO FO =，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO CO =，∴AO CO EO FO ===，∴AO CO EO FO +=+，即AC EF =，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．在（2）的条件下，ABC 满足ACB ∠为直角时，四边形AECF 是正方形．理由：由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵//BC MN ，∴AOE ACB ∠=∠，当90ACB ∠=︒时，90AOE ∠=︒，即AC EF ⊥，∴四边形AECF 是正方形．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（1）证明见解析；（2）AB ＝BC ，理由见解析；（3）能，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，理由见解析．【分析】（1）根据三角形的中位线得出DE ∥BF ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）由三角形中位线定理和中点定义可得DE=BD ，根据菱形的判定得出即可； （3）由正方形的判定可得．【详解】解：（1）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BF ，∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形；（2）AB ＝BC ，理由是：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ，BD ＝12AB ， ∵AB ＝BC ，∴DE ＝BD ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形，即当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形；（3）∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝12BC，BD＝12AB∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，∵∠ABC＝90°，∴菱形DBFE是正方形，即当∠ABC＝90°，AB＝BC时，四边形DBFE是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些判定定理进行推理是解决本题的关键．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试卷(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试卷(包含答案解析)(4)

一、选择题1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ） A ．垂直 B ．相等 C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．正方形具有而矩形没有的性质是（ ） A ．对角线互相平分 B ．每条对角线平分一组对角 C ．对角线相等 D ．对边相等 3．如图，O 是菱形ABCD 的对角线,AC BD 的交点，E ，F 分别是,OA OC 的中点给出下列结论：①ADEEODSS=；②四边形BFDE 也是菱形；③四边形ABCD 的面积大小等于EF BD ⋅；④ADE EDO ∠=∠；⑤是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列说法中正确的是（ ） A ．对角线互相垂直的四边形是菱形 B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C ．有两个角相等的四边形是平行四边形 D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小5．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADGBCESS的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶26．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）A ．2622-B ．62-C ．6D ．28．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（ ）A 33B ．3217C 7D 139．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．47C ．24D ．20 11．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形12．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题13．如图，正方形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，以OD ，OC 为一组邻边做正方形1DOCC ；CD ，1OC 交于点1O ，以1O D ，11O C 为一组邻边做正方形112DO C C ；1C D ，12O C 交于点2O ，以2O D ，22O C 为一组邻边做正方形223DO C C ……．若1AB =，则1n n n DO C C S +正方形的值为_____．14．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为___________．15．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数k yx（k≠0）的图象进过A、D两点，则k值为_____．16．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为_____cm2．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C''交AB于点G，则GE的长是_______．三、解答题21．在正方形ABCD中，点E、F分别在BC边和CD上，且满足AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G．=；（1）求证：CE CF（2）若等边AEF边长为2，求AC的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ABO是等边三角AB=，求ABCD的面积．形，423．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒4cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动．（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为4：1．24．综合与实践已知四边形ACBD与AEFG均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展探索：（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且222==，则线段BE长为AB AE_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．25．如图，在ABC中，90B，CE垂直于AB于点E，D是AB∠=，30ACB︒的中点．=；（1）求证：AE EDAC=，求DE的长．（2）若226．如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积为16.（1）数轴上点B表示的数为；A B C D，移动后的正方形（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为''''A B C D与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S.''''① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点'A表示的数；AA的中点，点F在线段② 设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段'BB上，且. 经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，求出t的值.'【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．2．B解析：B【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．【详解】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意，B、正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B符合题意，C、正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意，D、正方形和矩形的对边都相等，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．3．C解析：C【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【详解】解：①正确∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点． ∴AE ＝OE ．∵S △ADE 12=⨯AE ×OD 12=⨯OE ×OD ＝S △EOD ∴S △ADE ＝S △EOD ． ②正确∵四边形ABCD 是菱形，E ，F 分别是OA ，OC 的中点． ∴EF ⊥OD ，OE ＝OF ． ∵OD ＝OB ．∴四边形BFDE 是菱形． ③正确∵菱形ABCD 的面积12=AC ×BD ． ∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点．∴EF 12=AC ． ∴菱形ABCD 的面积＝EF ×BD ． ④不正确由已知可求得∠FDO ＝∠EDO ，而无法求得∠ADE ＝∠EDO ． ⑤正确∵EF ⊥OD ，OE ＝OF ，OD ＝OD ． ∴△DEO ≌△DFO ． ∴△DEF 是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．4．D解析：D 【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：A 、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B 、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C 、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D 、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．A解析：A 【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解． 【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒， CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =， OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=，12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．6．C解析：C 【分析】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小；再作D 'E ⊥BC 于E ，则EB =D 'A =AD ，先根据等边对等角得出∠DCD '=∠DD 'C ，然后根据平行线的性质得出∠D 'CE =∠DD 'C ，从而求得∠D 'CE =∠DCD '，得出∠D 'CE =30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D 'C =2D 'E =2AB ，即可求得PC +PD 的最小值．作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C．∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'．∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．7．B解析：B根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】∵ABC 是等腰直角三角形，2AB = ∴90ABC ∠=︒，∴45A ACB ∠=∠=︒， ∴2AB BC == ，∴AC ==∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点，∴AD CD BD ===90BDC ∠=︒，∵30E ∠=︒，∴2BE BD == ，∴DE ==∴CE DE CD =-=故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解．8．B解析：B 【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积 的不同计算方法计算即可. 【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '， ∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '， ∵D 是BC 边上的中点， ∴DC=BD ， ∵2BD BC ='=， ∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°， ∴BG ∥AD ，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'， ∴四边形ADFG 是矩形， ∴BF=FC'=1，FG=AD=3，222221BD BF -=-3，∴3GC '=2， ∴AC '22222(3)AG GC '+=+7，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=， ∴1173322h =⨯， ∴h=3217， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBECEF S S=可得：13CBEABCDSS =，可得：2,3BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④． 【详解】解：①∵F 是AD 的中点， ∴AF=FD ， ∵在▱ABCD 中， AD=2AB ， ∴AF=FD=CD ， ∴∠DFC=∠DCF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠DFC=∠FCB ， ∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠A=∠MDF ， ∵F 为AD 中点， ∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ， ∵CE ⊥AB ， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF ，∴EF=CF ，故②正确； ③∵EF=FM ，EFCCFMSS∴=，若,CBECEFS S=则13CBEABCDSS =11,23BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴= 2,3BE AB ∴=与已知条件不符， 故CBECEFSS=不一定成立，故③错误；④设∠FEC=x ，,EF CF = ∴∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-， ∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-， ∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒- ∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．10．D解析：D 【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：5AB=，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．12．C解析：C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，所以，D（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．二、填空题13．【分析】依题意得由从而可得同理继而可得……依此规律作答【详解】解：在正方形中同理∵∴∵……故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质全等三角形的性质及求三角形的面积等知识正确理解正方形的对角线把正方形解析：+112n【分析】依题意，得1ABCD S =正方形，由ABC DOC 142DOCDOCD C S SS S==正方形正方形，，从而可得11122DOCC ABCD S S ==正方形正方形，同理，111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形，继而可得 112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ，22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形，2231121S 2DO C C DO C C S ==正方形正方形23111222⨯=……，依此规律作答【详解】解：在正方形ABCD 中，,,AC BD AO BO CO DO AB BC CD DA ⊥======，AOB BOC COD DOA ∴≌≌≌，AOBBOCCODDOAS∴=S=S=SS 4DOCABCD S∴=正方形，1S 2DOCDOCC S=正方形，11S 2DOCC ABCD S ∴=正方形正方形，同理∵111S 4DO C DOCC S =正方形，11112S 2DO C DO C C S=正方形∴112121111S 2222DO C C DOCC S ==⨯=正方形正方形 ， ∵22112S 4DO C DO C C S =正方形，22223S 2DO C DO C C S=正方形223112231111S 2222DO C C DO C C S ==⨯=正方形正方形， ……111S 2n n n DO C C n ∴++=正方形， 故答案为：112n + 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键14．【分析】以PAPC 为邻边作平行四边形PAQC 由平行四边形的性质可知O 是AC 中点PQ 最短也就是PO 最短所以应该过O 作AB 的垂线PO 然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值【详解】解：∵四边形A解析：【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作A B 的垂线PO ，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ 的最小值． 【详解】解：∵四边形APCQ 是平行四边形， ∴AO=CO ，OP=OQ ， ∵PQ 最短也就是PO 最短， ∴过点O 作OP´⊥AB 于P´， ∵∠BAC=45°∴∠AP´O 是等腰直角三角形， ∴222,P A P O AO P A P O ''''==+ ∵AO=12AC=2， ∴OP´=22AO = ∴PQ 与AB 垂直时，PQ 最小，最小值为PQ= 2OP´= 22 故答案为：22.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线等腰直角三角形.15．4【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H 四边形ABOC 是矩形由性质有AB ＝CO ∠COB ＝90°将OC 绕点O 顺时针旋转60°OC ＝OD ∠COD ＝60°可得∠DOH ＝30°设DH ＝x 点D （xx ）点A （2x ）反比解析：3【分析】过点D 作DH ⊥x 轴于H ，四边形ABOC 是矩形，由性质有AB ＝CO ，∠COB ＝90°， 将OC 绕点O 顺时针旋转60°，OC ＝OD ，∠COD ＝60°，可得∠DOH ＝30°， 设DH ＝x ，点D 3，x ），点A 3，2x ），反比例函数ky x=（k ≠0）的图象经过A 、D 两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH3，设DH＝x，∴点D3，x），点A32x），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A、D两点，∴3×x3x，∴x＝2，∴点D（32），∴k＝3＝3故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH ＝30°，DH＝x，会用x表示点D3，x），点A3，2x），利用A、D在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16．25【分析】根据和谐矩形的性质求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性质求出ABAD的长即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是和谐矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90解析：3【分析】根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AB＝1BD＝5，AD＝2∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝cm2）；故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．1+【分析】延长DQ 交EF 于M 延长DP 交EF 于N 先证∆ABE ≌∆CBF∆FPN ≌∆FPD∆EQD ≌∆EQM 设CD=x 则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ 交EF 于M 延长DP 交E解析：【分析】延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，先证∆ABE ≌∆CBF ，∆FPN ≌∆FPD ，∆EQD ≌∆EQM ，设CD=x ，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ 交EF 于M ，延长DP 交EF 于N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD 平分∠ADC ，∵BE ⊥BF ，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴∴，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴122,2x x ==(舍)，∵∴故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．19．【分析】如图连接PC由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8PC=4根据PM≤PC+CM可得PM≤6由此即可解决问题【详解】解：如图连接PC在Rt△ABC中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根解析：6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是 A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=1A′B′=4，2∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．20．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F解析：8【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE ＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）见解析 （21【分析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，证Rt ABE Rt ADF △≌△即可；（2）由（1）可知，AC 垂直平分EF ，根据勾股定理和斜边中线等于斜边的一半求AG 、CG 即可．【详解】（1）证明：正方形ABCD ，∴AB AD =，B D ∠=∠=90°，BC CD =． AEF 是等边三角形，AE AF ∴=．(HL)Rt ABE Rt ADF ∴△≌△．BE DF ∴=．CE CF ∴=．（2）由（1）得，CE=CF ，AE=AF=2，AC ∴垂直平分EF ．1EG FG ∴==．AG ∴===，∵∠ECF=90°，EG=GF ， ∴112CG EF ==，1AC AG CG ∴=+=．【点睛】本题考查了正方形、等边三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是准确把握已知，熟练运用全等三角形、勾股定理等知识进行证明和计算．22．【分析】△AOB 是等边三角形，得出AO=AB ，进而得出四边形ABCD 是矩形，求出AC ，再根据勾股定理求出BC ，即可求出面积=AB•BC ．【详解】解：因为平行四边形ABCD ，∴OA OC =，OB OD =，又∵三角形ABO 是等边三角形4OA OB AB ∴===，∴4OA OB OC OD ====，∴2248AC BD OA ===⨯=∴平行四边形ABCD 是矩形∴90ABC ∠=°在Rt ABC 中，由勾股定理得222AB BC AC += ∴22228443BC AC AB =-=-=∴S ▱ABCD =AB•BC=43×4=163【点睛】本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理，运用勾股定理求边长是解题的关键．23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【分析】（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．【详解】(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM ⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF 是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1112-4)6123622ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG 为矩形，∴AG=CF=6,∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,1·4211·2ABDACEBD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE= ∴BD=4CE,即12-4x=8x ，x=1．答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．24．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AG AE =，∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，∵90A ∠=︒，∴BE DG ⊥，故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立，如图，延长BE ，与DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，∴BAE DAG ∠=∠，∴BAE DAG ≌，∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠， ∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，∴90ADG DOH ∠+∠=︒，∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，∴DG BE ⊥；（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，由（2）知ABE ADG ≅△△，∵GE 是正方形AEFG 的对角线，∴45AEB AGD ∠=∠=︒，则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =∵222AM EM AE +=，∴1AM EM ==， ∴22817BM AB AM =-=-=，∴71BE BM EM =+=+， 故答案是：71+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．25．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒ A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．（1）－5；（2）– 4或2；（3）t=4．【分析】(1)、根据正方形的面积得出AB=4，根据点A 所表示的数得出点B 所表示的数；(2)、①、根据题意得出矩形的一边长为4，要使面积为4，则另一边长为1，然后根据向左移动和向右移动两种情况分别画出图形得出答案；②、用含t 的代数式分别表示出点E 和点F 所表示的数，然后根据互为相反数的两个数的和为零列出方程得出答案．【详解】解：(1)、正方形ABCD 的面积为16，∴AB=4，点A 表示的数为-1，∴AO=1，∴BO=5，∴数轴上点B 表示的数为：–5；(2)、①∵正方形ABCD 的面积为16，∴边长为4．当S=4时，分两种情况：（I ）若正方形ABCD 向左平移，如图1，重叠部分中的A ＇B =1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1–3= – 4．（II ）若正方形ABCD 向右平移，如图2，重叠部分中的AB ＇=1，∴AA ＇=3．则点A ＇表示–1+3= 2，综上所述：点A ＇表示的数为– 4或2．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、单选题（共10题；共30分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为（）A. 1B. 3C. 2D. 232.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（）A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角B. 两组对边分别相等，且有一组邻角相等C. 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直D. 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角3.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A. 矩形B. 正方形C. 平行四边形D. 菱形4.下列说法中，正确的是（）.A. 相等的角一定是对顶角B. 四个角都相等的四边形一定是正方形C. 平行四边形的对角线互相平分D. 矩形的对角线一定垂直5.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是( )A. 20B. 40C. 24D. 486.如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（）A. 80°B. 75°C. 70°D. 60°7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（）A. 75°B. 65°C. 55°D. 50°8.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A. 3cmB. 2cmC. 2 3cmD. 4cm9.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF 绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣b2a；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（共10题；共30分）11.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为________cm2．12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．13.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的解，则菱形ABCD的周长为________．14.（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．15.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时，PB 的长为________．16.如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b________c（填＜、=、＞）17.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．18.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AF=8，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．20.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为________．三、解答题（共9题；共60分）21.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．22.已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．23.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.24.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE、BE相交于点E．求证：四边形BECD为菱形．25.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF⊥CE且与AB相交于点F，若DE=2，AD+DC=8，且CE=EF，求AE的长。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题(含答案) (1)

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、在菱形中，对角线，相交于点，则图中全等的直角三角形共有( )A. 对B. 对C. 对D. 对2、下列四个命题中，真命题是（）．A. 四边都相等的四边形是正方形B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形3、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．A. 与互相垂直平分B. 且C. 且D. 且4、下列说法中错误的是（）.A. 对角线垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 四条边相等的四边形是正方形D. 四个角相等的四边形是矩形5、如图，在矩形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，则图中的全等三角形共有（）.A. 对B. 对C. 对D. 对6、在中，，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).A.B.C.D.7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形8、下列命题中，真命题是（）A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形D. 两条对角线相等的四边形是矩形9、用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④等腰三角形⑤等边三角形，一定能拼成的图形是A. ①②④B. ①②③C. ①②⑤D. ①④⑤10、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（）A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形11、如图所示，已知四边形的对角线、相交于点，则下列能判断它是正方形的条件是（）A. ，B. ，，C.D. ，12、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（）A.B.C.D.13、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A.B.C.D.14、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（）A.B.C.D.15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、边长为的正方形，对角线的长为______.17、有一组相等的四边形是菱形.18、1.正方形的定义有一组邻边且一个角是的平行四边形叫做正方形。

北师大九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试卷【有答案】

北师大九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试卷【有答案】

北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）1.如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A.四边形ABCD是平行四边形B.AC⊥BDC.△ABD是等边三角形D.∠CAB=∠CAD2.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A.2√3B.92√3 C.6√3 D.3√33.四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）A.AB=BC=CD=DAB.AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC.AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分D.AB=BC，CD=DA4.已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积是（）A.32B.64C.16D.325.△ABC中，∠C=90∘，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A.2cm，2cm，2cmB.3cm，3cm，3cmC.4cm，4cm，4cmD.2cm，3cm，5cm6.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60∘，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A.78∘B.75∘C.60∘D.45∘8.下列命题中正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的平行四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线相等的菱形是正方形二、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）9.在平行四边形ABCD中，∠A=90∘，AB=7cm，AD=6cm，则S▫ABCD=________．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD 于点E，过点B作CD平行线，交AE的延长线于点F，在延长线上截得FG=CD，连结CG、DF．若BG=11，AF=8，则四边形CGFD的面积等于________．11.矩形的两条对角线的夹角为60∘，较短的一边长为4cm，则较长的一边为________cm．12.如图是根据四边形的不稳定性制作的可活动的衣架，图中每个菱形的边长为16cm，若墙上相邻的两个钉子AB之间的距离为16√3cm，则∠α=________．13.如图，矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，当点B在EF边上时，则S1与S2之间的数量关系为：________．14.如图，在ABCD中，AC⊥BD于O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是________．15.如图所示，在四边形ABCD中，AB // CD，且AB=CD，对角线AC和BD相交于O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是________．16.如图，矩形ABCD中，AB=3，B C=4，P是边AD上的动点，PE丄AC于点E，PF丄BD于点F，则PE+PF的值为________．17.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为________．18.若菱形的周长为20，有一个内角为60∘，则两条对角线的长分别为________、________．19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连结EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为________．20.如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE // AD交∠BAF的平分线于点E．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形．22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=24，BD= 10，求菱形ABCD的周长．23.如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过E点作矩形EFCG，其中点F在BC上，点G在DC上．(1)求∠DBC的度数；(2)试说明EG=DG，EF=BF；(3)若正方形的面积为25cm2，求矩形EFCG的周长．24.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB=6，求菱形的面积．25.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF // AB，交BC 于点F．(1)判断四边形DBFE的形状，并说明理由；(2)试探究当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？26.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60∘得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180∘得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．(1)求证：四边形AFCD是菱形；(2)连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？答案1.C2.D3.C4.C5.A6.A7.B8.D9.42cm210.2011.4√312.120∘13.S1=S214.AC=BD等（答案不唯一）15.∠A=90∘或AC=BD16.12517.4或4−2√218.5√3519.6520.a+b2100421.(1)证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠BAC，AD⊥BC，∴∠BAD=12∵AE是△ABC的外角平分线，∠BAF，∴∠BAE=12∵∠BAC+∠BAF=180∘，∴∠BAD+∠BAE=90∘，即∠DAE=90∘，∴AD⊥AE，∵AD⊥BC，∴AE // BC，又∵BE // AD，∠DAE=90∘，∴四边形ADBE是矩形；(2)解：当∠BAC=90∘时，四边形ADBE是正方形．理由如下：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∠BAC=90∘，∴∠ABC=∠C=∠BAD=∠CAD=45∘，∴AD=BD，又∵四边形ADBE是矩形，∴矩形ADBE为正方形．22.解：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10∴AC⊥BD，OA=12AC=12，OD=12BD=5，∴AD=√OA2+OD2=√122+52=13，∴菱形ABCD的周长是：13×4=52．23.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴∠DBC=45∘；(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45∘，∵四边形EFGH是矩形，∴EG // BC，EF // CD，∴∠DEG=45∘，∠BFE=∠DGE=90∘，∴△DEG与△EBF是等腰直角三角形，∴EG=DG，EF=BF；(3)∵正方形的面积为25cm2，∴DC=5cm，∵由(1)知EG=DG，EF=BF，∴EG+CG=DC=5cm，∴矩形EFCG的周长=2DC=10cm．24.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠AEC=90∘，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=12AD，EC=12BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD // BC且AD=BC，∴AF // EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠AEC=90∘，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；(2)解：在Rt△ABE中，AE=√62−32=3√3，所以，S菱形ABCD=8×3√3=24√3．25.解：(1)四边形DBFE是平行四边形，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE // BF，∵EF // AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）AB=BC，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，BC，∴DE=12∵E为AC的中点，EF // AB，∴BF=CF，AB，∴EF=12∵AC=BC，∴DE=EF，∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，即当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．26.(1)由旋转60∘得到AC=DC，∠ACB=∠ACD=60∘，△ACD是等边三角形∴AD=DC=AC，又∵Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180∘，易证△AFC是等边三角形，∴AD=DC=FC=AF∴四边形AFCD是菱形(2)四边形ABCG是矩形由(1)知△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E∴AE=EC，易证△AEG≅△CEB∴AG=BC∴四边形ABCG是平行四边形，且∠ABC=90∘∴平行四边形ABCG是矩形．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(有答案解析)

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB ∥DCB ．AB ＝DC C ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD2．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）A ．54°B ．36°C ．28°D ．72°3．菱形ABCD 中，60D ∠=︒．点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且BE CF =．若2EF =，则AEF 的面积为（ ）．A ．43B ．33C ．23D ．34．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（ ）A ．512B ．725C ．718D ．5246．如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝5，EC ＝3，则长方形的周长为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．267．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．18．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折B 叠，使点恰好落在ED 上的点F 处，若5,3CD BC ==，则BE 的长为（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．210．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（ ）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒11．如图，四边形ABCD 是菱形，DH ⊥AB 于点H ，若AC=8cm ，BD=6cm ，则DH=（ ）A ．53cmB ．25cmC ．245cmD ．485cm 12．菱形OBCA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是()8,0，点A 的纵坐标是2，则点B 的坐标是（ ）A ．()4,2B ．()4,2-C ．()2,6-D ．()2,6二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的顶点A 在第二象限，顶点B 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，若正方形ABOC 的面积等于7，则点A 的坐标是______．14．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH 的周长为_______________．15．如图，在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．延长DE 到点F ，使DE EF =，得四边形ADCF ．当ACB =∠________︒时，四边形ADCF 是长方形．16．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 17．如图，将长方形纸片进行折叠，ED ，EF 为折痕，A 与A '、B 与B '、C 与C '重合，若∠AED ＝25°，则∠BEF 的度数为_____．18．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是边AD 上的一个动点，将ABE △沿BE 对折成BFE △，则线段DF 长度的最小值为_______．19．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA=OC ，OB=OD ．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD 成为菱形．20．如图将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A 、B 分别落在A ′、B ′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．三、解答题21．如图1，长方形ABCD 中，8AB cm =，6BC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A B →C D →→运动，设点P 运动的时间为t （秒），ADP △的面积为()2y cm ，图2是y 关于t 的部分图象．（1）填写下列表格： t …2 5 10 14 20 … y… 6 _____ 24 ______ ______ … y t （3）当ADP △的面积超过15时，求点P 运动的时间t 的取值范围．22．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边上，且∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ； （2）如图2，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠D =90°，AD =DC =10，BC =6，点E 在CD 上，∠BAE =45°，在（1）的基础上求DE 长．23．如图，在ABC 中，,,,AC BC D E F =分别是,,AB AC BC 的中点，连接,DE DF ．求证：四边形DFCE 是菱形．24．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ， F ． （1）求证：BE=CF ．（2）若∠AOB=60°，AB=8，求矩形的面积．25．如图在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，O 为BC 的中点．（1）写出点O 到ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系．（2）如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN BM =，请判断OMN 的形状，并证明你的结论．（3）当点M 、N 分别在AB 、AC 上运动时，四边形AMON 的面积是否发生变化？说明理由．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按照顺时针方向旋转m 度后得到DEC ∆，点D 刚好落在AB 边上．（1）求m 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D 【分析】连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，即有四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．【详解】解：连AC，BD，如图，∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，∴EF∥AC，EF=12AC；HG∥AC，HG=12AC，∴四边形EFGH为平行四边形，要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，而EH=12 AC，∴AC=BD．当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．2．A解析：A【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=72°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∠DAC=36°．∴∠EAF=12∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-36°=54°，∴∠α=54°．故选：A．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．3．D解析：D【分析】先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的对角线，∴∠ACF1∠DCB＝60°，2∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等边三角形，∵EF ＝2，∴S △AEF =×22= 故选：D ．【点睛】 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF 是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键．4．B解析：B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．5．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ＝12AC ＝3，BO ＝12BD ＝4，AO ⊥BO ， ∴BC5，∵S 菱形ABCD ＝12AC•BD ＝BC×AE ， ∴AE ＝16825⨯⨯＝245．在Rt△ABE中，BE75，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣75＝185，∴775==18185BECE的值为718，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．6．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC4 ==，则AB＝4，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴长方形的周长为：2×（4＋4＋3）＝22.故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等，解题关键是把握已知，整合已知得出等腰三角形，依据勾股定理求出线段长．7．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC−BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°−60°−90°＝30°，∴QF＝12EF＝1，∴△EFC的面积=12×CE×FQ＝12×4×1＝2，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE和FQ的长度是解此题的关键．8．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．【详解】①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．9．B解析：B【分析】求出4DF =，设BE x =，则5AE x =-，根据勾股定理列方程可得BE 的长．【详解】解：设BE x =，则5AE x =-，由折叠得：3CF BC ==，90B CFE ∠=∠=︒，90CFD ∴∠=︒，4DF ∴=，四边形ABCD 是矩形，3AD BC ∴==，90A ∠=︒，Rt AED ∆中，222AE AD ED +=，222(5)3(4)x x ∴-+=+，1x ∴=，1BE ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F 都是直角，∠BEF=∠DEF ，因此BE ∥C′F ，那么∠EFC′和∠BEF 互补，这样可得出∠BEF 的度数，进而可求得∠AEB 的度数，则∠ABE 可在Rt △ABE 中求得．【详解】解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF ，∠EBC′、∠BC′F 都是直角，∴BE ∥C′F ，∴∠EFC′+∠BEF=180°，又∵∠EFC′=122°，∴∠BEF=∠DEF=58°，∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，在Rt △ABE 中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．故选D ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．11．C解析：C【分析】根据菱形性质在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB=5，再根据菱形的面积可得AB×DH=12×6×8=24，即可求DH长．【详解】由已知可得菱形的面积为12×6×8=24．∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB=90°，AO=4cm，BO=3cm．∴AB=5cm．所以AB×DH=24，即5DH=24，解得DH=245cm．故选C．【点睛】主要考查了菱形的性质，解决菱形的面积问题一般运用“对角线乘积的一半”和“底×高”这两个公式．12．B解析：B【分析】连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，根据菱形的性质可得OD=CD=4，BD=AD=2，由此即可求得点B的坐标．【详解】∵连接AB交OC于点D，∵四边形ABCD是菱形，∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，∵点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2，∴OC=8，BD=AD=2，∴OD=4，∴点B的坐标为：（4，-2）．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质与点与坐标的关系．熟练运用菱形的性质是解决问题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．二、填空题13．【分析】先根据正方形面积公式求出正方形的边长再根据第二象限点的坐标特征可求点A 的坐标【详解】解：正方形ABOC 的面积等于7正方形ABOC 的边长正方形ABOC 的顶点A 在第二象限顶点B 在x 轴上顶点C 在y解析：(【分析】先根据正方形面积公式求出正方形的边长，再根据第二象限点的坐标特征可求点A 的坐标．【详解】 解：正方形ABOC 的面积等于7，∴正方形ABOC ，正方形ABOC 的顶点A 在第二象限，顶点B 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，∴点A 的坐标是(故答案为：(．【点睛】考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是根据正方形面积公式求出正方形的边长． 14．【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形再证BG=BH 然后由勾股定理求B Ｇ四边形BGDH 的周长=4BH 即可【详解】由题意得矩形矩形∴四边形是平行四边形∴平行四边形的面积∴四边形是菱形设则在中由勾股定理 解析：34011【分析】先证四边形BGDH 为平行四边形，再证BG=BH ，然后由勾股定理求B Ｇ，四边形BGDH 的周长=4BH 即可．【详解】由题意得矩形ABCD ≌矩形BEDF ，90,7,//,//,11A AB BE AD BC BF DE AD ︒∴∠====，∴四边形BGDH 是平行四边形，∴平行四边形BGDH 的面积BG AB BH BE =⋅=⋅，BG BH ∴=，∴四边形BGDH 是菱形，BH DH DG BG ∴===．设BH DH x ==，则11AH x =-．在Rt ABH △中，由勾股定理得2227(11)x x +-=， 解得85,11x = 8511BG ∴=， ∴四边形BGDH 的周长340411BG ==． 【点睛】 本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH 为菱形，用勾股定理求BH ，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．15．60【分析】由E 是AC 中点且DE=EF 据对角线互相平分的四边形是平行四边形知四边形ADCF 是平行四边形因此只需DF 和AC 相等据对角线相等的平行四边形是矩形就得四边形ADCF 是矩形所以只需∠ACB 的大解析：60【分析】由E 是AC 中点且DE=EF ，据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知四边形ADCF 是平行四边形．因此只需DF 和AC 相等据“对角线相等的平行四边形是矩形”就得四边形ADCF 是矩形，所以只需∠ACB 的大小能使DF=AC 就行了．【详解】当∠ACB=60°时，四边形ADCF 是矩形．理由如下：∵AB=AC ，∠ACB=60°∴△ABC 为正三角形∴AC=BC∵D 、E 是AB 、AC 的中点∴DE=12BC （三角形中位线定理） 又∵DE=EF∴DF=BC=AC①∵E 是AC 中点且DE=EF ∴四边形ADCF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又由①知DF=AC∴四边形ADCF 是矩形即长方形．（对角线相等的平行四边形是矩形）故答案为：60．【点睛】本题综合考查平行四边形、矩形的判定，也运用了三角形中位线定理．其中关键是结合图形和题目所给条件选择合适判定方法．16．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项；题设成立结论也成立的叫真命题而题设成立结论不成立的为假命题把一个命题的题设解析：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；题设成立，结论也成立的叫真命题，而题设成立，结论不成立的为假命题，把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：如命题：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，真命题，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，真命题，故答案为：对角线互相平分且相等的四边形是矩形（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.17．65°【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论【详解】解：根据翻折的性质可知∠AED＝∠A′ED∠BEF＝∠FEB′∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°∴∠AED+∠BEF＝解析：65°【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∵∠AED＝25°，∴∠BEF＝65°．故答案为：65°．【点睛】本题主要考查翻折性质，正确理解翻折性质是本题解题关键．18．【分析】连接DFBD由DF＞BD-BF知点F落在BD上时DF取得最小值且最小值为BD-BF的长再根据矩形和折叠的性质分别求得BDBF的长即可【详解】如图连接DFBD由图可知DF＞BD-BF当点F落在解析：4【分析】连接DF、BD，由DF＞BD-BF知点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，再根据矩形和折叠的性质分别求得BD、BF的长即可．【详解】如图，连接DF、BD，由图可知，DF＞BD-BF，当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD-BF的长，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=4、BC=6，∴2222BC CD+=6+4=213由折叠性质知AB=BF=4，∴线段DF长度的最小值为BD-BF134=，故答案为：134.．【点睛】本题主要考查矩形和翻折变换的性质，解题的关键是根据三角形两边之差小于第三边得出DF长度取得最小值时点F的位置．19．AB=AD【分析】由条件OA=OCAB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定【详解】添加AB=AD解析：AB=AD.【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．【详解】添加AB=AD，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为AB=AD．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折叠知∠1=∠B′FE ，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．三、解答题21．（1）15，24，6；（2）见详解；（3）517t <<．【分析】（1）根据点P 的位置，利用三角形面积公式写出y 与t 的函数关系，把表中t 的值代入求解即可；（2）根据（1）中所得y 与t 的函数关系，在自变量t 取值范围内画出图像即可； （3）把15y =代入到y 与t 的函数关系式， t 即可求出t 的取值范围．【详解】解：在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，8,6CD AB AD BC ∴====，（1）当点P 在AB 上，即 08t ≤≤ 时，AP t = ，12APD S AP AD =△， 1632y t t ∴=⨯=， ∴当5t =时，156152y =⨯⨯=， 当点P 在BC 上，即814t <≤时，12ADP S AD AB =△， 168242y ∴=⨯⨯=， ∴当14t =时，24y =，当点P 在CD 上，即1422t <≤时，22DP t =- ，12ADP S AD DP =△ ， ∴ 当20t =时，()1622663666062y t t =⨯⨯-=-=-=， 故答案为：15，24，6；（2）由（1）知：()()()308248143661422t t y t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩， 画出y 与t 的图像，如图2所示（3）把15y =代入3y t =，得5t =，把15y =代入663y t =- 得，15663t =- ，解得17t =，∴当ADP △的面积超过15时，点P 运动的时间t 的取值范围为：517t <<．【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图像，解答本题时注意分类讨论思想、数形结合思想、方程思想的运用．22．（1）见解析；（2）307【分析】（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ． 在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，∵45EAF ∠=︒，∴45FAD BAE ∠+∠=︒,∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，由题意可知四边形AMCD 是正方形，∴AD =CD =MC =10，MB =4．由（1）知BE =MB +DE ．设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+， 解得：307x =，即DE = 307【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．23．证明见解析【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【详解】证明：,,D E F 分别是,,AB AC BC 的中点，11//,,//,22DE CF DE BC DF CE DF AC ∴==， ∴四边形DECF 是平行四边形．AC BC =，DE DF ∴=，∴四边形DFCE 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）【分析】（1）由矩形ABCD 可得OB=OC ，再由垂直可得两直角相等，再由“角角边”定理可证的△BEO ≌△CFO ，根据全等三角形的性质即可得BE=CF ．（2）结合四边形ABCD 是矩形，∠AOB=60°，△AOB 是等边三角形，再根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ， ∴OB=OC ，∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO=∠CFO=90°，在△BEO 和△CFO 中， BOE COF BEO CFO OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEO ≌△CFO （AAS ），∴BE=CF ；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD ，OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD ， ∴OB=OA ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=AO=OB=8，∴AC=16，由勾股定理得：BC ==∴矩形的面积是8AB BC ⨯=⨯=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的相关性质和等边三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理是解决本题的关键．25．（1）OA OB OC ==；（2）OMN 是等腰直角三角形，证明见解析；（3）四边形AMON 的面积不变，理由见解析【分析】（1）连接OA，由O为BC的中点可得OC OB=，由直角三角形斜边上的中线的性质可得12 OABC=，即可得OA OB OC==．（2）由（1）不难证明45CAO B∠=∠=︒，结合已知条件进而证明OAN≌OBM，即可得OM ON=，NOA MOB∠=∠，即90NOM AOB∠=∠=︒，所以OMN是等腰直角三角形．（3）由（2）可得OANS=OBMS，进而将四边形AMON的面积转化为AOB的面积，AOB的面积保持不变，故四边形AMON的面积保持不变．【详解】（1）连接OA，Rt ABC△中，O为BC的中点，∴12OA BC=，OC OB=，∴122OA OB OB=⨯⨯=，∴OA OB OC==．（2）OMN是等腰直角三角形，证明如下：AB AC=，O为BC的中点，∴AO BC⊥，∴90AOB∠=︒，OA OB OC==，∴45CAO B∠=∠=︒，在OAN与OBM中，OA OBCAO BAN BM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OAN≌OBM，∴OM ON=，NOA MOB∠=∠，∴90NOM AOB∠=∠=︒，∴OMN是等腰直角三角形．（3）四边形AMON的面积保持不变，理由如下：由（2）可得： OAN S =OBM S ， ∴OAN AOM OBM AOM AOB AMON S S S S S S =+=+=四边形． AOB 的面积保持不变∴四边形AMON 的面积保持不变．【点睛】本题主要考查直接三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质定理并灵活运用是解题关键．26．（1）60︒；（2）菱形【分析】（1）由旋转的性质可得出AC CD =，再由三角形的内角和可求出=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠，因此可证出ACD △是等边三角形，得到=60ACD ︒∠，即可解决问题；（2）根据题意，证明AD AC =，再证明DF CF AD ==，得到AD DF CF AC ===，即可解决问题．【详解】解：（1）由题意可得：AC CD =∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒∴=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠∴ACD △是等边三角形∴=60m ACD ︒=∠（2）∵DAC △为等边三角形∴AD AC =∵2AB AD BD AC =+= ∴12AD BD AB ==由题意得：DE AB =，90DCE ACB ∠=∠=︒∵F 是DE 的中点 ∴1122DF CF DE AB === ∴AD DF CF AC === ∴四边形ACFD 是菱形【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．。

北师大九年级上学期第一章特殊平行四边形测试题(含答案)

新北师大版九年级上学期第一章特殊平行四边形测试题一、填空题：（1）四边形的内角和为；四边形的外角和是；（2）多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形是边形；（3)夹在两平行线间的线段相等；（4）平行四边形的对角线;（5）平行四边形ABCD中，AB = 3 cm，BC = 4 cm，∠ABC = 300，则=ABCDS(6)平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边互相垂直，则这个平行四边形的一个锐角为；二、选择题:（1）四边形的四个内角中，最多时钝角有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个（2）四边形具有的性质是)A 对边平行 B 轴对称性 C 稳定性 D 不稳定性（3)一个多边形的每一个外角都等于720，则这个多边形的边数是（）A 四边B 五边C 六边D 七边(4)下列说法不正确的是（）A 平行四边形对边平行 B 两组对边平行的四边形是平行四边形 C 平行四边形对角相等 D 一组对角相等的四边形是平行四边形（5）一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为25700则这个角等于（）A 900B 1050C 1200D 1300（6)平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（）A 2 对B 3对C 4对D 5 对三、一个多边形的每一个内角都相等，且比它的外角大1000，求这个多边形的边数；四、O是矩形ABCD的对角线交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形五、在平行四边形ABCD中,AB = 2BC,M是AB的中点，求证：CM⊥DM OEDAB C六、已知AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，垂足分别是M 、N ，求证：四边形BMDN 是平行四边形；七、E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且DF = BE,求证：EF 、AC 互相平分;八、如图，正方形ABCD 中,F 在CD 上,AE 平分∠BAF ，E 为BC 中点， 求证：AF = BC + CFAA CFA新北师大版九年级上学期第一章特殊平行四边形测试题（参考答案）一、填空题：（1）3600，3600（2）8 （3)平行（4）互相平分(5）6 （6）600二、选择题:（1）C 【解析】假设四边形的四个内角都是钝角,那么这四个内角的和＞360°，与四边形的内角和定理矛盾，所以四边形的四个内角不能都是钝角．换言之，在四边形的四个内角中,钝角个数最多有3个．故选C．（2) D (3) B （4）D （6） C（5) D三、解:设这是一个n边形n边形内角和（n—2）*1800=1800n-3600，外角和是3600每一个内角都比它相邻的外角大1000，n个内角和比外角和大1000n则有1800n-3600=1000n+3600800n=7200n=9答：这个多边形的边数是9四、证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OD=OC，∴四边形OCDE是菱形五、六、七、八、。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形C ．有两个角相等的四边形是平行四边形D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小2．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．193．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若112,AEF ∠=︒则1∠等于（ ）A ．43B ．44C ．45︒D ．46︒4．如图，正方形ABCD ，对角线,AC BD 相交于点O ，过点D 作ODC ∠的角平分线交OC 于点G ，过点C 作CF DG ⊥，垂足为F ，交BD 于点E ，则:ADG BCE S S 的比为（ ）A ．21):1B ．(221):1-C ．2∶1D ．5∶25．如图，已知菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为（ ）A ．()3,3-B ．()1,3--C ．()2,3D ．33,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭6．如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ︒∠=，则AED =∠A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，12BC =．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF BG ⊥；②GE GF =；③GDK △和GKH △的面积相等；④当点F 与点C 重合时，75DEF ∠=︒，其中正确的结论共有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（ ）A ．24︒B ．32︒C ．30D ．26︒11．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上两点，连接BE ，BF ，DE ，DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ）A ．∠1＝∠2B ．BE ＝DFC ．∠EDF ＝60°D ．AB ＝AF 12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）A ．221B ．421C ．12D ．24二、填空题13．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．14．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．15．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH 的周长为_______________．16．请你写出一个原命题与它的逆命题都是真命题的命题____________________ ． 17．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．18．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC 分别交AB 、CD 于E 、F ，连接PB ，PD ．若2AE =，8PF =．则图中阴形部分的面积为_________．19．如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝3，将矩形纸片折叠，边AD 、边BC 与对角线BD 重合，点A 与点C 恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD 的周长是______．20．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ，∠BDE=70°，则∠CAD= °．三、解答题21．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接CD ，DE ．（1）如图1．①若∠CDE =90°，求证：∠A =∠E ．②若BD 平分∠CDE ，且∠E =24°，求∠A 的度数．（2）设∠A =α(α＞45°)，∠DEC =β，若CD =CE ，求β关于α的函数关系式，并说明理由． 22．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，BC=12cm ，直线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始以每秒4cm 的速度运动到B 点，动点E 也同时从点C 开始沿射线CM 方向以每秒2cm 的速度运动．（1）问动点D 运动多少秒时，△ABD ≌△ACE ，并说明理由；（2）设动点D 运动时间为x 秒，请用含x 的代数式来表示△ABD 的面积S ；（3）动点D 运动多少秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4：1．23．如图，在ABC 中，,,,AC BC D E F =分别是,,AB AC BC 的中点，连接,DE DF ．求证：四边形DFCE 是菱形．24．长方形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，6OC =．（1）如图，在AB 上取一点M ，使得CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）在x 轴上是否能找到一点P ，使B CP '△的面积为13？若存在，直接写出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．MN，设25．如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线//BC∠的平分线于点F，连接AF．MN交BCA∠的角平分线于点E，交BCA∠的外角ACG=；（1）求证：EO FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．26．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．B、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．C、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．D 、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD ，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x ，则各正方形边长表示如图，由AD ＝BC 可列方程：x ＋2＋x ＋1＝2x －1＋x ，解得x ＝4，则DC ＝x ＋1＋x ＋x ＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键． 3．B解析：B【分析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEF+∠BFE=180°，∵112AEF ∠=︒，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B ．【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】由题意先证得DE DC =和()DOG COE ASA ∆≅∆，设2AD DC a ==，进而可用含a 的式子表示出线段AG 和BE 的长，要求:ADG BCE S S ∆∆的比值即求AG 和BE 的比值，代入即可求解．【详解】 解：正方形ABCD ，AD DC ∴=，45ODC OCD OAD ∠=∠=∠=︒，90DOC BOC ∠=∠=︒，OD OC =， DF 平分ODC ∠，22.5EDF CDF ∴∠=∠=︒，CF DG ⊥，67.5DEF DCF ∴∠=∠=︒，67.54522.5OCE ∴∠=︒-︒=︒，DE DC =，OCE ODG ∴∠=，又OD OC =，90DOC BOC ∠=∠=︒，()DOG COE ASA ∴∆≅∆，OG OE ∴=，设2AD DC a ==，则有OA OB =，2DE a =，BD =，2)BE BD DE a ∴=-=，2AG AO OG a =+=， 12ADG S AG OD ∆=，12BCE S BE OC ∆=，OD OC =，::2:2)1):1ADG BCE S S AG BE a a ∆∆∴===，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．5．D解析：D【分析】过A 作AE ⊥OC 于E ，由菱形OABC 的顶点()0,0O ，()2,0C 且60AOC ∠=︒，求出A（1D 为AC 中点，可求D （12458=360︒⨯︒，转8次回到原位置，菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45︒，则第2020秒时，2020445=45252+88⎛⎫︒⨯︒ ⎪⎝⎭，相当于旋转454=180︒⨯︒，菱形旋转180°。

北师大版九年级上册《第一章 特殊的平行四边形》同步练习 含答案

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共8小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若周长为20，BD＝8，则AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．62．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC3．已知▱ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时▱ABCD为矩形B．当AB＝AD时▱ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时▱ABCD为菱形D．当AC⊥BD时▱ABCD为正方形4．如图，菱形ABCD的面积为96，正方形AECF的面积为72，则菱形的边长为（）A．10 B．12 C．8 D．165．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形D．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（）A．AE＝BF B．∠DAE＝∠BFCC．∠AEB+∠BFC＝90°D．AE⊥BF7．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是菱形8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AB为一边作等边△ABE，使点E落在正方形ABCD 的内部，连接AC交BE于点F，连接CE、DE，则下列说法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE ＝30°；③AF＝CF；④＝2+，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题）9．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝°．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝．11．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AD边的中点，如果菱形的周长为12，那么OE 的长是．12．如图，若菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．14．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC ＝10，则PE+PF＝．15．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则AC＝．三．解答题（共5小题）16．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF、DE，若E是BC的中点，求证：CF＝DE．17．如图，△ABC中，O是边BC的中点，点D是AD延长线上一点，BE∥CD交AD于E，连接BD、CE（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若AB＝AC＝2，BC＝4，当点D在AD延长线上移动时，四边形BECD能否成为正方形？若能，求出AD的长；若不能，说明理由．18．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA 的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；（3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（写出结论即可）19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC边上的垂直平分线交AC于D，交AB于E，延长DE到F，使BF＝CE（1）四边形BCEF是平行四边形吗？说说你的理由．（2）当∠A等于多少时，四边形BCEF是菱形，并说出你的理由．（3）四边形BCEF可以是正方形吗？为什么？20．如图1，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AE⊥BF于G．（1）AE与BF相等吗？请说明理由；（2）运用图形的平移、旋转方法，分析说明△ABE和△BCF可以通过怎样的平移和旋转而相互得到如图1，点H、E、F、L在正方形ABCD的边上，且LE⊥HF于G，图2通过怎样的方法可以得到图1，从而分析说明LE与HF相等．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OB，AO＝OC，∵菱形的周长是20，∴DC＝×20＝5，∵BD＝8，∴OD＝4，在Rt△DOC中，OD＝＝3，∴AC＝2OC＝6．故选：D．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF＝＝，∴四边形EBDF是平行四边形，添加AC⊥BD时，∵BO是△BEF的中线，∴BE＝BF，∴四边形EBFD是菱形，选项A正确；添加AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB，∴AD＝AB＝BC，在△ABE和△DAE中，，∴△ABE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∴四边形EBFD是菱形，选项C正确；添加AB＝BC时，∴∠BAE＝∠BCF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∴四边形EBFD是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．3．解：A、当OA＝OB时，可得到▱ABCD为矩形，故此选项正确；B、当AB＝AD时▱ABCD为菱形，故此选项错误；C、当∠ABC＝90°时▱ABCD为矩形，故此选项错误；D、当AC⊥BD时▱ABCD为菱形，故此选项．故选：A．4．解：连接EF、BE、DF．∵四边形AECF是正方形，∴∠AEC＝90°，∠AEF＝45°．又△ABE≌△CBE（SSS），∴∠AEB＝∠CEB＝（360°﹣90°）÷2＝135°．∴∠AEB+∠AEF＝180°，∴B、E、F三点共线．同理可证D、F、E三点共线，∴BD过点E、F．∵AC2＝72，∴AC＝12．又AC•BD＝96，∴BD＝16．则菱形的边长为＝10．故选：A．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：∵正方形ABCD中，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，在△ABE与△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AEB＝∠BFC，∠BAE＝∠CBF，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∠BFC+∠FBC＝90°，∴∠DAE＝∠BFC，∠BAE+∠ABG＝90°，∴AE⊥BF，故ABD正确；∠AEB＝∠BFC，∠AEB+∠BFC＞90°，故选：C．7．解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确．故选：C．8．解：∵四边形ABCD是正方形，△AEB是等边三角形，∴AD＝AE＝AB＝BE＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，∠EAB＝∠EBA＝60°，∴∠DAE＝∠EBC＝30°，∴△ADE≌△BCE，故①正确，∵∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣30°）＝75°，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，故②正确，作FH⊥BC于H，设FH＝CH＝a，则BH＝a，∵BC＝4，∴a+a＝4，∴a＝2﹣2，∴CF＝a＝2﹣2，∵AC＝4，∴AF＝AC﹣CF＝6﹣2，∴AF＝CF，故③正确，∵BF＝2FH＝4﹣4，∴EF＝BE﹣BF＝8﹣4，∴＝＝2+，故④正确，故选：D．二．填空题（共7小题）9．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝120°，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△ACD是等边三角形∵CE⊥AD∴∠ACE＝∠ACD＝30°∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°∵CE＝BC∴∠E＝∠CBE＝45°∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACE＝180°﹣45°﹣30°＝105°故答案为：105°10．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，OD＝3，由勾股定理得：AD＝5，∴BC＝5，∴S菱形ABCD＝＝BC×DE，∴×6×8＝5×DE，解得：DE＝，故答案为：．11．解：∵菱形ABCD的周长为12，∴AD＝3，∠AOD＝90°，∵E为AD边中点，∴OE＝．故答案为：12．解：∵菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），∴AB＝AD＝10，OA＝6∴OD＝＝8∴点D（0，8）∵CD∥AB，CD＝10∴点C（﹣10，8）故答案为：（﹣10，8）13．解：根据已知可得，菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10（cm），则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10 ＝50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．14．解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝CO＝5＝BO＝DO，∴S△DCO＝S矩形ABCD＝10，∵S△DCO＝S△DPO+S△PCO，∴10＝+×OC×PE∴20＝5PF+5PE∴PE+PF＝4故答案为：415．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE：ED＝1：3，∴BE：BD＝1：4，∴BE：OB＝1：2，即BE＝OE，∵AE⊥BD，∴AB＝OA，∴OA＝OB＝AB＝4cm，∴AC＝2OA＝8（cm）．故答案为：8cm．三．解答题（共5小题）16．证明：∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC＝CD，BE＝BF，∴BF＝CE，在△BCF和△CDE中，，∴△BCF≌△CDE（SAS），∴DE＝CF；17．（1）证明：∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠DCO，∵O是边BC的中点，∴OB＝OC，在△OBE和△OCD中，，∴△OBE≌△OCD，∴BE＝CD，而BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：存在．∵AB＝AC＝2，OB＝OC＝2，∴AO⊥BC，∴四边形BECD为菱形，当OD＝OB＝2时，四边形BECD为正方形，在Rt△ABO中，OA＝＝4，∴AD＝AO+OD＝4+2＝6．18．解：（1）猜想：OE＝OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形；理由如下：∵由（2）得：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，当∠ACB＝90°时，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，∴四边形AECF是正方形．19．（1）四边形BCEF是平行四边形，理由如下：证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB＝90°∴FD∥BC，AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵∠A+∠ABC＝∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠ABC＝∠BCE，∴BE＝CE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF∵FD∥BC，∴∠BFE＝∠BEF＝∠ABC＝∠BCE∴∠FBE＝∠BEC，∴FB∥EC，∵CE＝BF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）∠A＝30°，证明：∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°且BE＝CE，∴△BCE为等边三角形，∴BC＝CE，由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，∴四边形BCEF为菱形；（3）不可以，因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．20．求证：（1）AE＝BF证明：在Rt△ABE中，∠BAE+∠BEA＝90°，∵AE⊥BF，∴△BGE是直角三角形，∴∠FBE+∠BEA＝90°，∴∠FBE＝∠BAE，又∵BC＝AC，∴Rt△FBC≌Rt△EAB，∴AE＝BF，∴AE与BF相等．（2）答：△ABE先向右平移至点B与点C重合，再以点B为旋转中心，逆时针旋转90°后得到△BCF；△BCF向左平移至点C与点B重合后，再以BF为轴顺时针旋转90°后得到△ABE．线段LE向左平移至点L与点A重合，线段HF向下平移点H与点B重合，按这种方法就可以得到上图．LE与HF平移后，就是图中AE和BF，由（1）证明得AE＝BF，所以LE＝HF．。

(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，给出下列结论：①BE=DF ；②∠DAF=15°；③AC 垂直平分EF ；④BE+DF=EF ；其中结论正确的共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）A ．60AOB ∠=︒ B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 3．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．194．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后重合，如果//AD BC ，则结论①AB //CD ；②AB =CD ；③AB BC ⊥；④AO OC =中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，将等边ABC 与正方形DEFG 按图示叠放，其中D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．2D ．16．如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 定是．．（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 7．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，点E 为AC 延长线上的一点，连接BE ，30E ∠=︒，则CE 的长为（ ）A ．2622-B ．62-C ．6D ．2 9．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）A ．40B ．47C ．24D ．20 10．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB ＝CDB ．AD ＝BC C ．AB ＝BCD ．AC ＝BD 11．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 12．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A ．甲、乙都可以B ．甲、乙都不可以C ．甲不可以、乙可以D ．甲可以、乙不可以二、填空题13．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC ＝8，以AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．14．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形,AEFG 点E 在AC 上．EF 与CD 交于点,P 则PE 的长是____．15．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．16．如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B 匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．当点E运动_______秒时，△DEF为等边三角形．17．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB l为边作第三个正方形OB l B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为_______．18．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当BPQ为等腰三角形时，AP的长为_____．19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边AB，CD上的点，且''，点C'恰好落在AD边上，∠=︒．将四边形BCFE沿EF翻折，得到B C FE60CFEB C''交AB于点G，则GE的长是_______．20．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为_____．三、解答题21．（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边上，且∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ； （2）如图2，四边形ABCD 中，AD //BC ，∠D =90°，AD =DC =10，BC =6，点E 在CD 上，∠BAE =45°，在（1）的基础上求DE 长．22．已知点(0,4)A 、(4,0)B -分别为面直角坐标中y 、x 轴上一点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若60AOC ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）若60AOC ∠=︒，AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，如图2，求证：OD BD CD +=；（3）若30AOC ∠=︒，过A 作AE AC ⊥交BC 于E ，如图3，求BE 的长． 23．综合与实践已知四边形ACBD 与AEFG 均为正方形．数学思考：（1）如图1，当点E 在AB 边上，点G 在AD 边上时，线段BE 与DG 的数量关系是______，位置关系是______．（2）在图1的基础上，将正方形AEFG 以点A 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 拓展探索：（3）如图3，若点D ，E ，G 在同一直线上，且222AB AE ==，则线段BE 长为_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．24．如图，在ABC 中，90,3,4BAC AB AC ︒∠===，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，联结CE ．（1）求证：//AD CE ；（2）求CE 的长．25．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=︒，则当ADE ∠=____°时，四边形BECD 是菱形．26．如图所示，平行四边形,ABCD 对角线BD 平分ABC ∠；()1求证：四边形ABCD 为菱形；()2已知AE BC ⊥于E ，若24CE BE ==，求BD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，设EC=x ，由勾股定理就可以表示出BE 与EF ，再通过比较可以得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF ．故①正确；∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°故②正确；∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．故③正确；设EC=x ，由勾股定理，得，x ，x ∴x ∴AB=12x ∴x x x -= ∴BE+DF=)1x=EF 故④错误；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．2．B解析：B【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．【详解】∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =∴四边形ABCD 是平行四边形若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．3．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD ，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x ，则各正方形边长表示如图，由AD ＝BC 可列方程：x ＋2＋x ＋1＝2x －1＋x ，解得x ＝4，则DC ＝x ＋1＋x ＋x ＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键． 4．C解析：C【分析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．【详解】解：如图所示：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正确；∴四边形ABCD是菱形；∴AB=CD，故②正确；∵四边形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正确．∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；故选：C．【点睛】主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．5．C解析：C【分析】过F作FQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出BE＝2，∠BED＝60°，∠DEF＝90°，EF＝2，求出∠FEQ，求出CE和FQ，即可求出答案．【详解】过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC ＝AB ＝6，∠B ＝60°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴△BED 是等边三角形，且边长为2，∴BE ＝DE ＝2，∠BED ＝60°，∴CE ＝BC−BE ＝4，∵四边形DEFG 是正方形，DE ＝2，∴EF ＝DE ＝2，∠DEF ＝90°，∴∠FEC ＝180°−60°−90°＝30°，∴QF ＝12EF ＝1， ∴△EFC 的面积=12×CE×FQ ＝12×4×1＝2， 故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点，能求出CE 和FQ 的长度是解此题的关键．6．C解析：C【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC 四边的关系进而得出四边形一定是菱形．【详解】∵分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ， ∴AC=AD=BD=BC ，∴四边形ADBC 一定是菱形，故选C ．【点睛】考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键． 7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．B解析：B【分析】根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得45A ACB ∠=∠=︒，即AB BC =，再根据勾股定理的性质计算，得AC ；根据直角三角形斜边中线的性质，得AD CD BD ==；结合30E ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质，得BE ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】∵ABC 是等腰直角三角形，2AB =∴90ABC ∠=︒，∴45A ACB ∠=∠=︒，∴2AB BC == ，∴AC ==∵ABC 是等腰直角三角形，D 是AC 的中点， ∴AD CD BD ===90BDC ∠=︒， ∵30E ∠=︒， ∴2BE BD == ， ∴DE == ∴CE DE CD =-=故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解． 9．D解析：D【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142AO AC ==，AC ⊥BD ，则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB =，∴菱形ABCD 的周长=4×5=20．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10．D解析：D【分析】由四边形ABCD 的对角线互相平分，可得四边形ABCD 是平行四边形，再添加AC=BD ，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD 是矩形．【详解】∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，A 、AB=CD 是平行四边形的性质，并不能得出四边形ABCD 是矩形；B 、AD=BC 是平行四边形的性质，不能推出四边形ABCD 是矩形；C 、AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形，而不是矩形；D、AC=BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．12．A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题13．或【分析】AC 作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝ 解析：5或13【分析】AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线所以，AE CD ⊥，CE=DE因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2所以BE=AE-AB=2-1=1又因为DE=CE=2，AE CD ⊥所以，BD=22145BE DE +=+=情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1所以，BE=EF-BF ；因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°所以∠ACD ＝45°所以 ，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°又因为,DE AB CF AB ⊥⊥所以四边形DEFC 是矩形所以DE=CF=2，EF=DC ；因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，8AC ＝ 所以，根据勾股定理，CD=4 所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3 因此，22223213BD DE BE =+=+=故答案为5或13．【点睛】这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．14．【分析】连接BD 交AC 于O 由菱形的性质得出CD=AB=2∠BCD=∠BAD=60°由直角三角形的性质求出OB=AB=1由直角三角形的性质得出由旋转的性质得出AE=AB=2∠EAG=∠BAD=60°求解析：31-【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=∠=BAC BAD ，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出23AC =，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE 232=-，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE 的长【详解】解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，1ACD 302︒∠=∠=∠=BAC BAD ，OA=OC ，AC ⊥BD ，∴112OB AB == ∴==OA∴AC =由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°， ∴2,=-=CE AC AE∵四边形AEFG 是菱形，∴EF ∥AG ，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴112PE CE ==1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．15．(－371)【分析】先求出A1（-1-3）A2（-51）A3（17）A4（9-1）再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1二象限纵坐标都为1三象限横坐标都为-1四象限纵坐标都为-1；相解析：(－37，1)【分析】先求出A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A 18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A 18的坐标．【详解】正方形ABCD 的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)． AB=1-（-1）=2，A 1与B 平行y 轴，A 1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A 1（-1，-3） CA 1=1-（-3）=4，A 2与C 平行x 轴，A 2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A 2（-5，1） DA 2=1-（-5）=6，A 3与D 平行y 轴，A 3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A 3（1,7） AA 3=7-（-1）=8，A 4与A 平行x 轴，A 4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A 4（9，-1） A(1，﹣1)，A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），A 5（-1，-11，A 6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A 18在第二象限，4×8=32，四周差32，A 18的横坐标为：-5-4×8=-37，A 18（-37，1），故答案为：（-37，1）．【点睛】本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．16．3s 【分析】连接BD 易证△ADE ≌△BDF 即可推出AE ＝BF 列出方程即可解决问题【详解】连接BD 如图：∵四边形ABCD 是菱形∠A ＝60°∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18△ADB △BDC 都是等边三角形∴解析：3s【分析】连接BD ．易证△ADE ≌△BDF ，即可推出AE ＝BF ，列出方程即可解决问题．【详解】连接BD ．如图：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18，△ADB ，△BDC 都是等边三角形，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝∠DBF ＝60°，∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝60°，∴∠ADB ＝∠EDF ，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，60A DBF AD BDADE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，∴2t ＝18−4t ，∴t ＝3，故答案为：3s ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【分析】首先求出B1B2B3B4B5B6B7B8B9的坐标找出这些坐标的之间的规律然后根据规律计算出点B2020的坐标【详解】解：∵正方形OABC边长为1∴OB=∵正方形OBB1C1是正方形OABC解析：10102-【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标．【详解】解：∵正方形OABC边长为1，∴，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1=2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2，B2点坐标为（-2，2），同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），B6（8，-8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形倍，∵2020÷8=252…4，∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，∴B2020的坐标为（-21010，-21010）．故答案为：10102-．【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变倍，此题难度较大．18．3或或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°BC＝AD＝8然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝90°BC＝AD＝8解析：3或52或2或8【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝8，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，BC ＝AD ＝8，分三种情况：①BP ＝BQ ＝5时，AP ＝22BP AB -＝2254-＝3；②当PB ＝PQ 时，作PM ⊥BC 于M ，则点P 在BQ 的垂直平分线时，如图所示：∴AP ＝12BQ ＝52； ③当QP ＝QB ＝5时，作QE ⊥AD 于E ，如图所示：则四边形ABQE 是矩形，∴AE ＝BQ ＝5，QE ＝AB ＝4， ∴PE 22QP QE -2254-3，∴AP ＝AE ﹣PE ＝5﹣3＝2；④当点P 和点D 重合时，∵CQ=3，CD=4，∴根据勾股定理，PQ=5=BQ ，此时AP=AD=8，综上所述，当BPQ 为等腰三角形时，AP 的长为3或52或2或8； 故答案为：3或52或2或8． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键． 19．【分析】由正方形的性质得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°AB ＝AD ＝3由折叠的性质得出FC′＝FC ∠C′FE ＝∠CFE ＝60°∠FC′B′＝∠C ＝90°B′E ＝BE ∠B′＝∠B ＝90°求出∠DC′F解析：8【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．20．6【分析】先证明△CDF≌△BCE得到∠BGC＝90°利用面积法求出求出CF＝5即可求出GF【详解】解：∵四边形ABCD为正方形BC＝4∴∠CDF＝∠BCE＝90°AD＝DC＝BC＝4又∵DE＝AF解析：6【分析】先证明△CDF ≌△BCE ，得到∠BGC ＝90°，利用面积法求出125CG =，求出CF ＝5，即可求出GF ．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝4，∴∠CDF ＝∠BCE ＝90°，AD ＝DC ＝BC ＝4，又∵DE ＝AF ＝1，∴CE ＝DF ＝3，∴在△CDF 和△BCE 中， CD BC CDF BCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△BCE （SAS ），∴∠DCF ＝∠CBE ，∵∠DCF +∠BCF ＝90°，∴∠CBE +∠BCF ＝90°，∴∠BGC ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝4，CE ＝3，∴5BE ==,∴BE •CG ＝BC •CE ， ∴431255BC CE CG BE ⨯===， ∵△CDF ≌△BCE （SAS ），∴CF ＝BE ＝5，∴GF ＝CF ﹣CG ＝5﹣125＝2.6． 故答案为：2.6．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF ≌△BCE 是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）307【分析】（1）延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，根据题意易证△ADF ≌△ABG （SAS ），即可得到AG =AF ，∠GAB =∠FAD ．即可证明△GAE ≌△FAE （SAS ），即得到EF =BE +DF ．（2）作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，易证四边形AMCD 是正方形，即可得到AD =CD =MC =10，MB =4．再由（1）的结论得BE =MB +DE ，设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，结合勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x 即可．【详解】（1）如图，延长EB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ．在△ADF 和△ABG 中，90AD AB ADF ABG DF BG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ）．∴AG =AF ，∠GAB =∠FAD ，∵45EAF ∠=︒，∴45FAD BAE ∠+∠=︒,∴45GAB BAE ∠+∠=︒，即45GAE EAF ∠=∠=︒．在△GAE 和△FAE 中，45AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EG=EF ，即EF=BE+BG=BE+DF ．（2）如图，作AM ⊥BC 点M ，连接BE ，由题意可知四边形AMCD 是正方形，∴AD =CD =MC =10，MB =4．由（1）知BE =MB +DE ．设DE =x ，则EC =10x -，BE =4x +．在Rt △BCE 中，222BC EC BE +=，即()222610=(4)x x +-+， 解得：307x =，即DE = 307【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．22．（1）45︒；（2）见解析；（3）4．【分析】（1）将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，OA=OC=4，可证△AOC 为等边三角形，由OB=OC=4，可求∠OBC=∠BCO=15°，可求∠ACB=∠ACO-∠BCO=45°即可； （2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，由AOB ∠的平分线OD ，可得∠BOD=∠DOA=45°，可求∠DOH=60°，OB=OC=4，利用等边对等角∠DBO=∠HCO ，又∠BOD=∠HOC=45°，可证△BOD ≌△COH(ASA)，由性质OD=OH ，BD CH =，可证△DOH 等边三角形即可退出结论 ；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB 由OC EF =；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，可得正方形AFBO ，由30AFE AOC OBE ∠=∠=∠=︒，可求60EFB EBF ∠=∠=︒可证EFB △是等边三角形即可．【详解】（1）∵将线段OA 绕O 点顺时针旋转至OC ，60AOC ∠=︒，(0,4)A ，∴OA=OC=4，∴△AOC 为等边三角形，∴∠ACO=60°，∵(4,0)B -，∴OB=OC=4，∴∠OBC=∠BCO=12（180°-90°-60°）=15°， ∴∠ACB=∠ACO-∠BCO=60°-15°=45°，∴∠ACB =45︒；（2）在BC 上取点H 使45COH ∠=︒，∵AOB ∠的平分线OD 交BC 于D ，∴∠BOD=∠DOA=45°，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，∴∠DOH=150°-∠BOD -∠COD=90°-45°-45°=60°，∵OB=OC=4，∴∠DBO=∠HCO ，∠BOD=∠HOC=45°，∴△BOD ≌△COH(ASA)，∴OD=OH ，BD CH =， ∴DOH 是等边三角形，OD DH ∴=，OD BD CD ∴+=；（3）以AE 为边作AEF ACO △≌△，连FB ，OC EF ∴=；=4AF OA OB ==，90FAO BOA ∠=∠=︒，∴正方形AFBO ，30AFE AOC OBE ∴∠=∠=∠=︒，60EFB EBF ∴∠=∠=︒，EFB ∴△是等边三角形，∴4BE BF OB ===．【点睛】本题考查旋转，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形全等，正方形判定与性质，掌握旋转的性质，会利用旋转和夹角60°证等边三角形，等边三角形的判定方法与性质，等腰三角形的判定方法与性质，角平分线的性质，三角形全等判断方法与性质，正方形判定与性质是解题关键．23．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371【分析】（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AG AE =，∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，∵90A ∠=︒，∴BE DG ⊥，故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立，如图，延长BE ，与DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，∴BAE DAG ∠=∠，∴BAE DAG ≌， ∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠，∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，∴90ADG DOH ∠+∠=︒，∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，∴DG BE ⊥；（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，由（2）知ABE ADG ≅△△，∵GE 是正方形AEFG 的对角线，∴45AEB AGD ∠=∠=︒，则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =∵222AM EM AE +=， ∴1AM EM ==，∴22817BM AB AM =-=-=， ∴71BE BM EM =+=+， 故答案是：71+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．24．（1）见解析；（2）75【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD CD BD ==，再由折叠的性质得BD ED =，ADE ADB ∠=∠，再由外角和定理得DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，则DEC ADE ∠=∠，即可证明结论；（2）利用勾股定理求出BC 的长，由（1）得1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-，在Rt ABF 和Rt BDF 中，利用勾股定理列式求出x 的值，再根据中位线定理得到2CE DF =即可．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，∴AD CD BD ==，∵折叠，∴BD ED =，ADE ADB ∠=∠，∵CD BD ED ==，∴DCE DEC ∠=∠，∵DCE DEC EDB ADE ADB ∠+∠=∠=∠+∠，∴22DEC ADE ∠=∠，即DEC ADE ∠=∠，∴//AD CE ；（2）∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴5BC =，由（1）知1522AD BC ==，设DF x =，则52AF x =-， ∵折叠， ∴AD 是BE 的垂直平分线，在Rt ABF 和Rt BDF 中，222BF AB AF =-，222BF BD DF =-，∴2222AB AF BD DF -=-，即22525924x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得710x =， ∵D 、F 分别是BC 和BE 的中点， ∴725CE DF ==． 【点睛】本题考查折叠的性质，中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．25．（1）见解析；（2）90【分析】（1）由AAS 证明△△BOE COD ≅，得出OE=OD ，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到40AED ∠=︒，在根据平行线的性质定理得到50CBE A ∠=∠=︒，求得90BOE ∠=︒，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∴OEB ODC ∠=∠，∵O 是BC 的中点，∴BO=CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ODC BOE COD BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BOE CODAAS ≅，∴OE=OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）当90ADE ∠=︒时，四边形BECD 是菱形，理由如下：∵50A ∠=︒，90ADE ∠=︒，∴40AED ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴50CBE A ∠=∠=︒，∴90BOE ∠=︒，∴BC DE ⊥，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，准确分析计算是解题的关键． 26．（1）证明见解析；（2）46BD = 【分析】（1）由角平分线的定义得ABD CBD ∠=∠，再证明CDB CBD ∠=∠，从而得BC DC =，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形ABCD 是菱形； （2）分别求出BE EC BC AB AE AC 、、、、、，再根据菱形的面积等于平行四边形的面积求解即可．【详解】解：（1）∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AB CD∴CDB ABD ∠=∠∴CDB CBD ∠=∠∴BC DC =∴四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC ，如图，∵ABCD 是菱形∴3BC AB BE EC BE ==+=又∵24BE EC ==∴2BE =∴246BC BE EC AB =+=+==又AE BC ⊥∴22226242AE AB BE =-=-=2222(42)443AC AE EC =+=+=∴642242ABCD S BC AE =⨯=⨯=而ABCD ABCD S S==菱形∴1122BD AC BD ⨯=⨯= ∴BD =【点睛】此题主要考查了菱形的性质与判定，关键是掌握菱形的判定定理．。

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北师版九年级上期第一章《特殊平行四边形》单元练习题 （有答案） 一．选择题（共10小题） 1．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为( B ) A．48 B．24 C．14 D．12 2．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较长的对角线长为( C )

A．4.5cm B．4cm C．53cm D．43cm 3．已知菱形OABC在下面直角坐标系中的位置如图所示，点(4,0)A，60COA，则点B

的坐标为( D )

A．(423，2) B．(6,2) C．(423，23) D．(6，23) 4．在四边形ABCD中，//ABCD，ABAD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是( A ) A．ABCD B．//ADBC C．BCCD D．ABBC

5．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是43cm，则矩形的面积是( C ) A．232cm B．2322cm C．2162cm D．283cm 6．下列说法正确的有( A ) （1）一组对边相等的四边形是矩形； （2）两条对角线相等的四边形是矩形； （3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （4）四条边都相等的四边形是菱形． A．1 B．2 C．3 D．4 7．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是( A ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 8．将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知(1,0)A，(1,1)B，(0,1)C，若绕点(0,0)D顺时针旋转这个正方形，旋转角为135，则旋转后点B的坐标B为( C ) A．(1,1) B．(2,0) C．(2，0) D．(1,1) 9．如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果3AB，2AO，那么AC的长等于( A )

A．5 B．．6 C．7 D．8 10．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(,)ab，则点P绕点E顺时针旋转90得到的对应点P的坐标是( D )

A．(,)aba B．(,)ba C．(,0)ab D．(,0)b 二．填空题（共8小题） 11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则ABCD应满足的条件是 ABAD或ACBD （写出一种即可）．

12．如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为 24 ． 13．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED，1AB，45ABE，则BC的长等于 2 ．

14．如图，在ABCD中，再添加一个条件 ACBD （写出一个即可），ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）

15．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 矩形 ． 16．如图，在RtABC中，90C，5BC，12AC，M为斜边AB上一动点，过M作MDAC，过M作MECB于点E，则线段DE的最小为 6013 ．

17．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BFa于点F，DEa于点E．若5DE，3BF，则EF的长为 8 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0,4)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，62OM，则点C的坐标为 (12,8) ．

三．解答题（共8小题） 19．如图，在菱形ABCD中，DEAB，垂足为点E，且E为边AB的中点． （1）求A的度数； （2）如果4AB，求对角线AC的长．

解：连接AC，BD （1）四边形ABCD是菱形 ADAB E是AB中点，DEAB ADDB ADDBAB ADB是等边三角形 60A （2）四边形ABCD是菱形 ACBD，1302DACDAB，AOCO，DOBO 4ADBA 2DO，323AODO 43AC

20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作//BDAB，并交AB的延长线相交于点E，则ACE是等腰三角形吗？请说明理由．

解：ACE是等腰三角形，理由如下： 四边形ABCD是矩形， ACBD，//CDAB， 即//DCBE， //BDCE， 四边形DCEB是平行四边形， BDCE， ACCE， ACE是等腰三角形．

21．如图1，ABD和BDC都是边长为1的等边三角形．

（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？ （2）如图2，将BDC沿射线BD方向平移到△111BDC的位置，则四边形11ABCD是平行四边形吗？为什么？ （3）在BDC移动过程中，四边形11ABCD有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）． 解：（1）四边形ABCD是菱形； 理由如下： ABD和BDC都是边长为1的等边三角形． ABADCDBCDB， ABADCDBC， 四边形ABCD是菱形； （2）四边形11ABCD是平行四边形． 理由：11160ABDCDB

11//ABCD， 又11ABCD， 四边形11ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （3）四边形11ABCD有可能是矩形． 此时，1130DBC，1190DCB，111CD

12BD， 又111BD，

11BB， 即点B移动的距离是1．

22．在ABC中，ADBC于点D，点E为AC边的中点，过点A作//AFBC，交DE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形； （2）如图2，当ABAC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形)ADCF．

（1）证明：//AFBC， AFEEDC， E是AC中点， AEEC， 在AEF和CED中， AFECDEAEFCEDAEEC





，

AEFCED， EFDE，AEEC， 四边形ADCF是平行四边形， ADBC， 90ADC， 四边形ADCF是矩形． （2）线段DG、线段GE、线段DE都是ABC的中位线，又//AFBC， //ABDE，//DGAC，//EGBC， 四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．

23．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若CADDBC． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）E是OB上一点，DHCE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OEOF． （1）证明：四边形ABCD是菱形， //ADBC，2BADDAC，2ABCDBC， 180BADABC， CADDBC， BADABC， 2180BAD，90BAD， 四边形ABCD是正方形； （2）证明：四边形ABCD是正方形， ACBD，ACBD，12COAC，12DOBO， 90COBDOC，CODO， DHCE，垂足为H， 90DHE，90EDHDEH， 90ECODEH， ECOEDH，

在ECO和FDO中，90ECOEDHCODOCOEDHE， ()ECOFDOASA， OEOF．

24．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，CDE

的平分线交AM延长线于点F．

（1）如图1，若点E为线段AM的中点，:1:2BMCM，10BE，求AB的长； （2）如图2，若DADE，求证：2BFDFAF． 解：（1）设BMx，则2CMx，3BCx， BABC，3BAx． 在RtABM中，E为斜边AM中点，

2210AMBE． 由勾股定理可得222AMMBAB， 即22409xx，解得2x． 36ABx． （2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DPAF于P点． DF平分CDE， 12． DEDA，DPAF 34． 123490， 2345． 904545DFP． AHAF． 90BAFDAF，90HADDAF， BAFDAH． 又ABAD， ()ABFADHSAS． AFAH，BFDH． RtFAH是等腰直角三角形，

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