数字信号处理-尺度变换

尺度表示 摘要 我们认为尺度是信号的物理特征，并且来研究它的特点。我们提出一种控制器来表示尺度，研究它的特点和表达。这允许我们来定义尺度变换，能量尺度厚度谱，他是信号尺度值厚度的表示。我们获得明确的平均尺度的表达，尺度频带、瞬间尺度、尺度组延迟。此外，从这些表达中寻求平均时间、平均频率、尺度变量下的频率带宽、持续时间。短的时间变换被定义，它用来获得在给定时间为尺度的条件值。随着窗口缩小，可获得瞬间尺度。卷积和相关定理也源于此。在线性尺度变量的系统下，修正了提法。我们得到了时间尺度和频率尺度的联合表示。一般层面上都提出了相同的时间频率的方法。发现了作为特别情况下的M_A和B_B的联合分布。此外，三个特点的联合表示以及时间频域尺度被修订。做出了一个对于局部尺度自相关函数的大体表述。修正了不确定的尺度的规则、时间、频率、尺度。

1 introduction 尺度类似于频率是信号的一个物理特征。对于给定的信号，我们要问它的频率内容是什么。在频率的情况下，通过傅氏变换来判定频率内容。对于尺度，需要可以表达信号瞬间尺度的变换。此论文的目的在于研究尺度的概念以及其表达和特点，最重要的第一步是有尺度控制器获得尺度变换，对于此控制器的特征值的解决方法，提出了初读变换。类似于瞬时频率、组延迟，我们将介绍相似的尺度概念。我们获得了详细的平均尺度，尺度频带，瞬时尺度、尺度组延迟的表达，得出卷积和相关定理。我们研究方法来获得有关尺度的联合表达，这些有关尺度的方法被一些作者在时间域下做出了修订。此外，我们修订了有关时域尺度的联合表达。频率和时间的一个基本特点是他们的函数解释的关系以及引起了线性非变量系统的转换。基本的尺度特点是压缩，于是我们研究了线性尺度常量系统的方法。我们指出尺度控制器不能判断时间控制器或者是频率控制器。这些表示出时间尺度和频率尺度有一个不确定的规则。我们将要得出这些不确定的规则获得最小不确定信号。 在信号分析中控制器理论的使用被修订用于任意物理变量。基本的方法依赖于S 和C 的工作。我们应用此理论来研究尺度。 Ⅱ 信号的表达和算子算法 在其它的领域，表示或描叙一个信号的基本是由于要常常揭示信号的特性，这种特性也许在时域里无法显现出来。另一个重要的原因是一个信号的产生，传递，状态大约取决于其物理性能而非时间。因此，在这些域内，观察一个信号的状态，表示出表现出的正在讨论的信号，对它做出分析，然后变换会时域。此外，如果我们想构造一个具有已知物理性质的信号，我们显然应该在表现出此性能的域内构造然后转化会时域。表述经常与物理性能有关。例如傅立叶表示，物理性能就是频率。应用相同的手段，我们将去发展尺度的表示，这将在一个域内表示出一个信号，同时，这个域的基本物理可变是尺度。最近，我们已经我们已经研制一种与物理性能有关的算子⑴，⑹，⑺的一种普通算法，它与其他域的算法相识。这导致一种构造研究表现，尤其是综合表现的思想，我们这里回顾一下一些基本的算子算法。 假设我们有一个表示或与物理性能相关的运算子。这种表示物理性能的算子通常将成为埃尔米特算子。这就意味着对任意两个函数)(tf和)(tg。 dttgtfdttftg**)))()(()()(

（2.1）

现在，假设这个是个埃尔米特算子，那么特征值的处理方法是 ),(),(taautau （2.2）

产生了特征函数，),(tau和特征值，由于是埃尔米特算子，因此特征值是存在的它的特征函数是完备的。这就表明 )(),(),(''*ttdatautau；

)(),(),(''*aadttautau

（2.3）

因此，时间函数将被表示如 datauaFtf),()()( （2.4）

在这里),(tau是变换矩阵或基础内核，且)(aF是a域中的时间函数。它的反变换为 dttautfaF),()()(* （2.5） 我们将使用双箭头去表示时间函数和去变换之间的转换关系，)()(aFtf。 时间和频率算子和W【10】为

dtdjtW（时域） （2.6）

d

dj；W（频域） （2.7）

它们满足于以下的基本关系【10】 jWWW],[ （2.8） 算子表达其它的物理变换时，它通常已频率或时间的形式被表达。这就像尺度算子一样。 A. 平均值 也许，我们使用算子算法的最重要的原因是它可以用非常简便的方法计算出平均值。假 假设存在函数)(,aga，那么它的平均值为

daaFagg2)()( （2.9） 进行评估，首先得到了一个转换)(aF，然后对整体进行评估。然而，我们不需得到)(aF，我们可以从时间函数中直接得到平均值，通过 dttfgtfg)()()(* （2.10）

公式（2.9）和（2.10）的右边式子的等价是众所周知的。一个简单的例子讲给予那些对这个结果不太熟悉的读者。进行替换，将（2.4）中)(tf放入（2.10）中，我们将会得到 dadtdatauaFgtauaFg''*'*),()()(),()(

（2.11）

现在，),()(),()(tauagtaug因此 dadtdatauaFagtauaFg''*'*),()()(),()( （2.12）

dadaaaaFagaF'''*)()()()(

daaFag2)()( （2.13） B. 特征函数算子 对于密度)(aP，我们定义a的特征函数通过 daaPeeMajaj)()( (2.14) 特征函数独特的决定分布 daeMaPaj)(21)( (2.15)

因为特征函数是一个平均值,那么aje的平均值,将被计算出使用 C. dttfetfMj)()()(* (2.16) 备注 1：算子用书法字体表示。两算子的对易用标准的概念表示。不定积分根据具体情况指定合适的积分区域。由于尺度算子给出的是连续谱，所以把该基本方法解释为连续谱求和。尽管特征值问题在任何形式下都能求出，我们还是假设式（2.2）中的算子是时域形式，这样表达就很方便。同时我们假设基组是自倒的（self reciprocal.）。 2：把2()Fa作为密度的原因在参考文献[1],[2],[7]中有详细介绍。

这里是一个算子相当于可变a,我们将aje称为特征函数算子.精确的展示⊙产生以变换的形式由2)(aF给定并表是)(tf的密度，得到 dadtdatauaFetauaFaMj''*'*),()(),()()(



（2.17）

但是),(tauej),(taueaj,给出 dadaaFaaeaFaMaj'''*)()()()(



daeaFja2)( （2.18） 这表明 2)()(aFaP （2.19） Ⅲ.尺度算子 表述信号特征的基本量是算子。我们采用如下的算子去表示尺度 )(21WW （3.1） 并且使用更低c去表示尺度值。随后基本的关系表明了它划分或压缩时间函数)(tf和频率函数)(F， )()(2tefetfej )()(2teFeFej （3.2） 并且 )()(lntftfej )(1)(lnFFej （3.3） 因此，算子je压缩自变量。我们可以将它称为压缩算子。因子2e 的意义是保持正常化，同时它在自动方式下进入是由于算子的单一性。压缩算子应该与时间和频率函数的翻译算子形成鲜明的对比。 )()(tftfeWj ； )()(FFej （3.4）

压缩算子（3.2）的基本性质可以用大量的方法去证明。我们现在给出单纯的代数证明，并在Ⅳ部分中，我们会基于尺度算子特征函数的证据。首先，我们已经构造了 nntnjt)21( （3.5） 重复k次后 nkknktnjt)21()( （3.6） 现在

0!)(knkknjtkjte

nnknkkktetnjkj)21(0)21()(!)( （3.7） 基于二进制函数)(tf获得je的操作。我们通过一系列能量去扩充函数 )(tfejnnjtae=nnntea)21(=)(2tefe (3.8) 尺度算子采用了量子光学的理论，这种理论论述了创造和毁灭算子【22】并于仿射群【17】-【19】有关。同时，Klauder[23]已经将它应用到了路径积分和量子重力中去。 通过使用（2.8）我们能够写尺度算子用下面替代性的方法 jW21=jW21 （3.9） 这里是一个集成算子。 A.的基本性质 尺度和时间是不能相互交换的，实际上， j],[ （3.10） 它的意义是我们不能找到一个普通的表达从而使尺度和时间算子对角化。另外，，它表明我们必须有不确定的法则如同在ⅪⅤ中讨论的一样。然而，时间与时间和尺度转换器间的转换为 0,, （3.11） 但是时间和尺度的转换器不能与尺度相转换 ,,

（3.12） 时间算子和尺度之间的对数存在着有趣的关系 ,ln,=j （3.13） B.尺度和频率 频率和时间可以得到相似的评价，相关的转换关系是 jWW,； 0,,WW （3.14） WW,,； jW,ln （3.15）

四 尺度特征值问题和尺度变换 为了获得尺度运算的表达式我们需要解决特征值问题