高考数学一轮复习 2.3.2 双曲线的几何性质备考练习苏教版

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2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析第6节双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。

高考数学一轮复习第十章第2讲双曲线配套限时规范训练理苏教版

第2讲双曲线分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca ，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°，又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明法一由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， ∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17，解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3，从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。

高考数学一轮复习第8章第6节双曲线 (2)

双曲线[考试要求]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性范围x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[常用结论]1．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a ＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线P A，PB斜率存在且不为0，则直线P A与PB的斜率之积为b2 a2.(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.2．巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ()A．x2－y23＝1 B．x23－y2＝1C ．x 2－y22＝1D ．x24－y23＝1A [设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x 轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0). 所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y23＝1.]2．经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． x28－y28＝1 [设等轴双曲线的方程为 x 2－y 2＝λ(λ≠0)．由题意得9－1＝λ，∴λ＝8. 即x28－y28＝1.] 3．若方程x22＋m －y2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) [因为方程x22＋m －y2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)＞0，即m ＞－1或m ＜－2.]4．双曲线x224－y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．10 75 y ＝±5612x [双曲线y225－x224＝1中a ＝5，b 2＝24，c 2＝25＋24＝49，∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，渐近线方程为y＝±5612x.]考点一双曲线的定义及其应用双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，当∠F1PF2＝90°时，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[典例1](1)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.(1)6(2)x2－y28＝1(x≤－1)(3)34[(1)设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x ≤－1)．(3)因为由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝错误!＝错误!.] [母题变迁]1．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.2．将本例(3)中的条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？[解] 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→， ∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.点评：(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要注意取舍，如本例T (1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例T (2)．[跟进训练]1．虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋2C ．12＋2D ．24B [由于2b ＝2，e ＝ca ＝3，∴b ＝1，c ＝3a ，∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.]2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．9[设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|P A|最小时满足|PF|＋|P A|最小．由双曲线的图象(图略)，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|P A|最小，|AF1|即|PF1|＋|P A|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.]考点二双曲线的标准方程求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2 m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．1．(2020·兰州诊断)经过点M (23，25)且与双曲线x23－y22＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．x218－y212＝1B ．x212－y218＝1C ．y218－x212＝1 D ．y212－x218＝1 D [设所求双曲线方程为x23－y22＝λ(λ≠0)，又双曲线过点M (23，25)，所以λ＝－6.即双曲线方程为y212－x218＝1，故选D.] 2．已知F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( )A ．x24－y22＝1B ．x23－y22＝1C ．x24－y28＝1D ．x 2－y22＝1D [由题意可知|PF 1|＝43c 3，|PF 2|＝23c3，2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y22＝1，故选D.]3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．y225－x275＝1 [设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线方程为y225－x275＝1.]点评：结合题设条件，灵活选择双曲线的设法，可以快速求解双曲线的标准方程．考点三双曲线的几何性质1.求双曲线渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)或y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y ＝±b a x ；或令y2a2－x2b2＝0，得y ＝±abx .2．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．求双曲线的渐近线方程[典例2－1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x(2)(2020·广州模拟)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(1)A (2)B [(1)法一：(直接法)由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，即ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .法二：(公式法)由e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .(2)假设点P 在双曲线的右支上，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|＋|PF2|＝6a ，|PF1|－|PF2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最短的边是PF 2，∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°， ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0， ∴e 2－23e ＋3＝0，∴e ＝3，∴ca＝3，∴c 2＝3a 2，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b 2＝2a 2，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，故选B.]点评：双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系： k ＝ba＝c2a2－1＝e2－1，或e ＝ca＝a2＋b2a2＝1＋k2.双曲线的离心率[典例2－2] (1)已知点F 是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)(2)(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A.2B ．3C ．2D ．5(1)B (2)A [(1)若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b2a，|FE |＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，即b 2＜a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac ＞0，则e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，则1＜e ＜2，故选B.(2)令双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c ＝a2＋b2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 22＝a 2， ∴ca ＝2，即离心率e ＝2.故选A.]点评：解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形，多借助圆的几何性质，挖掘出隐含条件，如垂直关系、线段或角的等量关系等．[跟进训练] 1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．5C ．2D ．2A [由题意可知b ＝2a ， ∴e ＝ca＝1＋b2a2＝5，故选A.]2．(2020·衡水模拟)已知双曲线C 1：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，＋∞C ．(1,2)D ．(2，＋∞)A [由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab|a2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，233.]C ：x2a23．(2020·安徽示范高中联考)如图，F 1，F 2是双曲线－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2xA [由题意可设|AB |＝3k ，则|BF 1|＝4k ，|AF 1|＝5k ，则易得BF 1⊥BF 2，由双曲线的定义可知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，则可得|AF 2|＝5k －2a ，|BF 2|＝8k －2a ，再根据双曲线的定义得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得k ＝a ，即|BF 1|＝4a ，|BF 2|＝6a ，|F 1F 2|＝2c ，在直角三角形BF 1F 2中，得16a 2＋36a 2＝4c 2＝4(a 2＋b 2)，则b a＝23，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，故选A.]。

高中数学2.3.2双曲线的几何性质教案苏教版选修2-1

2.3.2 双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。

难点：双曲线的渐近线。

教学过程一、复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．二、类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格三、渐近线双曲线的范围在以直线b y x a =和by x a=-为边界的平面区域内，那么从x 、y 的变化趋势看，双曲线22221x y a b -=与直线by x a=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by x a=的关系。

双曲线在第一象限的部分可写成：()22b y x a x a a=->设(),M x y 是它上面的点，(),7N x 是直线b y x a =上与M 有相同的横坐标的点，则by x a= 2221b b a b y x a x x y a a x a ⎛⎫=-=-<= ⎪⎝⎭Q()22||b bMN y y x x a a a∴=-=--= )()22222222x x a x x a x x ax x a--+-=+-+-设||MQ 是点M 到直线by x a=的距离，则有||||MQ MN <。

当x 逐渐增大时，||MN 逐渐减小，x 无限增大，||MN 接近于零，||MQ 也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON ．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线by x a=±叫做双曲线的渐近线。

现在来看看实轴在y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在x 轴上的双曲线方程，将x 、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x 、y 字母对调而得，所以，双曲线22221y x a b -=的渐近线的方程是b x y a =±即ay x b=±。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.3.2 双曲线的几何性质课后知能检测苏教版必修21

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.2 双曲线的几何性质课后知能检测苏教版选修2-1一、填空题1．(2013²江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .【答案】 y ＝±34x2．(2013²扬州高二检测)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为2，则m 的值为________．【解析】显然m >0，∴e ＝1＋m ＝2，∴m ＝3. 【答案】 33．(2013²福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255.【答案】2554．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．【解析】双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2. 【答案】 25．(2013²常州高二检测)双曲线tx 2－y 2－1＝0的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．【解析】渐近线方程为y ＝±tx ，∵2x ＋y ＋1＝0的斜率为k ＝－2，∴t ＝12，∴t＝14，∴双曲线方程为x 24－y 2＝1，∴e ＝1＋14＝52. 【答案】526．(2013²哈师大附中高二检测)y ＝kx ＋2与双曲线x 29－4y 29＝1右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 29－49y 2＝1消去y 得：(1－4k 2)x 2－16kx －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0Δ＝25－36k 2>016k 1－4k 2>0－251－4k 2>0，∴－56<k <－12.【答案】 (－56，－12)7．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．图2－3－1【解析】 △ABE 是等腰三角形，AE ＝BE ，∴只需∠AEB 为锐角，∴∠AEF <45°，∴b 2a＝AF <FE ＝a ＋c ，∴e 2－e －2<0，∴－1<e <2. 又∵e >1，∴1<e <2， ∴e ∈(1,2)．【答案】 (1,2)8．(2012²浙江高考改编)中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．图2－3－2【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a ′，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则2a ＝2³2a ′，即a ＝2a ′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为e ′＝c a ′，椭圆离心率e ＝c a ，故e ′e ＝aa ′＝2. 【答案】 2 二、解答题9．(1)求焦点在x 轴上，过点(3，－2)，离心率为e ＝52的双曲线的标准方程； (2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x －2y ＝0的双曲线方程及离心率．【解】 (1)焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则9a 2－2b2＝1，①又e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝52，得a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝1，b 2＝14，得双曲线标准方程为x 2－y 214＝1.(2)∵双曲线的一条渐近线是3x －2y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．∵其中一个焦点是(－4,0)， ∴4λ＋9λ＝16. ∴λ＝1613.∴双曲线方程为13x 264－13y 2144＝1，离心率e ＝c a ＝132.10．已知斜率为1的直线l 与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝42，求直线l 的方程．【解】设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2y ＝x ＋b得x 2－2bx －b 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－b 2－2，∴由AB ＝1＋k 2x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝ 2 8b 2＋8＝42，解得b ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ±1＝0.图2－3－311．如图2－3－3，已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)P 是双曲线C 上一点，A 、B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若AP →＝λPB →，λ∈[13，2]，求△AOB 面积的取值范围．【解】 (1)由题意，知双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，∴ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →，得P 点的坐标为(m －λn 1＋λ，2 m ＋λn1＋λ)．将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简，得mn ＝ 1＋λ24λ.设∠AOB ＝2θ，∵tan(π2－θ)＝2，∴tan θ＝12，sin θ＝55，sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝12OA ²OB sin 2θ＝2mn ＝12(λ＋1λ)＋1.记S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1，λ∈[13，2]．由基本不等式，得S (λ)＝12(λ＋1λ)＋1≥12³2＋1＝2.当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．又S (13)＝83，S (2)＝94，∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2；当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是[2，83].。

「精品」高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修1_1

2．3.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？梳理知识点二双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？思考2 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理双曲线的焦距与实轴长的比c a，叫做双曲线的________，其取值范围是________．e 越大，双曲线的张口________．知识点三双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫做双曲线的________．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，它的渐近线方程是________．类型一已知双曲线的标准方程研究几何性质例1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．反思与感悟已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程．反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程．(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．类型三求双曲线的离心率例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或ba 视为整体，把关系式转化为关于c a 或b a的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0<a <b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．跟踪训练3 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．类型四直线与双曲线的位置关系例4 斜率为2的直线l 被双曲线x 23－y 22＝1截得的弦长为6，求l 的方程．引申探究若某直线l 与本例中的双曲线相交，求以点P (3，1)为中点的直线l 的方程．反思与感悟 (1)求弦长的两种方法①距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． ②弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.特别提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况． (2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．跟踪训练4 设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y ＝－2x ，则双曲线方程为____________．2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.3．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________．4．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．提醒：完成作业第2章 §2.3 2.3.2答案精析问题导学知识点一思考范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．梳理 x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 坐标轴原点坐标轴原点A 1(－a ，0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )知识点二思考1 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，即由x 2a 2－y 2b 2＝0，得x a ±yb ＝0，如图，作直线x a ±y b ＝0，当双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，但始终不会相交，把这两条直线叫做双曲线的渐近线．思考 2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则b a ＝c 2－a 2a＝e 2－1.当e 的值逐渐增大时，b a的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．梳理离心率 (1，＋∞) 越大知识点三 1．中心 2．等轴 y ＝±x 题型探究例1 解将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12， ∴a ＝2，b ＝23，∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长为2a ＝4，虚轴长为2b ＝43；焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)；顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)；渐近线方程为y ＝±33x ；离心率e ＝2.跟踪训练1 解将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1.∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；焦点坐标为(－13，0)，(13，0)；实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4；离心率e ＝c a ＝133；渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .例2 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.跟踪训练2 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k＝1②.将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解；将(3,92)代入②，得k ＝9. 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵A (2，－3)在双曲线上， ∴9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32.故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.例3 解 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32， ∴e ＝b 2a 2＋1＝132；若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23， ∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意得直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c ，即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2，即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2.跟踪训练3 解设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程，得 c 2a 2－y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a. ∴PF 1＝b 2a. 由双曲线对称性，PF 2＝QF 2且∠PF 2Q ＝90°，知F 1F 2＝12PQ ＝PF 1， ∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac ， ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0，即e 2－2e －1＝0，∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.例4 解设直线l 的方程为y ＝2x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ，∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)．∴AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]． ∵AB ＝6，∴365m 2－6(m 2＋2)＝6，解得m ＝±15.由(*)式得Δ＝24m 2－240，把m ＝±15代入上式得Δ>0.∴m 的值为±15，∴所求l 的方程为y ＝2x ±15. 引申探究解设相交的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 213－y 212＝1， ①x 223－y 222＝1， ② ①－②，可得 x 1＋x 2x 1－x 23－y 1＋y 2y 1－y 22＝0.③ ∵P 为AB 的中点，且P 的坐标为(3,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2. 将其代入③式，得2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －3)，即y ＝2x －5. 经检验知y ＝2x －5符合题意．跟踪训练4 解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0，解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，所以e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P 为直线与y 轴的交点，所以P (0,1)．因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2. 由于x 1，x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.当堂训练1．x 2－y 24＝1 2.－4 3. 2 4.(±7，0) 5.y ＝±22x。

【数学】2.3.2《双曲线的简单几何性质5》课件(苏教版选修2-1)

a 2 b2 b2 a 2 解：e1 , e2 a b
1 1 2 1 2 e1 e2
2
2
2
2
2
1 1 (e1 e2 ) (e1 2e1e2 e2 )( 2 2 ) e1 e2
2 2
2e2 2e1 e1 e2 (1 1 2 2 ) 242 8 e1 e2 e2 e1
.
x
1 OO1 PF1 2 1 a PF1 OO1 2 两圆外切
x y 1 上的一点P与左、右例9、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 PF1 F2 ，求 PF1 F2的内切圆与
边 F1 F2 的切点坐标。
解：a=3,b=2 则 c= 13 由圆外一点到圆的切线长相等及双曲线定义可得： 2 13 6 NF2 13 3 2 2 ON OF2 NF2 3 N（3，） 0
F1 O
.

B .
F2
x
x2 y 2 例8、如图：双曲线 2 2 1左支上一点P，F1是左焦点， a b 以PF1为直径的圆与圆x 2 y 2 a 2的位置关系？
1 解： 1 OO PF2 2 PF2 PF1 2a a PF2 PF1 2
y

P
O1
F1
.
O
F2
O
.
F2
x

3
例6、求渐进线方程为x 2 y 0，且被直线x y 3 0 8 3 所截得的弦长为的双曲线方程。 x 2 4 y 2 4 3
y2 例7、已知双曲线x 2 1，双曲线上存在关于直线 3 y l : y kx 4对称的两点，求k的范围。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)

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2.3。

2 双曲线的几何性质学习目标1。

了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。

2。

理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。

3。

掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。

它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。

数学2.3.2《双曲线的几何性质(1)》课件(苏教版选修2-1)

在(ymb0x)的的下渐方近线为
y a x
它与y b x的位置的变化趋势:
（3）利用a渐近线可以较准确的
画出慢双慢曲靠线近的草图
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A1
A2
o a
x
B1
ybx y b x
a
a
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
x
1
a2 x2
与y2

b a
x当x

时,
y1

y2
ybx a x
y b x a
4、渐近线
（1）双y 曲ba线的双在渐曲 x2第近线一a线ax222象为 (x限yby22内0)部1ba(ax分的0,b方程0)为
（2它）与y 等 ba轴x双的位曲置线x关2 系 y:2 m
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线
x2 y2 m(m 0)
y
b B2
A1 -a o a A2
(4)50x2－8y2=200
5x±2y=0
例题讲解
例2 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42

x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5

高中数学苏教版选修2-1学业分层测评2.3.2 双曲线的几何性质含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．【解析】由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.【答案】 x 2－y 2＝12．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．【解析】 e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，当b a ＝34时，e ＝54；当b a ＝43时，e ＝53. 【答案】 53或543．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为________．【解析】方程可化为y 2－x 2－1m＝1. 由条件知2－1m ＝2×2，解得m ＝－14. 【答案】－144．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．【解析】由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c)·(a ＋c)＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.【答案】 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．【解析】双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1. 【答案】 x 29－y 216＝1 6．已知a>b>0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________. 【09390037】【解析】由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0. 【答案】 x ±2y ＝07．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于________．【解析】双曲线的一条渐近线方程为x a －y b＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b 2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝。

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2.3.2 双曲线的几何性质
一、基础过关
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是________________________________________．
3．双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为________．
4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
5．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，
交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．
6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲
线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为____________．
7．已知双曲线C：x24－y2m＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是
_______．
二、能力提升
8．已知圆C过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双
曲线中心的距离是____________．
9.

如图所示，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的
离心率为__________________________________________________________．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；

(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．
11．已知双曲线的一条渐近线为x＋3y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线
的标准方程．
12．求证：双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．
三、探究与拓展
13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上
存在点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，求该双曲线的离心率的取值范围．
答案
1． 4 2．y＝±3x 3．23 4．－14 5．3 6．x25－y24＝1

7．(4，＋∞) 8．163 9．3＋1
10．解 (1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ (λ≠0)，
将点(－3,23)代入得λ＝14，
所以双曲线方程为x29－y216＝14，
即4x29－y24＝1.
(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)．由题意易求c＝25.
又双曲线过点(32，2)，
∴22a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.

11．解椭圆方程为x264＋y216＝1，可知椭圆的焦距为83.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)，

∴ a2＋b2＝48，ba＝33，解得 a2＝36，b2＝12.
∴双曲线的标准方程为x236－y212＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，

设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)，∴ a2＋b2＝48，ab＝33，解得 a2＝12，b2＝36.
∴双曲线的标准方程为y212－x236＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
x236－y212＝1或y212－x
2

36
＝1.

12．证明设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－
ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距离d
1
＝|bx0＋ay0|a2＋b2，
P到bx－ay
＝0的距离

d
2
＝|bx0－ay0|a2＋b2.

∴d1d2＝|bx0＋ay0|a2＋b2·|bx0－ay0|a2＋b2
＝|b2x20－a2y20|a2＋b2.
又P在双曲线上，∴x20a2－y20b2＝1，
即b2x20－a2y20＝a2b2，∴d1d2＝a2b2a2＋b2.
故P到两条渐近线的距离之积为定值．
13．解

如图，设PF1＝m，PF2＝n，
由题意及正弦定理得nm＝ac，

∴n＝acm.又m－n＝2a，
∴m－acm＝2a，
即1－acm＝2a，∴m＝2acc－a.
又m>c＋a，∴2acc－a>c＋a，
即c2－2ac－a2<0，
∴e2－2e－1<0，∴1－2又e>1，∴1