坐标系与参数方程课后限时作业(六)附答案高中数学
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
坐标系与参数方程课后限时作业(二)附答案人教版新高考分类汇编
二解答题
评卷人
得分
三、解答题
4．已知圆 的参数方程为 （ 为参数），若 是圆 与 轴正半轴的交点，以圆心 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点 的圆 的切线的极坐标方程．
5．已知圆C的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－ )，点M的极坐标为(6， )，直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．
曲线 的普通方程为 ．………………………………4分
(Ⅱ)∵ , ，
∴点 到直线 的距离 ………………………………6分
点 到直线 的距离 ………………………………8分
∴ ………………………………10分
9．解：直线 的参数方程为 为参数）故直线 的普通方程为
因为 为椭圆 上任意点，故可设 其中 。
因此点 到直线 的距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
其轨迹方程是 θ∈［0， ］.
即 +y2=1（0≤x≤ ，－1≤y≤0）.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．
5．选修4—4：坐标系与参数方程
解以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，
则圆C的直角坐标方程为(x－ )2＋(y－1)2＝4，
(Ⅱ)求点 ， 到直线 的距离之和.
．（坐标系与参数方程选做题）
9．已知直线 和参数方程为 , 是椭圆 上任意一点，求点 到直线 的距离的最大值。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C
解析：D
解析：把已知方程化为标准方程，得 +（y+sinθ）2=1.
坐标系与参数方程课后限时作业(三)附答案新人教版高中数学名师一点通
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评卷人
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．解：由题意，得曲线 ： ， 切线为 的斜率 ，
切线为 的方程为： ，即 ，
切线为 的极坐标方程： .……………………………………………………………10分
5．
6．选修4－4：坐标系与参数方程
解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B
解析：化曲线 的参数方程为普通方程： ，圆心 到直线 的距离 ，直线和圆相交，过圆心和 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又 ，在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论.高中 Nhomakorabea学专题复习
《坐标系与参数方程》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数为
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线 与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．
坐标系与参数方程课后限时作业(五)含答案高中数学
（1）求圆 和直线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求直线 与圆 公共点的极坐标。
9．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，判断两曲线的位置关系。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．AC
解析：B
解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.
C．（1，1），（－7，1）D．（7，－1），（－1，－1）（汇编全国理，7）
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．直线 （ 为参数， 为常数）恒过定点▲．
3．以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.
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第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．椭圆 的两个焦点坐标是（）
A．（－3，5），（－3，－3）B．（3，3），（3，－5）
评卷人
得分
三、解答题
4．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
圆C的参数方程为 (为参数)，设P是圆C与x轴正半轴的交点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．
坐标系与参数方程课后限时作业(二)含答案人教版高中数学高考真题汇编
⑵设 ，
∴ （其中，
当 时， ，∴ 点到直线 的距离的最小值为 。------10分
8．C解：（1）依题意得圆M的方程为 故圆心的坐标为M（ 。
(2）当 变化时，因 ,所以所有的圆M都和
定圆 内切,此圆极坐标方程为 ;
又因 ,所以所有的圆M都和定圆 外切,此圆极坐标方程为 ;
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．参数方程 （ 为参数）的普通方程是_______. ；
3．以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.
(Ⅱ)设 为 上的任意一点,试求 的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．C
解析：D
解析：把已知方程化为标准方程，得 +（y+sinθ）2=1.
∴椭圆中心的坐标是（ cosθ，－sinθ）.
其轨迹方程是 θ∈［0， ］.
即 +y2=1（0≤x≤ ，－1≤y≤0）.
⑵设点 在曲线 上，求 点到直线 距离的最小值．
8．已知圆M的参数方程为 （R>0）.
(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。
(2）若题中条件R为定值，则当 变化时,圆M都相切于一个定圆,试写出此圆的极坐标方程。
9．从极点 作直线与另一直线 相交于点 ,在 上取一点 ,使 .
(Ⅰ)求点 的轨迹方程；
评卷人
得分
三、解答题
4．在平面直角坐标系ｘｏｙ中，求圆C的参数方程为 为参数r>0）,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 若直线 与圆C相切，求r的值。
坐标系与参数方程课后限时作业(二)附答案人教版高中数学真题技巧总结提升
∵t∈R∴dmin2=1∴dmin=1
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
2．
3．3
评卷人
得分
三、解答题
4．解：由题设知，圆心 ， ，∠CPO=60°，
故过P点的切线的倾斜角为30°．····························································3分
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第I卷（选择题）
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评卷人
得分
一、选择题
1．点P（1，0）到曲线 （其中参数t∈R）上的点的最短距离为（）
7．（13分）
（1） ；
（2）
8．
9．（I）
2分
即
4分
(II）
6分
即 8分
两边平方，得
解，得 10分
设 是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，
∠MOP= ， ， ．
由正弦定理得 ，于是 ，
即 （或 ）即为所求切线的极坐标方程．·········10分
5．由题设可知P( 1 + 2cosα，2sinα)，Q( 1 + 2cos2α，sin2α)，…………………………2分
于是PQ的中点M ．…………………………4分
(I）求圆心C的直角坐标；
(II）求实数k的值。
坐标系与参数方程课后限时作业(四)附答案人教版新高考分类汇编
解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分二、填空题来自2．3．.评卷人
得分
三、解答题
4．解:（Ⅰ） 即
（Ⅱ） ，即
由于 ，故可设 是上述方程的两实根，
所以 故|PA|+|PB|= =
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第I卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）（汇编上海理，14）
8．已知椭圆的长轴长为6，焦距 ,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设 ,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点 在曲线 （ 为参数， 为正常数），求 的
值．
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评卷人
得分
一、选择题
1．ABC
，设M、N对应的参数分别为 ，则
9．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．
解：由 （ 为参数， 为正常数），消去参数 得 ，（8分）
将点 代入 得 .（10分）
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线 交于点A、B，若点P的坐标为 ，求|PA|+|PB|.
5．在极坐标系中，点A ，圆O1：ρ＝4cosθ＋4sinθ.
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．曲线⎩
⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A ．2
1 B ．2
2 C ．1 D ．2（汇编天津
理，1）
第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题
2．设曲线C 的参数方程为2x t y t
=⎧⎨=⎩(t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________（汇编年高考。
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第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
（ ） A ．=0()cos=2R θρρ∈和 B ．=()cos=22R π
θρρ∈和
C ．=()cos=12R πθρρ∈和
D ．=0()cos=1R θρρ∈和（汇编年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））
第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题。
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（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程．
6．已知圆C的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，求直线截圆C所得的弦长。
7．若两条曲线的极坐标方程分别为 与 ，它们相交于 两点，求线段 的长．
故
第II卷（非选择题）
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得分
二、填空题
2．
3．；
评卷人
得分
三、解答题
4．
5．选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）圆的直角坐标方程为 ．…………………5分
（2）把 代入上述方程，得圆的极坐标方程为 ．…………………10分
6．圆 的方程为 ；直线的方程为 .
故所求弦长为 .………………………………………………10分
（A） π（B） π（C） π（D） π(汇编重庆理)
第II卷（非选择题）
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得分
二、填空题
2．在平面直角坐标系中，已知直线 与曲线 的参数方程分别为 ： （ 为参数）和 ： （ 为参数），若 与 相交于 、 两点，则 ．（坐标系与参数方程选做题）
3．已知曲线 的参数方程为 ，若点 在曲线 上，则 ▲．
8．在平面直角坐标系 中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点且与直线 （ 为参数）平行的直线的普通方程。
9．已知⊙ 与⊙ 的极坐标方程分别为 ．
(1)写出⊙ 和⊙ 的圆心的极坐标；ห้องสมุดไป่ตู้
(2)求经过⊙ 和⊙ 交点的直线的极坐标方程．
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第I卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数为
所以 故|PA|+|PB|= =
5．C解:∵直线 的参数方程为 ∴消去参数 后得直线的普通方程为 ①
同理得曲线C的普通方程为 ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ,
6．（1）圆 的极坐标方程为 ，圆 的极坐标方程为 ，
由 得 ，故圆 交点坐标为圆 ．…………………5分
（2）由（1）得，圆 交点直角坐标为 ，
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆 的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
（2）求圆 的公共弦的参数方程．
7．若 为参数， 为常数，把参数方程 化为普通方程．
8．已知 是曲线 上的动点， 是曲线 上的动点，试求线段 长的最大值．
9．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 处,极轴与 轴的正半轴重合.直线 的参数方程为 ( 为参数, 为直线 的倾斜角)，圆 的极坐标方程为 .
5．在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线C的参数方程为 ( 为参数),试求直线 与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题满分10分.
6．在平面直角坐标 中,已知圆 ,圆 ．
(Ⅰ)若直线 与圆 相切,求 的值；(7分)
(Ⅱ)若直线 与圆 有公共点,求 的范围.(3分)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人源自得分一、选择题1．B
解析：化曲线 的参数方程为普通方程： ，圆心 到直线 的距离 ，直线和圆相交，过圆心和 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又 ，在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
(1）当直线l与圆C相切时， 或 …………7分
(2）当直线l与圆C有公共点时， …………10
3．参数方程 （ 为参数）的普通方程是_______. ；
评卷人
得分
三、解答题
4．在直角坐标系xoy中，直线 的参数方程为 （t为参数）,在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为 .
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线 交于点A、B，若点P的坐标为 ，求|PA|+|PB|.
A、1B、2C、3D、4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．在直角坐标系 中,椭圆 的参数方程为 .在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴)中,直线 与圆 的极坐标方程分别为 与 .若直线 经过椭圆 的焦点,且与圆 相切,则椭圆 的离心率为___________.（汇编年高考湖北卷（理））
【方法总结】解决这类问题首先把曲线 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论.
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．解:（Ⅰ） 即
（Ⅱ） ，即
由于 ，故可设 是上述方程的两实根，
故圆 的公共弦的参数方程为 ……………10分
注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．
7．选修4－4：坐标系与参数方程
解：当 时， ， ，即 ；
当 时， ， ，即 ；……………2分
当 时，得 ，即
得 ,即 ．……………10分．
8．
9．解：因为直线l的直角坐标方程为y=xtan ，圆C的直角坐标方程为(x– 4)2+y2=4（4分）