圆的证明
圆周角定理的证明
圆周角定理的证明圆周角定理是现代初等几何学中的一个重要定理，它是指：同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个定理在初等几何中具有非常重要的地位，并且可以应用到各种各样的几何问题中。
下面我们来简要地介绍一下这个定理的证明过程。
首先，我们需要给出圆周角的定义。
圆周角是指以圆心为顶点，以圆周上的两条弧为两条边的角。
圆周角的单位是度或弧度。
接下来，我们来证明圆周角定理。
假设有一个圆，其半径为r，圆心角为θ。
那么我们可以把圆心角分成n个小角度，每个小角度的大小为θ/n，则整个圆周角的大小为θ。
接下来我们将圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ/n。
由于圆的周长为2πr，而每个扇形的弧长为(θ/n)r，因此整个圆周被分成了n个弧段，每个弧段的长度为(θ/n)r。
由于n很大，因此这些弧段可以被视为非常小的弧元，于是我们可以将圆周上的弧看成无数个非常小的弧元构成的。
现在，我们来证明同一圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
假设我们有两个位于同一个圆周上的弧AB和CD，它们所对的圆周角分别为α和β。
我们可以将这些弧按照相对大小进行排序，即假设AC>BD。
然后我们取一个非常小的弧元E，它在弧AB的右侧。
我们再取一个点F，它在弧CD的右侧，这样E和F可以被视为同一位置的点。
接下来，我们将圆周上从E到F的这段弧分成n个弧元，每个弧元的长度为(α+β)/n。
然后我们用连线将圆周上的每个弧元都连接起来，最后我们得到的是一个角度接近于α+β的扇形。
由于这个扇形的圆心角为α+β，而且它趋近于一个极小角度，因此α+β=2π，即α=β。
综上所述，我们证明了同一个圆周上的两个弧所对的圆周角相等。
这个结论在数学和物理学等各个领域都有广泛的应用。
无论是在平面几何中还是在空间几何中，圆周角定理都是我们解决许多几何问题的重要工具。
内准圆证明
内准圆证明
设f， g满足：|1、
证明：证明用逆向思维法。
考虑到下面问题都可转化为等积变形。
2、内准圆的面积证明：内准圆的周长=16n，内准圆半径=5n=5m，内准圆面积=2πm2=π200m^2=200π（ 2m^2），根据三角形内切圆的面积计算公式，我们得出中垂线上的阴影部分的面积=√
2*5n*5m^2-(200πm^2-5m^2)^2=8m^2（实际上根据中垂线上部分的面积=外切圆的面积-内切圆的面积，我们可以看出
m^2=8m^2-5m^2-200m^2-500π），得出中垂线上部分的面积为8m^2。
即证明结束。
3、中垂线定理证明：垂足分别为O、 P、 Q、 R、 S、 T、 U、V、 W，过O做水平直线L=y=mx（ x为内准圆半径），过P做水平直线L=y=ky（ x为内准圆半径），过Q做水平直线L=y=ky-1（ x为内准圆半径），过R做水平直线L=y=l（ x为内准圆半径），过S做水平直线L=y=kx（ x为内准圆半径），过U做水平直线L=y=-x（ x为内准圆半径），过V做水平直线L=y=-kx-1（ x为内准圆半径）。
，过D做水平直线L=y=kx-1（ x为内准圆半径），过E做水平直线L=y=kx-1（ x为内准圆半径），过F做水平直线L=y=kx-1（ x为内准圆半径），过G做水平直线L=y=kx-1（ x为内准圆半径），过H 做水平直线L=y=kx-1（ x为内准圆半径）。
那么在阴影部分的面积等于内准圆面积+3*2*5n*5m^2-(200πm^2-5m^2)^2-8m^2，阴影部分的面积=4m^2=8m^2。
即证明完毕。
阿氏圆证明过程
阿氏圆证明过程阿氏圆证明，也称为仿射圆证明，是古希腊著名的几何学家欧几里得《几何原本》中的一个著名定理，也是欧几里得五大公设之一。
该定理描述了如何在一个平面上找出一个正三角形的方法，以及如何构造一个正方形。
这个定理的形式化表述大致是：对于一个已知的线段AB，存在一个圆，以A、B为圆心，AB为直径，使得圆上的所有点与A、B的距离相等。
阿氏圆证明过程的起点是构造一个AB直线段中点O，然后以O为圆心，将OA代入半径画出一个圆，该圆与OB 的交点为C，连线AC和BC即可形成正三角形。
证明如下：1.连接OA、OB两条线段，以OA为一直径作圆。
由于OA=OB的关系，这个圆的半径为OA的一半。
2.以O为圆心，OA半径再作一圆。
这个圆与上述圆的交点分别是D和E。
3.作DE和OA的中垂线。
交点为F。
4.此时，可以证明三角形OFE是一个等腰直角三角形。
5.将OF的长度再次代入半径，然后以OF为圆心画出一圆。
这个圆与OA和OB的交点分别为C和G。
6.连线AC和BC，即可形成正三角形ABC。
下面是具体的证明过程：由于OA=OB，所以以O为圆心，OA为半径画出的第一圆与OB的交点E也在以O为圆心，OB为半径画出的第一圆上。
这时我们可以作直线DE连接这两个交点。
以OF为中垂线，可以将三角形OAE和OBE分别分成等腰直角三角形。
从而可以得到OF=OE=OA/2，三角形OFE是一个等腰直角三角形，又因为OF和OE在圆心O处，因此可以得到OFE是以O为直径的圆的弧上圆心角，这个角为直角。
将OF的长度再次代入半径，以OF为圆心画出一个圆，这个圆与OA和OB的交点分别为C和G。
连接AC和BC，即可形成正三角形ABC。
下面进行详细证明：1.图中OA，OB段长相等，以O、A分别为圆心，则以OA为直径的圆的圆心为O，半径为OA/2，A、B点分别在这个圆相交。
2.以O，OA为半径再画一个圆，该圆与以OA为直径画的第一个圆的交点分别为D、E，连接DE（为什么相交于垂线？因为相交点到圆心的距离等于半径，垂足到圆心的距离也等于半径，因此DE垂直于OA）。
圆的证明与计算PPT
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等及全等。 2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和 计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，近两年来，此题考查形 式由原来的单图题演变成双图题;
第一小问也由原来的切线的证明，转变成应用圆中 简单性质进行计算和证明; 第二问则在第一问的基础上进行深化和运用，考查 学生灵活运用所学圆的相关知识解决线段长，面积、线 段比、三角函数的有关问题的能力。
圆的证明与计算
（双图题）专题探究
华科附中初三备课组 主讲人：常静
一、圆中的有关知识点：
1、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明— —弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推论: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
原创例题2：
来源：课本九年级上册86页例2
第一问考查：
利用弦切角 找特殊直角三 角形
构题的出发点：
以切割线为背景合理 运用圆的有关性质和 勾股定理建立方程进 行计算。
第二问考查：（基本策略）
看见等弧找等弦；看见直径找直角； 看见三角函数找直角三角形； 看见切割线找相似 目标线段旁有特殊角的情况下，作垂 线构造直角三角形。
（3）如图（3）：若CK⊥AB于K，则：①CK=CD；BK=DE； 1 CK= 2 BE=DC；AE+AB=2AK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB
圆的概念公式及推导(完整版)
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。
圆的面积公式证明
圆的面积公式证明在咱们的数学世界里，圆可是个特别神奇的存在。
说起圆的面积公式证明，这可真是个有趣又充满挑战的事儿。
我记得有一次，在给学生们讲圆的面积公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这圆的面积到底是咋来的呀？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探索这个神奇的奥秘。
”咱们先来说说圆这个家伙。
圆，它就像一个完美的舞者，不停地旋转，没有棱角，没有尽头。
那怎么去求它的面积呢？咱们得想点办法。
咱们可以把圆想象成一个被切成无数小块的披萨。
假如咱们把这个圆平均分成很多很多的小扇形，就像切披萨那样，切得越多越好。
然后，咱们把这些小扇形像拼积木一样重新拼起来。
你猜怎么着？这些小扇形竟然能拼成一个近似的长方形！这个长方形的长，其实就是圆周长的一半。
圆的周长大家都知道是2πr ，那一半就是πr 啦。
而长方形的宽呢，就是圆的半径 r 。
因为长方形的面积等于长乘以宽，那这个近似长方形的面积就是πr×r = πr² 。
而这个近似长方形的面积和原来圆的面积几乎是一样的。
所以，咱们就得出了圆的面积公式 S = πr² 。
这就好像是一场解谜游戏，咱们通过巧妙的拆分和组合，找到了答案。
在生活中，圆的面积公式也有很多用处呢。
比如说，咱们要给一个圆形的花坛铺草坪，那得知道花坛的面积有多大，才能算出需要多少草坪。
又或者要做一个圆形的蛋糕，得根据面积来决定用多少材料。
再回过头来想想刚开始那个好奇的小家伙，通过这样的讲解，他那困惑的表情终于变得豁然开朗，那种满足感和成就感，让我觉得当老师真是太有意义啦。
总之，圆的面积公式证明就像是一把神奇的钥匙，打开了我们探索数学世界的一扇大门。
让我们能够更加轻松地解决生活中那些与圆有关的问题，感受数学带来的乐趣和便利。
希望大家以后在遇到圆的面积相关问题时，都能轻松应对，就像解决一场有趣的小挑战一样！。
五大圆幂定理证明
五大圆幂定理证明五大圆幂定理是指：1. 圆内接正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
2. 圆外切正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
3. 任意一个正n边形的内切圆半径等于半径与n之和的1/n。
4. 任意一个正n边形的外接圆半径等于半径的n倍。
5. 任意一个正n边形的周长等于n倍的外接圆周长。
下面给出五大圆幂定理的证明：1. 周长与直径之比的平方设正n边形的周长为P，直径为d，则n个边的长度之和为2P/n。
因为每个边上的弧长等于周长除以360度，所以每个边的长度为(2P/n)/360度。
因为正n边形的每个内角都相等，所以内角和为(180度/n) * n，即180度。
因此，每个边所对的圆心角为180度除以n，即36度。
又因为圆周角的大小与圆心角的大小成正比，所以每个圆周所对的圆心角为36度，即每个圆周的长度为2πr，其中r为圆的半径。
因此，每个边的长度等于2πr * (2/360) * n，即πr/3。
因此，直径d等于πr/3，周长P等于3πr，所以正n边形的边数n等于周长P除以直径d的平方，即n=3P/d²。
2. 外切正多边形的边数是周长与直径之比的平方证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。
3. 内切圆半径等于半径与n之和的1/n设正n边形的边长为a，内接圆的半径为r，则内接圆的周长为2πr，因为内接圆与正n边形相切，所以内接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πr=P/n。
因此，πr=P/n，即r=P/nπ。
又因为内接圆的半径等于边长a与半径r之差的一半，即r=a-(a/2r)=a*(1-1/n)，所以a=2r/n。
因此，内切圆半径等于半径与n之和的1/n，即r=P/2nπ/(n-1)。
4. 外接圆半径等于半径的n倍设正n边形的边长为a，外接圆的半径为R，则外接圆的周长为2πR，因为外接圆与正n边形相切，所以外接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πR=P/n。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
圆的证明及计算(精编版)
《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.⌒ ⌒例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （AAS ）∴OF=OD.O∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO.∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径. ∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF. ∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2. ∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.课后练习：A（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
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1、已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，
OCBC
，12ACOB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若45ACD°，2OC，求弦CD的长．
2、已知：如图，在RtABC△中，90C，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆
与ACAB，分别交于点DE，，且CBDA．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若:8:5ADAO，2BC，求BD的长．
3、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过
B、M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O的半径
D
C
O
A B
E
O
B
G
E
C
M
A
F
O
A
B
C
D
O
D
CB
A
4、 已知：如图，在ABC△中，D是AB边上一点，O⊙过DBC、、三点，290DOCACD．
（1）求证：直线AC是O⊙的切线；
（2）如果75ACB，O⊙的半径为2，求BD的长．
5、如图，在ABC△中，ABAC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的
延长线上，且12CBFCAB.
⑴ 求证：直线BF是⊙O的切线；
⑵ 若5AB，5sin5CBF，求BC和BF的长.
O
E
B
F
C
D
A
O
·
A
D
C
B
6、．
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且CACB．将线段AC绕点A逆时针旋转45得
线段AC .
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AC= 4, 求⊙O的半径的长．
7、如图，ΔABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心、OB为半径作⊙O交AB于点D，已知经
过点D的⊙O切线恰好经过点C．
（1）试判断CD与AC的位置关系，并证明；
（2）若ΔACB∽ΔCDB，且AC=3，求圆心O到直线AB的距离．
8、．已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点
P，联结PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）若PC是圆O的切线，BC = 8，求DE的长．
A
B
C
D
P
E
．
O
A
B
C
O
C
'
O
B
D
C
A
E
O
E
D
C
B
A
9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD于E，
DA平分BDE.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若30,1,DBCDEcm求BD的长.
10、已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A.
（1）求证： BC是⊙O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.
11、已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足
∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，4tan3ACB，求CD的长.
O
F
EDCB
A
F
O
E
D
C
A
B
12、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，
ED⊥AF交AF的延长线于点C．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．
13、已知：如图，在△ABC中，90ACB，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，
过B、D、E三点作⊙O．
（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12.
求EFAC的值.
14、已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，
EF⊥AC于F交AB的延长线于G.
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求AD的长.
GFEDO
C
A
B
A
B
C
D
E
O
15、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延长线于
点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．
16、 已知:如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线；
(2)若∠C=30, CD=10cm, 求⊙O的直径.
17、 如图，在等边三角形ABC中，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，DE⊥AC于E.
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）延长ED，CB相交于点G，求AE：BG的值.
O
E
D
C
B
A
GEDOAB
C
A
B
C
D
E
O
18、 如图，以ABC△的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．
⑴ 求证：BC是⊙O的切线；
⑵ 当ABC△满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？请说明理由．
19、已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°。
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长。
20、已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径
的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。
（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；
（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
图1
图2
21．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上， 且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F， △BEF的面积为8，且cos∠BFA＝32，
求△ACF的面积．
E
O
A
B
C
D
22、 如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且AED=45．
(1) 试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2) 若⊙O的半径为3，sinADE=65，求AE的值．
23、如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OE⊥AC，垂足为E，过点A作⊙O的切线与BC
的延长线交于点D，sinD=21，OD=20．
(1)求∠ABC的度数；
(2)连接BE，求线段BE的长.
24、 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相
切于点D，联结AD.
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若AC= 3，tan B=34，求⊙O的半径.
E
B
C
A
OD
25．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过A作
CD的垂线，垂足是点M.
（1）如图1，若CD∥AB，求证：AM是⊙O的切线；
（2）如图2，若AB=6，AM=4，求AC的长.
26．已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB.
（1）求证：AB2=AE·AD；
（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE=2，ED=4，求EF的长．
27．已知：如图，AF为△ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中
点，联结CE交AB于H，AH=AC．
(1)求证：AC与⊙O相切；
(2)若AC=6，AB=10，求EC的长．
解：
28．已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧
AB上一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连结BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=34，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．
29. 已知：如图，BE是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B，OC∥DE交⊙O于点D，CD的延长线
与BE的延长线交于A点.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝6， tan∠ADE=21，求AD的值.
OEDCBA