证明平行四边形是菱形
菱形的证明
思维导图
要证明一个四边形是菱形
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）四边都相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
由已知易证：
CБайду номын сангаас=EF CD=DE
还需要
CF=CD ∠3＝∠5
只要
∠4＝∠5 ∠3+∠2=90° ∠5+∠1=90° ∠1＝∠2
∠4＝∠3
由已知易证:
CD=DE
菱形的证明
清河实验中学 黄国森
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB 交BD与点F，交AB于点H，DE⊥AB于点E 求证：四边形CDEF是菱形
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB交BD与点F，交AB于点H， DE⊥AB于点E 求证：四边形CDEF是菱形
还需要
平行 四边形CDEF ∠3＝∠5
只要
CF//DF CF=DE ∠3+∠2=90° ∠5+∠1=90° ∠1＝∠2
∠ 4＝ ∠ 5
∠4＝∠3
•
证明：∵CH⊥AB，DE⊥AB ∴∠AED=∠AHC=90° ∴DE∥CH ∵BD平分∠ABC ，∠ACB=∠DEB=90° ∴DC=DE，∠1=∠2 ∵∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90° ∴∠3=∠5 ∵∠3=∠4 ∴∠4=∠5 ∴DC=CF ∵DC=DE ∴CF=DE ∵DE∥CH ∴四边形CDEF是平行四边形 ∵DC=DE ∴四边形CDEF是平行四边形
菱形判定
菱形的邻角互补
几何语言
= =
对称性
对称轴，是两条对角线所在 的直线。
探究活动一
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法
一组邻边相等的平行四边形是菱形
数学语言 ∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
菱形的判定方法：
A D AC⊥BD B C B C A D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
□ABCD
菱形ABCD
AC⊥BD
□ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
四边形ABCD是菱形
D C
思考题:
如图，△AOD，△AOB，△COB， △COD是四个彼此全等的三角形。 四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A O B C
D
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A E
3 12
F D C
B
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断 重叠部分ABCD的形状吗？
探究活动三
木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。
Shuxue
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定方法：
四条边都相等的四边形是菱形.
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
D
B
C
菱形的判定
19.2.2 菱形的判定
菱形ABCD的性质： 的性质： 菱形 的性质
D
1.具有平行四边形的 具有平行四边形的 具有平行四边形 一切性质。 一切性质。
5 6
A
1 2
O 7 8
3 4
C
2.菱形本身具有的特殊性质: 2.菱形本身具有的特殊性质: 菱形本身具有的特殊性质 四条边相等, 四条边相等
A D B C
A
D
F
B
E
C
思考题: 思考题
如图，AD∥BC，BD垂直平分 ， 如图， ∥ ， 垂直平分AC， 垂直平分 四边形ABCD一定是菱形吗？若是， 四边形 一定是菱形吗？若是， 一定是菱形吗 请说明理由。 说明理由。
D A
┐
O B
C
例：如图，RT△ABC中，∠ACB=900， 如图， △ 中 垂直平分BC， ∠BAC=600，DE垂直平分 ，垂足为 垂直平分 D，交AB于E，又点 在DE的延长线上， 的延长线上， ， 于 ，又点F在 的延长线上 是菱形。 且AF=CE，求证：四边形 ，求证：四边形ACEF是菱形。 是菱形
已知： ABCD中 已知： 在四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA 求证： 四边形ABCD ABCD是菱形 D 求证： 四边形ABCD是菱形 证明： AB=CD， 证明： ∵ AB=CD，BC=DA A 四边形ABCD ABCD为平行四边形 ∴四边形ABCD为平行四边形
(两组对边分别相等的四边形为平行四边形) 两组对边分别相等的四边形为平行四边形)
一边长为9的平行四边形的两条 一边长为 的平行四边形的两条 对角线的长分别为12和 5 对角线的长分别为 和6 ， (1)求证：这个平行四边形为菱形 求证： 求证 这个平行四边形为菱形. A (2)求它的面积 求它的面积
20.3 菱形的判定
A
D
快乐套餐 拓展提高
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，
我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进
行证明．
菱形的判定方法
判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
D A
C
B
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定方法二
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 ABCD 中，AC ⊥ BD 求证： ABCD 是菱形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形). ∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD; ∴ □ ABCD是菱形
A
Bபைடு நூலகம்
C
菱形的判定方法一（定义法）
一组邻边相等的平行四边形是菱形 A D A D
AB=BC B
B
C
C
□ABCD
∵ □ABCD， AB=BC ∴ ABCD是菱形
菱形ABCD
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,
做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四
边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
快乐套餐 典例讲解
例1、 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分 别交于点E、F，求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE∥FC ∴ ∠1＝∠2． ∵ EF平分AC， ∴ AO＝OC． 又∵ ∠AOE＝∠COF＝90°， ∴ △AOE≌△COF， ∴ EO＝FO， ∴ 四边形AFCE是平行四边形 又∵EF⊥AC， ∴ 四边形AFCE是菱形
1.1菱形的性质与判定(2)
A
D
根据定义得：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
B
C ∵在□ABCD中，
∴AB□=AABDCD是菱形
还有什么方法吗?
探索一
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成 一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形. 转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
B
C
O
猜 定想 理：对角A线互相垂直的D平行四边形是菱形.
已知:在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC
又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
探索二
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一个菱形ABCD, 使AC为菱形的一条对角线吗?
菱形的性质与判定
温故知新
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形 一组邻边相等
菱形
菱形的两组对边平行
菱
边
菱形的四条边相等
形
菱形的两组对角分别相等
的
角
性
菱形的邻角互补
质
对
菱形的两条对角线互相平分
角
线
菱形的两条对角线互相垂直,
每一条对角线平分一组对角。
探索知
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定时，我们首先想 到的第一种方法是什么？那么类比着它们，菱形的第一种判定 方法是什么？
∴□ABCD是菱形
变式1.
变式2：
练习
1.
2、如图，△ABC中，AC的垂直 平分线MN交AB于点D，交AC于 点O，CE∥AB交MN于点E，连 M 接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形
菱形的判定
小结 1、菱形的判定定理的证明；
2、菱形与平行四边形的关系。
作业 1、评价手册。
第六课时
——菱形的判定
知识回顾
菱形的性质定理： （1） （2）
； 。
做一做 1、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、证明：4边都相等的四边形是菱形。
A B D
O C
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图并说 明理由。
例题 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC• 分别相交于E、F。求证： 四边形AFCE是菱形．
• 两个完全相同的矩形纸片、如图放置，， 求证：四边形为菱形．
A
B M E
F
N
D C
• 如图，四边形ABCD是矩形， ∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． (1)求证：AC∥DE； (2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断 四边形BCEF的形状，并说明理由．
• 有一张菱形纸片ABCD， • （1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分， 把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在 图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若 沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的 平行四边形;并直接写出这两个平行四边形 的周长。 • （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种 都不全等的平行四边形，请在图4中用实线 画出拼成的平行四边形。 • （注：上述所画的平行四边形都不能与原 菱形全等）
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，过D作 DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，当△ABC 满足条件 时，四边形AEDF是菱 形。
A E F B D C
3、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于 点P。求证：四边形AODP是菱形。
菱形是不是平行四边形
菱形是不是平行四边形最佳回答：是菱形和平行四边形是否相同？众所周知，菱形和平行四边形被认为是四边形，因为它们有四条边。
平行四边形的对边是平行的，所以两个形状的对角相等。
但是在菱形中，四条边都相等，而在平行四边形中，只有对边的长度相等。
考虑到菱形和平行四边形的很多性质，这些二维形状是不一样的。
菱形可以被认为是平行四边形的子集。
菱形和平行四边形的定义菱形:菱形是有四条等边的扁平四边形。
菱形的对边互相平行，并且互相重合。
菱形的对角线彼此成直角相交，形成一个斜三角形。
相对角度相等。
然而，如果一个菱形的所有角都是90度，这个菱形就叫做正方形。
同样，每一个菱形都被认为是平行四边形，但反之总是不正确的。
平行四边形：平行四边形是扁平形状的图形。
它有四个面。
平行四边形的一对相对的面/侧面是平行的并且彼此相等。
对角线一分为二，形成两个相等的三角形。
两者的区别有以下几点：1.菱形的邻边相等，但平行四边形的邻边不一定相等。
2.菱形的对角线平分一组对角线，而平行四边形的对角线不一定平分对角线。
3.菱形的两条对角线垂直平分，但平行四边形的对角线不一定垂直平分。
4.菱形的四条边相等，但平行四边形的四条边不一定相等。
5.菱形是轴对称图形和中心对称图形，而平行四边形不是。
6.菱形的面积是两条对角线乘积的一半，平行四边形的面积是底边乘以高。
菱形和平行四边形之间的区别的常见问题在菱形中，四条边都相等，对角线相交90度，而在平行四边形中，对边相等，对角线一分为二。
菱形有角吗？我们知道四边形、正方形和菱形都有四条边。
我们可以说正方形永远是菱形，但这种情况的反面却不是这样。
钻石不可能有直角，因为钻石的角不是直角。
哪个四边形不是菱形？如果一个四边形只有一对平行边，那么这个四边形肯定不是菱形。
我们可以说梯形是平行四边形吗？不，梯形不是平行四边形。
我们知道平行四边形有两对平行边，而梯形只有一对平行边。
菱形证明方法
菱形证明方法菱形证明方法是一种几何证明方法，它主要应用于证明平行四边形、菱形和正方形等图形的性质。
这种证明方法简洁明了，逻辑清晰，是学习几何的重要内容之一。
下面我们将详细介绍菱形证明方法的基本原理和具体步骤。
首先，我们来看一下菱形的基本性质。
菱形是一种特殊的四边形，它具有以下性质，1. 4条边相等；2. 对角线相互垂直；3. 对角线相互平分。
在证明菱形性质时，我们经常会用到菱形证明方法。
菱形证明方法的基本原理是利用菱形的对角线相互垂直和相互平分的性质，通过构造等腰三角形或利用垂直平分线的性质来推导出所要证明的结论。
下面我们以证明菱形对角线相互垂直为例，来介绍菱形证明方法的具体步骤。
假设ABCD是一个菱形，我们要证明对角线AC和BD相互垂直。
首先，我们连接AD和BC，然后利用菱形的性质构造等腰三角形。
具体步骤如下：1. 连接AD和BC，连接AC和BD；2. 作AD的垂直平分线，交BC于点E；3. 作BC的垂直平分线，交AD于点F；4. 证明三角形AED与三角形BEC全等；5. 由全等三角形的性质可得AC与BD相互垂直。
通过以上步骤，我们可以证明菱形的对角线相互垂直。
这就是菱形证明方法的基本思路和具体步骤。
在实际应用中，我们还可以根据具体问题的特点，灵活运用菱形证明方法，来证明各种几何性质。
除了证明菱形的性质外，菱形证明方法还可以应用于证明平行四边形和正方形的性质。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，我们可以利用菱形证明方法来构造等腰三角形或利用垂直平分线的性质，从而推导出所要证明的结论。
同样，要证明一个四边形是正方形，也可以运用菱形证明方法来推导出相应的结论。
总之，菱形证明方法是一种简洁明了、逻辑清晰的几何证明方法，它在证明菱形、平行四边形和正方形的性质时具有重要的应用价值。
通过学习和掌握菱形证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识，提高数学解题的能力。
希望本文对菱形证明方法的介绍能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明平行四边形是菱形
菱形，又称等边四边形，是指在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形，也指四边都相等的四边形，由菱叶片的形状而得名。
下面小编给大家带来证明平行四边形是菱形，希望能帮助到大家!
证明平行四边形方法
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。
已知∠BAC=30?，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。
求证：四边形ADFE是平行四边形。
设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,
等边△ABE ,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a
∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴
DF=√(AD?+AF?)=2a
∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a =>四边形ADFE是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2
1.画个圆，里面画个矩形
2.假设圆里面的是平行四边形
3.因为对边平行，所以4个角相等
4.平行四边四个角之和等于360，
5.360除以4等于90
6.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为
平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。
) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
) (1)平行四边形对边平行且相等。
(2)平行四边形两条对角线互相平分。
(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。
(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。
(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
(7)对称中心是两对角线的交点。
平行四边形性质定义
(矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。
)
性质：
(1)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
( 3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行的高相等。
(平行线间的高距离处处相等)
(5)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。
(可视为矩形).
(8)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。
矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
平行四边形性质判定
已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，因为AB=CD，AD=BC。
所以四边形ABCD为平行四边形，又因为AB=BC。
根据菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD为菱形。
所以四条边相等的四边形是菱形。
平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。