内蒙古赤峰市2022-2023学年高三上学期期末模拟考试 数学(文)含答案

赤峰市高三年级期末模拟考试试题文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．已知a ∈R ，(5i)i 15i a +=+，（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图1所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G 直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（ ）A ．运营商的5G 直接经济产出逐年增加B ．设备制造商的5G 直接经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的5G 直接经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的5G 直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若m n ∥，m α⊄，n α⊂，则m α∥ ③若αβ⊥，m α∥，则m β⊥ ④若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥其中正确的命题个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知向量a ，b 的夹角为120︒，||4a =，||2b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．4B ．2-C D ．1-6．设0.732a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.723b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()334log log 4c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．18．已知函数1()sin()f x x ωϕ=-（其中0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则ω与ϕ分别等于（ ）A ．1，3π-B ．1，23π-C ．2，23π D ．2，3π9．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积为且cos cos cos c a bC A B+=+，BC 的中点为D ，则AD 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，点M ，N 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AM ，AN 的斜率之积为2-，则C 的离心率为（ ）A B ．2C ．2D 11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 为球O 的直径，且PC OA ⊥，PC OB ⊥，AOB △为等边三角形，三棱锥P ABC -O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π12．已知函数2()2ln xe f x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．22,44e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 3α=，则cos2α=______．14．在[1,1]-上随机取一个数a ，则事件“直线y ax =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为______．15．抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过C 上一点P 作C 的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为a -，则PAF △的面积为______． 16．设有下列四个命题：①1p ：x ∃∈R ，x e m ≤为假命题，则(,0]m ∈-∞；②2p ：函数212115y x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为1+ ③3p ：关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∈R 恒成立的一个必要不充分条件是102a <<；④4p ：设函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，如果n m >，且()()f n f m =，令t n m =-，那么t 1；则上述命题为真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．18．（12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15．据调查结果制作了如下22⨯列联表．（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数恰为1人的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ； （2）求点D 到平面ACE 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 过坐标原点O 交椭圆C 于P ，Q 两点（点A ，B 位于直线l 的两侧）．设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求证：1234k k k k +为定值． 21．（12分）已知函数()ln (1),f x x a x a =-+∈R ．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意0x >，求证：22(1)()xe a xf x xe-+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半拍为极轴建立极坐标系，曲线2C sin 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程； （2）设(2,1)P -，求PM PN -． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1|2|1|f x x x =++-． （1）解不等式()22f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为t ，若0a >，0b >，且a b t +=，证明：22111a b a b +≥++． 赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．45-14．14 15．15216．①④ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（1）解：设递增等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由22a d =+，322a d =+，625a d =+，有2(222)(2)(254)d d d ++=+++，化简得24d =．则2d =，1(1)2n a a n d n =+-=，所以{}n a 的通项公式为2n a n =．（2）解：因为k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n，所以()102021210(220)2156212T -+=+=-．18．（12分）（1）解：补充的列联表如下：所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人， 则从这5人中，任取两人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,B B ，()31,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B 共6种情况，所以概率为35．19．（12分）（1）证明：因为PC 中点F ，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，则BC =4AC =． 而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①．又在PCD △中，PE ED =，PF FC =，则EF CD ∥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA CD ⊥，又90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面P AC ，因为PC ⊂平面P AC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②． 又EF AFF ⋂=，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，CD =4AC =，∴ACD S =△，又EM PA ∥，PA ⊥平面ABCD ，∴EM⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，∴112333E ACD ACD V S EM -=⋅=⋅=△，在ACE △中，AE CE ==4AC =，∴8ACE S =△，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅=△，∴h =D 到平面ACE 的距离为20．（12分）（1）解：由题意得24,1,2a =⎧=解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）点A ，B 的坐标分别为(2,0)，．设点P 的坐标为(,)m n ，由对称性知点Q 的坐标为(,)m n --．所以12n k m =-，22n k m =+．所以2122224n n n k k m m m =⋅=-+-． 又因为点P 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22443m n -=-，所以21223443n k k n ==--． 同理3434k k =-．所以2234333442k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值．21．（12分）（1）解：由题意得()f x 的定义域是(0,)+∞，11()axf x a x x-=-='， 当0a ≤时，令()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得：1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：要证22(1)()x e a x f x xe -+>，即证22ln 0xe x e x ⋅->， 令22()ln x e g x x e x =⋅-，则2222(1)()x x e e x g x e x--='， 令2()2(1)xr x x e e x =--，则2()2x r x xe e '=-，由()r x '在(0,)+∞单调递增，且2(1)20r e e ='-<，2(2)30r e ='>，∴存在唯一的实数0(1,2)x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∵(0)0r <，(2)0r =，∴当()0r x >时，2x >，当()0r x <时，02x <<，∴()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)1ln20g x g ≥=->，综上，22ln 0x e x e x ⋅->，即22(1)()xe a xf x xe-+>． 22．（10分）选修4- 4：坐标系与参数方程（1）解：由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =． 由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-= 即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．（2）解：因为(2,1)P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12||||||PM PN t t -=+= 23．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：不等式等价于13122x x x ≤-⎧⎨-+≤+⎩或11322x x x -<<⎧⎨-+≤+⎩或13122x x x ≥⎧⎨-≤+⎩，解得x ∈∅或113x ≤<或13x ≤≤．所以不等式()22f x x ≤+的解集为133x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）解：法一：由31,1()3,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩知，当1x =时，min ()(1)2f x f ==，即2a b +=．法二：()|1|2|1|(|1||1|)|1||11||11|2f x x x x x x x x =++-=++-+-≥+-++-=， 当且仅当1x =时，取得等号，则()f x 的最小值为2，即2a b +=．法一：22222222(1)(1)()()44111(1)(1)()13332a b a b b a ab a b a b a b a b a b ab a b ab ab a b ++++++++====≥=++++++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．法二：由柯西不等式可得：22222111()1114114a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++=+≥+= ⎪++++⎝⎭．当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．。