浙江省建兰中学数学一元二次方程同步单元检测(Word版 含答案)

浙江省建兰中学数学一元二次方程同步单元检测（Word 版 含答

案）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，

4,03D ??

- ???

在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒

4

3

个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ?为等腰三角形；

(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！

【答案】（1）（4，4），（4

3

t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，310

9

t

【解析】 【分析】

（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求

解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =

，则可得2

24BP

x ，43

DP

x ，

4

53

DF

,利用1

1

22

BDP

S DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。 【详解】

解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），

又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒

4

3

个单位长度运

动，P 点运动时间为t ， ∴P 点坐标为（

4

3

t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ??

- ???

， ∴4OB =,4

3

OD =

, 由勾股定理有：2

2

2

2

44

4

103

3

DB OB

OD

, 当BDP ?为等腰三角形时， ①如图所示，当BD

BP 时，

OD OP =,

∴P 点坐标为（4

3

，0）, ∴1t =

②如图所示，当BD DP =时，

∵4

103DB ，OP DP OD

∴44410101333

OP ,

∴101t

③如图所示，当BP DP =时，

设P 点坐标为：（x ，0） 则有：2

2

24BP x

，2

2

4

3

DP

x

， ∴2

2

2

4

4

3x

x

，解之得：163x = ∴P 点坐标为（16

3

，0）, ∴4t =

综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ?为等腰三角形；

（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

证明：∵A ，B 两点坐标分别为：()4,0-A ，()0,4B ， ∴OA OB =,45ABO ∠=, 又∵ABD OBP ∠=∠

∴ABD OBD OBP OBD ∠+∠=∠+∠ 即有：45ABO

DBP

，

如图示，过D 点作DF

BP 交BP 于点F,

∵4

103DB ， ∴4

53

DF

, 设OP x =，根据勾股定理有：2

24BP

x ，

并且43

DP x ，

则：1

1

2

2

BDP

S DP BO BP DF

∴

22

44

4453

3

x x ， 化简得：2610x x +-=， 解之得：3

10x （取正值），

即4310

3

t ∴3

310

310

94

t

．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．

2．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿

CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<

（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；

（2）设PQE 的面积为2

()s cm ，求s 与t 的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932

； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．

【答案】（1）83t =

；（2）S =2

99(08)8

t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当57325

6

=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上

【解析】 【分析】

（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解. （2）由PE AC ∥，得

=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得3

64

=-DE t ，3

4

CE t =

再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式2

99(08)8

S t t t =-+<<.

（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的

9

32得299986832

S t t =-+=

??，可解 当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的

9

32

． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22

=EQ PE ，由Rt CEQ 与

△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即

2222+=+CE CQ PD DE ，代入3

64=-DE t ，34

CE t =，2CQ t =，8PD t =-

可得2

2

2233(2)(8)644????+=-+- ? ????

?t t t t ，计算验证可解.

【详解】

（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，

∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴8

3

t =

（2）∵PE AC ∥， ∴=DP DE

DA DC

， 即

886

-=t DE

， ∴3

64=-DE t ，

∴33

6644

=-+=CE t t ，

∴21133(8)66242248?

?=

?=--=-+ ??

?△PDE S PD DE t t t t ， 21133

22244

=?=??=△CEQ S CE CQ t t t ，

S 梯形11

()(28)632422

=+?=+-?=+CDPQ QC PD CD t t t ，

∴S S =梯形2

99(08)8

--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，2

99

9868

32

-+=??t t 解得12t =，26t =

所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932

． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴2

2

=EQ PE ，

在Rt CEQ 中，222

+=CE CQ EQ ，

在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2

2

2

2

+=+CE CQ PD DE ，

即22

2233(2)(8)644????+=-+- ? ????

?t t t t

解得125

6

-=

t ，2256+=-t （舍）

所以当25

6

-=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】

本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.

3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

【答案】（1）这两年藏书的年均增长率是20%；（2）到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率； （2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几. 【详解】

解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x ，

()2

517.2x +=，

解得，10.2x =，2 2.2x =-（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有()7.2520%0.44-?=（万册）， 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：

5 5.6%0.44

100%10%7.2

?+?=，

答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题.

4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m %，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了

9

20

m 元，购买数量在原计划基础上增加15m %，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m %，求出m 的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x ?80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a （1﹣25%）（1+5

2

m %），在“美团”网上的购买实际消费总额：a [120（1﹣25%）﹣9

20

m ]（1+15m %）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了

15

2

m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x ?80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：

120×0.8a （1﹣25%）（1+

52

m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （

1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52

m %）+a （72﹣ 9

20m ）（1+15m %）=144a （1+

15

2

m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20． 答：m 的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

5．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？

（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？

【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】

（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】

（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： （400﹣x ﹣240）（200+

10

x

×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．

答：每千克茶叶应降价30元或80元．

（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．

此时，售价为：400﹣80=320（元），320

100%80%400

?=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．

6．已知关于x 的一元二次方程()22

1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．

（1）求实数m 的取值范围；

（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15

m =- 【解析】 【分析】

（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()2

2140m m ∴?=-->且

20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.

（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 12

2

1

x x m =，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2

2212

15m m m

--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】

（1）因为方程()22

1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，

()2

21240m m ∴?=-->，解得14

m <

； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．

m ∴的取值范围是1

4

m <

且0m ≠． （2）

1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=

，12

2

1

x x m = 14m <

且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12

2

1

0x x m =>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，

2221215m m m -∴-

=-，2

15210m m ∴--=，解得113m =，2

15

m =-， 14m <

且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.

7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；

（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）5

4

a ≤（3）-4 【解析】 【分析】

（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】

（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0， （x +3）（x ﹣4）=0， x +3=0或x ﹣4=0， ∴x 1=﹣3，x 2=4；

（2）∵方程有两个实数根12x x ，， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0， 解得54

a ≤

：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数

根，2222

11221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，

，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，

∴22

1122229x x x x ????+-+-=????， 把22

112211x x a x x a -=--=-，代入，

得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9， 解得：a =﹣4，a =2（舍去）， 所以a 的值为﹣4．

点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．

8．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求点A，C的坐标；

（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；

（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.

【解析】

试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.

试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．

∴A（12，0），C（﹣6，0）；

（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°

∴∴OB=16．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20

∵BE=5，∴AE=15．

如图1，作EM⊥x轴于点M，

∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，

∴，即：

∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．

∴E（3，12）．∴k=36；

（3）满足条件的点Q的个数是6，

x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；

方法：如下图

①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）

如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG?GP，∴GP=16，

∵△CPE与△PCQ是中心对称，

∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，

∴Q（10，﹣12），

如图②作MN∥x轴，交EG于点N，

EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），

∴CG=9，EG=12，∴CE=15，

∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，

同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），

考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.

9．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．

（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．

（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．

【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．

【解析】

【分析】

（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】

（1）∵矩形的面积为12m2，

∴y＝．

∵4≤y≤8，

∴1.5≤x≤3．

（2）∵篱笆长11m，

∴y＝（11﹣2x）m．

依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，

解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），

∴y＝11﹣2x＝8．

答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的

面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

10．定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【答案】（1）10%；（2）方案②

【解析】

试题分析：首先设下调的百分率为x，根据题意列出方程进行求解，得出答案；分别求出两种方案所需要花费的钱数，然后进行比较．

试题解析：（1）设平均每次下调的百分率是x，依题意得，4000（1-x）2=3240

解之得：x=0．1=10%或x=1．9（不合题意，舍去）

答：平均每次下调的百分率是10%．

（2）方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-

100×80=316000元

∵317520＞316000 ∴方案②更优惠

考点：一元二次方程的应用