《有理数》章节知识点归纳总结

有理数章节知识点归纳总结

一、基本运算和基本概念

本身之迷

① 倒数是它本身的数是±1

② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最

①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1

③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数

例、填空：

①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0；

③ 两个互为相反数的数的商是___；(0除外) ④ ____的倒数等于它本身；

⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数； ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4，_____的绝对值是4；

1、（1）、___)9()6(=-++ ， （2）、___)9()6(=--+，

（3）、___)9()6(=-?+， （4）、___)14()56(=-÷-， （5）、___4716=-， （6）、___46=+-， （7）、____)3(3

=-， （8）、____)2(4

=-，

（9）、____24=-， （10）、____)

1(2008

=-，

（11）、____)2(3

=--， （12）、___565=--，

（13）、___21

3

1

=-

，

（14）、___)10

3()65(=-?-， （15）、___8

325.0=÷-，（16）、____5.04

=，

（17）、___55=+-， （18）、___1020=--， （19）、___)1.6()9.5(=---，

（20）、___)13(0)56()7(=-÷?-?-。

（21）、2)2(-=-------------- （22）、 2

3=--------------

（23）、 2

)3

2

(-=--------------（24）、 22-=--------------

（25）、 3

2=-------------- （ 26）、 3

22

-=--------------

（27）、2009)1(-=----------- （28）、 2007

1-=------------

（ 29） ( )2

＝16，

（ 30）()()=---3

4

11

（ 31）=??-4232

（ 32）()=-??-10

2

1)

32(

（ 33）=?

--2

1

222

（ 34）=???? ??-2

5

522

（ 35）=????

???

???? ??--2

231

2、下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正 B.三数之积为正，则三数一定都是正数

C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数

D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等

3、下列判断错误的是 （ ） （A ）任何数的绝对值一定是正数； （B ）一个负数的绝对值一定是正数； （C ）一个正数的绝对值一定是正数；

（D ）任何数的绝对值都不是负数；

4、下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ；

5、a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是到数轴上距原点的距离最小的数，求2a b c ++的值

6、下列各数对中，数值相等的是（ ） A 、+32

与+23

B 、—23

与（—2）3

C 、—32

与（—3）2

D 、3×22

与（3×2）2

7、按照下面所示的操作步骤，若输入x 的值为－2，则输出的值为___________

8、已知

123112113114

,,,...,

1232323438345415

a a a =

+==+==+=??????依据上述规律，则99a = ．

9、定义2

*a b a b =-，则(12)3**=______．

10、规定()()a b b a b a --+=?，求)5(3-?的值。

11、用“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，

都有a b=b 2+1。例如，74=42

+1=17，求53的值及当m 为有理数时，m （m 2）的值。

12、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有：

ab a b a b 2*-=,试计算2*)3(-的值。

13、用“”、“”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b=a 和a b=b ，例如32=3，32=2。则（20062005）（20042003）=__________。

二、数的分类

1、 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12，

-0.92， 0， 0.1008，-4.95

正数集合{ }； 负数集合{ }； 整数集合{ }；

正分数集合{ }； 负分数集合{ }； 2、 下列各数中：7，－9.25，10

9-

，-301，274

，

31.25，15

7

，-3.5，0，2215，－7，1.25，－

37，－3，4

3-。 正整数是{ } 正分数是{ } 负整数是{ } 负分数是{ } 正数是{ } 负数是{ }

输入x

平方

乘以3

减去5

输出

三、非负性

1、已知()0422

=-++y x ，求y x ?的值。

2、若130a b c ++-+=, 求2

2

2

()()()a b b c c a -----的值.

3、 如果()()013212

2

=-+-++c b a ，

求3

33c a abc -+的值．

4、已知132x +与1

22

y -互为相反数，求x y +的

值。

四、绝对值的化简

1、若|—X|=2，则X=______ 若|X|=2，则X=______, 若|X —3|=0，则X=______， 若|X —3|=6，则X=______

2、A 为数轴上表示1-的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到B 点，则B 点所表示的数为_____

3、与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______；

4、绝对值小于2011的所有整数之和是__ _ 绝对值大于2而小于5的所有整数有____ 他们和为 ，积为 ．

5、已知两个有理数a,b ，如果ab ＜0，且a+b ＜0，那么（ ）

A 、a ＞0，b ＞0

B 、a ＜0，b ＞0

C 、a,b 异号

D 、a,b 异号，且负数的绝对值较大 6、若∣a ∣=3，则a 的值是( ) A.-3 B. 3 C.

3

1

D.3± 7、如果a 与1互为相反数，则|2|a +等于（ ） A ．2

B ．2-

C ．1

D ．1-

8、如果a a -=-，下列成立的是（ ） A ．0a <

B ．0a ≤

C ．0a >

D ．0a ≥

9、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（ ） A .6 B.7 C. 8 D.9 10、若x 为有理数，则x x +必是 （ ） A 、非正数 B 、非负数 C 、0 D 、正数

11、下列各语句中正确的是（ ）

A 、若a>-0.5，则a 是正数

B 、若a <0，则 a a <

C 、若b a >，则b a >

D 、若b a =，则b a = 12、如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ） A 、－1 B 、0

C 、1

D 、－1，0，1

13、若5=a ，2-=b 且0>ab =+b a

14、已知︱a ︱=5,︱b ︱=8,且︱a+b ︱= -(a+b),试求a+b 的值。

15、已知|a|=7，|b|=3，求a+b 的值。

16、已知,3,2,1===c b a 且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋c 的值。

17、若,3,4,==-=-n m m n n m 则=-n m ________。

18、若|a|=4,|b|=7，求（1）a+2b 的值； （2） 若ab ＜0，求|a —b|；

（3） 若| a —b |= b —a ，求a —2b 的值；

（4） 若ab ＞0，| a —b |= b —a ，求a —2b+1的值

19、实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图： 化简|a －b|+|b －c|-|c －a|

五、实际问题的应用

1、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg ，（25±0.?2）kg ，（25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）

A ．0.8kg

B ．0.6kg

C ．0.5kg

D ．0.4kg 2、2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）

A ．伦敦时间2008年8月8日11时

B ．巴黎时间2008年8月8日13时

C ．纽约时间2008年8月8日5时

D ．汉城时间2008年8月8日19时 3、如图是某只股票

从星期一至星期五每天的最高股价与最低股价的折线统计图，则这五天中最高股价与最低股价之差最大的一天是（ ）

A.星期二

B.星期三

C.星期四

D.星期五．

4、小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？ （2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？ （3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还

是下降了，其变动的环数是多少？

5、某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向

营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：

km ）依先后次序记录如下：+9、 -3、 -5、 +4、 -8、 +6、 -3、-6、 -4、 +10。

（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？

（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？

6、冷库的室温为2℃，现存入一批食物冷冻，必须使室温保持在-22℃，若冷冻每小时使室温下降5℃，经过多少小时，就可以使冷库达到-22℃的冷冻室温？

7、已知某零件的标准直径是10mm ，超过规定直径长度的数量（单位：mm ）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm ）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下表：

（1）试指出哪件样品的大小最符合要求； （2）如果规定偏差的绝对值在0.18mm 之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm —0.22mm 之间是次品，偏差绝对值查过0.22mm 是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？

8、红星队在4场足球赛中的成绩是：第一场3：1胜，第二场2：3负，第三场0：0平，第四场2：5负。红星队在4场比赛中总的净胜球数是多少？

9、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部序号

1

2

3 4

5

直径长

度（mm ）

+0.1 -0.15

+0.2

-0.05 +0.25

5

-089

：日最高股价 ：日最低股价

股价（元） 星期

9 8

二

四 一

三

五

8.5 9.5 10 10.5 11 11.5

分分别用正、负数来表示，记录如下表：

这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？

10、10袋小麦以每袋150千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：-6，-3，-1，-2，+7，+3，+4，-3，-2，+1与标准重量相比较，10袋小麦总计超过或不足多少千克？10袋小麦总重量是多少千克？每袋小麦的平均重量是多少千克？11、十·一”黄金周期间,省城逍遥津公园风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数): (单位:万人)

(1) 若9月30日的游客人数记为1万,10月2日的游客人数是多少?

(2) 请判断7天内游客人数最多的是哪天?最少的是哪天?他们相差多少万人?

(3) 求这一次黄金周期间游客在该地总人数.

六、科学计数法

1、据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为（ ）

A 、111082.0?

B 、10102.8?

C 、9102.8?

D 、81082? 2、为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234 760 000元，其中234 760 000元用科学记数法可表示为（ ）（保留三位有效数字）． A ．2.34×108

元

B ．2.35×108

元

C ．2.35×109 元

D ．2.34×109元 3、光的传播速度约为300000 km/s ，太阳光照射到地球上大约需要500s ，则太阳到地球的距离用科学记数法可表示为（ ）

（A ）km 71015? （B ）km 9

105.1? （C ）km 8105.1? （D ）km 8

1015? 4、据统计，2009年嘉兴市人均GDP 约为4.49×10

4

元，比上年增长7.7%，其中，近似数4.49×104

有_______个有效数字．

5、温家宝总理有句名言：多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小．将 1 300 000 000用科学记数法表示为 ．

七、近似数

1、用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ） A ．0.1（精确到0.1） B ．0.05（精确到百分位）

C ．0.05（保留两个有效数字）

D ．0.0502（精确到0.0001）

2、近似数1.23×105

精确到________位,有_______个有效数字．

3、列各个数据中，哪些数是准确数?哪些是近似数? (1)小琳称得体重为38千克；

(2)现在的气温是－2℃； (3)1m 等于100cm ；

(4)东风汽车厂2000年生产汽车14500辆.

4、(1)近似数7. 9万精确到______，有______个有

效数字，分别是______

(2)近似数5. 08 X 106

精确到_____，有______个有效数字，分别是______

(3)近似数0. 080 900精确到_______，有______个有效数字，分别是______

5、用四舍五入法，将下列各数按括号中的要求取近似数.

(1)0.6328 (精确到0.01)； (2)7.9122 (精确到个位)； (3)47155 (精确到百位)； (4)130.06 (保留4个有效数字)； (5)460215 (保留3个有效数字).

6、下列说法正确的是（ ）

A 、近似数32与32.0的精确度相同

B 、近似数32与32.0的有效数字相同

C 、近似数5万与近似数5000的精确度相同

D 、近似数0108.0有3个有效数字

八、字母运算中符号的确定

1、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则b a +的值（ ）

A ．大于0

B ．小于0

C ．小于a

D ．大于b 2、如果ab<0，那么下列判断正确的是( )

A ．a<0，b<0

B ．a>0，b>0

C ．a ≥0，b ≤0

D ．a<0，b>0或a>0，b<0

3、已知

，其中有三个负数，则

（ ）

A ．大于0

B ．小于0

C ．大于或等于0

D ．小于或等于0 4、若

，其a 、b 、c （ ）

A ．都大于0

B ．都小于0

C ．至少有一个大于0

D ．至少有一个小于0 5、如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数( )

(A) 都是负数 (B) 都是正数 (C) 一正一负，且负数的绝对值大 (D) 一正一负，且正数的绝对值大

6、两个不为零的有理数相除,如果交换被除数与除数的位置而商不变,这两个数一定是 ( ) (A) 相等 (B) 互为相反数 (C) 互为倒数 (D) 相等或互为相反数

7、下列结论错误的是（ ）

A 、若b a ,异号，则b a ?＜0，

b a

＜0 B 、若b a ,同号，则b a ?＞0，b

a

＞0

C 、b a

b a b a -=-=- D 、b

a

b a -=-- 九、相反数、倒数、绝对值的应用

1、已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝

对值为5．试求下式的值：

199919982)()()(cd b a cd b a x -+++++-

2、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________．

3、如果a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且m=-1，

则代数式2ab-（c+d ）+m 2

=_______。

4、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n

m a

b mn --++-2的值

5、若正数a 的倒数等于其本身，负数b 的绝对值等

于 3，且c a <，236c =，求代数式2

2(2)5a b c

--的值。

6、a 与b 互为相反数，b 与c 相乘的积是最大的负整数，d 与e 的和等于-2，则e d bc

b

a bc ++++ 的值是多少？

7、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求()cd m cd b a -++的值。

十、四则混合运算

1、考查乘法分配律的应用

（1）121

()(24)234

-+-?-

（2）

）（）（3.05

4

1037.0100+--?-

（3）()52524999-? 1212

1

49?-

（4）75.04.34

3

53.075.053.1?-?+?-

2、乘法交换律的应用

（1）()??

? ??-÷-???? ??-814412

2

（2）（-5）-（-5）×101÷101×（-5

1）

（3）

4、 运算顺序的应用 （1）

4

5

211)215(2131-÷-?- （2）-72十2×(－3)2

＋(－6)÷(－3

1)2

（3）

（4）

（5）-4- [-5+（0.2×31-1）÷（-152）]

（6）22)7(])6()6

1

121197

(50[-÷-?+--

（7）)3

16

(429)143()35()14121()411(-+---++---

（8）)7

412(7312653431615413--+-??? ??---

（9）

（10）

0732945)611()212()4.0()21(32422?-?

?????---+÷??????-?--÷ ）（）（323

22)2(2

-?+-÷

--()()?

?? ??-÷---÷32221002

[]

2

)

4(23

1)5.01(-+?÷--)

4

11()2(32)53()5(2

3-?-÷+-?-

十一、乘方运算的实际运用

1、有一张纸的厚度为0.1mm,若将它连续对折10次

后,它的厚度为____ ___mm. 2、有一块面积是1平方米的木板，第一次截掉一半，第二次截掉剩下的一半，…如此截下去，截第五次

后剩下的木板面积是多少？

3、l 米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩

下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ） A 、

121 B 、32

1

C 、641

D 、1281 4、细菌繁殖，细胞分裂，马峰窝，树干分叉，枝条上的树叶，种族繁衍，蝴蝶效应，折纸

十二、找数的规律

1、已知9=abcd ，且d c b a ,,,为互不相等的整数，则=+++d c b a _____ __

2、按规律排列的数：1,2,4,8,16，……，则第2011个数是_______

3、探索规律：①331

=，个位数字是3；②932

=;个位数字是9；③2733= ,个位数字是7；④

8134=, 个位数字是1；⑤24335

=, 个位数字是

3；⑥72936

=, 个位数字是9； 73的个位数字是

2187；……；20

3的个位数字是 。

4、a 是不为1的有理数，我们把11a

-称为a 的差倒．．

数．

．如：2的差倒数是1

112

=--，1-的差倒数是11

1(1)2

=--．已知1

1

3

a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是

2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．

5、已知：,...

15441544,833833,322322222?=+?=+?=+若b a b a ?=+21010（a,b 均为整数）则a+b=

6、观察下列等式，你会发现什么规律：22131=+?，23142=+?，24153=+?，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n （n 为正整数）的等式表示出

来 。

7、观察数表

根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数.

十三、比较大小

比较下列各对数的大小． （1）54-

与4

3

- （2）54+-与54+- （3）25与5

2 （4）2

32?与2

)32(? （5）218-

7

3

- （6）

3.3 3

13—- （7）-（-1）＿＿＿-（+2）；218-

＿＿＿7

3-； )3.0(--＿＿＿3

1

-

； 2--＿＿＿-（-2）

十四、运算技巧的考查 1111

12233420042005

+++?+

????;

1111

1335574951

+++?+

????

如果有理数a,b 满足∣ab －2∣+(1－b)2

=0，试求

+

…

+的值。

1＋2-3-4＋5+6-7-8+9＋10-11-12+…＋2005＋2006-2007-2008

已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

例3、阅读下列材料

132********=?=??? ??-???? ?

?+

15445322354324523511311411211=??

? ??????? ???=???=??? ??-???? ??-???? ??+???? ??+根据以上信息，求出下式的结果。

??

? ??

-??????? ??-???? ??-???? ??-???? ??+??????? ??+???? ??+???? ??+21117115113112011611411211