高中数学必修五第一章测试题.

必修五阶段测试一(第一章 解三角形)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么∠A ＝( )

A ．45°

B ．90°

C ．130°或45°

D ．150°或30°

2．在△ABC 中，B ＝π3

，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为( ) A.49π3 B ．16π C.47π3

D ．15π 3．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )

A ．75°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

4．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c, a 2

A.????π2，π

B.????π4，π2

C.????π3，π2

D.???

?0，π2 6．(2017·阆中中学质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果b cos C ＋c cos B －a sin A ＝0，那么△ABC 的形状为( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )

A.725

B.2425 C ．－725 D ．±725

8．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC 中，A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )

A ．1∶2∶3

B ．3∶2∶1

C ．1∶3∶2

D ．2∶3∶1

9．在△ABC 中，b ＝8, c ＝83， S △ABC ＝163，则∠A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．30°或150°

D ．60°或120°

10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )

A ．50 3 m

B ．25 3 m

C ．25 2 m

D ．50 2 m

11．在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则AC BC

的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，2) C ．(0，3) D ．(2，3)

12.A ，B 两地相距200 m ，且A 地在B 地的正东方．一人在A 地测得建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60°；在B 地测得建筑C 在北偏东45°，建筑D 在北偏西15°，则两建筑C 和D 之间的距离为( )

A ．200 2 m

B ．1007 m

C ．100 6 m

D ．100(3－1)m

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.

14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b

＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B

＝________. 15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．

16．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3

，则△ABC 的周长等于_________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝5，AB ＝7，∠BDA ＝60°，∠CBD ＝15°，求BC 的长．

18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，S 是△ABC 的面积，已知a ＝4，b ＝5，S ＝5 3.

(1)求角C ；

(2)求c 边的长度．

19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＋c 2－a 22＝83

S △ABC (其中S △ABC 为△ABC 的面积)．

(1)求sin 2B ＋C 2

＋cos2A ； (2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .

20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.

(1)求cos ∠CBE 的值；

(2)求AE .

21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716

，c >4. (1)求b ； (2)求证：C ＝2A .

22．(12分)如图所示，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500 km ，且与海岸距离为300 km 的海上M 处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM 所成的角．

答案与解析

1．A 由正弦定理a sin A ＝b sin B

， 得sin A ＝a sin B b ＝2sin60°3＝22. 又a

2．A 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝64＋25－2×8×5×12

＝49，∴AC ＝7.

由正弦定理得AC sin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴R ＝AC 2sin B ＝72×32

＝733.∴△ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝49π3

. 3．B S △ABC ＝12

BC ·CA ·sin C ， ∴12×4×3·sin C ＝33， ∴sin C ＝32

， 又△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°，故选B.

4．C 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c 2R

(其中R 为△ABC 外接圆半径)，代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2＝b 2＋c 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，

由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12

. 又0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°.故选C.

5．C 解法一：cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

， ∵a 2

a >

b >c, cos A

c 2－a 22bc ＝c 2b 0，且cos A <12. ∴∠A 的范围为????π3，π2，故选C.

解法二：∵a >b >c, ∴a 为最长边，∠A >π3

. 又a 2

.故选C. 6．A b cos C ＋c cos B －a sin A ＝0，

∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin 2A ＝0.

∴sin(B ＋C )－sin 2A ＝0.

∴sin A －sin 2A ＝0，∴sin A ＝0(舍去)或sin A ＝1，