高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质.doc

专题二——利用导数研究函数的性质2009-2-24

高考趋势

导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用

导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题

以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函

数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。

考点展示

1.二次函数y f (x)的图象过原点且它的导函数y f'( x) 的图象是如

图所示的一条直线，则y f ( x) 图象的顶点在第一象限

2．如图，函数 f ( x) 的图象是折线段ABC ，其中 A， B， C 的坐标分别

y 为 (0，4)，(2，0)，，(64) ，则 f ( f (0))2； 4 A

C

3

函数 f ( x) 在 x 1 处的导数 f (1)-2．2

1

B

O x

3.曲线y x32x 4 在点(1，3)处的切线的倾斜角为45°1 2 3 456

4.设曲线y ax 2在点（1，a）处的切线与直线2x y60平行，则a1

5.设a R，若函数y e x ax ，x R 有大于零的极值点，则 a 的取值范围a1

6.已知二次函数 f (x)ax2bx c 的导数为f(x) ， f(0)0 ，对于任意实数x ，有 f ( x)≥0，则

f (1)

的最小值为2．

f (0)

7.已知函数f ( x)x312 x 8在区

间3，3 上的最大值与最小值分别为M ，m，则M m__32_ _

8.过点 P（ 2， 8）作曲线y x3的切线，则切线方程为_12x-y-16=0或 3x-y+2=0

样题剖析

例 1 、设函数f (x) a x3 3 x2( a 1) x 1,其中 a 为实数。

32

a 的值；

（Ⅰ）已知函数 f ( x) 在 x 1 处取得极值，求

（Ⅱ）已知不等式 f ' ( x)x2x a 1 对任意a(0,) 都成立，求实数x 的取值范围。

解: (1) f ' (x)ax23x(a 1)，由于函数 f ( x) 在 x1时取得极值，所以 f ' (1)0即 a3 a 10,∴ a1

(2)方法一：由题设知： ax23x (a 1)x2x a1对任意 a(0,) 都成立

即 a( x22)x22x0 对任意a(0,) 都成立

设 g( a)a(x22)x22x(a R) ,则对任意x R ， g( a) 为单调递增函数 ( a R)

所以对任意 a(0,) ， g( a)0 恒成立的充分必要条件是g (0)0

即 x22x0 ，∴ 2x0

于是 x 的取值范围是x |2x0

方法二：由题设知： ax23x( a1) x2x a 1 对任意a (0,) 都成立

即 a( x22)x22x0 对任意a(0,) 都成立

于是 a x2

2x

对任意 a(0,) 都成立，即

x

2

2x0

x22x22

∴ 2 x 0

于是 x 的取值范围是 x | 2 x 0

点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0 ，则在函数这点处取得极值。

变式 1.若 f(x)= 1 x2 b ln( x2)在 (-1,+) 上是减函数，则 b 的取值范围是b 1

2

由题意可知 f ' ( x)x b0 ，在 x(1, ) 上恒成立，

x2

即 b x(x 2)在 x (1,) 上恒成立，由于x 1 ，所以 b 1 ，

变式 2. 已知函数f1(x) 3x p1， f2 ( x) 2 3x p2（ x R, p1, p2为常数）．则 f1 x f 2 x 对所有实数 x 成立的充分必要条件（用p1, p2表示）为

（ 1）由f ( x)的定义可知， f (x)f1 (x) （对所有实数x ）等价于

f1 x f 2x （对所有实数 x ）这又等价于3x p1 2 3x p2 ，即

x p1x p2log2

2 对所有实数x均成立.（ *）

333

由于 x p1x p2( x p1) (x p2 )p1p2 (x R) 的最大值为 p1p2，

故（ * ）等价于3p1p2 2 ，即p1p2log3 2 ，这就是所求的充分必要条件变式 3.函数f (x)ax33x 1 对于 x1,1 总有 f ( x)0 成立，则a=4．

用心爱心专心

解：若 x 0 ，则不论 a 取何值， f x

0 显然成立；

当 x

0 即 x (0,1] 时， f (x) ax 3 3x 1

0 可化为， a 3

1

x

2

x 3

设 g x 3 1 ，则 g ' x

3 1 2 x ， 所以 g x

在区间 0,

1 上单调递增，在区间 1 ,1 上

x 2

3 x 4

2 2

x

单调递减，因此

g

x

max

g 1

4 ，从而 a

4 ；

2

当 x

0 即 x

1,0

时， f ( x) ax 3

3x 1 0 可化为 a

3 1 ， g '

3 1 2x

x x 4

x 2 x 3

g x 在区间 1,0 上单调递增，因此 g

x

ma n

g

1 4 ，从而 a

4 ，综上 a 4

例 2、如图，等腰梯形 ABCD 三边 AB ，BC ，CD 分别与函数 y

1 x

2 2, x

[ 2,2] 的图像切于点 P ，

2

Y

Q ， R ，求梯形 ABCD 面积的最小值

C

Q

B

R

P

解：设 P 的坐标 P( x 0 ,

1 x 0

2 2) ， A(

x 02

4 ,0)

B( 1 x 0 ,2)

2

2x 0

2

x 02

4 1

A

D

O

S 2( 2x 0

2 x 0 ) 利用基本不等式得，最小值为

4 2

变式：设函数 f (x) ax b

，曲线 y

f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x

4y

12 0 。

x

（ 1）求 y

f ( x) 的解析式；（2）证明：曲线 y f ( x) 上任一点处的切线与直线

x

0 和直线 y

x 所

围成的三角形面积为定值，并求此定值。

解：（１）方程 7x 4 y 12

0 可化为 y

7 x 3 ，当 x 2 时， y 1 ；

4

2

2a

b 1

a 1

'

b

2 2

，解得

3

又 f x

a

x

x

x 2

，于是

b ，故 f

x

a

b

7

3

4

4

（２）设 P

x , y 0 为曲线上任一点，由

y '

1 3 知曲线在点 P x , y 0处的切线方程为

x 2

y y

01

3

x x ，即 y

x

3

1

3

x x

x 0 2

0 x 0

x 0 2

令 x

0 ，得 y

6 ，从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0, 6 ；

x 0

x 0

令 y

x ，得 y x 2x 0 ，从而得切线与直线

y

x 的交点坐标为

2x 0 ,2 x 0 ；

所以点 P x 0 , y 0 处的切线与直线 x

0, y

x 所围成的三角形面积为 1

6 2x 0 6 ；

2

x 0

故曲线 y

f x 上任一点处的切线与直线 x

0, y x 所围成的三角形面积为定值，此定值为６；

总结提炼

1. 要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以

及和、差、乘积和商的导数公式

2. 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的

3. 切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时

找出错误。

X 自我测试

1. 过原点作曲线 y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e)

2.直线 y

1

x b 是曲线 y ln x( x 0) 的一条切线，则实数

bl n 2

1

．

2

3. 已知函数

f ( x)

, x

R

满足 f (2)

3，且 f ( x) 在

R

上的导数满足

f /

( x) 1

，则不等

式

f ( x 2 ) x 2 1的解集为

__

( ,

2) ( 2, ) __. （构造函数 g( x)

f ( x) x ）

4.一个物体的运动方程为 s

1 t

t 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒， 那么物体在 3 秒末的瞬时速度

是5

米 /秒．

3 5.母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于

3

6.半径为 r 的圆的面积 S(r) ＝ r 2, 周长 C(r)=2

r ，若将 r 看作 (0 ，＋∞ ) 上的变量，则 (

r 2)` ＝ 2

用心 爱心 专心