线性代数教案-相似矩阵及二次型

线性代数教学教案

第四章 相似矩阵及二次型

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第四章 第一节 向量的内积、长度及正交性 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵

教学难点 向量组的施密特正交化、

正交矩阵

参考教材 同济版《线性代数》

作业布置 课后习题

大纲要求 了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；

掌握施密特正交化方法。

教 学 基 本 内 容

一、 向量的内积、长度：

向量的内积：设有维向量，令

，

称为向量与

的内积.

内积的性质（其中与都是维列向量，为实数）： (i) ； (ii)

；

(iii) ；

(iv) ，当且仅当时，.

柯西-施瓦茨（-Schwarz ）不等式：.

n 112

2,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

x y []T 1122,n n x y x y x y ==+++ x y x y [],x y x y ,x y z n λ[][],,=x y y x [][][],,,λλλ==x y x y x y [][][],,,+=+x y z x z y z [],0≥x x =0x [],0=x x [][][]2

,,,≤x y x x y y

第二步，将单位化，得到.

于是，就是的一个规范正交基.

四、正交矩阵：

正交矩阵：如果阶矩阵满足(即)，那么称为正交矩阵，简称正交阵.

定理 设矩阵是阶方阵，则下列结论等价： （1）是阶正交阵；

（2）的列向量组是的一个规范正交基；

（3）的行向量组是的一个规范正交基.

正交变换：若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换. 五、主要例题：

例1 已知3维空间中的两个向量正交，试求一个非零向量，

使两两正交.

例2 设是的一个基，求一个与等价的规范正交基.

例3 已知，求一组非零向量，使两两正交. 例4 验证矩阵

是正交阵. 12,,,r βββ11221

2

1

1

1

,,,r r r

=

=

=

ξβξβξββββ12,,,r ξξξV n A T

=E A

A 1T -=A A A A n A n A n

A n

P =y Px 3

12111,211⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

αα3α123,,ααα1231021,4,1111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα3

123,,ααα1111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

α23,αα123,,ααα1111222211112

2221111222211112222⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪

-- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

P

授课序号02

教 学 基 本 指 标

教学课题 第四章 第二节 方阵的特征值与特征向量 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段

黑板多媒体结合 教学重点 方阵特征值、特征向量的求法和性质 教学难点 方阵特征值、

特征向量的求法和性质

参考教材 同济版《线性代数》

作业布置 课后习题

大纲要求 理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；

掌握方阵特征值、特征向量的求法。

教 学 基 本 内 容

一、方阵特征值、特征向量的概念及求法：

特征值和特征向量：设是阶矩阵，如果数和维非零列向量使关系式成立，那么数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.

特征多项式：记， 则是的次多项式，称为矩阵的特征多项式.

特征方程：.

的特征值就是特征方程的根。

二、方阵的特征值与特征向量的性质：

性质1 设阶矩阵的特征值为，则 (i)

；

(ii) .

性质2 若是方阵的特征值， 为对应于特征值的特征向量，则 (i)

是方阵的特征值（为非负整数），对应于特征值的特征向量是；

A n λn αλ=AααλA αA λ()1112121

22211

12

n n

nn a a a a a a f E a a a λ

λλλλ

--=-=

- A ()f λλn A

0E λ-=A A n ()

ij a =A 12,,,n λλλ 121122n nn a a a λλλ+++=+++ 12n λλλ= A λA αλk λk A k k

λα

(ii) 是方阵的特征值（为任意常数），对应于特征值的特征向量是； (iii) 当可逆时,是方阵的特征值，对应于特征值的特征向量是；

(iv) 若矩阵的多项式是，则方阵的特征值是（其中是关于的多项式）

，对应于特征值的特征向量是. 性质3 如果与是方阵的同一特征值所对应的特征向量，则(、不同时为零)也是特征值所对应的特征向量.

性质4 设是方阵的个互不相同的特征值，是依次与之对应的特征向量，则

线性无关.

性质5 设和是矩阵的两个不同的特征值，和是分别对应于和的线性无关的特征向量，则线性无关.

三、主要例题：

例1 求矩阵的特征值和特征向量.

例2 求矩阵 的特征值和特征向量 例3 求矩阵的特征值和特征向量.

例4 设3阶矩阵的特征值为，求的特征值.

例5 设和是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不是的特征向量.

k λk A k k λαA 1

λ-1

-A

1

λ-αA ()10m m a a a ϕ=+++ A A A E ()ϕA ()ϕλ()10m m a a a ϕλλλ=+++ λ()ϕλα1α2αA λ1122k k +αα1k 2k λ12,,,m λλλ A m 12,,,m ααα12,,,m ααα1λ2λA 12,,,s ααα12,,,t βββ1λ2λ1212,,,,,,,s t αααβββ100020003⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

A 120030211-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

B 102030201⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

C 1,2,3*

232-+A A E 1λ2λA 1α2α12+ααA