18计算方法与技巧
小学数学技巧快速计算倍数与约数
小学数学技巧快速计算倍数与约数在小学数学中，计算倍数和约数是很基础的技能。
掌握了快速计算倍数和约数的方法，可以在数学运算中事半功倍，提高计算效率。
本文将介绍一些小学数学技巧，帮助学生快速计算倍数和约数。
一、倍数的计算技巧倍数是指一个数在另一个数中的整数倍。
计算倍数有以下几个常用的技巧：1. 基础倍数法基础倍数法是最简单的计算倍数的方法。
我们以计算6的倍数为例子，首先确定倍数的范围，如100以内的6的倍数。
然后从6开始，依次加上6，直到超过100为止。
这样可以得到6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96等倍数。
2. 乘法倍数法乘法倍数法是指利用乘法关系计算倍数。
以计算8的倍数为例，我们知道8是2的倍数，那么既然是2的倍数，也就是说可以由2来乘得到。
所以我们可以从2开始，不断乘以8，得到8、16、24、32、40、48、56等倍数。
3. 数字规律法有些数的倍数有一定的规律，利用这个规律可以更快地计算倍数。
以计算10的倍数为例，我们可以发现所有10的倍数的个位数都是0，十位数可以是1、2、3、4等。
所以只需要把个位数归零，然后在十位数后面加上对应的数字即可得到10的倍数，如10、20、30、40、50等。
二、约数的计算技巧约数是指一个数能够整除另一个数的数。
计算约数有以下几个常用的技巧：1. 分解质因数法分解质因数法是计算约数最常用的方法之一。
以计算24的约数为例，首先将24分解为2x2x2x3，然后可以根据质因数的个数和不同的排列组合来计算约数，即1、2、3、4、6、8、12和24。
2. 分析法分析法是根据数字的特点和性质来计算约数。
以计算20的约数为例，我们可以观察到20可以被1、2、4、5、10、20整除。
另外还可以观察到20的约数是成对出现的，即如果有一个约数a，则必然有一个约数b，使得a×b=20。
3. 因数法因数法是通过分析和检验一个数的因数来计算约数。
如何迅速计算两位数乘一位数
如何迅速计算两位数乘一位数在日常生活中，我们经常会遇到需要计算两位数乘一位数的情况，比如购物时计算折扣、做数学题等。
为了提高计算效率，迅速计算两位数乘一位数是一个非常实用的技巧。
本文将介绍一些简单易行的方法和具体技巧，帮助您迅速计算两位数乘一位数。
一、竖式乘法法竖式乘法法是一种常用的计算两位数乘一位数的方法，它能够有效地避免计算过程中的错误。
具体步骤如下：1. 将两位数的个位数和十位数分别写在竖式的上方和下方。
2. 将一位数写在竖式的右侧。
3. 逐位相乘，将结果写在相应位置，注意进位。
4. 将所有结果相加，得到最终的乘积。
例如，计算56乘以3：```5 6× 3-----1 6 8 （个位数）+ 1 6 8 0 （十位数）-----1 6 8 8 （最终乘积）```使用竖式乘法法的关键是注意进位，确保每一步的计算准确无误。
熟练掌握竖式乘法法，能够在短时间内迅速完成计算。
二、分解乘法法分解乘法法是另一种常用的计算两位数乘一位数的方法，它将乘法分解成更简单的计算步骤。
具体步骤如下：1. 将两位数的个位数和十位数分别拆开。
2. 将一位数与个位数分别相乘，得到两个部分乘积。
3. 将一位数与十位数分别相乘，并乘以10，得到另外两个部分乘积。
4. 将所有部分乘积相加，得到最终的乘积。
例如，计算56乘以3：```56 × 3 = (50 × 3) + (6 × 3) = 150 + 18 = 168```使用分解乘法法的关键是将乘法拆分成更简单的计算，避免复杂的乘法运算，提高计算速度。
三、进位法进位法是一种更加简单粗暴的计算两位数乘一位数的方法，它将乘法运算转化为加法和进位运算。
具体步骤如下：1. 将一位数与两位数的个位数分别相乘，得到一个部分乘积。
2. 将一位数与两位数的十位数分别相乘，并乘以10，得到另一个部分乘积。
3. 将两个部分乘积相加，得到最终的乘积。
例如，计算56乘以3：```56 × 3 = (6 × 3) + (50 × 3) = 18 + 150 = 168```进位法简单直观，适合于对乘法计算要求不高的场景，能够在较短时间内完成计算。
三位数速算方法与技巧
三位数速算方法与技巧1.相同位数相加法：即将相同位数的数相加，不进位，最后再加上向前进位的数。
例如：365+297+178，先将个位数5+7+8=20，进位2，再将十位数6+9+1+进位2=18，进位1，最后将百位数3+2+1+进位1=7，所以答案为740。
2.差等补法：如果遇到一个三位数加上一个两位数的情况，可以通过求差法来快速计算。
例如：857+35，可以看成857-35=822+35=8573.补足十法：如果需要计算的数中有一个位数小于10，可以通过将该位数通过补足十法转化成一个三位数加一个两位数的形式。
例如：236+8，可以看成236+08=2441.同位减法：即将相同位数的数相减，不借位，最后再减去借位的数。
例如：824-347，先将个位数4-7=-3，借位吗，将十位数2-4-借位1=-3，借位吗，最后将百位数8-3-借位1=4，所以答案为4772.差同补法：如果遇到一个三位数减去一个两位数的情况，可以通过求差法来快速计算。
例如：876-35，可以看成876-35=8411.积分拆分法：例如求358×5，先将358拆成300+50+8，然后依次将300×5、50×5、8×5相乘，最后将三个积相加得到答案。
2.交换律法则：如果遇到一个三位数乘一个两位数的情况，可以通过交换律来简化计算。
例如：463×2=2×4631.除法拆分法：例如求672÷8，可以拆分成600÷8+70÷8+2÷8=75+8+0.25=83.252.除法颠倒法：例如求672÷4，可以通过颠倒除数和被除数得到答案。
即672÷4=168以上是一些常用的三位数加法、减法、乘法和除法的速算方法和技巧。
通过掌握这些方法，可以在进行三位数的计算时提高计算速度，减少出错概率，更高效地完成计算任务。
2023年新高考数学大一轮复习专题18 三角恒等变换 (解析版)
专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。
除法试商口诀技巧(一)
除法试商口诀技巧(一)除法试商口诀详解什么是除法试商口诀？除法试商口诀是一种帮助学生记住除法结果的口诀，可以在计算除法时快速得到商的方法。
在学习数学的过程中，除法试商口诀是一个重要的工具，能够帮助学生提高计算的效率，减少错误的发生。
基本的除法试商口诀规则1.当被除数相同，除数为1到9时，商是依次递减的。
–例如：18 ÷ 2 = 9，18 ÷ 3 = 6，18 ÷ 4 =2.当被除数是乘法表中的数字，除数相同时，商是依次递减的。
–例如：15 ÷ 3 = 5，25 ÷ 5 = 5，35 ÷ 7 = 53.当被除数和除数都是乘法表中的数字，商为1到9时，被除数相同，商是依次递增的。
–例如：36 ÷ 4 = 9，45 ÷ 5 = 9，54 ÷ 6 = 9特殊情况下的处理方法1.当被除数是0时，任何数除以0都是无意义的，除法试商口诀不适用。
2.当除数为0时，任何数除以0都是无法进行的，也不适用除法试商口诀。
3.当除数和被除数都是小数时，可以将小数转化为分数进行计算。
使用技巧和注意事项1.控制口诀的使用范围：通常除法试商口诀适用于小数点后一位或两位的除法计算，如果位数过多，可以考虑利用竖式除法进行计算。
2.掌握乘法表：在使用除法试商口诀时，掌握乘法表是非常重要的，因为乘法表中的数字经常出现在被除数和除数中。
3.善于利用近似计算：有些除法的商可能是一个无限循环小数，这时可以使用近似计算法，保留一定位数的小数。
4.多练习，提高速度：除法试商口诀需要不断的练习才能熟练掌握，通过反复计算可以提高计算速度和准确性。
小结通过掌握除法试商口诀的基本规则和特殊处理方法，结合乘法表的知识，我们可以快速、准确地计算除法。
同时，需要注意范围的掌握和近似计算的运用，帮助我们在数学学习中更加高效地使用除法试商口诀。
通过不断练习，我们可以提高计算的速度和准确性，从而更好地掌握数学知识。
乘除法的计算技巧
乘除法的计算技巧乘除法在数学计算中是非常常见且重要的运算方法之一、掌握乘除法的计算技巧将大大提高我们的计算速度和准确性。
下面将介绍一些有助于我们快速进行乘除法计算的技巧。
一、乘法计算技巧1.末尾有0的乘法当两个数中有一个数以0结尾时，我们可以通过在另一个数后面加上0，再进行相应的乘法计算。
例如，计算18×50可以转化为18×5再加上一个0。
这样，我们只需要计算18×5=90，然后加上一个0即可得到乘法结果900。
2.整数乘以小数当计算一个整数乘以一个小数时，我们可以先忽略小数点，直接计算整数的乘法。
最后再根据小数点的位置添加到乘法结果中。
例如，计算35.5×6，我们可以先计算35×6=210，然后将小数点移到合适的位置，得到210.0。
同理，计算24.6×8时，可以先计算24×8=192，然后将小数点移到相应的位置，得到192.0。
3.分解乘法当计算一个较大的乘法时，我们可以将问题分解为若干个较小的乘法，再将结果相加。
例如，计算48×73，我们可以将48分解为40和8，73分解为70和3、然后计算40×70=2800、40×3=120、8×70=560和8×3=24、最后将这些结果相加，得到2800+120+560+24=35044.平方与立方当计算一个数的平方和立方时，我们可以通过利用特定的计算公式来简化计算。
例如，计算45²=2025时，我们可以利用公式(10×45+5)²=2025进行计算。
先将10×45=450，然后再加上5得到455，最后计算455²即可得到2025类似地，计算一个数的立方时也可以采用类似的方法。
例如，计算13³=2197时，可以利用公式(10×13+3)³=2197进行计算。
计算的基本规律和技巧
计算的基本规律和技巧计算的基本规律和技巧计算是个很⼤的话题，也有很多的基本⽅法和技巧，每道题基本都离不开计算，这⾥，我只能抛砖引⽟，讲些要点，或者从⼀些具体例⼦⼊⼿，必有疏漏，希望能对⼤家有些帮助就好。
⼀. 计算的基本规律1. 加法交换律：a+b=b+a；例如4+6=6+42. 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)；例如18+73+27=18+(73+27)3. 减法的性质: a-b-c=a-(b+c)；例如150-78-22=150-(78+22)4. 乘法交换律：a×b=b×a；例如5×4=4×55. 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c)=(a×b)×c；例如7×4×25=7×(4×25)以上的性质都可以认为是带符号搬家的法则，应⽤的条件是对于同级运算中适⽤。
6. 乘法分配律：左分配律a×(b+c)=a×b+a×c；例如4×(25+4)=4×25+4×4右分配律(b+c)×a=b×a+c×a；例如(25+4)×4=25×4+4×47. 除法分配律：右分配律(b+c)÷a=b÷a+c÷a；例如(24+16)÷8=24÷8+16÷8，注意此处经常存在反⽤的题⽬，例如70÷11+18÷11=(70+18)÷11=8除法没有左分配律，48÷(8+16)不等于48÷8+48÷16⼆. 计算基本⽅法技巧(从⼀些具体题⽬⼊⼿，⼤家看看寻求和要求类似的⽅法)1. 凑整之互补数：137+49+144+51+263+56=_________2. 凑整之尾数相同：5374-2362-1734+362=_________3. 凑整之补数，补成整数：1999+999+98+97+9= _________4. 凑整之补数，补成互补数：435+2789+564+210=_________(温鑫提⽰：435+210=434+211)5. 位值原理：1234+2341+3412+4123=_________(温鑫提⽰：个⼗百千每位和都是10，再考虑进位，答案是11110)6. 等差数列相关，分组法：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+……-20+21=_________ 1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+97+98-99=7. 基准数法：54+52+53+48+47+49+51+46= (温鑫提⽰：以50为基准数，那么题⽬可以变为4+2+3-2-3-1+1-4，然后再加上400即可)8. 乘法分配率：50+(2+3)×5的括号脱掉等于什么样的形式?50-(2+3)×5的括号脱掉等于什么样的形式?9. 提公因数法：7×22+7×35-7×17=________(显含公因数)28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62= (不显含公因数)55×66+66×77+77×88+88×99=_______72÷4+72÷8+24÷4+24÷8=_______ (易错题，应该怎么提？)10. 头同尾和⼗：对于前⾯的头相同，⽽尾数相加为⼗的问题，两个因数⼗位上的数乘本⾝加1的和的积写在得数的前两位或前⼀位上；两个因数个位上数的积写在得数的后两位上，如果两个个位上数的积不满10，就要在前⾯添012×18=216 75×75=5625 111×119=1320945×45= ？121×129= ？11. ⼀些特殊乘积的记忆2×5=10；4×25=100；8×125=1000；16×625=100002×142857=285714，3×142857=428571 4×142857=5714285×142857=714285 6×142857=857142 7×142857=9999997×11×13=1001 37×3=11 27×37=999 12345679×9=111111111(九个1)ababab=ab×10101 abcabc=abc×1001=abc×7×11×13 abcdabcd=abcd×10001(其中连续字母都表⽰数字位数，并⾮乘积)11×11=121 12×12=144 13×13=169 14×14=196 15×15=22516×16=256 17×17=289 18×18=324 19×19=36112. 平⽅差，平⽅和和⽴⽅和公式，公式在论坛上实在不好打出，这⾥就不写了。
大学生数学竞赛十八讲
大学生数学竞赛十八讲引言大学生数学竞赛是对大学生数学能力的一种考试形式，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将介绍大学生数学竞赛中的十八个重要学习内容，并提供相关的解题技巧和方法。
1. 函数与图像函数与图像是数学竞赛中的基础知识，学生需要掌握函数的定义、性质和图像的绘制方法。
在解题过程中，可以利用函数与图像来辅助计算和理解问题。
2. 极限与连续极限与连续是数学竞赛中的重要概念，学生需要掌握极限的定义、性质和计算方法。
通过对极限的理解，可以推导出连续函数的性质以及极限值的计算。
3. 一元函数微分学微分学是数学竞赛中的常见考点，学生需要掌握函数的导数定义、性质和计算方法。
在解题过程中，可以利用导数来研究函数的变化趋势和优化问题。
4. 一元函数积分学积分学是数学竞赛中的常见考点，学生需要掌握函数的积分定义、性质和计算方法。
通过对积分的理解，可以解决曲线下面积、弧长和体积等相关问题。
5. 二元函数与极值二元函数与极值是数学竞赛中的一种高阶知识，学生需要掌握二元函数的定义、性质和极值的计算方法。
通过对极值的研究，可以解决函数在特定范围内的最优值问题。
6. 无穷级数无穷级数是数学竞赛中的一种特殊数列，学生需要掌握收敛与发散的判定方法和常见无穷级数的性质。
通过对无穷级数的理解，可以解决一些有趣的数学问题。
7. 空间解析几何空间解析几何是数学竞赛中的一种几何学知识，学生需要掌握立体几何的基本概念、性质和计算方法。
通过对空间几何的研究，可以解决空间图形的位置关系和距离计算等问题。
8. 常微分方程常微分方程是数学竞赛中的一种高阶数学知识，学生需要掌握常微分方程的基本概念、性质和解法。
通过对常微分方程的理解，可以解决一些实际问题和动力系统的分析。
9. 线性代数线性代数是数学竞赛中的一种重要数学工具，学生需要掌握向量、矩阵和线性方程组的基本概念和计算方法。
通过对线性代数的学习，可以解决空间向量的运算和线性方程组的求解问题。
技术分析-18日均线法
股
2004年3月30日跌破止损价卖出
侥幸 贪婪……执行不利的严重后果!
『 第 三 篇 』
大赚小赔法
----十 八 日 均 线 法
认 识 市 场 一
证券市场，谁是主角？
18日均线中线买入法
股价下跌一段后。。。
买入条件：今日收盘价站上18 日均线千分之四，且18日均线 走平或走多
明日以集合 竞价买入
玩水先学会什么？
游泳
开车先学会？ 交通规则
投资股票要先学会？
控制风险
就可以 大胆买进
您就是那赚钱的人！
『 第 二 篇 』
永 不 套 牢 法
想在股票市场获利,首 先从停损开始 。。。
永不套牢法原理：控制风险
永 不 套 牢 法
※ 标 准 停 损 法
※ 进 阶 停 损 法
1、反转向下的头部 2、回档的头部
1000
8% 10% 6%
2000
8% 10% 6%
3000
8% 10%
我们需要掌握正确的方法！
股 市 状 况 之 一
大多数人： 尽管上一轮牛市从998点到最高的 6124点涨了6倍多，到现在的2200点 仍然涨了2倍多，但大部分的投资者 没赚到钱！ 买了就跌，卖了就涨
怎么做都不会赚钱
每次都是赚少赔多 大牛股我买到过,可是只赚了一点点
头部最高收盘价 止损价
9.5 元
买进价
9元
8.5元买人头部形成，跌破止损价止损，赢利0.5元 9元买人头部形成，跌破止损价止损，赢利0元 9.5元买人头部形成，跌破止损价止损，赢利-0.5元 10元买人头部形成，跌破止损价止损，赢利-1元
9元
8.5 元
最大的损失可以控制在10%
分数加减法速算技巧
分数加减法速算技巧分数加减法是数学中的基础知识，也是我们日常生活中经常会用到的计算方法。
在学习分数加减法时，我们需要掌握一些速算技巧，以便更快速、准确地完成计算。
本文将介绍一些常用的分数加减法速算技巧。
一、通分通分是分数加减法中最基本的技巧之一。
通分的目的是将两个或多个分母不同的分数转化为分母相同的分数，以便进行加减运算。
通分的方法有两种：1. 找到两个或多个分数的公共分母，将分子分别乘以相应的倍数，使得分母相同。
例如，计算1/3 + 1/4，我们可以将1/3乘以4/4，将1/4乘以3/3，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
2. 将两个或多个分数的分母相乘，得到它们的公共分母，然后将分子分别乘以相应的倍数，使得分母相同。
例如，计算1/3 + 1/4，我们可以将它们的分母相乘，得到12，然后将1/3乘以4/4，将1/4乘以3/3，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
通分的优点是可以将分数化简为最简分数，但通分的缺点是需要进行乘法运算，计算量较大。
二、分解分数分解分数是一种将分数拆分成整数和真分数的方法。
分解分数的目的是将分数转化为更容易计算的形式，以便进行加减运算。
分解分数的方法有两种：1. 将分数拆分成整数和真分数，然后将整数和真分数分别进行加减运算。
例如，计算5/3 + 2/3，我们可以将5/3拆分成1 + 2/3，得到1 + 2/3 + 2/3 = 2 + 1/3。
2. 将分数拆分成整数和真分数，然后将整数和真分数分别进行加减运算，最后将结果化简为最简分数。
例如，计算7/4 + 3/2，我们可以将7/4拆分成1 + 3/4，将3/2拆分成1 + 1/2，得到1 + 3/4 + 1 + 1/2 = 2 + 1/4，化简为9/4。
分解分数的优点是可以将分数转化为更容易计算的形式，但分解分数的缺点是需要进行拆分和加减运算，计算量较大。
三、约分约分是将分数化简为最简分数的方法。
约分的目的是使分数的分子和分母互质，以便更方便地进行计算。
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专题十八 化学计算中的解题方法与技巧 专题新平台 【直击高考】 1．掌握相对原子质量、相对分子质量、物质的量、气体摩尔体积、溶解度、溶液浓度（溶质的质量分数和物质的量浓度）、pH与氢离子浓度及氢氧根离子浓度、燃烧热、分子式与化学方程式等方面的计算。在每年的高考试卷中，涉及此类计算内容的题型主要有I卷中的选择（约占8%）和II卷中计算（约占15%），在其余的填空部分，也可能出现少量的计算内容。 2．能将化学问题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识），解决化学问题。此类试题主要以题示信息为背景，以课本知识为依托，主要考查学生对课本知识的理解和综合应用。 【难点突破】 1．化学计算的常用方法 （1）守恒法：包括原子个数守恒、得失电子守恒、电荷守恒法、质量守恒法等。 （2）极值法： 从问题的极端去思考、去推理、判断，使问题得到解决。 （3）讨论法：当题中含有不确定的因素时，对每一种可能情况进行的讨论。 （4）量量关系法：利用已知量物质与未知量物质之间的关系来解题。 （5）数形结合法：将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形互为渗透、互相补充。 （6）差量法：运用前后量的差，根据方程式中的计量数的关系直接求解。 2．化学计算的常用技巧 （1）定量问题定性化；（2）近似估算；（3）运用整体思维，化繁为简；（4）利用图象解题等等。 3．解题注意点 （1）注意解题规范格式 这方面主要是指要带单位运算和利用化学方程式计算时的规范格式；注意分步作答。每年国家考试中心的评分标准都是分步计分，往往分步计分之和不等于总分。 （3）注意有效数字的取用 近年来有效数字的取用越来越重视，在平时的练习中就要引起注意。 3．命题趋向 由于高考中的化学计算部分主要分布在试卷的最后，因此，综合性、应用性较强。从近几年的试卷来看，在晶体结构、速率与平衡多次考查后，今年的考试将会在有机及无机的应用性试题上做文章，将会进一步强化物质的量及其浓度的考查。
专题新例析 【例1】 将KCl和KBr的混和物13.4 g溶于水配成500 mL溶液，通入过量Cl2,反应后将溶液蒸干，得固体11.175 g ,则原所配溶液中K+、Cl－、Br－的物质的量浓度之比为（ ） A．3∶2∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶2 D．2∶1∶3 【解析】根据溶液中阴阳离子电荷守恒分析而快速获解。因原溶液呈电中性，所以n(K+) = n(Cl－) + n(Br－), 对照选项，只有A符合。 【答案】 A 。 【点评】 该题若利用质量进行分析求解，既繁又慢，而且容易出错。 【例2】 某不纯的烧碱样品，含Na2CO3 3.8%（质量百分含量）、H2O 5.8%、NaOH 0.004% 。取m g样品溶于2 mol/L盐酸40 mL后，并用2 mol/L NaOH溶液中和剩余的酸，在蒸发后可得干燥的固体的质量为（ ） A．4.68 g B．5.58 g C．2.34 g D．2.34 m g 【解析】根据氯元素守恒( HCl～NaCl )，n(NaCl) = n(HCl) =2mol/L×40×10—3L = 8×10—2 mol，干燥固体质量为8×10—2mol×58.5g/mol = 4.68g。 【答案】 A 【点评】 “含Na2CO3 3.8%、H2O 5.8%、NaOH 0.004%”是该题的无效信息，对学生答题起到了干扰作用。如果利用此数据，因固体质量未知，便无法获解。 【例3】有Na2CO3，NaHCO3，CaO和NaOH组成的混合物27.2 g ，把它们溶于足量的水中充分反应后，溶液中Ca2+、CO32-、HCO3-均转化为沉淀，将反应容器内水分蒸干，最后得到白色固体物质共29 g，则原混合物中Na2CO3的物质的量是多少？ 【解析】由题意可知，Na2CO3和NaHCO3的物质的量之和必等于CaO物质的量。也等于产物中CaCO3的物质的量，其关系可表示为：
由图可见，固体由27.2 g 增重到29 g ，是由于x mol Na2O结合29g— 27.2g = 1.8 g水，并得到2x molNaOH ，而x mol Na2O由x mol Na2CO3得到。根据 Na2CO3 ～ Na2O ～ H2O 1mol 18g x mol 1.8g 解得： x = 0.1（mol） 【答案】 0.1mol 【点评】将反应混合物中各种物质进行拆分，是解答该题的关键。
高考训练新点击 1．把2.1g的CO和H2组成的混合气体与足量的O2充分燃烧后，立即通入足量的Na2O2
反应前固体共重27.2g xmolNa2CO3（Na2O·CO2） ymolNaHCO3（NaOH·CO2） (x+y)mol CaO z mol NaOH
(x+y)mol CaCO3 x mol Na2O y mol NaOH z mol NaOH
反应后固体共29 g （x+y）molCaCO3 （2x+y+z）molNaOH
与水反应后蒸干
CaO和CO2直接得CaCO3 (成分转换) 固体，固体质量的增加值为 ( ) A．3.5g B．2.1g C．4.2g D．无法确定 2．现将Na2CO3·10H2O与NaHCO3组成的混合物mg溶于水，配成100mL溶液，测得溶液中Na+离子的浓度为0.4mol/L,若将溶液蒸干，并灼烧至质量不变。可得到固体质量是 （ ） A．1.68g B．2.12g C．2.55g D．1.06g 3．将由两种金属单质组成的混和物3 g ，投入到水中，在标准状况下收集到气体1.12 L, 不可能形成此混和物的单质组是 ( ) A．Na和K B．Li和Na C．Rb和Ca D．Na和Cu 4．C8H18经多步裂解，最后完全转化为C4H8、C3H6、C2H4、C2H6、CH4五种气体的混合物。该混合物的平均相对分子质量可能是 （ ） A．28 B．30 C．38 D．40 5． 两种金属组成的混合物15g，与足量盐酸反应，在标准状况下生成H211.2 L，则下列各组金属中，肯定不能组成上述混合物的是 （ ） A． Mg Al B． Mg Na C． Fe Al D． Zn Fe 6．等质量的钠、铁、铝分别同一定量等体积、等物质的量浓度的盐酸反应，放出的气体体积不可能是 （ ） A．钠最多 B．铝最多 C．铁最多 D．铝、铁一样多 7．将0.3molCu2S与足量浓硝酸反应，生成硝酸铜、硫酸、一氧化氮、水。则参加反应的硝酸中，未被还原的硝酸物质的量为 （ ） Ａ．1.0mol Ｂ．1.2mol Ｃ．0.3mol Ｄ．2.2mol 8．有镁、铝合金14.7ｇ，全部溶于500ｍＬ6.0ｍol／L的盐酸中充分反应后，再加入400ｍＬ8.0mol/Ｌ的ＮaOH溶液，结果得到沉淀26.3ｇ，则合金中镁、铝的质量分别为 （ ） Ａ．13.5ｇ和1.2ｇ Ｂ．10.2ｇ和4.5ｇ Ｃ．1.2ｇ和13.5ｇ Ｄ．10.9ｇ和3.8ｇ 9．有5.1gMg-Al合金，投入500mL2mol／L盐酸溶液中，金属全部溶解后，再加入4mol／LNaOH溶液，若要达到沉淀最大值，则加入NaOH溶液的体积应为 （ ） Ａ．250mL Ｂ．425mL Ｃ．500mL Ｄ．560mL 10．将4.3gNa，Na2O,Na2O2的混合物与足量水充分反应后，在标况下得到672mL混合气体，将该混合气体通过放电，恰好完全反应，则它们的物质的量之比为 （ ） Ａ．1︰1︰1 Ｂ．1︰1︰2 Ｃ．1︰2︰1 Ｄ．4︰3︰2
11．由4种元素组成的化合物，其化学式为AxByCzDw相对分子质量（分子量）为117.5，性质很不稳定，容易爆炸。取1.88g该化合物引爆后，生成0.432 g B2D的蒸气、358.4 mL BC气体、448 mL D2气体和一定量气体A2（气体体积均在标准状况下测定）。已知爆炸产物分解产物分别有以下性质：（1）BC与B2D的蒸气相遇产生白雾，将BC通入用稀HNO3酸化的AgNO3溶液中，可析出白色沉淀 。（2）B2D通常为液态，低于0℃可凝成固体。（3）带火星的木条可在D2中复燃。燃着的木条放在A2中熄灭，而燃着的镁条却能在A2中燃烧，且生成相对分子质量为100的固态二元化合物。试确定原化合物的化学式，并写出引爆时的化学方程式。 12．等物质的量的NaHCO3和KHCO3的混合物9.20g与100mL盐酸反应。 （1）试分析，欲求标准状况下生成的CO2的体积时，还需什么数据 （用a、b等表示，要注明单位）。 （2）利用所确定的数据，求标准状况下生成的CO2的体积： 所需数据的取值范围 生成CO2的体积（标准状况）
盐酸不足时 盐酸过量时 (3)若NaHCO3和KHCO3不是等物质的量混合，则9.2g固体与盐酸完全反应时，在标准状况下生成CO2气体的体积大于 L，小于 L 。
13．将一定量的氯酸钾与3.48 g二氧化锰组成的混合物加热一段时间后共收集到氧气0.336 L(标准状况)，然后将残留固体加入到足量浓盐酸中共热，使之与浓盐酸充分反应，
再将生成的气体全部通入到100 mL1 mol/L的溴化亚铁溶液中，有12的溴离子被氧化成单质。求氯酸钾的分解百分率。
14．现有氧化铜和炭粉的混合物共a mol，将它在隔绝空气的条件下加热。完全反应后，冷却，得到固体残留物。 （1）写出可能发生反应的化学方程式。 （2）若氧化铜在混合物中物质的量的比值为x（0＜ x＜1），问：x为何值时，残留