直线与圆

授课主题 直线与圆 教学目的 直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系 教学重点 直线与圆的位置关系

教学内容

1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角： ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____与直线l____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______． ②倾斜角的取值范围为________． (2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.

2．直线的方程 (1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为____________，它不包括__________的直线． (2)斜截式：已知直线在y轴上的截距b和斜率k，则直线方程为__________，它不包括垂直于x轴的直线． (3)两点式：已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则直线方程为______________，它不包括垂直于坐标轴的直线． (4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距分别为a，b(其中a≠0，b≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线． (5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式． 一、直线的倾斜角与斜率 【例1】(1)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )．

A．0，π4 B．3π4，π

C．0，π4∪π2，π D．π4，π2∪3π4，π (2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为__________．

方法提炼 直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与

斜率的关系时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈

0，π

2

时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0) 二、直线方程的求法 【例2】已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．

方法提炼 求直线方程的方法主要有以下两种： (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

易忽视过原点的直线而致误 【典例】过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．

解析：(1)当过原点时，直线方程为y＝－43x，

(2)当不过原点时，设直线方程为xa＋y－a＝1，即x－y＝a. 代入点(3，－4)，∴a＝7，即直线方程为x－y－7＝0. 答案：y＝－43x或x－y－7＝0 答题指导：解决与直线方程有关的问题时，要注意以下几点：

(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义； (2)掌握确定直线的两个条件； (3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义； (4)注意逆向思维、发散思维的训练．

【变式训练】 1．直线x－3y＋a＝0(a为常数)的倾斜角α为( )．

A．π6 B．π3 C．23π D．56π 2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )． A．3x－3y＋6＋3＝0 B．3x－3y－6＋3＝0 C．3x＋3y＋6＋3＝0 D．3x＋3y－6＋3＝0 3．已知A(3,1)，B(－1，k)，C(8,11)三点共线，则k的取值是( )． A．－6 B．－7 C．－8 D．－9 4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )． A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 5．若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围是__________．

1．圆的定义 在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是____和____． 2．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中______为圆心，____为半径长． 特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________． 3．圆的一般方程 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

(1)当____________时，表示圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F的圆；

(2)当____________时，表示一个点－D2，－E2； (3)当____________时，它不表示任何图形； 4．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点M(x0，y0)， (1)点在圆上：____________________； (2)点在圆外：____________________； (3)点在圆内：____________________. 一、求圆的方程 【例1－1】圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )． A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 【例1－2】已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？

【变式练习】1．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为( )． A．x2＋(y－3)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1 2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )． A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1 3．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为__________． 4．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝__________. 二、与圆有关的最值问题

【例2】若实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则yx＋1的最大值为__________，最小值为__________．

方法提炼 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：

(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 (x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 三、与圆有关的轨迹问题 【例】如右图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2

的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹

方程．

易忽视斜率不存在的直线而致误 【典例】(12分)从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线方程． 规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.(2分)

∵圆心为(1,1)，半径长r＝1，

∴|k－1＋3－2k|k212＝1，∴k＝34.(6分)

∴所求切线方程为y－3＝34(x－2)， 即3x－4y＋6＝0.(8分) 当切线斜率不存在时，因为切线过点P(2,3)，且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2. 综上，所求切线方程为x＝2或3x－4y＋6＝0.(12分) 答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上

一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上． 1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )． A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 2．(2012安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )． A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )． A．2－1 B．2－2 C．2 D．2－1与2＋1 4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )． A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 5．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．

1．直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种：____、____、____. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： ①代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算

判别式Δ＝b2－4ac ＞0⇔ ，＝0⇔ ，＜0⇔ . ②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系： d＜r⇔____，

d＝r⇔____，

d＞r⇔____.