2015-2016学年天津市五区县高三(上)期末数学试卷(理科)【详细解析】

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天津市河北区2016-2017学年高三上学期期末质量调查理数试卷Word版含解析

天津市河北区2016-2017学年高三上学期期末质量调查理数试卷一、选择题：共8题1．设集合，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得,所以=.选C.2．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为A.4B.11C.12D.14【答案】B【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图所示;,,.当过点时,目标函数取得最大值.选B.3．如图，在中，若，，，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查余弦定理.由余弦定理得:,代入数据得,解得.选C.4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为A.57B.120C.183D.247【答案】B【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次：；循环2次：；循环3次；循环4次：；循环5次：,满足条件,结束循环,输出的值为120.选B.5．已知,，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查指数、对数函数,充要条件.“”等价于“”;而“”可得“”,即充分性成立;反之不成立,即必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.选A.6．已知双曲线，)的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质.抛物线的准线为;双曲线的两条渐近线为,联立与,可得,,而的面积,即=;而双曲线中,所以,即,即双曲线的离心率.选B.【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.7．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为,所以,;所以======;当时,取得最大值5;当时,取得最小值2;即的取值范围是.选C.8．已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查函数与方程,导数的几何意义.画出函数的图像,如图所示;若恰有三个不相等的实数解,则的图像与有3个交点;当时,它们恰有2个交点;向上平移,当函数与相切时,它们恰有2个交点,此时,即,,即切点为,;而过切点,,代入可得;由图可得.即的取值范围是.选D.二、填空题：共6题9．已知，，若为纯虚数，则实数的值为．【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.==,其为纯虚数,所以,解得.10．的展开式中的常数项为．(用数学作答)【答案】【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式=,令,即,可得.11．几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为．【答案】【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.该空间几何体为四棱锥;,所以该几何体的体积V.12．直线()与圆相交于、两点，若，则的值是．【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆的圆心为,半径;而,所以圆心到直线的距离,解得.【备注】点到线的距离公式.13．设，则的最小值是．【答案】【解析】本题考查基本不等式.==4(当且仅当时等号成立).即的最小值是4.14．定义在上的奇函数是周期为2的周期函数，当时，，则的值为．【答案】【解析】本题考查指数、对数函数,函数的性质.由题意得======.三、解答题：共6题15．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求在上的单调递增区间．【答案】(1)∵====；∴的最小正周期．(2)由(1)可知，令，函数的单调递增区间是，可得，则，，所以，当时，的单调递增区间为．【解析】本题考查三角函数的性质,三角恒等变换.(1)经三角恒等变换得=,∴;(2)由(1)可知，求得在上单调递增．16．甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．(1)求甲至多击中目标2次的概率；(2)记乙击中目标的次数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)∵甲次均击中目标的概率为，∴甲至多击中目标目标2次的概率为．(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3．，，，．∴随机变量的分布列为∴随机变量的数学期望．【解析】本题考查随机变量的分布列与数学期望.(1)∵甲次均击中目标的概率为,∴甲至多击中目标目标2次的概率为;(2)求得，，，．列出的分布列,求得．17．如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求锐角三角形的余弦值．【答案】(1)证明：依题意，平面；如图,以为原点,分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得，，，，，，．∵，，∴，∴.(2)证明：取的中点，连接．∵，，，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．(3)解:∵，，，∴平面；故为平面的一个法向量．设平面的法向量为；∵，，∴，即；令，得，，故，∴；∴锐二面角的余弦值为．【解析】本题考查线面平行与垂直,空间向量的应用.(1)平面,建立恰当的空间直角坐标系;求得,∴.(2)证得,∴,∴平面.(3)为平面的法向量;求得平面的法向量,求得,∴锐二面角的余弦值为．18．设数列满足条件，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)∵，，∴)，∵当时，式子也成立，∴数列的通项公式．(2)解：∵，即：，，，…∴．设，①则，②①②，得，∴，∴．【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)累加得．(2)，∴．设,错位相减得，∴．19．已知椭圆:经过点，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为，为椭圆上的一点，当的面积最大时，求点的坐标．【答案】(1)由椭圆经过点，离心率，可得，解得；∴椭圆的方程为．(2)由(1)可知，，则直线的方程为，即，直线的方程为，由点在椭圆上的位置易知直线的斜率为正数．设为直线上任意一点，则，解得或(舍去)，∴直线的方程为．设过点且平行于的直线为，由整理得，由，解得，因为为直线在轴上的截距，依题意，故.∴点的坐标为．【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得,解得,∴椭圆为．(2)先求得直线为．联立方程,套用根与系数的关系得.∴点的坐标为．20．已知函数且)．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间和极值；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)∵当时，，，∴，，∴；即所求切线方程为．(2)∵．当时，由，得；由，得或．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和，∵，，∴当时，函数的极大值为0，极小值为．(3)，∵在区间上单调递减，∴当时，，当时，．∵不等式恒成立，∴，解得；故的取值范围是．【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用.(1)求导得切线方程为．(2)求导,分类讨论得在上单增,在和上单减,∴的极大值,极小值．(3)求得，,∵恒成立,∴,解得．。

《解析》天津市红桥区2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，每小题都给出代号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（）A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤02．设p、q是两个命题．如果命题p是命题q的充分不必要条件．那么￢p是￢q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜ D．﹣1＜x＜64．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或45．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2 D．47．焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A． B．C． D．8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（1，0）D．（0，）10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，﹣3）到焦点的距离为5，則抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=﹣4y D．x2=﹣8y11．已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条12．已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程ax﹣y+b=0与bx2+ay2=ab所表示的曲线可能是（）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共24分）13．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是．14．已知直线l过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行．则直线l的方程是．15．已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是．16．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．17．己知双曲线的焦点在x轴上．两个顶点的距离为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为．18．若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．19．已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点A（3，2），则|MA|+|MF|的最小值=．20．有红盒、黄盒、蓝盒各一个，只有﹣个盒子里有金币．红盒上写有命题p：金币在这个盒子里；黄盒上写有命题q：金币不在这个金子里；蓝盒上写有命题r：金币不在红盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则金币在盒子里．三、解答题（本题共4小题，共40分）21．已知两条直线l1：x﹣ay=0（a≠0），l2：x+y﹣3=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线l3经过l1与l2的交点，且经过点A（2，4），求直线l3的方程．22．圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程．23．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．24．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．2015-2016学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分，每小题都给出代号为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（）A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0C．∀x∈R，x2+x+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，故选：B．2．设p、q是两个命题．如果命题p是命题q的充分不必要条件．那么￢p是￢q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若命题p是命题q的充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性得命题￢q是命题￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B3．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜ D．﹣1＜x＜6【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】通过解二次不等式求出2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件．【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件故选D4．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C．5．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出椭圆在平面坐标系中的图象，由图象可知三角形ABC为等比三角形，所以得到2b等于a并用b表示a，又根据椭圆的基本性质可知a2=b2+c2，把a等于2b代入即可用b表示出c，然后根据离心率e=，分别把a与c的式子代入，约分后即可得到值．【解答】解：由题意画出椭圆的图象，得到△ABC为等比三角形，则a=2b，则根据椭圆的性质得到：a2=b2+c2=4b2，解得c=b，所以e===．故选A．6．已知椭圆+=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得椭圆+=1的b=5，c=4，a==，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故选：D．．7．焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设所求的双曲线方程是，由焦点（0，6）在y 轴上，知k＜0，故双曲线方程是，据c2=36 求出k值，即得所求的双曲线方程．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，故所求的双曲线方程是，故选B．8．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，在直角三角形MOF2中可得tan∠OMF2==，进而可得b和c的关系式，进而根据a=求得a和b的关系式．最后代入离心率公式即可求得答案．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2=60°，∴tan∠OMF2===，即c=b，∴a==b，∴e==．故选B．9．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（，0）C．（1，0）D．（0，）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将方程化成标准形式，即x2=y，求出p=，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故选：A．10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，﹣3）到焦点的距离为5，則抛物线方程为（）A．x2=8y B．x2=4y C．x2=﹣4y D．x2=﹣8y【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设抛物线的方程，利用抛物线上一点A（m，﹣3）到焦点F的距离为5，建立两个方程，即可求得正数m的值，及此抛物线的方程．【解答】解：依题意，设抛物线方程为为x2=﹣2py （p＞0）点P在抛物线上，到准线的距离为5，又点P到x轴的距离为3，所以准线到x轴的距离为2，∴=2，∴p=4，∴抛物线方程为x2=﹣8y．故选：D．11．已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】由双曲线方程可知其渐近线为y=y=±2x，分别考虑所求直线的情况有①直线的斜率不存在②与渐近线平行【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选B12．已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程ax﹣y+b=0与bx2+ay2=ab所表示的曲线可能是（）A． B． C． D．【考点】曲线与方程．【分析】先把曲线方程整理成=1的形式，直线方程整理成y=ax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象．【解答】解：把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+bA，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）13．在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是150°．【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为，设倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，180°），所以α=150°；故答案为：150°．14．已知直线l过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行．则直线l的方程是x+2y+2=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设与直线x+2y﹣l=0平行的直线方程为+2y+c=0，再把点A（﹣2，0）代入，求出c，从而得到结果．【解答】解：设与直线x+2y﹣l=0平行的直线方程为x+2y+c=0，把点A（﹣2，0）代入，得﹣2+0+c=0，解得c=2，∴过点A（﹣2，0）且与直线x+2y﹣l=0平行的直线方程为x+2y+2=0．故答案为：x+2y+2=0．15．已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【考点】圆的一般方程．【分析】根据条件求出圆心和半径即可得到结论．【解答】解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），则半径r=1，则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．离心率e=，一个焦点是F（0，﹣3）的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】先设出椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．【解答】解：由题设椭圆的焦点在y轴上，设方程为：，由题得：解得所以椭圆标准方程为故答案为：．17．己知双曲线的焦点在x轴上．两个顶点的距离为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得a=1，运用点到直线的距离公式，可得b，进而得到渐近线方程．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得a=1，设焦点F为（c，0），可得F到渐近线y=x的距离为=b=，可得渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．18．若直线l过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=．【考点】抛物线的应用．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，可得焦点坐标．进而可得l被抛物线截得的线段长，进而求得a．【解答】解：抛物线方程整理得x2=y，焦点（0，）l被抛物线截得的线段长即为通径长，故=4，a=；故答案为．19．已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点A（3，2），则|MA|+|MF|的最小值=4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|进而把问题转化为求|MA|+|MD|取得最小，进而可推断出当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，答案可得．【解答】解：设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．20．有红盒、黄盒、蓝盒各一个，只有﹣个盒子里有金币．红盒上写有命题p：金币在这个盒子里；黄盒上写有命题q：金币不在这个金子里；蓝盒上写有命题r：金币不在红盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则金币在黄盒子里．【考点】进行简单的合情推理．【分析】假设p真，推出不满足条件，可得p是假的，即金币不在红盒里；假设q是真的，退出不满足条件，故q是假的，即金币藏在黄盒里．【解答】解：金币藏在黄盒里．原因是：①若是红盒子的命题p是真的，那么命题q是真的，r是假的，不满足条件，故p是假的，即金币不在红盒里．②若q是真的，则r也是真的，不满足条件，故q是假的，即金币藏在黄盒里．故答案为：黄．三、解答题（本题共4小题，共40分）21．已知两条直线l1：x﹣ay=0（a≠0），l2：x+y﹣3=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线l3经过l1与l2的交点，且经过点A（2，4），求直线l3的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用直线垂直，得到系数的关系，求a；（2）利用（1）的结论，解方程组求出直线的交点，然后利用待定系数法求直线方程．【解答】解：（1）由l1⊥l2，∴A1B2﹣A2B1=0，…2'∴1﹣a=0即a=1…3'（2）…4'交点坐标为（1.5，1.5）…6'设直线l3的方程为：y=kx+b由直线l3过点（2，4）和点（1.5，1.5），得直线l3的方程为5x﹣y﹣6=0…8'22．圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心，求出半径，设直线方程，注意斜率存在时设为k，用圆心到直线的距离公式，求出k的值可得直线方程．斜率不存在时直线为x=0，只需验证弦长是否是8即可，是则此直线也符合要求．【解答】解：x2+y2﹣6x﹣8y=0即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，斜率存在时设所求直线为y=kx．∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，∴，∴9k2﹣24k+16=9（k2+1），∴．∴所求直线为y=；当斜率不存在是直线为x=0，验证其弦长为8，所以x=0也是所求直线．故所求直线为：y=或x=0．23．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的焦点和离心率，进而根据题意求得双曲线的焦点和离心率，进而求得双曲线方程得长轴和短轴，则双曲线方程可得．【解答】解：依题意可知椭圆方程中a=5，b=3，∴c==4∴椭圆焦点为F（O，±4），离心率为e=所以双曲线的焦点为F（O，±4），离心率为2，从而双曲线中求得c=4，a=2，b=．所以所求双曲线方程为24．已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．2016年5月11日。

【精品】2015-2016年天津市五区县高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为13．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=18．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在平面直角坐标系中，直线y=2x+1的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为直线y=2x+1，k=2，b=1，因为k＞0，则直线y=2x+1一定经过第一，三象限，又因为b＞0，则直线与y轴的正半轴相交，所以直线直线y=2x+1一定过第一，二，三象限，故不经过第四象限，故选：D．2．（4分）下面关于命题“p：所有抛物线的离心率为1”的说法正确的是（）A．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1B．p是特称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1C．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率不为1D．p是全称命题，￢p：存在一条抛物线的离心率为1【解答】解：“p：所有抛物线的离心率为1”为全称命题，￢p：“存在一条抛物线的离心率不为1“，故选：C．3．（4分）如图是一个球体和锥体的组合体的三视图，则这个组合体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可知几何体的下部为圆锥，上部为球，圆锥的底面半径为1，高为3．球的半径为1．∴V=+=．故选：A．4．（4分）已知函数f（x）=x2e x的导函数为f′（x），则f′（1）等于（）A．﹣e B．2e C．3e D．2+e【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x，∴f′（1）=2×1×e+1×e=3e，故选：C．5．（4分）已知直线l，m，平面α，且l⊥α，则l⊥m是m⊂α的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵l⊥α，若m⊂α，则l⊥m，反之不成立，∴l⊥m是m⊂α的必要而不充分条件．故选：B．6．（4分）若双曲线=1的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=C．y=D．y=【解答】解：因为双曲线=1的离心率为，所以=，所以1+=5，所以=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x．故选：A．7．（4分）以抛物线y2=2x的焦点为圆心的圆与该抛物线的准线相切，则圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=4B．x2+（y﹣）2=1C．（x﹣1）2+y2=4D．（x﹣）2+y2=1【解答】解：抛物线y2=2x的焦点为圆心坐标为：（），准线方程为：x=﹣，圆的半径为：1．圆的方程为：（x﹣）2+y2=1．故选：D．8．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（）A．点P在椭圆C外B．点P在椭圆C内C．点P在椭圆C上D．点P与椭圆C的位置关系不能确定【解答】解：由题意可知，若M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a，由点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，即有|PF1|+|PF2|＞|MF1|+|MF2|，得出点P在椭圆外部，故选：A．9．（4分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AB中点D，BC中点E，连结SD、SE、DE，∵在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，AC=3，BC=4，SA=SB=，平面SAB⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC，DE⊥BC，∴SE⊥BC，∴∠SED是二面角S﹣BC﹣A的平面角，且SD==，DE==，SD⊥DE，∴tan∠SED===．∴∠SED=60°．∴二面角S﹣BC﹣A的大小为60°．故选：C．10．（4分）若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由x3﹣ax2+1=0得x3+1=ax2，当x=0时，方程不成立，则方程等价为a=x+，设f（x）=x+，则f′（x）=﹣=，由f′（x）=0得x=2，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当2＜x＜5时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，即当x=2时，f（x）去掉极小值f（2）=×2+==，则f（x）对应的图象为，当x=5时，f（5）=×5+=＜，∴若a＞，则方程x3﹣ax2+1=0在区间（0，5）内实数根的个数是1个，故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）对角线的长为的正方体的表面积为6．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵对角线的长为，∴=，解得a=1，∴正方体的表面积S=6×12=6．故答案为：6．12．（4分）已知命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，则实数a=1．【解答】解：∵命题p：a∈{x|x≥1}是真命题，∴a≥1，命题q：a∈{x|x＞1}是假命题，∴a≤1．∴a=1．故答案为：1．13．（4分）曲线y=在点（，）处的切线的方程是4x﹣4y+1=0．【解答】解：y=的导数为y′=，在点（，）处的切线斜率为k==1，可得在点（，）处的切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故答案为：4x﹣4y+1=0．14．（4分）已知直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，则实数a=．【解答】解：∵直线l1：y=k（x﹣2）﹣1与圆x2+y2=4只有一个公共点，∴=2，∴k=．∵直线l2：y=ax+1与直线l1垂直，∴a=．故答案为：．15．（4分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，满足|PF1|=6|PF2|，则该双曲线离心率的最大值为．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=6|PF2|，可得|PF2|=a，又|PF2|≥c﹣a，即有a≥c﹣a，可得c≤a，即有e=≤，当P为双曲线的右顶点时，e取得最大值．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）16．（12分）已知点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，）满足线段MF的中点在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为…（1分）∴线段MF的中点为…（3分）∵线段MF的中点在抛物线C上，∴，∵p＞0，∴…（5分）∴抛物线C的方程为y2=x…（6分）（2）直线MF的方程为，即，…（8分）与y2=x联立消去y得，16x2﹣10x+1=0…（9分）解得或，…（10分）当时，；当时，，∴或∴…（12分）17．（12分）已知直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行．（1）求a的值；（2）若圆心在直线l：y=x+1上的圆与直线l1，l2均相切，求圆的方程．【解答】解：（1）∵直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：（a+7）x+ay+6=0（a∈R）平行，∴，…（3分）解得a=﹣4．…（5分）（2）设直线l1：3x﹣4y﹣4=0与直线l2：3x﹣4y+6=0的距离为d，在直线l1上取点（0，﹣1），∴，…（7分）∴圆的半径为．…（8分）设直线l1与直线l的交点为A，由得A（﹣8，﹣7），…（9分）设直线l2与直线l的交点为B，由得B（2，3），…（10分）∵线段AB的中点就是圆心∴圆心坐标为（﹣3，﹣2），…（11分）∴所求圆的方程为（x+3）2+（y+2）2=1，即x2+y2+6x+4y+12=0．…（12分）18．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，BA⊥平面ADEF，DE⊥AF，AF=1，AD=2．（1）求异面直线BF与CD所成角的正弦值；（2）证明：平面CDE⊥平面ABF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，…（1分）∴∠FBA就是异面直线BF与CD所成的角…（2分）∵BA⊥平面ADEF，AF⊂平面ADEF，∴BA⊥AF，…（4分）∵AF=1，，∴在直角△FBA中，…（5分）∴，∴异面直线BF与CD所成角的正弦值为．…（6分）证明：（2）∵BA⊥平面ADEF，DE⊂平面ADEF，∴DE⊥BA，…（7分）由已知DE⊥AF…（8分）∵BA，AF是平面ABF内的两条相交直线，…（9分）∴DE⊥平面ABF，…（10分）∵DE⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF…（12分）19．（12分）已知点P（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过点A（﹣c，c）（c为椭圆C的半焦距）的直线l与椭圆C相交所得弦恰被点A平分，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵点在椭圆C：上∴，∴2a2=3b2…（1分）∵b2=a2﹣c2∴2a2=3a2﹣3c2∴a2=3c2…（3分）∴椭圆C的离心率…（5分）（2）显然，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x+c）+c=kx+（k+1）c…（6分）由（1）知b2=3c2﹣c2=2c2，∴椭圆C的方程为即2x2+3y2=6c2，显然点A在椭圆C内…（7分）设直线l与椭圆C的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），椭圆C的方程与直线l的方程联立消去y得（3k2+2）x2+6k（k+1）cx+3（k+1）2c2﹣6c2=0…（8分）∴…（10分）∵，∴∴3k（k+1）=3k2+2∴…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=﹣4x3+x2+4x﹣1，g（x）=ax﹣a，a∈R．（1）求函数f（x）的极大值、极小值；（2）若在（﹣∞，1）内存在唯一的整数m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1），…（1分）令f′（x）=0，得或，…（2分）在附近，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴是函数f（x）的极小值点，极小值为…（4分）在附近，当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，∴是函数f（x）的极大值点，极大值为…（6分）（2）令f′（x）＞0，得，∴函数f（x）的单调递增区间为…（7分）令f′（x）＜0，得或，∴函数f（x）的单调递减区间为，…（8分）∴根据（1）的结论，函数f（x）的图象大致如下： (10)∵函数g （x ）=a （x ﹣1）的图象恒经过点A （1，0），f （x ）的图象经过点B （0，﹣1），C （﹣1，0）∴直线AB 的斜率为1，AC 的斜率为0， ∵a 是经过点A （1，0）的直线的斜率， ∴可得所求a 的取值范围是0≤a ＜1，此时唯一的整数为0．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2015-2016年天津市和平区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．3844．（5分）设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．27．（5分）记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．108．（5分）已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）二、填空题：每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．（5分）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是．14．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC ﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．16．（13分）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（Ⅱ）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？17．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．18．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（Ⅰ）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=mx﹣6x2﹣2f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分，在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥2}等于（）A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【解答】解：∵M={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜2}，∴∁R（M∪N）={x|x≥2}，故选：D．2．（5分）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数n==21，其和为偶数包含的基本事件个数m==9，∴其和为偶数的概率p===．故选：A．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．8 B．32 C．48 D．384【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=2满足条件n＜8，S=2，n=4满足条件n＜8，S=8，n=6满足条件n＜8，S=48，n=8不满足条件n＜8，退出循环，输出S的值为48．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＜0，解得，∴“﹣1＜x＜6”是“2x2﹣5x﹣3＜0”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故选：C．6．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=2px的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3 D．2【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=36，可得c=3，则离心率e===．故选：A．7．（5分）记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．二、填空题：每小题5分，共30分．9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为2﹣．【解答】解：=．故答案为：．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π11．（5分）在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0到的概率为．【解答】解：∵0＜cosx ，∴x∈（2kπ+，2kπ+）当x∈[﹣，]时，x∈（﹣，﹣）∪（，）∴在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率P==，故答案为：．12．（5分）已知x＞0，y＞0，+=1，则2x+y的最小值为18．【解答】解：∵x＞0，y＞0，+=1，则2x+y=（2x+y）=10++≥10+2=18，当且仅当y=2x=2+8时取等号．故答案为：18．13．（5分）已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，当x∈[0，]时，函数f（x）的值域是[﹣，4] ．【解答】解：函数f（x）=3sin（ωx﹣）+1（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）﹣2的图象的对称轴完全相同，故它们的周期相同，即=，∴ω=2，f（x）=3sin（2x﹣）+1．当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴函数f（x）的值域为[﹣+1，4]，即函数f（x）的值域是[﹣，4]，故答案为：[﹣，4]．14．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是[﹣3，0] ．【解答】解：根据条件，；∵B，D，C三点共线，∴存在实数λ使，0≤λ≤1；∴；∴；∴==1﹣2λ﹣4（1﹣λ）+λ=3λ﹣3；∵0≤λ≤1；∴﹣3≤3λ﹣3≤0；∴的取值范围为[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．三、解答题：共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinA+csinC ﹣asinC=bsinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若C=，b=2，求a和c．【解答】解：（I）由asinA+csinC﹣asinC=bsinB，利用正弦定理可得：=b2，由余弦定理可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．（II）A=π﹣B﹣C=，由正弦定理可得：a===，而sinC==+=．∴c==1+．16．（13分）某企业生产A、B两种产品，现有资源如下：煤360吨，水300吨，电200千瓦．每生产1吨A产品需消耗煤9吨，水3吨，电4千瓦，利润7万元；每生产1吨B产品需消耗煤4吨，水10吨，电5千瓦，利润12万元．（Ⅰ）根据题目信息填写下表：每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）AB（Ⅱ）设分别生产A、B两种产品x吨、y吨，总产值为z万元，请列出x、y满足的不等式组及目标函数．（Ⅲ）试问该企业利用现有资源，生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解答】解：（Ⅰ）每吨产品煤（吨）水（吨）电（千瓦）A934B4105（Ⅱ）x，y满足的不等式组，目标函数z=7x+12y；（Ⅲ）作出不等式组表示的可行域，以及直线l0：7x+12y=0，由，解得M（20，24），平移直线l0，当经过点M（20，24），取得最大值，且为z=7×20+12×24=428．则生产A种产品20吨，B种产品24吨，才能获得最大利润428万元．17．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，∴B1C⊥平面A1BC1，∵B1C⊂平面AB1C，∴平面AB1C垂直平面A1BC1．（Ⅱ）设BC1∩B1C于点E，连DE，∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，∴DE∥A1B，∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．解：（Ⅲ）依题意，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，两底面是边长为2的正三角形，面积均为，侧面BAA1B1和侧面BCC1B1是两个全等的菱形，面积均为2，侧面ACC1A1是一个正方形，面积为4，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为．18．（13分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．19．（14分）已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1，a＞b＞0，则，解得a2=16，b2=12，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）∵椭圆C的方程为，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=，即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x﹣2|，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，由，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），则有，解得，，∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣，﹣）．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（Ⅰ）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（Ⅱ）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（Ⅲ）若g（x）=mx﹣6x2﹣2f（x）在（1，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6，x∈R，f′（x）≥a恒成立，即3x2﹣9x+（6﹣a）≥0恒成立，∴△=81﹣12（6﹣a）≤0，解得：a≤﹣，∴a的最大值是﹣；（2）由f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，∴f（x）极大值=f（1）=+m，f（x）极小值=f（2）=2+m，故f（2）＞0或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有1个实数根，∴m的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣2，+∞）；（3）∵g（x）=﹣2x3+3x2+（m﹣12）x﹣2m，∴g′（x ）=﹣6+（m ﹣），当x ∈[1，+∞）时，g′（x ）的最大值是g′（1）=m ﹣12，令g′（1）＞0，解得：m ＞12， ∴m 的范围是（12，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。

2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷【答案版】

2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷未分组选择爱智康1.A. B. C. D.答案解析原文设全集，集合，，则（）．B ，或，，∴．故选．1.【答案】BU =R A ={x −1<0}∣∣x 2B ={x |x (x −2)⩾0}A ∩(B )=∁U {x |0<x <2}{x |0<x <1}{x |0⩽x <1}{x |−1<x <0}A ={x |−1<x <1}B ={x |x ⩾2x ⩽0}B ={x |0<x <2}∁U A ∩B ={x |0<x <1}∁U B 2.A. B. C. D.答案解析设，，向量，，且，，则（）．B ∵向量，，且，，则有，，解得，，故．故有．故选x y ∈R =(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c |+|=a b 5√10−−√25√10=(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c 2x −4=0−4−2y =0x =2y =−2+=(3,−1)a b |+|==a b 9+1−−−−√10−−√爱智康原文2.【答案】B3.A. B. C. D.答案解析原文设，则（）．A 由，两边平方得：，即，则．故选．3.【答案】Asin (+θ)=π413sin 2θ=−79−191979sin (+θ)=sin cos θ+cos sin θ=(sin θ+cos θ)=π4π4π42√2131+2sin θcos θ=292sin θcos θ=−79sin 2θ=2sin θcos θ=−79A 4.A. B. C. D.答案解析已知集合，，命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）．C ∵，∴命题，为真命题；∵，令，．A ={x |lo x <−1}g 4B ={x |⩽}2x 2√p :∀x ∈A <2x 3x q :∃x ∈B =1−x 3x 2p ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∧¬qA ={x |lo x <−1}={x 0<x <}g 4∣∣∣14p :∀x ∈A <2x 3x B ={x |⩽}={x x ⩽}2x 2√∣∣∣12f (x )=+−1x 3x 2(x )=3+2x f ′x 2爱智康原文在，上为增函数，在上为减函数．又，，∴当时，，即命题，为假命题．∴为真命题．故选．4.【答案】C f (x )(−∞,−)23(0,)12(−,0)23f (−)=−<0232327f ()=−<01258x ⩽12f (x )<0q :∃x ∈R =1−x 3x 2p ∧¬q C 5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析等比数列中，，则“”是“”的（）．A在等比数列中设公比为，则由，得，∵，∴，即．由“”得，即，∴或．∴“”是“”的充分不必要条件．故选．{}a n >0a 1<a 1a 4<a 3a 5q <a 1a 4<a 1a 1q 3>0a 1>1q 3q >1<a 3a 5<a 1q 2a 1q 4>1q 2q >1q <−1<a 1a 4<a 3a 5A原文5.【答案】A6.A. B. C. D.答案解析原文已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（）．C ，，，∵，，∴．∵在上是增函数，∴，故选．6.【答案】Cf (x )R (0,+∞)a =f (−)3√b =f ()log 312c =f ()43a b c a <c <b b <a <c b <c <a c <b <aa =f (−)=f ()3√3√b =f ()=f (2)log 312log 3c =f ()430<2<1log 31<<433√>>23√43log 3f (x )(0,+∞)a >c >b C 7.A.B.C.D.函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（）．函数的最小正周期为是函数的一条对称轴函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数f (x )=2sin (ωx +φ)A B 5f (x )8f (3)=−12x =32f (x )f (x )答案解析原文D 设两点的水平距离为，则，解得，∴函数的最小正周期为，故错误．由周期为可得，可得，代入点可得，可取，∴，∴，故错误；令可得，，令可得，故错误；又向右平移一个单位长度后所得的函数为为偶函数，故正确．故选．7.【答案】DAB d +=d 24252d =33×2=6A 6ω=π3f (x )=2sin (x +φ)π3(0,1)1=2sin φφ=5π6f (x )=2sin (x +)π35π6f (3)=−1B x +=kπ+π35π6π2x =3k −1k ∈Z 3k −1=32k =∉Z 152C f (x )=2sin (x +)π35π6y =2sin (x −+)=2sin (x +)=2cos x π3π35π6π3π2π3D D 8.A. B. C. D.答案解析已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）．C 当时，恒成立，则此时．当时，的取值为，，f (x )={−+2x ,x ⩽0x 2ln(x +1),x >0|f (x )|⩾ax −1a [−2,0][−2,1][−4,0][−4,1]x >0ln(x +1)>0a ⩽0x ⩽0−+2x x 2(−∞,0]|f (x )|=−2x x 2填空原文，时，左边右边，取任意值都成立．时，有即，综上，的取值为．故选．8.【答案】C−2x ⩾ax −1(x ⩽0)x 2x =0>a x <0a ⩾x +−21xa ⩾−4a [−4,0]C 9.答案解析原文设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则．由已知得，所以，所以．9.【答案】a >0y =x √x =a y =0a 2a =49S ====∫a0x √23x 32|a 023a 32a 2=a 1223a =494910.答案解析已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则．设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，∴，即．解得，或（舍去），{}a n 3a 112a 32a 2=+a 11a 13+a 8a 1027{}a n q 3a 112a 32a 2=3+2a 3a 1a 2=3+2q a 1q 2a 1a 1=3+2q q 2q =3q =−1原文∴，故答案为．10.【答案】===27+a 11a 13+a 8a 10(+)a 8a 10q 3+a 8a 10q 3272711.答案解析原文函数在上为减函数，则实数的取值范围．由题意可得，故函数在上为减函数，且，再根据在上为减函数，故有，求得，故答案为．11.【答案】f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1)a (1,2]a >0t =2−ax 2(0,1)t >0f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1){a >12−a ×1⩾01<a ⩽2(1,2](1,2]12.答案解析如图，在中，若，，，则实数．∵，，∴△ABC =2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−=λ(−)DE −→−CA −→−BC −→−λ=13=2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−原文，，∵，，∴，故答案为．12.【答案】=AE −→−13AB −→−=AD −→−23AC −→−=−=−DE −→−AE −→−AD −→−13AB −→−23AC −→−=λ(−)=λ(−−)=λ−2λDE −→−CA −→−BC −→−AC +AB −→−−−−−AC −→−AB −→−AC −→−λ=13131313.答案解析定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数；②关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．其中正确的序号是．①②⑤∵定义在上的偶函数满足，∴，∴是周期为的函数，则①正确．又∵，∴的图象关于对称，②正确，R f (x )f (x +1)=−f (x )[−1,0]f (x )f (x )f (x )x =1f (x )[0,1]f (x )[1,2]f (2)=f (0)R f (x )f (x +1)=−f (x )f (x )=−f (x +1)=−[−f (x +1+1)]=f (x +2)f (x )2f (x +2)=f (x )=f (−x )y =f (x )x =1原文为偶函数且在上是增函数，∴在上是减函数，又∵对称轴为．∴在上为增函数，，故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．13.【答案】①②⑤f (x )[−1,0]f (x )[0,1]x =1f (x )[1,2]f (2)=f (0)14.答案解析已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是．依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值．要使关于的方程，，有且只有个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（），且，此时，则．y =f (x )R x ⩾0f (x )={(0⩽x ⩽2)516x 2+1(x >2)()12x x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6a (−,−)∪(−,−1)529494f (x )(−∞,−2)(0,2)(2,0)(2,+∞)x =±254x =00x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6t =f (x )+at +b =0t 2t 1t 21=t 154∈(1,)t 254−a =+t 1t 2a ∈(−,−)5294解答原文），，此时同理可得，综上可得的范围是．故答案为．14.【答案】2∈(0,1]t 1∈(1,)t 254a ∈(−,−1)94a (−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)52949415.（1）答案解析（2）答案解析已知函数，，其图象的相邻两个最高点之间的距离为．求函数的单调递增区间．．．由已知得函数的周期即，所以，．由，得∴的单调增区间为：．在区间上的最小值为，求函数，的值域．．当f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2(ω>0)πf (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2=sin 2ωx −cos 2ωx −4×+a 3√2121−cos 2ωx 2=sin 2ωx +cos 2ωx −2+a 3√232=sin (2ωx +)−2+a 3√π3f (x )T =π=π2π2ωω=1f (x )=sin (2x +)−2+a 3√π3−+2kπ⩽2x +⩽+2kπ(k ∈Z )π2π3π2−+kπ⩽x ⩽+kπ(k ∈Z )5π12π12f (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )[0,]π2−32f (x )x ∈R [−,]3√3√原文时，，，这时的最小值为：，由已知得，，，所以函数，函数f的值域．15.【答案】（1）．（2）．x ∈[0,]π2⩽2x +⩽π3π34π3sin (2ωx +)∈[−,1]π33√2f (x )a −72a −=−7232a =2f (x )=sin (2x +)3√π3(x ∈R )(x )[−,]3√3√[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12[−,]3√3√16.（1）答案解析（2）答案解析在等差数列中，，前项和满足条件，，，，求数列的通项公式和．，．设等数列的公差为，由得：，所以，，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，，故，．记，求数列的前项和．．由，得，，①，②②{}a n =1a 1n S n =4S 2n S nn =12⋯{}a n S n =2n −1a n =S n n 2{}a n d =4S 2n S n=4+a 2a 1a 1=3a 2d =−=2a 2a 1{}a n 12=1+2(n −1)=2n −1a n ===S n (+)⋅n a 1a n 2(1+2n −1)⋅n 2n 2=2n −1a n =S n n 2=⋅b n a n 2n −1{}b n n T n =(2n −3)⋅+3T n 2n =⋅b n a n 2n −1=(2n −1)⋅b n 2n −1=1+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 21222n −22n −12=2+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 22232n −12n原文①得：．故．16.【答案】（1），．（2）．−=−1−2×−2×⋯−2×+(2n −1)⋅T n 21222n −12n=−1−2(++⋯+)+(2n −1)⋅21222n −12n=−1−2×+(2n −1)⋅2(1−)2n −11−22n =−1+4(1−)+(2n −1)⋅2n −12n=−1+4−2⋅+(2n −1)⋅2n 2n=3+(2n −3)⋅2n =(2n −3)⋅+3T n 2n =2n −1a n =S n n 2=(2n −3)⋅+3T n 2n 17.（1）答案解析（2）答案解析中，，，所对的边分别为，，，,，且．求的大小．．∵ ，，且，∴，∴或，∵，∴．若，求的面积并判断的形状．，为等边三角形．由题意知，∵ ，△ABC A B C a b c =(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n A A =π3=(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n ⋅=cos 2A +2=2A −1+1+cos A =2A +cos A =1m n cos 2A 2cos 2cos 2cos A =12cos A =−1A ∈(0,π)A =π3b +c =2a =23√△ABC △ABC =S △ABC 33√4△ABC a =3√=+−2bc cos A =−2bc (1+cos A )a 2b 2c 2(b +c )2原文∴，∴，∴，由，得，∵，∴为等边三角形．17.【答案】（1）．（2），为等边三角形．3=12−2bc (1+cos)π3bc =3=bc sin A =×3×=S △ABC 12123√233√4{b +c =3√bc =3b =c =3√a =3√△ABC A =π3=S △ABC 33√4△ABC 18.（1）答案解析（2）答案解析数列满足，．设，求证是等比数列．证明见解析．由，得，∴，即，∴是以为公比的等比数列．求数列的通项公式．．又，∴，即，∴{}a n =2a 1=+6+6(n ∈)a n +1a 2n a n N ∗=lo (+3)C n g 5a n {}C n =+6+6a n +1a 2n a n +3=a n +1(+3)a n 2lo (+3)=2lo (+3)g 5a n +1g 5a n =2C n +1C n {}C n 2{}a n =−3a n 52n −1=lo 5=1C 1g 5=C n 2n −1(+3)=log 5a n 2n −1（3）答案解析原文．故．设，数列的前项和为，求证：．证明见解析．∵，∴．又，∴．18.【答案】（1）证明见解析．（2）．（3）证明见解析．+3=a n 52n −1=−3a n 52n −1=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n{}b n n T n <−T n 14=−=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n 1−6a n 1−6a n +1=−+−+⋯+−T n 1−6a 11−6a 21−6a 21−6a 31−6a n 1−6a n +1=−=−−1−6a 11−6a n +1141−952n >01−952n <−T n 14=−3a n 52n −119.（1）答案解析已知函数．当时，求函数的单调区间．的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，，∴解得，解得．f (x )=a +ln(x +1)x 2a =−14f (x )f (x )(−1,1)(1,+∞)a =−14f (x )=−+ln(x +1)(x >−1)14x 2(x )=−x +=−f ′121x +1(x +2)(x −1)x +1(x )>0f ′−1<x <1(x )<0f ′x >1（2）答案解析（3）答案解析∴的单调递增区间是，单调递减区间是．若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．．因为函数在区间上为减函数，∴对恒成立，即对恒成立．∴．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．．∵当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．由，①当时，，当时，，函数在上单调递减，∴成立②当时，令，∵f (x )(−1,1)(1,+∞)f (x )[1,+∞)a a ⩽−14f (x )[1,+∞)(x )=2ax +⩽0f ′1x +1∀x ∈[1,+∞)a ⩽−12x (x +1)∀x ∈[1,+∞)a ⩽−14x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a (−∞,0]x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a +ln(x +1)−x ⩽0x 2g (x )=a +ln(x +1)−x (x ⩾0)x 2g ⩽0(x )max (x )=2ax +−1=g ′1x +1x [2ax +(2a −1)]x +1a =0(x )=−g ′x x +1x >0(x )<0g ′g (x )(0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a >0(x )=0g ′原文，∴解得．）当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，∴在上无最大值，不合题设．）当时，即时，在区间上．在区间上．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，同样在无最大值，不满足条件．③当时，由，故，∴，∴函数在上单调递减，∴成立，综上所述，实数的取值范围是．19.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）．（3）．x ⩾0x =−112a 1−1<012a a >12(0,+∞)(x )>0g ′g (x )(0,+∞)g (x )[0,+∞)2−1⩾012a 0<a ⩽12(0,−1)12a(x )<0g ′(−1,+∞)12a(x )>0g ′g (x )(0,−1)12a (−1,+∞)12a g (x )[0,+∞)a <0x ⩾02ax +(2a −1)<0(x )=<0g ′x [2ax +(2a −1)]x +1g (x )[0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a (−∞,0]f (x )(−1,1)(1,+∞)a ⩽−14(−∞,0]20.（1）答案已知函数，．若函数在区间无零点，求实数的最小值．．f (x )=(2−a )x −2(1+ln x )+ag (x )=e x e xf (x )(0,)12a =2−4ln2a min解析（2）答案解析．令，；，，则，①当时，在上为增函数，在上为增函数，结合图象可知，若在无零点，则，即，∴，∴．②当时，在上，，，∴，∴在上无零点．由①②得．∴．若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围．．，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．∵，∴．f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x m (x )=(2−a )(x −1)x >0h (x )=2ln x x >0f (x )=m (x )−h (x )a <2m (x )(0,)12h (x )(0,)12f (x )(0,)12m ()⩾h ()1212(2−a )×(−1)⩽2ln 1212a ⩾2−4ln22−4ln2⩽a <2a ⩾2(0,)12m (x )⩾0h (x )<0f (x )>0f (x )(0,)12a ⩾2−4ln2=2−4ln2a min ∈(0,e]x 0(0,e]f (x )=g ()x 0a a ∈(−∞,2−]3e −1(x )=−x =(1−x )g ′e 1−x e 1−x e 1−x x ∈(0,1)(x )>0g ′g (x )x ∈(1,e](x )<0g ′g (x )g (0)=0g (1)=1g (e)=>0e 2−e g (x )(0,e](0,1]f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x (x )=2−a −=f ′2x (2−a )x −2x原文①当时，，∴在单调递减，且，不符合题意，②当时，令，，i）当时，即当时，，不符合题意．ii）时，即当时，令，则．令时，则，又∵当时，，∴要使在上总存在两个不相等的实根，需使即下证：当时，恒成立，设，，则，当时，，时，．∴．∴恒成立，又∵，∴．综上，得．20.【答案】（1）．（2）．a ⩾2(x )<0f ′f (x )(0,e]f (1)=0a <2(x )=0f ′x =22−a⩾e 22−a2−⩽a <22e (x )<0f ′<e 22−a a <2−2e (x )>0f ′<x <e 22−a (x )<0f ′0<x <22−ax ∈(0,)∩(0,)22−a e a −32f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x >a −2−2ln =1e a −32f (x )=g ()x 0(0,e]{f ()⩽022−a f (e)⩾1{a +ln(2−a )−ln 2⩽012a ⩽2−3e−1a ⩽2−3e −1a +ln(2−a )−ln2⩽012t (x )=x +ln(2−x )−ln 212x ⩽2−3e −1(x )=+=t ′12−12−x x 2(x −2)x ∈(−∞,0)(x )⩾0t ′x ∈(0,2−)3e −1(x )<0t ′t (x )⩽t (0)=0a +ln(2−a )−ln2⩽0122−>2−2e 3e −1a ⩽2−3e −1a ∈(−∞,2−]3e −1=2−4ln2a min a ∈(−∞,2−]3e −1。

2015-2016学年天津市五区县八年级(上)期末数学试卷(可打印修改)

故选 C．
【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的
坐标规律：
（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
8．（3 分）（2015 秋•天津期末）下列计算正确的是（）
18．（3 分）（2007•赤峰）附加题：已知
，则
= ．
三、解答题：本题共 46 分。 19．（6 分）（2015 秋•天津期末）（1）已知 3y2﹣y+5=0，求（y+1）2+（y﹣1）（2y﹣1）+1 的值．（2）计算[（3a+2）（3a﹣2）﹣（2a﹣1）（a+4）]+7a． 20．（6 分）（2015 秋•天津期末）如图，在△ABC 与△DCB 中，已知 ∠ABD=∠DCE，∠DBC=∠ACB．求证：AC=DB．
7．（3 分）（2015 秋•天津期末）若点 P（m+5，2）与点 Q（3，n﹣5）关于 y 轴对称，则
m，n 的值分别是（）
A．﹣8，﹣7 B．8，﹣7 C．﹣8，7 D．8，7
【解答】解：∵点 P（m+5，2）与点 Q（3，n﹣5）关于 y 轴对称，
∴m+5=﹣3，n﹣5=2，
∴m=﹣8，n=7，
2．（3 分）（2015 秋•天津期末）若分式
有意义，则 a 的取值范围是（）
A．a=﹣5 B．a≠5 C．a=5 D．a≠﹣5 3．（3 分）（2015 秋•天津期末）在
中，分式有（）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（3 分）（2015 秋•天津期末）在△ABC 中，如果

2016-2017年天津市五区县高三(上)期末数学试卷和答案(文科)

2016-2017学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，1，4}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∪B=（）A．{0，1，16}B．{0，1}C．{1，16} D．{0，1，4，16}2．（5分）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．48 B．36 C．24 D．124．（5分）设x∈R，则“x＞2”是“|x﹣1|＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b6．（5分）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知向量=（cos40°，sin40°），=（sin20°，cos20°），=+λ（其中λ∈R），则||的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，若方程f（1﹣x）﹣m=0有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（0，2） D．（0，1）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9．（5分）已知i是虚数单位，若z（2﹣i）=2+4i，则复数z=．10．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为．11．（5分）已知f（x）=（x2﹣2x）e x（其中e是自然对数的底数），f'（x）为f （x）的导函数，则f'（0）的值为．12．（5分）在等比数列{a n}中，已知，则{a n}的前10项和S10=．13．（5分）如图，△ABC为边长为1的正三角形，D为AB的中点，E在BC上，且BE：EC=1：2，连结DE并延长至F，使EF=DE，连结FC，则•的值为．14．（5分）已知，若函数f（x）在区间（0，4π）内恰有5个零点，则ω的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的值；（2）若c=7，△ABC的面积为，求a+b的值．16．（13分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成A，B，C三种规格的小石板，每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示：某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数．（1）用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2BC=2，AB=，点E、F分别为AD、CD的中点．（1）求证：直线BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAF⊥平面PCD；（3）若PB=，求直线PB与平面PAF所成的角．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=14于点M，求证：以MP为直径的圆过点A2．20．（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取得极大值2，求a，b的值；（2）若函数存在三个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）设动点A（x0，f（x0））处的切线l1与曲线C交于另一点B，点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，当a为何值时存在常数λ使得k2=λk1？并求出λ的值．2016-2017学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={0，1，4}，B={y|y=x2，x∈A}，则A∪B=（）A．{0，1，16}B．{0，1}C．{1，16} D．{0，1，4，16}【解答】解：∵集合A={0，1，4}，B={y|y=x2，x∈A}={0，1，16}，∴A∪B={0，1，4，16}．故选：D．2．（5分）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，基本事件总数n=，取出的两个数的乘积为奇数包含的基本事件个数m==3，∴取出的两个数的乘积为奇数的概率为p=．故选：C．3．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．48 B．36 C．24 D．12【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，底面面积S=3×4=12，高h=3，故体积V==12，故选：D．4．（5分）设x∈R，则“x＞2”是“|x﹣1|＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣1|＞1得x﹣1＞1或x﹣1＜﹣1，得x＞2或x＜0，即“x＞2”是“|x﹣1|＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知，则（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵，∴a=log30.5＜log31=0，b=log0.30.2＞log0.30.3=1，0＜c=0.50.3＜0.50=1，∴b＞c＞a．故选：B．6．（5分）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为（c，0 ），一条渐近线为x﹣2y=0，根据点到直线的距离公式=2，可得c=2，∵=，c2=a2+b2，解得b=2，a=4，所以双曲线的方程为=1，故选：A．7．（5分）已知向量=（cos40°，sin40°），=（sin20°，cos20°），=+λ（其中λ∈R），则||的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵向量=（cos40°，sin40°），=（sin20°，cos20°），=+λ（其中λ∈R），∴=（，）+（λsin20°，λcos20°）=（，），∴||====，∴当时，||取最小值．故选：C．8．（5分）已知函数，若方程f（1﹣x）﹣m=0有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．C．（0，2） D．（0，1）【解答】解：方程f（1﹣x）﹣m=0有三个不相等的实数根，即为f（1﹣x）=m有三个不相等的实数根，作出y=f（1﹣x）的图象和直线y=m，y=f（1﹣x）的图象可看作是由y=f（x）的图象先关于y轴对称，再向右平移1个单位得到．通过图象可得当0＜m＜1时，函数y=f（1﹣x）和直线y=m有3个交点，即为方程f（1﹣x）﹣m=0有三个不相等的实数根．故选：D．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9．（5分）已知i是虚数单位，若z（2﹣i）=2+4i，则复数z=2i．【解答】解：由z（2﹣i）=2+4i，得=，故答案为：2i．10．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故答案为：6．11．（5分）已知f（x）=（x2﹣2x）e x（其中e是自然对数的底数），f'（x）为f （x）的导函数，则f'（0）的值为﹣2．【解答】解：函数的导数为f′（x）=（2x﹣2）e x+（x2﹣2x）e x=（x2﹣2）e x，则f'（0）═（02﹣2）e0=﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）在等比数列{a n}中，已知，则{a n}的前10项和S10=．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，，∴=4（），解得q=2，{a n}的前10项和S10===．故答案为：．13．（5分）如图，△ABC为边长为1的正三角形，D为AB的中点，E在BC上，且BE：EC=1：2，连结DE并延长至F，使EF=DE，连结FC，则•的值为．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，依题意得A（0，0），B（），C（1，0），∵D为AB的中点，E在BC上，且BE：EC=1：2，∴D（），E（，0）∵EF=DE∴F（，﹣），则•=，故答案为：14．（5分）已知，若函数f（x）在区间（0，4π）内恰有5个零点，则ω的取值范围是．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），∴令f（x）=2sin（ωx+）=0，可得：ωx+=kπ，k∈Z，∴解得：x=，k∈Z，∴由于ω＞0，则非负根中较小的有：，，，，，，∵函数f（x）在区间（0，4π）内恰有5个零点，∴＜4π，且≥4π，∴解得：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的值；（2）若c=7，△ABC的面积为，求a+b的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化为=，整理得：2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosC=，又∵0＜C＜π，∴C=；=absinC=absin=10，得ab=40，（2）由S△ABC∵cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣3×40，∴49=（a+b）2﹣3×40，即（a+b）2=169，开方得：a+b=13．16．（13分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成A，B，C三种规格的小石板，每种类型的大理石板可以同时加工成三种规格小石板的块数如表所示：某客户至少需要订购A，B两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C规格的石板100块，分别用x，y表示甲、乙两种类型的石板数．（1）用x，y列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？【解答】解：（I）由题意得…（3分）二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．…（6分）（Ⅱ）设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z，则目标函数z=x+y，作出直线l0：x+y=0，平移直线l0，如图，易知直线经过点A时，z取到最小值，解方程组得点A的坐标为A（8，6），…（10分）所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2BC=2，AB=，点E、F分别为AD、CD的中点．（1）求证：直线BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAF⊥平面PCD；（3）若PB=，求直线PB与平面PAF所成的角．【解答】（本小题满分13分）证明：（1）∵AD=2BC=2，且E为AD的中点，∴BC=ED．又因为AD∥BC，则四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，∴直线BE∥平面PCD．…（4分）（2）∵在等边△PCD中，F是CD的中点，∴CD⊥PF，又BC∥AD，AB⊥AD，∴AB⊥BC，又，∴AC=2，又AD=2，∴CD⊥AF，又∵PF∩AF=F，∴CD⊥平面PAF，故平面PAF⊥平面PCD．…（8分）解：（3）设AF与BE交于点G，由（2）知CD⊥平面PAF，BE∥CD，故BG⊥平面PAF，连结PG，则∠BPG为直线BP与平面PAF所成的角．在Rt△PBG中，，，∴．∴直线PB与平面PAF所成的角．…（13分）18．（13分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．【解答】（本小题满分13分）解：（I）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n﹣A n﹣1=2n﹣1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n﹣1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；．…（3分）（II）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，…（4分）即，，．…（7分）（III），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；…（9分）另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2．…（13分）19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=14于点M，求证：以MP为直径的圆过点A2．【解答】（本小题满分14分）解：（1）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．…（5分）证明：（Ⅱ）由题意知A1（﹣2，0），A2（2，0），…（6分）设P（x0，y0），则，得．且由点P在椭圆上，得．…（9分）所以=…（13分）以MP为直径的圆过点A2．…（14分）20．（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取得极大值2，求a，b的值；（2）若函数存在三个不同的零点，求实数b的取值范围；（3）设动点A（x0，f（x0））处的切线l1与曲线C交于另一点B，点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，当a为何值时存在常数λ使得k2=λk1？并求出λ的值．【解答】（本小题满分14分）解：函数的导函数为f'（x）=3x2+5x+a．（1）当x=﹣1时极大值2，则f'（﹣1）=0，f（﹣1）=2，即为3﹣5+a=0，﹣1+﹣a+b=2，解得；…（4分）（2）由题意可得函数存在三个不同的零点，即方程2x3+x2+x﹣b=0有三个实数解．令g（x）=2x3+x2+x，则g′（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），由g′（x）=0，可得x=﹣或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间，．因此，实数b的取值范围是．（9分）（3）由（1）知点A（x0，f（x0））处的切线l1的方程为y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），与y=f（x）联立得f（x）﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0），即，所以点B的横坐标是，可得，即，k2=λk1等价于，解得．综上可得，当时存在常数λ=4使得k2=λk1．…（14分）。

2015-2016年天津市六校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈R，使得sinx0﹣cosx0=﹣1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x0∈R，∀y∈R，y•x0=y4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．5．（5分）设F1，F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．1127．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．10．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为．11．（5分）用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．12．（5分）若点（3，1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=．13．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．14．（5分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．16．（13分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且与x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．2015-2016学年天津市六校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵k＞9，∴9﹣k＜0，k﹣4＞0，∴方程表示双曲线，∵方程表示双曲线，∴（9﹣k）（k﹣4）＜0，解得k＞9或k＜4，∴k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选：B．2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．故选：C．3．（5分）下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈R，使得sinx0﹣cosx0=﹣1.5B．∀x∈R，总有x2﹣2x﹣3≥0C．∀x∈R，∃y∈R，y2＜xD．∃x0∈R，∀y∈R，y•x0=y【解答】解：∵sinx﹣cosx=sin（x﹣）＞﹣＞﹣1.5，故A错误；当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3＜0，故B错误；当x=0时，y2＜x恒不成立，故C错误；当x=1时，∀y∈R，y•x=y，故D正确；故选：D．4．（5分）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选：C．5．（5分）设F1，F2是双曲线=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：双曲线的两个焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）设P的坐标为（x，y），则∵△F1PF2的面积为2∴∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=∴=（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=3故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选：B．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选：A．8．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，a1=3a2，e1•e2=•==1，解得e2=．故选：A．二、填空题、（每小题5分，共30分）9．（5分）直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．10．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．11．（5分）用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．【解答】解：设圆锥底面的半径为r，由题意可得圆锥的母线长为6，再根据圆锥底面的周长等于半圆的弧长，可得2πr=•2π•6，求得r=3，故圆锥的高为h==3，故此圆锥的体积是•πr2•h=•π•9•3=9π，故答案为：9π．12．（5分）若点（3，1）是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=2．【解答】解：过点（3，1）且斜率为2的直线方程为y=2x﹣5，代入抛物线y2=2px，可得（2x﹣5）2=2px，即4x2﹣（20+2p）x+25=0，∴=6，∴p=2，故答案为：2．13．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是．【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c，又|AF|=2csinα，②|BF|=2ccosα，③把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，∴=，即e==，∵α∈[]，∴，∴，∴．故答案为：．14．（5分）若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是．【解答】解：x2﹣9≥0，曲线y=，可化为x2﹣y2=9（y≥0），x2﹣9＜0，曲线y=，可化为x2+y2=9（y≥0），图象如图所示，直线与半圆相切时，m=3，双曲线的渐近线为y=±x∴实数m的取值范围是．故答案为：．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．（13分）命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．【解答】解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（5分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（10分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（13分）16．（13分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且与x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+Dx+3=0的坐标C（﹣，），∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称，∴C（﹣，）在直线x+y﹣1=0上，即﹣﹣1=0，即D+E+2=0，半径R=，即D2+E2=20，解得或，此时圆心为（2，﹣1），或（﹣1，2），∵圆心在第二象限，∴圆心坐标为（﹣1，2），则圆C的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=2．（2）设不经过直线截距相等的直线方程为x+y=a，即x+y﹣a=0，则圆心到直线的距离d==，即|a﹣1|=2，解得a=﹣1或a=3，故直线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．18．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．（Ⅰ）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（Ⅱ）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴重合，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，x=4不合题意．设直线l的方程为y=k（x﹣4），由已知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），…（1分）因为点F到直线l的距离为，所以，…（3分）解得，所以直线l的斜率为．…（5分）（Ⅱ）设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，…（7分）直线AB的方程为，…（8分）联立方程消去x得，…（10分）所以，…（11分）因为N为AB中点，所以，即，…（13分）所以x0=2．即线段AB中点的横坐标为定值2．…（14分）19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）∴=（﹣，，），设是平面MBQ的一个法向量，则，，∴，∴，又∵平面BQC的一个法向量，∴cos＜＞=，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小是60°．20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴2a=4，解得a=2，又∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e==，解得c=2，∴b2==4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）假设存在圆C：x2+y2=r2（r＞0），（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得到，又，消去y0，得到，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴r=，即m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程．得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得到+m2=0，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（）2﹣4•]===∈（]．当k=0时，，∴|AB|∈[，]．又当k不存在时，|AB|=，∴|AB|的取值范围是[，]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

天津市五区县高二上学期期末考试数学理科试题

天津市五区县2015～2016学年度第一学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案选择题：1.C2.D3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.B 10.A填空题 11.23 12.（4，1） 13. 2 14. 8 15. 10 解答题16. （Ⅰ）由题意，过P 点且与CP 垂直的弦长最短，（1分）∵圆心C 点坐标为)4,3(，∴12354-=--=PC k ，（3分） ∴ 所求直线的斜率1=k ，代入点斜式方程得（4分）25-=-x y ，即03=+-y x . （6分）（Ⅱ）当直线垂直x 轴时，即5=x ，圆心C 到直线的距离为2，此时直线5=x 与圆C 相切；（8分）当直线不垂直x 轴时，设直线方程为)5(-=x k y ，即05=--k y kx ，圆心C 到直线的距离21|543|2=+--=k k k d （10分）解得43-=k ， ∴ 所求切线方程为01543=-+y x ，或5=x . （12分）17. （Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ， ( 1分)∵侧面PAB 为等边三角形，AP BP ，∴AB PD ⊥, （2分）又AC BC ，∴AB CD ⊥. （3分）∵D CD PD =⋂， ∴⊥AB 平面PCD . （5分）∵⊂PC 平面PCD ，∴ PC AB ⊥ . （6分）（Ⅱ）由已知 90=∠ACB ，2AC BC ，∴2AD BD CD ，22AB . （7分）又∆PAB 为正三角形，且AB PD ⊥，∴6PD. （8分） ∵22PC ，∴222PC CD PD .∴ 90=∠CDP ，∴PD CD ⊥ （9分） ∵AB CD ⊥，∴⊥CD 平面PAB ，（11分） ∵⊂CD 平面ABC ，∴平面⊥PAB 平面ABC ．（12分）18. （Ⅰ）设C 的坐标为),(y x ，则直线AC 的斜率)2(2-≠+=x x y k AC ，直线BC 的斜率)2(2≠-=x x y k BC ，（2分）由已知有)2(4122±≠-=-⨯+x x y x y ，化简得顶点C 的轨迹方程， )2(1422±≠=+x y x . （5分）（Ⅱ）设直线l 的方程为m x y +=，),(),,(2211y x N y x M ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 1422，解得0448522=-++m mx x ，（7分）0)44(206422>--=∆m m ,解得55<<-m （8分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5445822121m x x m x x ，528]4))[(11(||21221=-++=x x x x MN （10分）代入解得12=m ，1±=m ，∴直线l 的方程为1±=x y . （12分）19. 解：建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，设)0,0,1(B ，则)020(，，D ，)100(，，P ，)0,2,1(C )31,34,0(E ，)21,1,21(F （2分）（Ⅰ）设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，∵)31,34,0(=AE ，)0,2,1(=AC ∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AC n AE n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0203134y x z y ，令1-=y ，得)4,1,2(-=n （4分）又)21,1,21(-= ∴02141)1()21(2=⨯+⨯-+-⨯=⋅，（6分）n BF ⊥，⊄BF 平面AEC ， ∴//BF 平面AEC（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为)4,1,2(-=，又)1,0,0(=AP 为平面ACD 的法向量，（9分）而21214,cos =<AP n ，故二面角D AC E --的余弦值为21214. （12分） 20. （Ⅰ）由题意设椭圆M 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x∵抛物线28y x =的焦点为)0,2(，∴2=a ，（2分）又12e =，∴1=c ，∴32=b （4分） ∴椭圆M 的标准方程为13422=+y x （5分）（Ⅱ）设()11,y x A ，()22,y x B ，1:+=my x l ()0,≠∈m R m⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y xmy x ⇒()0964322=-++my y m由韦达定理得436221+-=+m my y ① （8分）⊥+)(⇒NB NA =⇒()=+-2121y t x ()2222y t x +-⇒()()()022*******=-+-+-y y t x x x x将111+=my x ，122+=my x 代入上式整理得：()()()()[]022121221=-+++-t m y y m y y ，由21y y ≠知()()()0221212=-+++t m y y m ，将①代入得4312+=m t （10分）所以实数t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈41,0 . （12分）。

天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案

天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（122分）和第Ⅱ卷提高题（28分）两部分，共150分。

第I 卷基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）1. 设i 是虚数单位，复数5(2)2i i z i+=-,其共轭复数z 的虚部是（）A ．35B ．35iC ．－35D ．35i -2. 若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤112y y x x y ，则2x y +的最小值是（）A ．25-B.0C. 35D. 253. 若732)2(aa -的展开式中3a 项的系数为（）A ． 14B ．-14C ．280D ．-280 4. 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆半径为1，则该几何体体积为 ( )A ．242π-B ．243π-C ．24π-D ．3242π- 5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．4a =B ．5a =C ．6a =D ．7a =6.已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线交于一点 ),1(m M ，点M 到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( )PA. 3B. 4C. 31D. 417.设b a log 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a >>给出下列四个结论 ①21a b b>>；②0log log =+a b b a ；③10<<<b a ；④01=-ab . 其中正确结论的个数是A ．1B.2C.3D.48.在平面上，1AB uuu r ⊥2AB uuu r ，|1OB uuu r |＝|2OB uuu r |＝1，AP uu u r ＝1AB uuu r ＋2AB uuu r .若|OP uu u r |＜12，则|OA uu r |的取值范围是( )A．⎛ ⎝⎦ B．⎝⎦ C．⎝ D．⎝ 二、填空题：（每题5分，共30分）9. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取__________名10.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“∅≠⋂B A ”的充分条件，则b的取值范围是 . 11.若实数0,0,2>>=+b a b a ，则baa +1的最小值为__________. 12.已知直线l 的参数方程()为参数t t y t x ⎩⎨⎧-==12和圆C 的极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛π+θ=ρ4cos 22，则直线l 与圆C 相交所得的弦长为________.13. 如图已知PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B 、C 两点．2=PD ,3=PB ，23=DB ,则=PC ．14.已知函数2|54|,0()3|2|,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_________. 三、解答题：15.（13分）已知函数21cos )6cos(sin )(2-+-⋅=x x x x f π（1）（4分）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值x 时的取值集合；（2）（4分）若]2,6[,2011)(00ππ∈=x x f ，求02cos x 的值；（3）（5分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a ,,，若3,21)(=+=c b A f ，求a 的最小值.16.（13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）（3分）根据频率分布直方图，求重量不超过500克的产品数量；（2）（7分）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量不超过500克的产品数量，求Y 的分布列及期望；（3）（3分）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量不超过500克的概率．17. （13分）如图, ABCD 是边长为3的正方形，ABCD DE 平面⊥，DE A F//，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(1) （4分）求证：BDE AC 平面⊥； (2) （5分）求二面角D BE F --的余弦值；（3）（4分）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得BEF AM 平面//，并证明你的结论.18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（3分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点. ①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②（6分）当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与X 轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.第Ⅱ卷提高题（共28分）19. （14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=*()n N ∈.（1）（4分）求数列{}n a 的通项公式；（2）（4分）设1n nc a =，数列{}n b 满足11122(21)22n n n b c b c b c n ++++=-+L ，求数列{}n b 的通项公式；（3）（6分）设11n n d a =-，求证：12231123n n d d d n d d d ++++>-L .20.（14分）设函数bx ax x x f --=221ln )((1) （4分）当21==b a 时，求函数)(x f 的最大值； (2) （4分）令)30(,21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F ，其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； (3) （6分）当1,0-==b a ，方程2)(2x x mf =有唯一实数解，求正数m 的值.天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷答题纸第Ⅰ卷基础题（共122分）一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9. ___ 10. 11.12. 13. 14.三、解答题（本大题共4题，共52分）15.（13分）16.（13分）17（13分）18.（13分）第Ⅱ卷提高题（共28分）19.（14分）20.（14分）天津市武清区2016-2017学年高三上学期期末考试数学（理）试卷答案9、40 10 、(-2,2) 11、5302 13、4 14、(1,3) 15解：(Ⅰ).∴函数的最大值为.当取最大值时,解得.故的取值集合为.(2)略(3)由题意,化简得,, ∴, ∴在中,根据余弦定理,得.由,知,即. ∴当时,取最小值.16.解：（1）重量不超过500克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，，Y的分布列为78；EY=130（3）0.308717. 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.9、(Ⅰ)证明：因为平面，所以. ……………………2分因为是正方形，所以，从而平面. ……………………4分(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即，……5分所以.由可知，. ………6分则，，，，，所以，，………7分设平面的法向量为，则，即，令，则. …………………8分因为平面，所以为平面的法向量，，所以. …………………9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………10分(Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以，…………………11分即，解得. …………………12分此时，点坐标为，，符合题意. …………………13分18. (13分）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于21，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2243x y =的焦点. （1）（4分）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,3)P 、(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点. ①（4分）若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值； ②（6分）当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与X 轴始终围成一个等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. （1）设C 方程为（a ＞b ＞0），则。

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第1页（共18页） 2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁RA）∩B=（） A．A、（1，2] B．[﹣1，2] C．（1，3] D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）

A．﹣3 B．﹣2 C． D．1 3．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），

执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）

A．0 B．1 C．9 D．18 4．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）

A．5 B．4 C． D．3 第2页（共18页）

6．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（） A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1 7．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（loge），

b=f（log3π），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），

若函数f（x）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（）

A．﹣1＜b≤1 B．﹣1＜b＜1或b= C．＜b D．＜b≤1或b=

二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。 9．若复数是纯虚数，则实数a的值为______．

10．在（x﹣）8的展开式中，的系数为______． 11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为______．

12．曲线y=x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为______． 13．如图，在△ABC中，∠B=，∠BAC的平分线交BC于点D，AD=，AC=，则

△ABC的面积为______．第3页（共18页）

14．如图，已知l1，l2，l3，…ln为平面内相邻两直线距离为1的一组平行线，点O到l1的

距离为2，A，B是l1的上的不同两点，点P1，P2，P3，…Pn分别在直线l1，l2，l3，…ln上．若

=xn+yn（n∈N*），则x1+x2+…+x5+y1+y2+…+y5的值为______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知函数f（x）=4sinxsin（x+）﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 16．甲、乙、丙三支球队进行某种比赛，其中两队比赛，另一队当裁判，每局比赛结束时，

负方在下一局当裁判．设各局比赛双方获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立，且没有平局，根据抽签结果第一局甲队当裁判（Ⅰ）求第四局甲队当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前四局中乙队当裁判的次数，求X的分布列和数学期望． 17．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥

DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E为A1C的中点（Ⅰ）求证：D1E∥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：BC⊥A1C；（Ⅲ）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．

18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，an+1），=（an+1，4）（n∈N*），且∥ （Ⅰ）求{an}的通项公式

（Ⅱ）设f（n）=bn=f（2n+4），求数列{bn}的前n项和Tn．第4页（共18页）

19．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为．求：（i）点P的坐标；（ii）直线PI的方程． 20．已知函数f（x）=emx+x2﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m＜0，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e+1）y=0垂直．（i）当x＞0时，试比较f（x）与f（﹣x）的大小；（ii）若对任意x1，x2（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜0．第5页（共18页）

2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理

科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁RA）∩B=（） A．A、（1，2] B．[﹣1，2] C．（1，3] D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，求出∁RA，再计算（∁RA）∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， ∴∁RA=[﹣1，2]；又B={x|1＜x≤3}=（1，3]， ∴（∁RA）∩B=（1，2]．故选：A．

2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（） A．﹣3 B．﹣2 C． D．1 【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．第6页（共18页）

3．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），

执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）

A．0 B．1 C．9 D．18 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=243，b=45 y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9 不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0 满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．故选：C．

4．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x|x|＜1，对x分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出．【解答】解：x|x|＜1，当x≤0时，化为﹣x2＜1，恒成立；当x＞0时，化为x2＜1，解得0＜x＜1．综上可得：x|x|＜1的解集为：{x|x＜1}． ∴“x＜1”是“x|x|＜1”的充要条件．故选：C．

5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）第7页（共18页）

A．5 B．4 C． D．3 【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理求出AB=BC=5，由弦切角定理得到△BCD∽△CAD，由此能求出AC．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，AD=4，CD=6， ∴∠ACD=∠ABC，CD2=AD•BD，即36=4（4+AB），解得AB=5，∴BC=5 ∵∠ACD=∠ABC，∠D=∠D， ∴△BCD∽△CAD，

∴，

∴，解得AC=．故选：C．

6．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）（） A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1 【考点】双曲线的简单性质．第8页（共18页）

【分析】利用双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x+2y+5=0，

∴=， ∵一个焦点与抛物线y2=﹣20x的焦点重合， ∴c=5， ∴a=2，b=，

∴双曲线的方程为=1．故选：A．

7．已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x﹣m|（m为实数）是偶函数，记a=f（loge），

b=f（log3π），c=f（em）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系（） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考点】分段函数的应用．【分析】利用f（x）是定义在R上的偶函数，可得m=0，化简a，c，利用函数在（0，+∞）上是增函数，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由f（x）为R上的偶函数，可得 f（﹣x）=f（x），即为x2+|x﹣m|=x2+|﹣x﹣m|，求得m=0，即f（x）=x2+|x|，当x＞0时，f（x）=x2+x递增，

由a=f（loge）=f（log3e） b=f（log3π），c=f（em）=f（e0）=f（1），又log3π＞1＞log3e，可得f（log3π）＞f（1）＞f（log3e），即有b＞c＞a．故选：B．

8．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x2﹣x+b），