双曲线的简单几何性质
3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)
令Δy= x
= (x- 2 −
2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−
N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,
x> 2 −
• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交
，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。
2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不
相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。
2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结
论
∵b= 2 − 2
∴ = (2 − 1)
e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2
分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
双曲线的简单几何性质教学反思（优秀范文五篇）
双曲线的简单几何性质教学反思（优秀范文五篇）第一篇：双曲线的简单几何性质教学反思双曲线的简单几何性质教学反思圆锥曲线是高考的热点和高考试题的压轴题，主要是对圆锥曲线几何性质的考查，因此，课堂教学时应重视对圆锥曲线几何性质的归纳和运用.有效教学要在学生已有认知基础上，寻找学生最近发展区促进学生更深层面上思维和理解。
本节课学习活动是以学生对椭圆几何性质的认知基础上进行的，利用方程讨论曲线的性质的这种方法，学生在学习讨论椭圆的性质时已经尝试探讨过，所以这节课主要是对照椭圆几何性质，让学生通过类比的思想方法得出双曲线的几何性质.充分调动学生学习的积极性，使学生更清楚地区分两者曲线，找出“共性”和“个性”.有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。
良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。
本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程.当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，一是与椭圆的类比不到位，二是知识网络的形成欠缺，三是由于应用多媒体，客课容量是增加了，但个别知识容易造成一带而过，引不起足够重视，四是时间分配上存在误差，练习时间减少。
在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。
能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。
（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。
（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。
（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？…….促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。
双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
2.2.2双曲线的简单几何性质
b y=±－ ax
a y=±－ bx
半轴长
离心率 a,b,c的关系
半实轴长为a, 半虚轴长为b. c e a c2=b2+a2
例3 求双曲线9y2–16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、 离心率及渐进线方程.
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口 半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线 的方程。
4.渐近线:
b 0 ，即y=±－ ax
y
B2 A1
O
当a=b时，双曲线叫做等轴双曲线。 5.离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 称为双曲线的离心率，
c 用e表示，即 e a
a
B1
A2
b
x
[1]离心率的取值范围：e>1
[2]离心率对双曲线形状的影响：
渐近线与双曲 线永不相交
e越大，c就越大，从而b就越大，双曲线就开口越阔。
(3)焦点为(0, 6)，(0, -6)，且过点(0, 4)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
x y - 2 =1 2 a b
1.范围： 两直线x=±a的外侧 2.对称性：
A1
O
2
2
y
B2
a
B1
A2
b
x
双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。坐 标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: A1(-a，0)，A2(a，0)叫做双曲线的顶点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，ห้องสมุดไป่ตู้B1B2 叫做双曲线 的虚轴。它们的长分别为2a和2b。
F(±c，0)
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
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情
课
景
堂
导
小
学 探
法二：设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
·
结 提
新
素
知
养
合
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14，
作
课
探 究
释
所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14，即49x2－y42＝1.
时 分 层 作
疑
业
难
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30
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情
课
景
堂
导
小
学
结
探
1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
[解]
方程 4x2－9y2＝－4 可化为标准方程y42－x2＝1，焦点在 y
·
提 素 养
9
合
作 探 究
轴上，这里 a2＝49，b2＝1，c2＝49＋1＝193.
课 时 分
层
释
作
疑 难
所以顶点坐标为0，23，0，－23.Biblioteka 业返 首 页·
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·
情
课
景 导 学
焦点坐标为0，
313，0，－
313.
堂 小 结
学 ________.
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结
探
提
新
素
知 合
5 [∵双曲线的标准方程为ax22－y92＝1(a>0)，
养
作
课
探 究
∴双曲线的渐近线方程为 y＝±3ax.
时 分 层
释
作
疑 难
又双曲线的一条渐近线方程为 y＝35x，∴a＝5.]
2.3.2 双曲线的简单几何性质 2
(2)直线的方程: y=±－x a
x
渐渐接近但永不相交
x a
2 2
-
y b
2 2
= 1
•
y
N Q B2 A1 O M
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
c (2)定义式: e=－
b A2 a
B1
a
x
(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
k = b a = c - a a
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x a
2y a
2 2
-
x b
2 2
= 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？ ①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
x a
2
2
-
y b
2 2
= 1
k=
b a
=
c - a a
2
2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大,其开口越阔.
例1 求双曲线 9 y 16 x 144 的实半轴长,虚半轴长,
2 2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程： 可得:实半轴长 a=4 虚半轴长 b=3 半焦距 c= 4 2 32 5 焦点坐标是 (0,-5),(0,5) 离心率
2 2
=
e - 1
2
即:e越大,渐近线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
y
B
图形
A1
《双曲线的简单几何性质》教学反思
《双曲线的简单几何性质》教学反思本节课节选自北师大版选修2-1第三章第3节《双曲线的简单几何性质》，课堂环节主要涵盖以下几个方面：课堂导入、学习目标、新课讲授、课堂检测、课堂小结、课后作业等几个环节。
新课导入部分采用的是复习导入法，通过提问的方式让学生回答椭圆的简单几何性质，同时引领学生总结研究曲线性质的一般方法，为本节课的展开做好铺垫。
（后续可以顺畅地过渡到双曲线的一般性质。
）整体上来看，达到了温故而知新的目的，不足之处在于复习模块用时过多，导致后续时间相对比较紧张。
学习目标部分是让全体学生齐声朗读，设置学习目标时多用“学会、能够、熟练掌握”等词，可操作性强，便于检验课堂学习成果。
在新课讲授环节，主要研究了焦点在x轴上的双曲线的简单几何性质，讲了范围、对称性、顶点、渐近线、离心率这五个性质。
在讲这些性质时，从两方面展开，一方面，先让学生观察双曲线的图像，从形的角度说出范围、对称性、顶点等；另一方面，引导他们从方程的角度解释这些性质，对学生回答正确的地方及时给予肯定，不完善的地方进行补充强调，让学生深刻理解从方程的角度研究曲线性质的一般思路和方法，不仅是单纯掌握这一个知识点，更是学会了研究数学问题的一般方法——数形结合。
在讲解渐近线和离心率这部分内容时，重视让学生直观地感受渐近线和双曲线的位置关系，以及离心率e对双曲线开口大小的影响（借助希沃数学画板），对于渐近线的证明这部分没有详细讲解。
离心率e对双曲线开口大小的影响是以小组讨论的形式展开的，学生讨论积极，基本能完成设定的目标任务。
不足之处是对渐近线的处理不到位，没有将双曲线与渐近线无限接近，永不相交的本质讲清楚，后续还应在这个问题的处理上多下功夫。
课堂检测环节有判断、填空、解答3种题型，题目内容设置基本上和学习目标是对应的，使学生能够自我检测本节课所学知识。
回答方式采用小组作答和抢答两种方式，学生参与性强，课堂气氛较活跃。
不足之处是课堂时间把握不够精确，第二个练习题没能按照原计划在课堂上进行，后留作课后练习。
双曲线的简单几何性质
2.3.2
目标导航
双曲线的简单几何性质
预习导引
预习新知
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
5
5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率.双曲线的 离心率的取值范围是 e>1.
������ ������
双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小? 提示 :由于
������ ������ e= ,所以 ������ ������
������ ������
������2 − 2=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论. ������
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
知识精要
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
迁移应用
【例 2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
1 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,焦距为 2 2 3
10;
9 ,-1 2 81 ,∴λ=4× -9=72. 4
∴双曲线方程为 4x2-9y 2=72,
������2 ������2 即 − =1. 18 8
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
知识精要
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
迁移应用
������2 (3)由椭圆方程 9 ������2 双曲线方程为 2 ������
������2 − =1. 20
2.3.2
双曲线的简单几何性质
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
方法二 :由渐近线方程为
1 y=± x, 2
_双曲线的简单几何性质_(1-3)
F2(0,c)
B1
A1 A2
O
F2
x
F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x a
2
B1 F2(c,0)
A1 Oy b
2
2
1 (a b 0)
y a
2
2
x b
2
2
1 (a 0 ,b 0 )
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
x b
2 2
1(a 0, b 0)
y
（1）范围:
y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线:
y a b x
a
-b o b x
-a
（5）离心率: e
c a
小
结
双 曲 线
x a
2 2
性 质 图象
范围
xa
2 2
x
1.
x
2 2
16
y b
2 2
9
y
2 2 2
1共焦点的椭圆系方程是 x
2 2
m y
2 2 2
m c
1,
双曲线系方程是
m
c m
1
2、求与椭圆
x
x
2
y
2
1
有共同焦点，渐近线方程为
16
8
3 y 0 的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1 ( 2 2，)， F 2 2 0 （
x
2
y b
A1 -a B2
o a A2 -b B 1
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河北饶阳中学高二数学艺术文 编制：张丽霞
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§2.2.1双曲线简单的几何性质导学案 ( 第1课时) [教学目标]: 掌握双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念。 [重点]:双曲线几何性质 [难点]:双曲线几何性质的应用,双曲线第二定义。 教学过程 一、课前准备： 复习 1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ① a = 3,b = 4 ，焦点在x轴上； ②焦点在 y 轴上，焦距为 8， a = 2 ． 复习 2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二、新课导学： 学习探究 （一）试一试 类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222babyax，研究它的几何性质。 ①范围 ：由双曲线的标准方程可得：22by 从而得x的范围： ；即双曲线在不等式 和 所表示的区域内。22ax= 从而得y的范围为 。 ②对称性：以x代x，方程不变，这说明 所以双曲线关于 对称。同理，以y代y，方程不变得双曲线关于 对称，以x代x，且以y代y，方程也不变，得双曲线关于 对称。 ③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程12222byax里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A（ ）2A（ ） ；我们把1B（ ）2B（ ）也画在y轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。 ④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。 ○5渐近线： 双曲线22221xyab的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线 ， 。
思考：
离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
问题 1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的标准方程及简单的几何性质?
标准方程
12222byax（a>0,b>0） 12222
bxa
y
(a>0,b>0)
图 象
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
问题 2：实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线．
等轴双曲线a=b，渐近线方程为________,离心率=_________.
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椭圆 双曲线
方程
、 、 的
关系
图形
范围
对称性
顶点
离心率
渐近线
[预习自测]
1.双曲线x24－y29＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±32x B．y＝±23x C．y＝±94x D．y＝±
4
9
x
2.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（ ）
A、192522yx B、192522yx或192522xy
C、13610022yx D、13610022yx或13610022xy
3.下列曲线的离心率为26的是（ ）
A、14222yx B、12422yx
C 、16422yx D、110422yx
4.双曲线204522xy的实轴长为 ，虚轴长为 ，渐近线方程
为 ，离心率为 。
[合作探究 展示点评]
探究一：双曲线简单几何性质
例1：求双曲线14491622yx的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。
探究二：由性质求方程
例2：求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
例3: 点 M(x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线l :516x的距离的比是常数45，求点M 的
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轨迹。
[当堂检测]
1、双曲线x24－y2＝1的离心率是( )
A.32 B.52 C.54 D.32
2、
双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．23 B．2 C.3 D．1
3、双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．－14 B．－4 C．4 D.14
4、若双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________
[拓展提升]
1.双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
2.经过点 A( 3,-1 ) ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是_______
3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方
程为( )
A.y24－x24＝1 B.x24－y24＝1
C.y24－x29＝1 D.x28－y24＝1
4.求以椭圆x216＋y29＝1的两个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴
长、虚轴长、离心率及渐近线方程。
5.已知双曲线的渐近线方程为032yx。
（1）若双曲线过点P（2,6），求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的焦距是132，求双曲线的标准方程。
6.求到定点F（c,0）（c>0）和它到定直线2:alxc距离之比是ca(ca>1)的点M的轨迹方程。